专题03 数列求前n项和方法归纳（专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题03 数列求前n项和方法归纳（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、倒序相加求和 1 题型二、错位相减求和 3 题型三、裂项相消求和 6 题型四、分组求和 8 题型五、并项求和 11 题型六、含绝对值求和 15 题型七、奇偶项求和 18 题型八、数列与不等式 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、倒序相加求和 1．（25-26高二上·湖北黄冈·月考）已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则______. 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是___________． 3．（25-26高二上·福建漳州·月考）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 题型二、错位相减求和 1．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）已知数列满足，且． (1)求证数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求的前n项和． 2．（2026·湖北·二模）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 3．（25-26高二上·天津南开·期末）已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且满足． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和为． 题型三、裂项相消求和 1．（25-26高三上·天津西青·期末）已知数列的前项和为，且，数列为递增的等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求； (3)设，，求使得对任意，均有成立的最大整数. 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）设数列满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 3．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知等比数列的前n项和为，且满足 (1)求数列的通项公式； (2)令求数列的前n项和. 题型四、分组求和 1．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式，并求的前项和． 2．（25-26高三上·山东临沂·期末）已知等比数列的公比为且，等差数列的公差为，满足条件：，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 3．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求． 题型五、并项求和 1．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前20项的和. 2．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列. ①求数列的通项公式；②求数列的前项和. 3．（2025·广东广州·一模）已知数列的前n项和为，且满足，又知，． (1)求，； (2)求的通项公式； (3)，求的前n项和． 题型六、含绝对值求和 1．（25-26高二上·山东·月考）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求和的通项公式； (2)求. 2．（25-26高二上·河北·月考）已知数列满足． (1)求证数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记数列的前项和为，求数列的前项和． 3．（25-26高三上·天津南开·月考）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和． 题型七、奇偶项求和 1．（2026·江西上饶·一模）已知递增的等差数列满足，数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．（25-26高二上·广西柳州·期末）记为正项数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和. 所以. 3．（江西省南昌市赣江新区金太阳实验中学等校2026届高三下学期开学素养训练数学试题）已知数列的前n项和为，且． (1)证明：数列是等比数列． (2)求的通项公式． (3)已知求数列的前2n项和． 题型八、数列与不等式 1．（25-26高二上·山东淄博·期末）已知数列满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：. 2．（25-26高三上·天津宝坻·月考）已知数列是等差数列，满足，，数列是首项为1的等比数列，且，，成等差数列. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前n项和. (3)，求证：. 3．（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 1．（2025高三上·重庆永川·专题练习）已知函数且，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得（   ） A．1012.5 B．1013 C．2025 D．2026 2．（25-26高三上·广西·期末）已知等差数列的前n项和为，数列满足，且，，． (1)分别求，的通项公式； (2)求数列的前n项和． 3．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知为等差数列的前项和，，. (1)求； (2)求数列的前项和. 4．（25-26高三上·天津西青·月考）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)记，，求数列的前项和； (3)记，，求数列的前项和. 5．（25-26高二上·天津南开·期末）已知正项等比数列的前项和为，，；等差数列及正整数（）满足，，且． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 6．（黑龙江省实验中学2026届高三下学期联合模拟考试数学试题）数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中. ①，； ②，，，成等差数列； ③，； (1)分别求出数列与的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前10项和． （注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 7．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 8．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知数列满足：，. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若数列其前项和为，求. 9．（25-26高三上·福建福州·月考）已知数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求使的最小的正整数n的值. 10．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知数列满足： (1)求的值； (2)若，证明：是等比数列； (3)若，数列的前项和为，求不等式的解集. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数列求前n项和方法归纳（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、倒序相加求和 1 题型二、错位相减求和 3 题型三、裂项相消求和 6 题型四、分组求和 8 题型五、并项求和 11 题型六、含绝对值求和 15 题型七、奇偶项求和 18 题型八、数列与不等式 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、倒序相加求和 1．（25-26高二上·湖北黄冈·月考）已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则______. 【答案】4034 【分析】倒序相加法求和. 【详解】令① 则也有② 由， ，即有， 可得：， 于是由①②两式相加得， 所以. 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先计算出的图像关于点成中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围. 【详解】因为 ，所以的图像关于点成中心对称． 因为， 所以， 两式相加得，所以． 由，得， 所以． 令， 则当时，在上单调递减； 当时，在单调递增． 又，所以，所以， 即的取值范围是． 故答案为：. 3．（25-26高二上·福建漳州·月考）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由题意得，设， ， 设， 倒序得， 两式相加得到，解得，故只有A正确. 故选：A 题型二、错位相减求和 1．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）已知数列满足，且． (1)求证数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求的前n项和． 【答案】(1)是公差为1，首项为的等差数列，证明见解析， (2) 【分析】（1）由得，由等差数列的定义可得是公差为1，首项为的等差数列，进而可求的通项公式； （2）直接使用错位相减法，结合等比数列前项和的公式即可求即的前项和. 【详解】（1）由得， 所以，即， 所以是公差为1，首项为的等差数列， 所以， 则. （2）设， 则， ， 则， ， . 所以的前n项和. 2．（2026·湖北·二模）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）使用退步作差即并验证首项后即可求得数列的通项公式； （2）先确定，再设出后使用错位相减即可求数列的前n项和. 【详解】（1）当时，，即， 当时，，解得， 当时，，， 则， 由可得：，即， 因为，满足公比为， 所以数列是首项，公比为的等比数列， 故数列的通项公式为. （2）由题意得，则设， 则， ， ， 即， 化简得． 故数列的前n项和. 3．（25-26高二上·天津南开·期末）已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且满足． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和为． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，列出方程即可求出的通项公式，利用即可求出的通项公式； （2）利用错位相减求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 解得，，所以． 由已知，① 当时，，得， 当，时，，② ①-②得，，即，又， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列． 所以． （2）数列． 则 所以 故 所以． 题型三、裂项相消求和 1．（25-26高三上·天津西青·期末）已知数列的前项和为，且，数列为递增的等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求； (3)设，，求使得对任意，均有成立的最大整数. 【答案】(1)， (2) (3)5 【分析】（1）讨论当和当时，根据递推公式可求出数列通项公式，验证当是否成立，根据等比数列的定义可求出通项公式； （2）由（1）可得到，再根据错位相减法即可求出； （3）由（1）可得，根据裂项相消法可求出，再根据不等式恒成立即可求解. 【详解】（1）当时， 当时， 上式中当时，，所以数列的通项公式为 设的公比为，，所以， 数列为递增的等比数列，所以 （2） ① ② ①-②，得 ， 所以 （3）由（1）可得 则 显然随的增大而增大，故 于是若要恒成立，只需，解得， 所以存在最大的整数满足题意. 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）设数列满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过递推公式判断数列为等差数列，进而可求解； （2）由裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由，得， 所以数列是公差为2，首项为的等差数列， 即． 所以． （2）设数列的前n项和为， 由（1）知， 则． 3．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知等比数列的前n项和为，且满足 (1)求数列的通项公式； (2)令求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况讨论，求得首项与公比，即得数列的通项公式； （2）结合（1）求得数列的通项，利用裂项相消法和分组求和法即可求得. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， ①当时，由题意得方程无解，不合题意； ②当时，由题意得， 由①②，可得， 解得，代入①，解得，则， 故数列的通项公式为 （2）因 . 则 . 题型四、分组求和 1．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式，并求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）利用递推式相减得出的递推关系，进而得出是等比数列； （2）求出的通项公式，再利用递推式相加得出的递推关系求出通项公式，进而求出的通项公式及前项和． 【详解】（1）证明：，， 两式相减得， ， 又， 数列是首项为2，公比为2的等比数列． （2）数列是首项为2，公比为2的等比数列， ， ，， 两式相加得， ，， 当时，满足上式， 数列是首项为4，公差为4的等差数列，即， ，解得，   ． 2．（25-26高三上·山东临沂·期末）已知等比数列的公比为且，等差数列的公差为，满足条件：，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，结合且解出、的值，即可得出数列、的通项公式； （2）利用分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）由于等比数列的通项公式：且，故，. ，故，， 由可得，得. 整理得. 因为且，所以，. 因此等比数列通项公式为，等差数列的通项公式为. （2）根据题意得：， 由（1）得，.   故. 3．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设公差为，利用等比中项概念与等差数列前n项和的基本量运算可求得，从而可写出通项公式； （2）利用裂项相消法与分组求和法即可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 因为成等比数列，所以， 由于， 所以，化简得. 解得或，又，所以. 故数列的通项公式为； （2）由（1）得，则， 则， 所以， 则 . 题型五、并项求和 1．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前20项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比中项解关于公差的方程得，再求解通项公式即可； （2）先根据累加法得，再结合等差数列求和公式，根据分组求和法求解即可. 【详解】（1）解：根据题意，设是公差为，且, 因为，且成等比数列， 所以，即，即，解得. 所以，即的通项公式为. （2）解：因为，， 所以，，，…，， 所以，根据累加法得， 所以 又，满足， 所以， 所以数列的前20项的和为 ， 这是一个首项为3，末项为39，项数为10的等差数列求和， 所以数列的前20项的和为. 2．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列. ①求数列的通项公式；②求数列的前项和. 【答案】(1) (2)①，② 【分析】(1)根据给定条件，依次求出，列出不等式求解即得. (2)①设，由已知借助恒成立求出，进而求出；②分为奇偶讨论求和即可. 【详解】（1）由题意知为等差数列且公差为， 所以由等差数列公式可得，又因，， 所以可得，为的前项和， 所以，而， 所以， 若，则可得，解不等式可得， 所以可得 （2）①因数列也是公差为的等差数列，所以可设， 又因， 所以可得， 两边同时平方可得对于任意的都成立， 所以可得且，解之可得， 所以 ②由①知，所以， 当,即为偶数时， ， 当，即为奇数时， ， 综上可得，即 3．（2025·广东广州·一模）已知数列的前n项和为，且满足，又知，． (1)求，； (2)求的通项公式； (3)，求的前n项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用已知递推式结合已知条件，代入计算求解； （2）利用已知递推式，运用错位相减法求出递推关系，再分奇、偶项分类讨论求解； （3）先求出的通项公式，再根据的性质，分奇、偶数讨论求解． 【详解】（1），，， ，解得，故； 同理，解得， ． （2）①， 时， ②， 式①减②得， ， 又符合上式， 数列的奇、偶项分别成等差数列， 当时，首项，公差， 则， 当时，首项，公差， 则， 综上，． （3）， i）当时， ， ii）当时，则， ， 综上，． 题型六、含绝对值求和 1．（25-26高二上·山东·月考）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求和的通项公式； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质求解； （2）令，分段求数列的前项和即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以等差数列的公差， 所以， 所以. （2）令，为数列的前项和，则， ， . 当时，， 当时，. 综上，. 2．（25-26高二上·河北·月考）已知数列满足． (1)求证数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记数列的前项和为，求数列的前项和． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据所给递推关系，取倒数后利用等差数列定义证明，再利用等差数列通项公式可求出； （2）根据裂项相消法求和； （3）先证明数列为等差数列，求其前项和为，再分类讨论求即可. 【详解】（1）由可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以， 所以. （2）因为， 所以 （3）因为数列为等差数列， 所以， 所以，所以， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，设前项和为， 则， 令，解得， 当时，， 所以， 当时，, 综上，. 3．（25-26高三上·天津南开·月考）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据与的关系，结合等差数列定义求解； （2）利用裂项相消法求解； （3）根据的符号，分段求解. 【详解】（1）① ② ①②得   ∴ ∴ 故数列是首项，公差为2的等差数列．∴． （2）令， 所以， （3）令，当时，；当时， 设数列的前项和为， 则， 当时，则， 当时，则 综上：． 题型七、奇偶项求和 1．（2026·江西上饶·一模）已知递增的等差数列满足，数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列公差为，根据题意求得，，进而求得数列的通项公式为，再根据又，得，即数列为等比数列，最后根据等比数列通项公式求解即可； （2）分类讨论当为奇数和偶数时的各项，分别求和再求解即可. 【详解】（1）设等差数列公差为，则，由得， 由得，所以，所以， 所以数列的通项公式为； 又， 由数列的各项均为正数得，即， 又，所以数列为首项为2且公比为2的等比数列， 所以. （2）当为奇数时，记，则有 当为偶数时，． 所以，记，则有 所以. 2．（25-26高二上·广西柳州·期末）记为正项数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可得出数列的通项公式； （2）利用裂项求和法求出，利用等差数列的求和公式求出，即可得出. 【详解】（1）对任意的，， 当时，，即，解得（舍去）或， 当时，由可得， 上述两个等式作差得， 即，即， 因为，所以， 所以数列是首项和公差均为的等差数列，所以. （2）当为奇数时，， 故数列的前项的奇数项的和为 ， 当为偶数时，， 故数列的前项的偶数项的和为 ， 所以. 3．（江西省南昌市赣江新区金太阳实验中学等校2026届高三下学期开学素养训练数学试题）已知数列的前n项和为，且． (1)证明：数列是等比数列． (2)求的通项公式． (3)已知求数列的前2n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由与的关系式，得到与的关系式，再利用等比数列定义证明即可； （2）由（1）得出数列的通项公式； （3）利用分组求和以及等差数列和等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）证明：当时，，解得＝6， 当时，由，可得， 两式相减得，所以， 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）可知，即． （3）当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 故 ． 题型八、数列与不等式 1．（25-26高二上·山东淄博·期末）已知数列满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，即可求出，从而得到，利用错位相减法计算可得； （3）由（2）可得，利用分析法只需证明，即可利用裂项消项法证出. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 则， 所以 ， 所以， 则， 所以 ， 所以； （3）因为 ， 又 ， 欲证， 只要证， 即证，即证， 由于， 所以，所以命题得证. 2．（25-26高三上·天津宝坻·月考）已知数列是等差数列，满足，，数列是首项为1的等比数列，且，，成等差数列. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前n项和. (3)，求证：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对等差数列，利用已知项的值列方程组解出首项和公差，对等比数列，利用，，成等差数列的条件建立方程求解出公比. （2）由（1）求解出数列的通项公式，并采用错位相减法求解. （3）将具体表达为，通过放缩法将求和转化为可裂项相消的形式，从而证明不等式. 【详解】（1）设首项为，公差为，因为， 即，化简可得：， 因为，即，则，解得，所以， 设首项为，公比为，则，， 因为，，成等差数列， 所以，即，求解得：， 所以. （2）由（1）可知，数列的通项公式为，所以，， 利用错位相减法可得： ， 两式相减可得： ， 其中，，代入上式可得： ， 所以. （3）由（1）可知，，则，所以， 即，因为 所以，对，有成立， 所以，， 两边同时乘以，则， 即，证明完毕. 3．（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的知识求得公差和公比，从而求得通项公式． （2）利用裂项相消法求得． （3）利用错位相减法求得，利用差比较法求得的取值范围． 【详解】（1）设等差数列的公差为d，已知， ，则． 则， 解得，所以 设等比数列的公比为q，，，又，所以． 因为， 解得（舍去，因为），所以． （2）由（1）知，， 则． ． （3）由（1）知，，则． ①， ②， ①-②得：，所以，则． 因为对任意正整数n，不等式恒成立， 即恒成立，等价于恒成立． 设，则． 当时，，即； 当时，，即， 所以的最大值为． 所以，即实数的取值范围是． 1．（2025高三上·重庆永川·专题练习）已知函数且，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得（   ） A．1012.5 B．1013 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】先计算，利用倒序相加法即可求解. 【详解】由，所以， 令， ， 所以， 所以，即， 故选：C. 2．（25-26高三上·广西·期末）已知等差数列的前n项和为，数列满足，且，，． (1)分别求，的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（1）先由题设求出，接着利用等差数列的通项公式求出即可求解； （2）由（1）可知，利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）由题可得，解得， 设的公差为d，则由题有，解得，， 此时， ∴，∴； （2）由（1）可知，，所以， 所以①， 则②， ①－②得 ， 所以． 3．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知为等差数列的前项和，，. (1)求； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可； （2）利用裂项相消法进行求解即可. 【详解】（1）因为数列是等差数列， 所以由， 所以公差为， 所以； （2）， 所以，因此 4．（25-26高三上·天津西青·月考）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)记，，求数列的前项和； (3)记，，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的首项为，利用等差数列的前项和公式求出，进而求出等差数列的通项公式；设等比数列的公比为，利用通项公式和已知条件求出，进而求出等比数列的通项公式； （2）先求出，再利用分组求和法进行求解： （3）先得到，再利用裂项抵消法进行求和. 【详解】（1）因为是公差为2的等差数列，且， 所以，解得， 所以； 设等比数列的公比为， 因为，， 所以，即， 解得（舍去）或， 所以. （2）由（1）得， 则 则 （3）由（1）得 ， 则 5．（25-26高二上·天津南开·期末）已知正项等比数列的前项和为，，；等差数列及正整数（）满足，，且． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等比数列前项和列出方程求解即得到数列的通项公式，利用裂项相消即可求解的通项公式； （2）由题可得分和两种情况，结合等差数列的前项和求解即可. 【详解】（1）因为是等比数列，设首项为，公比为， 由，知，，所以①；② 两式相除得，又，所以， 代入①得，所以． 设数列公差为， 则， 所以，所以． （2）因为，所以 所以当时，数列的前项和； 当时，数列的前项和． 所以. 6．（黑龙江省实验中学2026届高三下学期联合模拟考试数学试题）数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中. ①，； ②，，，成等差数列； ③，； (1)分别求出数列与的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前10项和． （注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 【答案】(1)选择任一条件都有， (2) 【分析】（1）选择条件①，②，③，利用等比数列通项，结合已知求出数列的基本量，进而求出通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求出. 【详解】（1）若选①，设的公比为，则，且， 解得，，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选②，设的公比为，由成等差数列，得，解得，因此 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选③，设的公比为，则，解得，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． （2）数列满足，则， 所以 ． 7．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，利用等差、等比数列的通项公式将数据代入，联立方程组即可求出答案； （2）利用分组求和法即可求出答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题意得，解得或（舍去）， 所以，； （2） . 8．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知数列满足：，. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若数列其前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据已知化简整理得出，化简得，定义法即可证明，利用等比数列.通项公式求解即可； （2）先根据等比数列前项和公式得出数列的前项和的值，进而分组求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可知，， 将两边同时除以， 整理可得，即， 所以有. 又，所以， 所以，为以为首项，为公比的等比数列， 所以，， 所以，. （2）由（1）知，为以为首项，为公比的等比数列. 所以，数列的前项和 . 所以，数列其前项和. 9．（25-26高三上·福建福州·月考）已知数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求使的最小的正整数n的值. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）利用两式相减法计算即可求得； （2）由错位相减法计算即可求得，再解不等式即可. 【详解】（1）由，可得， 当时，有， 两式作差得，所以时，， 时，符合上式， 所以数列的通项公式为. （2）， 所以， ， 两式相减得 ， 所以，随着正整数的增大而增大， 由，得， 时，， 时，， 所以使的最小的正整数n的值为8. 10．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知数列满足： (1)求的值； (2)若，证明：是等比数列； (3)若，数列的前项和为，求不等式的解集. 【答案】(1)；； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据递推关系式直接计算可得结果； （2）先由递推关系可得，进而可得，再通过构造即可证明结论； （3）先由（2）的解析可得，进而可得及，从而可得并用裂项求和可得，再代入不等式可得不等式的解集. 【详解】（1）因为，所以， ，所以. （2）因为，所以. 所以，所以，又因为， 所以，，故是等比数列是以2为公比，以4为首项的等比数列. （3）由（2）知是等比数列是以2为公比，以4为首项的等比数列. 所以，即，所以， ， . 所以. 代入不等式得， 即，，， 所以，因为，所以，即， 由指数函数的单调性可得，即，又因为，所以或. 故不等式的解集为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $