专题02 等比数列的性质及其综合应用问题八类综合题型（压轴题专项训练）数学湘教版选择性必修第一册

**基本信息** 以五大核心性质为纲，八类题型为目，构建“通法-题型-变式-挑战”四层训练体系，强化逻辑推理与模型应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|聚焦通项/求和/下标等五大核心，明确公比特殊值等四条底线原则|从概念本质到应用限制，构建完整认知框架| |题型归纳|8题型（每题型1典例+3变式）|判定用定义法，性质用公式法，综合题用模型转化法|从基础判定到性质应用，再到跨情境综合，层层递进| |压轴挑战|15题|融合多性质综合应用，强化参数讨论与临界分析|对接高考压轴题命题趋势，提升复杂问题解决能力|

专题02 等比数列的性质及其综合应用问题八类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等比数列的判定与证明 题型二、等比数列下标和性质及应用 题型三、等比数列的奇偶性的性质及应用 题型四、等比数列的单调性 题型五、等比数列的片段和性质 题型六、等比数列前项和新文化试题 题型七、等比数列的范围与恒成立问题 题型八、等比数列中的公共项与插项问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 等比数列的综合应用是高中数列板块的核心题型，所有题型均围绕通项公式、前n项和求解、下标性质、奇偶项规律、片段和五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是留意公比等于1的特殊求和情况，二是区分各项正负与项数奇偶的不同情形，三是使用片段和性质要排除中间片段结果为零的情况，四是恒成立求范围问题注意数列自变量只能取正整数，所有参数结果与数列最终项均需验证是否满足题干限制条件 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等比数列的判定与证明 典例1 （多选）已知数列为等比数列，下列结论正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列为等比数列 C．数列为等差数列 D．数列为等差数列 【答案】BCD 【详解】设等比数列的公比为， A：当时，，故A错误； B：，所以，是等比数列，故B正确； C：，是等差数列，故C正确； D： ，是等差数列，故D正确. 故选：BCD． 题型模版 1.特征：已知原数列为等差或等比数列，判断经过四则运算后得到的新数列的类型；或是给出递推关系式，证明某个数列为等比数列 2.方法：定义法求出新数列相邻两项的比值，验证比值为定值则是等比数列；遇到含有参数的情况，注意代入特殊反例进行排除验证. 变式1-1已知数列的各项均不为0，设甲：；乙：数列是等比数列，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】验证甲是否能推出乙，甲的意思是该数列隔项成等比数列， 甲可构造数列， 显然甲推不出乙，验证乙是否能推出甲， 因为数列是等比数列，所以，， 所以， 所以乙能推出甲，所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B. 变式1-2在数列中，为其前项和，且满足．判断数列是否为等比数列，并说明理由． 【答案】是等比数列，理由见解析 【详解】因为，所以当时，， 当时，，整理可得， 因为，又. 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列． 变式1-3已知数列{an}满足， （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）由递推公式结合等比数列的定义证明即可； （2）累加法求数列的通项公式. 【详解】 （1）因为， 所以， 又因为，则， 则数列是以2为首项，2为公比的等比数列， （2）由（1）知：则数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则， ， ， ， 则， 即，所以. 类型二、等比数列下标和性质及应用 典例2 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比数列和等差数的性质先求出和的值，从而可求出的值 【详解】解：因为数列是等比数列，数列是等差数列，，， 所以，， 所以，， 所以，， 所以， 故选：A． 题型模版 1.特征：给出等差、等比数列中多项相加或者相乘的条件，各项下标之和相等，不需要求出首项和公差、公比，直接求值 2.方法：等比下标和性质：若m+n=p+q，则am×an=ap×aq；多项连乘/连加优先找中间项，化简后代入计算 变式2-1已知数列是等比数列，若，则（ ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】C 【详解】 分析： 根据等比中项的性质得，，，代入构造基本不等式的形式，运用基本不等式求得最值. 详解： 设等比数列的公比，∵，∴，∴，∴，， ∴ ，当且仅当，即时，取等号， 故选：C. 变式2-2在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是__． 【答案】 【分析】根据题意，将变形可得，又由基本不等式的性质可得，计算可得答案. 【详解】根据题意，在各项均为正数的等比数列中，， 即， ∴，当且仅当，即公比为1时等号成立， 故的最大值是. 故答案为：． 变式2-3已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】根据题意结合等比数列的性质可推得以及，即可判断数列的的增减性以及项与1的大小关系，由此即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 则，即， 结合等比数列满足，公比，可知， 由，得， 即得，故，即， 由此可得， 故当最小时，， 故选：A． 题型三、等比数列的奇偶性的性质及应用 典例3 在数列中，，，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题知当为奇数时，；当为偶数时，，前n项和为满足 ，，进而分为奇数和为偶数讨论求解即可. 【详解】解：由题意得，，，即， 所以当为奇数时，；当为偶数时，； 设的前n项和为，则，. 若为奇数，则为3的倍数，不是的倍数，不合题意； 当为偶数，则 ，即，所以. 故选：B． 题型模版 1.特征：给出相邻两项递推式，奇数项、偶数项各自构成独立的等比数列；数列奇偶项通项公式不一样，需要分段求和 2.方法：写出n和n+1的递推式子，两式相除，分别找出奇数项数列、偶数项数列的公比；分清起始项下标是奇数还是偶数，分段套用等比求和公式；必要时分奇偶情况分类讨论计算。 变式3-1等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 结合等比数列求和公式有：，解得n=4， 即这个等比数列的项数为8. 本题选择C选项.． 变式3-2已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【分析】设数列共有项，设所有奇数项之和为，由题意表求出和，利用求出公比，再结合求出即可. 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D. 变式3-3已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______． 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，结合等比数列求和公式求出的值，进而可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为， 则， 所以，， 又，则， 因此，. 故答案为：． 题型四、等比数列的单调性 典例4 设等比数列的首项为，公比为，则为递增数列的充要条件是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，分、两种情况讨论，结合递增数列的定义求出对应的的取值范围，即可得出结论. 【详解】因为，若，则数列为摆动数列，与题意不符，所以，. ①若，则对任意的，，由可得，即； ②若，则对任意的，，由可得，此时. 所以，为递增数列的充要条件是，或，    ， 当，时，，则； 当，时，，则. 因此，数列为递增数列的充要条件是. 故选：C． 题型模版 1.特征：题已知等比数列，判断数列增减、摆动、常数列；给出单调性反过来求首项、公比的取值范围 2.方法：比先判断公比正负，q<0时数列一定是摆动数列，无单调性；q>0时分两类讨论：a1>0，q>1递增；a1<0，0<q<1递增；q=1为常数列；也可借助相邻两项差值、比值判断增减 变式4-1等比数列的公比为，则“”是“对于任意正整数n，都有”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【详解】若，，则，，充分性不成立； 反过来，若，，则时，必要性不成立； 因此“”是“对于任意正整数n，都有”的既不充分也不必要条件. 故选：D． 变式4-2（多选）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【详解】，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值； ，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值； ，时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零， 所以等比数列有最大值，也有最小值； ，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值， 偶数项为正无最大值. 故选：BC 变式4-3已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设等比数列的公比为，根据题意求出、的值，可得出数列的通项公式，分析数列奇数项和偶数项的单调性，可得出、的值，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，由，解得， 所以，， 当为奇数时，； 当为偶数时，. 所以，数列的奇数项单调递增，偶数项单调递减， 故，，， 故选：D． 题型五、等比数列的片段和性质 典例5 已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 【答案】D 【详解】由等比数列前n项和的性质可得，，，，成等比数列， 则，设，则，∵等比数列中，， ∴解得，，故，∴， 故选：D． 题型模版 1.特征：给已知等比数列几段前n项和，不需要求出首项和公比，直接求后续和；项数成相同间隔 2.方法：先片段和结论：Sn，S2n－Sn，S3n-S2n，S4n-S3n成等比数列；算出每一段的和再列方程求解；注意检验q=-1时该性质失效，遇到an>0可直接排除q=-1的陷阱 变式5-1已知等比数列的前项和为，，，（　　） A．﹣51 B．﹣20 C．27 D．40 【答案】D 【分析】由{an}是等比数列可得S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，列方程组，从而即可求出S40的值． 【详解】由{an}是等比数列，且S10＝1＞0，S30＝13＞0，得S20＞0，S40＞0，且1＜S20＜13，S40＞13 所以S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列， 即1，S20﹣1，13﹣S20，S40﹣13构成等比数列， ∴（S20﹣1）2＝1×（13﹣S20），解得S20＝4或S20＝﹣3（舍去）， ∴（13﹣S20）2＝（S20﹣1）（S40﹣13），即92＝3×（S40﹣13），解得S40＝40． 故选：D． 变式5-2在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】由等比数列片段和依然成等比数列，结合等比中项的性质即可列式求解. 【详解】设正项等比数列的公比为， 则是首项为，公比为的等比数列， 若，，则， 所以，即， 解得或（舍去）. 故选：C. 变式5-3设是等比数列的前n项和，若，则______. 【答案】 【分析】设，利用等比数列的性质求出即得解. 【详解】解：设，所以 因为数列是等比数列，所以成等比数列， 因为数列的公比为2， 所以， 所以. 所以. 故答案为： 类型六、等比数列前项和新文化试题 典例6 1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（       ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【详解】不属于剩下的闭区间，属于去掉的开区间 经历第步，剩下的最后一个区间为，经历第步，剩下的最后一个区间为，……， 经历第步，剩下的最后一个区间为，去掉的最后开区间为 由化简得，解得 故选:A． 题型模版 1.特征：给以数学史、传统文化、实际生活场景为背景，包装等比数列前 n 项和问题；题干较长，需要从文字描述中提取出等比数列的首项和公比 2.方法：先认真阅读材料，从构造过程中找出每一步对应的数量；观察数量变化规律，识别出等比数列模型；确定首项和公比后，套用等比数列前n项和公式计算；涉及无限重复的问题，利用无穷等比数列求和公式（公比绝对值小于1）求解 变式6-1古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（    ） A．兔尘 B．羊尘 C．兔尘 D．羊尘 【答案】A 【详解】设1微尘为， 因为微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度， 构成了公比为7的等比数列， 所以1窗尘为，1兔尘为，1羊尘为，1牛尘为， 1虮为，1虱为，1芥子，1大麦，1指节为， 因为，所以1指节是兔尘，A正确，C不正确； 因为，所以1指节是羊尘，BD不正确； 故选：A． 变式6-2九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝，则解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为___.（用含n的式子表示） 【答案】（，n为奇数） 【分析】 可得为奇数时，即数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，即可求解. 【详解】 当为奇数时，为偶数，为奇数， 则， 故数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列， （，n为奇数）， 故解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为（，n为奇数）. 故答案为：（，n为奇数）.． 变式6-3毕达哥拉斯树是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被成为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为的正方形的一边作为斜边，向外做等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到个新的小正方形，实现了一次生长，再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，设第次生长得到的小正方形的个数为，则数列的前项和___________. 【答案】 【分析】分析可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得. 【详解】由题意可得且，所以，数列为等比数列，且该数列的首项和公比均为， 因此，. 故答案为：． 类型七、等比数列的范围与恒成立问题 典例7 已知数列为等比数列，，若恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】令，则，，解得， 则，即，所以， 即， 因为，所以， 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，令， 则， 令， 则， 可知数列在当时为递增数列，则， 可知数列在当时为递增数列，则， 所以当，，不合题意； 故的取值范围为． 故答案为：． 题型模版 1.特征：给出构造新等比数列的条件，先求出原数列通项；再给出关于an的不等式恒成立，求正整数n的范围、参数取值 2.方法：先换元设出新等比数列，利用条件求出首项与公比，反解出an通项；代入不等式，转化为指数与二次不等式；由于难以直接解超越不等式，采用逐项验证、列举试值；最后检验边界，确定满足条件的n范围 变式7-1数列满足，，则________；若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】由数列满足，，得到数列是等比数列，从而解得，再根据对于任意的，恒成立，转化为对于任意的，恒成立，由求解. 【详解】因为数列满足，， 所以，又， 所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列， 所以，则， 因为对于任意的，恒成立， 所以对于任意的，恒成立， 所以对于任意的，恒成立， 令， ， 所以数列 是递增数列，则 ， 所以 ，解得 ， 故答案为：，.． 变式7-2等比数列的公比为，其前项和记为，，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为， 即，所以，所以，所以， 因为是公比为的等比数列， 所以，解得，故. 故答案为：. 变式7-3已知数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】求出数列前项和为，代入不等式，分离参数即可得。 【详解】因为数列的前项和为，所以， 所以恒成立即为， 化简得，即， 因为该不等式需对恒成立， 所以的取值必须大于等于的最大值，即，其中， 记， 因为， 所以当时，，即， 计算前几项得， 所以时，的值最大，最大为，故， 的最小值为. 故答案为：． 类型八、等比数列中的公共项与插项问题 典例8-1 已知数列满足：，，有，数列与的公共项从小到大排列成数列，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，令得，则是首项为，公比为的等比数列， 通项为，已知，则，解得，故， 故，则是首项为4，公差为3的等差数列， 故两个数列的公共项，满足既是，又满足除以3余1， 故公共项为，即，则． 典例8-2已知数列是首项和公比均为3的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新数列，则数列的前50项和（    ） A．402 B．404 C．408 D．412 【答案】C 【分析】分析新数列前50项由共插入多少项，通过分组求和计算前50项和． 【详解】因为，，，，， ，，，，， 由题意前5项共插入项， 则数列的前50项的和 ． 题型模版 1.特征：已给出两个数列（一个等比数列、一个等差数列或另一个等比数列），求两个数列的公共项组成的新数列的某一项；或是在两个数之间插入若干个数，使新数列成等比数列 2.方法：先分别求出两个数列的通项公式；公共项问题：找出同时满足两个通项的项，观察公共项下标的规律，通常公共项本身构成新的等比数列；插项问题：利用等比中项性质，先求公比，再求插入的各项；注意检验公共项是否都在两个数列的定义域内 变式8-1已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大依次排列得到数列，为数列的前项和，则________． 【答案】 【分析】根据题意得出数列以及数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，最后利用错位相减法即可求解. 【详解】已知数列的前项和， 当时，； 当时，，当时也满足， 因此数列的通项公式为， 则数列是偶数数列：，数列为， 因此数列和数列的公共项为，即数列的通项公式为， 则数列的通项公式为， 则，， 两式相减得， 故． 变式8-2已知等比数列的前项和为，且．在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若为数列的前项和，则______． 【答案】 【分析】利用递推式结合等比数列性质求出，进而求出及，从而得出表达式，再利用错位相减法化简，求出． 【详解】当时，，则， 即，故公比为3； 当时，，解得， ， 由题意知，，则， 解得，， 令，则①， ②， 用①减②得，， 解得， ． 变式8-3已知等比数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和． 【答案】(1)； (2)243 【分析】（1）根据等比数列的性质可得首项和公比，从而得到通项公式； （2）由（1）知，从而得到的通项公式，从而得到中，且从第2项起，等差数列，得到的通项公式，得到的前10项和. 【详解】（1）设等比数列的公比为q，依题意可得，，，故， 又，解得（负值舍去），故， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，所以， ， 当时，， 当时，． 所以， 由与公共项按从小到大的顺序组成，可设，m为正整数． 若，则，公共项为0； 若，则由，可得，n必须为偶数，令，， 则公共项为． 故且从第2项起，是以3为首项、6为公差的等差数列， 即， 所以数列的前10项和为 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若等比数列中的，是方程的两个根，则（    ） A． B．1015 C． D．1014 【答案】C 【分析】由等比数列的性质得到，进而得到，再根据对数的运算性质计算即可. 【详解】由韦达定理可知，由等比数列的性质可知 ，所以， 所以 . 2．在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】根据等比数列的定义和通项公式，结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】令，则， 令，则， 以此类推，得， 则数列是以为首项，为公比的等比数列. 若数列是等比数列，设其公比为，则， 所以，， 得， 当时，； 当时，不成立. 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A 3．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （   ） A． B．12 C．21 D． 【答案】B 【分析】利用等比数列连续等长片段和仍为等比数列的性质，结合公比平方的非负特性排除增根求解. 【详解】 由等比中项性质可得： ， 已知，， 设，代入得： ，展开整理为一元二次方程： ， 解得或，又，其中， 结合，故，舍去增根，即. 4．已知等比数列满足，，设，数列的前n项和为，若，则整数k的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】先根据条件列出关于和的方程，求出和，写出通项公式，进而可得到通项公式，再利用分组求和法求出，最后根据的单调性求出的范围，从而得到整数的最小值. 【详解】设等比数列的公比为q， ，，解得，. . . ，，，即关于单调递增， 又.时，，即整数的最小值为. 5．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（    ） A．若数列的前n项和（a，b，c为常数），则数列为等差数列 B．若数列的前n项和，则数列为等比数列 C．数列是等差数列，为前n项和，则，，，…仍为等差数列 D．数列是等比数列，为前n项和，则，，，…仍为等比数列 【答案】BC 【分析】由得，进而可判断A和B；由等差数列的性质判断C；举反例判断D. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于选项A：因为，， 当时，， 所以，所以只有当时，数列成等差数列，故A错误； 对于选项B：因为，， 当时，，当时，，符合上式， 所以，则数列成等比数列，故B正确； 对于选项C：数列是等差数列，为前项和，则，，，是公差为（为的公差）的等差数列，故C正确； 对于选项D：令，则，，，是常数列，显然不是等比数列，故D错误. 故选：BC. 6．（多选）已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有（    ） A． B．当且仅当时，取最小值 C．数列是等比数列 D． 【答案】AC 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式、等比数列的性质，结合韦达定理及数列的函数性质求解即可. 【详解】对于A，设等差数列的首项为，则，. 可将，看作方程的两根，解得或. 因为，所以，故，. 公差，. 故通项公式为，A正确. 对于B，，这是开口向上的二次函数，对称轴. 因为，所以当或时，均取最小值，B错误. 对于C，令，则， 所以是首项为、公比为4的等比数列，C正确. 对于D，令，解得， 当时，；当时，， 易知，，，，，，，，，， 所以，D错误． 7．（多选）已知正项等比数列的前项和为，若，，则（    ）． A．数列的公比 B．数列有最大项 C．数列为递增数列 D．数列为等差数列 【答案】ABD 【分析】利用，算出公比，得到通项公式，再逐一判断单调性、最大项,通过等差数列的定义判断数列是等差数列. 【详解】正项等比数列，设公比为，则，， ，， 已知 ，所以 ，因为，所以， 正项数列 ，故 ，A 正确； 因为，，所以正项等比数列单调递减，所以首项就是最大项，B 正确； 因为，，所以正项等比数列是递减数列，C 错误； 因为，，所以，所以 ， 差为常数，所以数列为等差数列，D 正确. 8．已知等比数列的各项都为正数，且，则的值为______. 【答案】 4 【分析】利用等比数列下标和相等则对应项乘积相等的性质，将前四项倒数和整理为与前四项和相关的形式，求出两项乘积后即可得到四项总乘积. 【详解】设等比数列的公比为q，由数列各项都为正数得. 根据等比数列性质：若，则，可得， 记，则， 所以，所以． 9．设各项均为正数的等比数列的首项，前项和为，且，则数列的通项公式为______． 【答案】 【分析】由题意可得，结合等比数列的前项和性质即可求解. 【详解】设数列的公比为． 由，得． 又由题意分析知，所以成等比数列，公比为， 所以． 又为各项均为正数的等比数列，所以，所以． 10．设等比数列满足，则当时，正整数的最大值为__________. 【答案】 9 【分析】先利用等比数列性质求解公比与首项，得到通项公式后写出前项乘积的表达式，再构造函数，根据二次函数性质，结合零点存在性定理求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，， 由等比数列通项性质可得，代入已知条件，，解得， 将代入，得，解得， 因此数列通项公式为， 记前项乘积为，则：， 所以，即，两边取常用对数得： ，整理得， 令，由二次函数性质知在上单调递增， 因为,所以, 因为，, 所以的最大正整数为． 11．已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)因为, 所以有, 当时,, 所以, 所以数列是以12为首项，4为公比的等比数列. (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）得， ， 所以， 等式两边同除， ， 令，则， 构造：， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以， 还原. 12．已知数列的前项和为，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求数列的最大值； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为， 所以， 所以， 又， 所以数列是首项为、公比为的等比数列． (2) (3) 【分析】（1）由题可得，进而化为即可证明； （2）由（1）可得， ，然后作差得到数列的单调性，结合单调性得到最值即可． （3）由题可得，再裂项相消求和即可． 【详解】（1）略 （2）由(1)得，， 所以， 则， 所以当时，，当时，， 当时，． 所以， 所以数列的最大值为； （3）因为， 所以 ， 所以 ． 13．在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求数列的通项公式； (3)设，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等比中项概念和等比数列的基本量运算求出公比，即得其通项； （2）计算的通项，判断其为等差数列，利用等差数列求和公式计算即得； （3）利用裂项相消法求解. 【详解】（1）依题意得，， ． 因，，则，联立解得，． 则，． （2），， 是以为首项，1为公差的等差数列，． （3）由（2）知 ． 14．数列的前n项和为，且，． (1)求，； (2)证明：数列是等比数列，并求； (3)设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n． 【答案】(1)； (2)当时，由，则， 所以两式相减得，整理得， 又，则，所以， 又，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列． 所以，即． (3)2015 【分析】（1）分别将，代入计算即可求出，； （2）根据题意推出的递推公式，从而构造出目标等比数列，即得证，进而即可求出的通项公式； （3）结合（2）得到的通项公式，从而根据对数的运算法则求出，再结合的单调性即可求解． 【详解】（1）当时，； 当时，， 又，所以，解得． （2）略 （3）由（2）可知，， 则， 所以 ， 显然数列为递增数列， 且，， 使成立的最大正整数． 15．已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中． (1)求证：数列是等比数列，并求； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 【答案】(1) 因为点在直线上，所以， 因为点在直线上，所以， 将代入上式得：， 又因为，所以， 又已知，由得，解得， 由得，因此数列是以2为首项，以为公比的等比数列，故. (2) 由(1)知，代入得， 则数列的前项和为 ， 因为，所以，从而，故； 又因为随着的增大而增大，当时，， 所以，综上，得证. (3) 【分析】（1）利用“点在直线上”建立等量关系，联立关系式，得到递推式，即可证明是等比数列，利用等比数列的通项公式得出的通项公式； （2）将代入的表达式，利用裂项相消法得到，利用指数函数的单调性，确定的取值范围以证明不等式； （3）利用等差数列公差的定义，求得公差的表达式， 即得的通项公式，利用错位相减法求和可得答案. 【详解】（1）因为数列是以2为首项，以为公比的等比数列， 所以. （2）略 （3）在与之间插入个数，使这个数组成等差数列，则这个等差数列的公差为， 由等差数列通项公式知， 将代入得，解得，从而， 则数列的前项和为①， 两边同乘得②， 用①式减去②式（错位相减法）得 将代入， 得， 两边同乘得，故数列前项的和. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等比数列的性质及其综合应用问题八类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等比数列的判定与证明 题型二、等比数列下标和性质及应用 题型三、等比数列的奇偶性的性质及应用 题型四、等比数列的单调性 题型五、等比数列的片段和性质 题型六、等比数列前项和新文化试题 题型七、等比数列的范围与恒成立问题 题型八、等比数列中的公共项与插项问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 等比数列的综合应用是高中数列板块的核心题型，所有题型均围绕通项公式、前n项和求解、下标性质、奇偶项规律、片段和五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是留意公比等于1的特殊求和情况，二是区分各项正负与项数奇偶的不同情形，三是使用片段和性质要排除中间片段结果为零的情况，四是恒成立求范围问题注意数列自变量只能取正整数，所有参数结果与数列最终项均需验证是否满足题干限制条件 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等比数列的判定与证明 典例1 （多选）已知数列为等比数列，下列结论正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列为等比数列 C．数列为等差数列 D．数列为等差数列 题型模版 1.特征：已知原数列为等差或等比数列，判断经过四则运算后得到的新数列的类型；或是给出递推关系式，证明某个数列为等比数列 2.方法：定义法求出新数列相邻两项的比值，验证比值为定值则是等比数列；遇到含有参数的情况，注意代入特殊反例进行排除验证. 变式1-1已知数列的各项均不为0，设甲：；乙：数列是等比数列，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1-2在数列中，为其前项和，且满足．判断数列是否为等比数列，并说明理由． 变式1-3已知数列{an}满足， （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式. 类型二、等比数列下标和性质及应用 典例2 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：给出等差、等比数列中多项相加或者相乘的条件，各项下标之和相等，不需要求出首项和公差、公比，直接求值 2.方法：等比下标和性质：若m+n=p+q，则am×an=ap×aq；多项连乘/连加优先找中间项，化简后代入计算 变式2-1已知数列是等比数列，若，则（ ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 变式2-2在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是__． 变式2-3已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 题型三、等比数列的奇偶性的性质及应用 典例3 在数列中，，，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型模版 1.特征：给出相邻两项递推式，奇数项、偶数项各自构成独立的等比数列；数列奇偶项通项公式不一样，需要分段求和 2.方法：写出n和n+1的递推式子，两式相除，分别找出奇数项数列、偶数项数列的公比；分清起始项下标是奇数还是偶数，分段套用等比求和公式；必要时分奇偶情况分类讨论计算。 变式3-1等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 变式3-2已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2. 变式3-3已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______． 题型四、等比数列的单调性 典例4 设等比数列的首项为，公比为，则为递增数列的充要条件是（    ） A．， B．， C． D． 题型模版 1.特征：题已知等比数列，判断数列增减、摆动、常数列；给出单调性反过来求首项、公比的取值范围 2.方法：比先判断公比正负，q<0时数列一定是摆动数列，无单调性；q>0时分两类讨论：a1>0，q>1递增；a1<0，0<q<1递增；q=1为常数列；也可借助相邻两项差值、比值判断增减 变式4-1等比数列的公比为，则“”是“对于任意正整数n，都有”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 变式4-2（多选）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（    ） A．， B．， C．， D．， 变式4-3已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（   ） A． B． C． D． 题型五、等比数列的片段和性质 典例5 已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 题型模版 1.特征：给已知等比数列几段前n项和，不需要求出首项和公比，直接求后续和；项数成相同间隔 2.方法：先片段和结论：Sn，S2n－Sn，S3n-S2n，S4n-S3n成等比数列；算出每一段的和再列方程求解；注意检验q=-1时该性质失效，遇到an>0可直接排除q=-1的陷阱 变式5-1已知等比数列的前项和为，，，（　　） A．﹣51 B．﹣20 C．27 D．40 变式5-2在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 变式5-3设是等比数列的前n项和，若，则______. 类型六、等比数列前项和新文化试题 典例6 1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（       ）． A．7 B．8 C．9 D．10 题型模版 1.特征：给以数学史、传统文化、实际生活场景为背景，包装等比数列前 n 项和问题；题干较长，需要从文字描述中提取出等比数列的首项和公比 2.方法：先认真阅读材料，从构造过程中找出每一步对应的数量；观察数量变化规律，识别出等比数列模型；确定首项和公比后，套用等比数列前n项和公式计算；涉及无限重复的问题，利用无穷等比数列求和公式（公比绝对值小于1）求解 变式6-1古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（    ） A． 兔尘 B．羊尘 C．兔尘 D．羊尘 变式6-2九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝，则解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为___.（用含n的式子表示） 变式6-3毕达哥拉斯树是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被成为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为的正方形的一边作为斜边，向外做等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到个新的小正方形，实现了一次生长，再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，设第次生长得到的小正方形的个数为，则数列的前项和___________. 类型七、等比数列的范围与恒成立问题 典例7 已知数列为等比数列，，若恒成立，则的取值范围是 ． 题型模版 1.特征：给出构造新等比数列的条件，先求出原数列通项；再给出关于an的不等式恒成立，求正整数n的范围、参数取值 2.方法：先换元设出新等比数列，利用条件求出首项与公比，反解出an通项；代入不等式，转化为指数与二次不等式；由于难以直接解超越不等式，采用逐项验证、列举试值；最后检验边界，确定满足条件的n范围 变式7-1数列满足，，则________；若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为________. 变式7-2等比数列的公比为，其前项和记为，，则的取值范围为 . 变式7-3已知数列的前项和为，若恒成立，则的最小值为______. 类型八、等比数列中的公共项与插项问题 典例8-1 已知数列满足：，，有，数列与的公共项从小到大排列成数列，则（     ） A． B． C． D． 典例8-2已知数列是首项和公比均为3的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新数列，则数列的前50项和（    ） A．402 B．404 C．408 D．412 题型模版 1.特征：已给出两个数列（一个等比数列、一个等差数列或另一个等比数列），求两个数列的公共项组成的新数列的某一项；或是在两个数之间插入若干个数，使新数列成等比数列 2.方法：先分别求出两个数列的通项公式；公共项问题：找出同时满足两个通项的项，观察公共项下标的规律，通常公共项本身构成新的等比数列；插项问题：利用等比中项性质，先求公比，再求插入的各项；注意检验公共项是否都在两个数列的定义域内 变式8-1已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大依次排列得到数列，为数列的前项和，则________． 变式8-2已知等比数列的前项和为，且．在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若为数列的前项和，则______． 变式8-3已知等比数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若等比数列中的，是方程的两个根，则（    ） A． B．1015 C． D．1014 2．在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （   ） A． B．12 C．21 D． 4．已知等比数列满足，，设，数列的前n项和为，若，则整数k的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（    ） A．若数列的前n项和（a，b，c为常数），则数列为等差数列 B．若数列的前n项和，则数列为等比数列 C．数列是等差数列，为前n项和，则，，，…仍为等差数列 D．数列是等比数列，为前n项和，则，，，…仍为等比数列 6．（多选）已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有（    ） A． B．当且仅当时，取最小值 C．数列是等比数列 D． 7．（多选）已知正项等比数列的前项和为，若，，则（    ）． A．数列的公比 B．数列有最大项 C．数列为递增数列 D．数列为等差数列 8．已知等比数列的各项都为正数，且，则的值为______. 9．设各项均为正数的等比数列的首项，前项和为，且，则数列的通项公式为______． 10．设等比数列满足，则当时，正整数的最大值为__________. 11．已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； 12．已知数列的前项和为，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求数列的最大值； (3)设，求数列的前项和． 13．在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求数列的通项公式； (3)设，求． 14．数列的前n项和为，且，． (1)求，； (2)证明：数列是等比数列，并求； (3)设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n． 15．已知在数列和中，，且点和点均在直线上，其中． (1)求证：数列是等比数列，并求； (2)设，记数列的前项和为，证明：． (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $