专题1.3 等比数列专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题1.3 等比数列 考点预览 考点一 等比数列的定义与通项公式 考点二 等比中项 考点三 等比数列的前 项和 考点四 等比数列的性质 考点五 等差数列与等比数列的综合 一、知识填空 1．等比数列的定义 （1）如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示。 （2）等比数列中各项与公比均不为 0；当 时为 数列。 2．等比数列的通项公式 （1） （首项为 ，公比为 ）。 （2）推广形式： （）。 3．等比中项 （1）若 ，， 成等比数列，则 ， （同号时）。 （2）数列 为等比数列 （，各项非零）。 4．等比数列的前 项和 （1）当 时， （用 ，， 表示）或 （用 ，， 表示）。 （2）当 时， 。 5．等比数列的性质 （1）若 （），则 。 （2），， 构成 数列（ 时）。 自检自纠： 1．（1）同一个常数；公比 （2）常数 2．（1） （2） 3．（1）； （2） 4．（1）； （2） 5．（1） （2）等比 二、考点专练 考点一 等比数列的定义与通项公式 方法与技巧： 1. 识别信号：判断数列是否为等比数列、由 与 求通项或指定项。 1. 操作流程：验证 是否恒等于同一非零常数；求通项用 或 。 1. 技巧·口诀：“后比前等于公比，首项乘比差项数；跨项相除比确定”。 1. 易错点：等比数列任何一项都不能为 0； 时是常数列但仍为等比数列；奇负偶正的符号由 的正负决定。 【例题精讲】 1．等比数列 中，，，则 （　　） A．162 B．54 C．486 D．81 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．等比数列 中，，，求 。 【答案】 【详解】，，，故 。 【变式训练】 1．等比数列 中，，，则 （　　） A．-8 B．8 C．-6 D．16 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．等比数列 中，，，则 （　　） A．3 B．6 C．24 D．48 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．下列数列中是等比数列的是（　　） A．，，，，… B．，，，，… C．，，，，… D．，，，，… 【答案】A 【详解】A 中 恒成立；B 为平方数列，C 为等差，D 为等差。故选 A。 【巩固练习】 1．等比数列 中，，，则 （　　） A．96 B．48 C．192 D．64 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．等比数列 中，，，则 （　　） A． B．10 C．30 D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．等比数列 中，，，则 （　　） A．3 B．9 C．-3 D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 4．等比数列 中，，，则 （　　） A．256 B．128 C．64 D．32 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．等比数列 中，，，则 （　　） A．2 B．-2 C． D．4 【答案】A 【详解】，（取正，因各项均为正）。故选 A。 6．数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】数列为等比数列，。故选 A。 7．若 ，， 成等比数列，则下列一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】等比中项满足 。故选 A。 8．等比数列 中，，且 ，则 （　　） A．2 B．4 C．16 D．1 【答案】A 【详解】，。故选 A。 考点二 等比中项 方法与技巧： 1. 识别信号：三个数成等比数列、求等比中项、由等比中项关系求参或证明。 1. 操作流程：，（， 同号时有两解）；三项成等比常设为 ，，。 1. 技巧·口诀：“中项平方等于积，同号开方正负齐”。 1. 易错点：等比中项是 ，比等差中项多一个负值； 时不存在（实数范围内）等比中项。 【例题精讲】 1． 与 的等比中项为（　　） A． B．9 C．-9 D．15 【答案】A 【详解】，。故选 A。 2．已知 ，， 成等比数列，且 ，求 。 【答案】 【详解】，，又 ，故 。 【变式训练】 1． 与 的等比中项为（　　） A． B．4 C．-4 D．5 【答案】A 【详解】，。故选 A。 2．在等比数列 中，，则 （　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【详解】 为 与 的等比中项，。故选 A。 3．已知 ，， 成等比数列，且 ，，则 （　　） A． B．3 C．-3 D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 【巩固练习】 1． 与 的等比中项为（　　） A． B．10 C．-10 D．12.5 【答案】A 【详解】，。故选 A。 2．在等比数列 中，，，则 （　　） A． B．12 C． D． 【答案】A 【详解】，，。故选 A。 3．已知 ，， 成等比数列，则 （　　） A．2 B．-8 C．2 或 -8 D．8 【答案】C 【详解】，， 或 （均使各项非零）。故选 C。 4．在等比数列 中，，则 （　　） A．81 B．18 C．27 D．9 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．三个正数成等比数列，其积为 64，则中间数为（　　） A．4 B．8 C．16 D．2 【答案】A 【详解】设三数为 ，，，积为 ，。故选 A。 6． 与 的等比中项为（　　） A． B．4 C．-4 D．不存在 【答案】A 【详解】，（积为正，等比中项存在）。故选 A。 7．在等比数列 中，，，则 （　　） A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【详解】，，。故选 A。 8．已知 是 与 的等比中项，且 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 考点三 等比数列的前 项和 方法与技巧： 1. 识别信号：已知 ，，，， 中若干个求其余。 1. 操作流程：先判 是否为 1—— 时 ； 时 ；知三求二列方程。 1. 技巧·口诀：“先看公比等不等，不等再套求和式；分子首项一减公比次幂，分母一减公比”。 1. 易错点：必须先讨论 ，直接套用公式是高频失分点；公式中是 为分母，注意与 的符号。 【例题精讲】 1．等比数列 中，，，求 。 【答案】 【详解】。 2．等比数列 中，，，求 。 【答案】 【详解】 时各项相等，。 【变式训练】 1．等比数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．等比数列 中，，，则 （　　） A．121 B．81 C．243 D．40 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．等比数列 中，，，则 （　　） A．4 或 -5 B．4 C．-5 D．2 【答案】A 【详解】，， 或 。故选 A。 【巩固练习】 1．等比数列 中，，，则 （　　） A．11 B．-11 C．31 D．-31 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．等比数列 中，，，则 （　　） A．35 B．12 C．25 D．70 【答案】A 【详解】， 恒成立，。故选 A。 3．等比数列 中，，，则 （　　） A．13 B．12 C．14 D．9 【答案】A 【详解】。故选 A。 4．等比数列 中，，，则 （　　） A．14 或 6 B．14 C．6 D．12 【答案】A 【详解】，； 时 ； 时 。故选 A。 5．等比数列 中，，，则 （　　） A．785 B．725 C．625 D．565 【答案】A 【详解】，， 成等比，，， 成等比，公比 ，，。故选 A。 6．等比数列 中，，，则 （　　） A．2 或 -3 B．2 C．-3 D．3 【答案】A 【详解】，， 或 。故选 A。 7．等比数列 中，，，，则 （　　） A．3 B．9 C．-3 D．27 【答案】A 【详解】，，，，。故选 A。 8．求数列 ，，，…， 的和。 【答案】 【详解】首项 、公比 的等比数列前 10 项和，。 考点四 等比数列的性质 方法与技巧： 1. 识别信号：下标之和相等求积、片段和结构、隔项成比。 1. 操作流程：若 ，则 ；片段和 ，， 成等比（公比 ，）；隔 项的子列仍成等比（公比 ）。 1. 技巧·口诀：“下标和等积相等，片段和成等比放；隔项子列比翻番”。 1. 易错点：，， 成等比要求整体非零（常表述为 ）； 是错误结论。 【例题精讲】 1．等比数列 中，，则 （　　） A． B．4 C． D．16 【答案】A 【详解】，。故选 A。 2．等比数列 中，，，求 ，。 【答案】， 或 ， 【详解】由性质 ，又 ，解方程得两数为 与 ，故 ， 或 ，。 【变式训练】 1．等比数列 中，，则 （　　） A．25 B．50 C．5 D． 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 2．等比数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D．8 【答案】A 【详解】，。故选 A。 3．等比数列 的公比为 ，则子列 ，，，… 的公比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】隔项子列公比为 。故选 A。 【巩固练习】 1．等比数列 中，，则 （　　） A．8 B．16 C．4 D．64 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 2．等比数列 中，，则 （　　） A． B．6 C． D．18 【答案】A 【详解】，。故选 A。 3．等比数列 中，，则 （　　） A．4 B．2 C．8 D．16 【答案】A 【详解】，故 ，。故选 A。 4．等比数列 中，，，则 （　　） A．96 B．24 C．54 D．36 【答案】A 【详解】，， 成等比，即 ，， 成等比，公比 ，故 。故选 A。 5．等比数列 中，，则 （　　） A．9 B．6 C．3 D．81 【答案】A 【详解】。故选 A。 6．等比数列 的公比为 ，则子列 ，，，… 的公比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】相隔 2 项，公比为 。故选 A。 7．等比数列 中，，则 （　　） A．100 B．10 C．20 D．1000 【答案】A 【详解】，故积为 。故选 A。 8．等比数列 中，，，则 的值为（　　） A． B． C． D．18 【答案】A 【详解】，。故选 A。 考点五 等差数列与等比数列的综合 方法与技巧： 1. 识别信号：同一数列中隐含等差或等比结构、两个数列交织、由递推关系构造新数列。 1. 操作流程：识别结构后分别套用等差、等比的通项与求和公式；形如 的构造 转化为等比。 1. 技巧·口诀：“加常数，造等比；变倒数，看等差；两列交织设参解”。 1. 易错点：构造的新数列首项要重新计算；判断既成等差又成等比的数列只有非零常数列。 【例题精讲】 1．已知数列 满足 ，，求 。 【答案】 【详解】构造 ，数列 是首项 、公比 的等比数列，，故 。 2．已知等差数列 满足 ，，求数列 的前 4 项和。 【答案】 【详解】，，数列 是首项 、公比 的等比数列，前 4 项和 。 【变式训练】 1．既是等差数列又是等比数列的数列为（　　） A．非零常数列 B．任何常数列 C．公差为 1 的数列 D．不存在 【答案】A 【详解】各项非零的常数列既等差又等比（含 的常数列不是等比数列）。故选 A。 2．已知 为等差数列， 为等比数列，，，，则 （　　） A．14 B．10 C．9 D．13 【答案】A 【详解】，，故 。故选 A。 3．数列 满足 ，，则 的前 5 项和为（　　） A．242 B．121 C．363 D．80 【答案】A 【详解】等比数列，。故选 A。 【巩固练习】 1．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．等差数列 中，，，则数列 的前 3 项和为（　　） A．273 B．39 C．117 D．91 【答案】A 【详解】， 为首项 、公比 的等比数列，。故选 A。 3．数列 满足 ，，则 的通项为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】等差数列，。故选 A。 4．已知 为等比数列且 ，，，则 （　　） A．29 B．27 C．83 D．11 【答案】A 【详解】，。故选 A。 5．若 ，， 既成等差数列（）又成等比数列，则（　　） A． B． 且可为 0 C． 且 D． 且 【答案】A 【详解】既等差又等比则 且 ，解得 ；等比要求非零，故 。故选 A。 6．数列 满足 ，，则 （　　） A．16 B．11 C．7 D．31 【答案】A 【详解】，，。故选 A。 7．等比数列 中，，，则等差数列 ，， 的公差为（　　） A．不存在， 不一定成等差 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【详解】，，，，，不成等差。故选 A。 8．数列 满足 ，，则 （　　） A．22 B．14 C．10 D．30 【答案】A 【详解】，，。故选 A。 三、达标检测 1．等比数列 中，，，则 （　　） A．32 B．64 C．16 D．31 【答案】A 【详解】。故选 A。 2． 与 的等比中项为（　　） A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 3．等比数列 中，，，则 （　　） A．80 B．78 C．82 D．242 【答案】A 【详解】。故选 A。 4．等比数列 中，，则 （　　） A． B．6 C． D．18 【答案】A 【详解】，。故选 A。 5．等比数列 中，，，则 （　　） A．24 B．21 C．27 D．30 【答案】A 【详解】，。故选 A。 6．等比数列 中，，，则 （　　） A．-5 B．5 C．-11 D．11 【答案】A 【详解】。故选 A。 7．等比数列 中，，，则 （　　） A．2 B．3 C．-2 D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 8．数列 满足 ，，则 （　　） A．31 B．15 C．63 D．30 【答案】A 【详解】，。故选 A。 9．等比数列 中，，，求 与 。 【答案】， 【详解】，，，故 ；。 10．已知等差数列 满足 ，，求 的前 3 项和。 【答案】 【详解】，， 为首项 、公比 的等比数列，。 11．数列 满足 ，，求 。 【答案】 【详解】等比数列，。 12．已知等差数列 的公差 ，且 ，， 成等比数列，求 。 【答案】 【详解】，展开得 ，即 ，，故 ，。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 等比数列 考点预览 考点一 等比数列的定义与通项公式 考点二 等比中项 考点三 等比数列的前 项和 考点四 等比数列的性质 考点五 等差数列与等比数列的综合 一、知识填空 1．等比数列的定义 （1）如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示。 （2）等比数列中各项与公比均不为 0；当 时为 数列。 2．等比数列的通项公式 （1） （首项为 ，公比为 ）。 （2）推广形式： （）。 3．等比中项 （1）若 ，， 成等比数列，则 ， （同号时）。 （2）数列 为等比数列 （，各项非零）。 4．等比数列的前 项和 （1）当 时， （用 ，， 表示）或 （用 ，， 表示）。 （2）当 时， 。 5．等比数列的性质 （1）若 （），则 。 （2），， 构成 数列（ 时）。 二、考点专练 考点一 等比数列的定义与通项公式 方法与技巧： 1. 识别信号：判断数列是否为等比数列、由 与 求通项或指定项。 1. 操作流程：验证 是否恒等于同一非零常数；求通项用 或 。 1. 技巧·口诀：“后比前等于公比，首项乘比差项数；跨项相除比确定”。 1. 易错点：等比数列任何一项都不能为 0； 时是常数列但仍为等比数列；奇负偶正的符号由 的正负决定。 【例题精讲】 1．等比数列 中，，，则 （　　） A．162 B．54 C．486 D．81 2．等比数列 中，，，求 。 【变式训练】 1．等比数列 中，，，则 （　　） A．-8 B．8 C．-6 D．16 2．等比数列 中，，，则 （　　） A．3 B．6 C．24 D．48 3．下列数列中是等比数列的是（　　） A．，，，，… B．，，，，… C．，，，，… D．，，，，… 【巩固练习】 1．等比数列 中，，，则 （　　） A．96 B．48 C．192 D．64 2．等比数列 中，，，则 （　　） A． B．10 C．30 D． 3．等比数列 中，，，则 （　　） A．3 B．9 C．-3 D． 4．等比数列 中，，，则 （　　） A．256 B．128 C．64 D．32 5．等比数列 中，，，则 （　　） A．2 B．-2 C． D．4 6．数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 7．若 ，， 成等比数列，则下列一定成立的是（　　） A． B． C． D． 8．等比数列 中，，且 ，则 （　　） A．2 B．4 C．16 D．1 考点二 等比中项 方法与技巧： 1. 识别信号：三个数成等比数列、求等比中项、由等比中项关系求参或证明。 1. 操作流程：，（， 同号时有两解）；三项成等比常设为 ，，。 1. 技巧·口诀：“中项平方等于积，同号开方正负齐”。 1. 易错点：等比中项是 ，比等差中项多一个负值； 时不存在（实数范围内）等比中项。 【例题精讲】 1． 与 的等比中项为（　　） A． B．9 C．-9 D．15 2．已知 ，， 成等比数列，且 ，求 。 【变式训练】 1． 与 的等比中项为（　　） A． B．4 C．-4 D．5 2．在等比数列 中，，则 （　　） A．16 B．8 C．4 D．2 3．已知 ，， 成等比数列，且 ，，则 （　　） A． B．3 C．-3 D． 【巩固练习】 1． 与 的等比中项为（　　） A． B．10 C．-10 D．12.5 2．在等比数列 中，，，则 （　　） A． B．12 C． D． 3．已知 ，， 成等比数列，则 （　　） A．2 B．-8 C．2 或 -8 D．8 4．在等比数列 中，，则 （　　） A．81 B．18 C．27 D．9 5．三个正数成等比数列，其积为 64，则中间数为（　　） A．4 B．8 C．16 D．2 6． 与 的等比中项为（　　） A． B．4 C．-4 D．不存在 7．在等比数列 中，，，则 （　　） A． B．4 C．8 D． 8．已知 是 与 的等比中项，且 ，，则 （　　） A． B． C． D． 考点三 等比数列的前 项和 方法与技巧： 1. 识别信号：已知 ，，，， 中若干个求其余。 1. 操作流程：先判 是否为 1—— 时 ； 时 ；知三求二列方程。 1. 技巧·口诀：“先看公比等不等，不等再套求和式；分子首项一减公比次幂，分母一减公比”。 1. 易错点：必须先讨论 ，直接套用公式是高频失分点；公式中是 为分母，注意与 的符号。 【例题精讲】 1．等比数列 中，，，求 。 2．等比数列 中，，，求 。 【变式训练】 1．等比数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 2．等比数列 中，，，则 （　　） A．121 B．81 C．243 D．40 3．等比数列 中，，，则 （　　） A．4 或 -5 B．4 C．-5 D．2 【巩固练习】 1．等比数列 中，，，则 （　　） A．11 B．-11 C．31 D．-31 2．等比数列 中，，，则 （　　） A．35 B．12 C．25 D．70 3．等比数列 中，，，则 （　　） A．13 B．12 C．14 D．9 4．等比数列 中，，，则 （　　） A．14 或 6 B．14 C．6 D．12 5．等比数列 中，，，则 （　　） A．785 B．725 C．625 D．565 6．等比数列 中，，，则 （　　） A．2 或 -3 B．2 C．-3 D．3 7．等比数列 中，，，，则 （　　） A．3 B．9 C．-3 D．27 8．求数列 ，，，…， 的和。 考点四 等比数列的性质 方法与技巧： 1. 识别信号：下标之和相等求积、片段和结构、隔项成比。 1. 操作流程：若 ，则 ；片段和 ，， 成等比（公比 ，）；隔 项的子列仍成等比（公比 ）。 1. 技巧·口诀：“下标和等积相等，片段和成等比放；隔项子列比翻番”。 1. 易错点：，， 成等比要求整体非零（常表述为 ）； 是错误结论。 【例题精讲】 1．等比数列 中，，则 （　　） A． B．4 C． D．16 2．等比数列 中，，，求 ，。 【变式训练】 1．等比数列 中，，则 （　　） A．25 B．50 C．5 D． 2．等比数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D．8 3．等比数列 的公比为 ，则子列 ，，，… 的公比为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．等比数列 中，，则 （　　） A．8 B．16 C．4 D．64 2．等比数列 中，，则 （　　） A． B．6 C． D．18 3．等比数列 中，，则 （　　） A．4 B．2 C．8 D．16 4．等比数列 中，，，则 （　　） A．96 B．24 C．54 D．36 5．等比数列 中，，则 （　　） A．9 B．6 C．3 D．81 6．等比数列 的公比为 ，则子列 ，，，… 的公比为（　　） A． B． C． D． 7．等比数列 中，，则 （　　） A．100 B．10 C．20 D．1000 8．等比数列 中，，，则 的值为（　　） A． B． C． D．18 考点五 等差数列与等比数列的综合 方法与技巧： 1. 识别信号：同一数列中隐含等差或等比结构、两个数列交织、由递推关系构造新数列。 1. 操作流程：识别结构后分别套用等差、等比的通项与求和公式；形如 的构造 转化为等比。 1. 技巧·口诀：“加常数，造等比；变倒数，看等差；两列交织设参解”。 1. 易错点：构造的新数列首项要重新计算；判断既成等差又成等比的数列只有非零常数列。 【例题精讲】 1．已知数列 满足 ，，求 。 2．已知等差数列 满足 ，，求数列 的前 4 项和。 【变式训练】 1．既是等差数列又是等比数列的数列为（　　） A．非零常数列 B．任何常数列 C．公差为 1 的数列 D．不存在 2．已知 为等差数列， 为等比数列，，，，则 （　　） A．14 B．10 C．9 D．13 3．数列 满足 ，，则 的前 5 项和为（　　） A．242 B．121 C．363 D．80 【巩固练习】 1．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．等差数列 中，，，则数列 的前 3 项和为（　　） A．273 B．39 C．117 D．91 3．数列 满足 ，，则 的通项为（　　） A． B． C． D． 4．已知 为等比数列且 ，，，则 （　　） A．29 B．27 C．83 D．11 5．若 ，， 既成等差数列（）又成等比数列，则（　　） A． B． 且可为 0 C． 且 D． 且 6．数列 满足 ，，则 （　　） A．16 B．11 C．7 D．31 7．等比数列 中，，，则等差数列 ，， 的公差为（　　） A．不存在， 不一定成等差 B．2 C．4 D．6 8．数列 满足 ，，则 （　　） A．22 B．14 C．10 D．30 三、达标检测 1．等比数列 中，，，则 （　　） A．32 B．64 C．16 D．31 2． 与 的等比中项为（　　） A． B．6 C． D． 3．等比数列 中，，，则 （　　） A．80 B．78 C．82 D．242 4．等比数列 中，，则 （　　） A． B．6 C． D．18 5．等比数列 中，，，则 （　　） A．24 B．21 C．27 D．30 6．等比数列 中，，，则 （　　） A．-5 B．5 C．-11 D．11 7．等比数列 中，，，则 （　　） A．2 B．3 C．-2 D． 8．数列 满足 ，，则 （　　） A．31 B．15 C．63 D．30 9．等比数列 中，，，求 与 。 10．已知等差数列 满足 ，，求 的前 3 项和。 11．数列 满足 ，，求 。 12．已知等差数列 的公差 ，且 ，， 成等比数列，求 。 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