专题1.2 等差数列专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题1.2 等差数列 考点预览 考点一 等差数列的定义与通项公式 考点二 等差中项 考点三 等差数列的前 项和 考点四 等差数列的性质 考点五 等差数列的综合应用 一、知识填空 1．等差数列的定义 （1）如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示。 （2）等差数列的数学表达式： （）。 2．等差数列的通项公式 （1） （首项为 ，公差为 ）。 （2） 可看作关于 的一次函数（ 时），图象上各点（，）在 上。 3．等差中项 （1）由三个数 ，， 组成的等差数列中， 叫做 与 的等差中项，且 。 （2）数列 为等差数列 （）。 4．等差数列的前 项和 （1） （用 ，， 表示）。 （2） （用 ，， 表示）； 在 时是关于 的二次函数（无常数项）。 5．等差数列的性质 （1）若 （），则 。 （2），， 构成 数列。 二、考点专练 考点一 等差数列的定义与通项公式 方法与技巧： 1. 识别信号：判断数列是否为等差数列、由 与 求通项或指定项。 1. 操作流程：验证 是否恒等于同一常数；求通项直接用 ；也可用 。 1. 技巧·口诀：“后项减前项定公差，首项加差乘个数，跨项相减定项数”。 1. 易错点：判断等差要全项验证，只验证前几项不够； 时是常数列，也是等差数列。 【例题精讲】 1．已知等差数列 中，，，则 （　　） A．29 B．30 C．32 D．27 2．已知等差数列 中，，，求 。 【变式训练】 1．等差数列 中，，，则公差 （　　） A．2 B．3 C．1 D．-2 2．等差数列 中，，，则 （　　） A．15 B．17 C．13 D．11 3．下列数列中是等差数列的是（　　） A．，，，，… B．，，，，… C．，，，，… D．，，，，… 【巩固练习】 1．等差数列 中，，，则 （　　） A．15 B．16 C．17 D．14 2．等差数列 中，，，则 （　　） A．1 B．-2 C．2 D．0 3．等差数列 中，，，则 （　　） A．3 B．4 C．2 D．-3 4．等差数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 5．在等差数列 中，若 ，则 （　　） A．8 B．16 C．4 D．32 6．数列 满足 ，，则 （　　） A．298 B．300 C．301 D．296 7．已知等差数列 的通项 ，则公差 （　　） A．4 B．-3 C．1 D．-4 8．在 3 与 27 之间插入 3 个数，使这 5 个数成等差数列，则插入的 3 个数为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 考点二 等差中项 方法与技巧： 1. 识别信号：三个数成等差数列、已知两项求中间项、用等差中项证明或求参。 1. 操作流程：；等价形式 ；三项成等差常设为 ，，。 1. 技巧·口诀：“中项乘二等于和，三项对称设中项”。 1. 易错点：等差中项公式是 ，即 A 是 a 与 b 和的一半，不要记成乘积形式；任意两个实数都有且只有一个等差中项。 【例题精讲】 1． 与 的等差中项为（　　） A．11 B．12 C．10 D．22 2．已知 ，， 成等差数列，则 （　　） A．8 B．4 C．2 D．16 【变式训练】 1． 与 的等差中项为（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，， 成等差数列（即 为等差中项），且 ，，则 （　　） A．7 B．14 C．8 D．6 3．三个数成等差数列，其和为 ，则中间数为（　　） A．4 B．6 C．3 D．12 【巩固练习】 1． 与 的等差中项为（　　） A．3 B．6 C．-3 D．2 2．已知 ，， 成等差数列，则 （　　） A．2 B．3 C．4 D．1 3．在等差数列 中，，则 （　　） A．5 B．10 C．2.5 D．20 4．三个数 ，， 成等差数列，则 （　　） A．6 B．5 C．8 D．4 5．已知四个数 ，，， 成等差数列，则 （　　） A．8 B．10 C．6 D．4 6． 与 的等差中项为（　　） A． B． C． D． 7．在等差数列 中，，则 （　　） A．14 B．7 C．21 D．3.5 8．已知 ，， 成等差数列，则 （　　） A．3 B．2 C．4 D．5 考点三 等差数列的前 项和 方法与技巧： 1. 识别信号：已知 ，，，， 中的若干个，求其余量。 1. 操作流程：两个公式选用——知 与 用 ；知 与 用 ；知三求二，列方程（组）。 1. 技巧·口诀：“和分首尾乘个数，或用首项加半差，知三求二列方程”。 1. 易错点： 中是 而不是 ； 与 混淆（，）。 【例题精讲】 1．等差数列 中，，，求 。 2．等差数列 中，，，求 。 【变式训练】 1．等差数列 中，，，则 （　　） A．2 B．3 C．1 D．-2 2．等差数列 中，，，则 （　　） A．76 B．88 C．80 D．84 3．等差数列 中，，，则 （　　） A．90 B．75 C．85 D．80 【巩固练习】 1．等差数列 中，，，则 （　　） A．3 B．0 C．6 D．-3 2．等差数列 中，，，则 （　　） A．66 B．63 C．72 D．60 3．等差数列 中，，则 （　　） A．4 B．6 C．12 D．2 4．等差数列 中，，，则 （　　） A．1 B． C． D．2 5．等差数列 的前 项和 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．等差数列 中，，，则 取得最大值时 （　　） A．5 或 6 B．4 C．6 D．5 7．已知等差数列 中 ，，则 （　　） A．15 B．10 C．20 D．25 8．等差数列 中，，，则 （　　） A．81 B．90 C．99 D．108 考点四 等差数列的性质 方法与技巧： 1. 识别信号：下标之和相等求和、隔项等差、 的片段和结构、奇偶项求和。 1. 操作流程：若 ，则 ；片段和 ，， 成等差（公差 ）；奇数项和与偶数项和联系：（项数为奇数时）。 1. 技巧·口诀：“下标和等项和等，片段和差成等差；奇项和减偶项和，恰是正中那一项”。 1. 易错点： 是错误的（下标相加不等于项相加）；片段和成等差的公差是 而非 。 【例题精讲】 1．等差数列 中，，则 （　　） A．10 B．20 C．5 D．15 2．等差数列 中，，，则 （　　） A．77 B．66 C．88 D．55 【变式训练】 1．等差数列 中，，则 （　　） A．6 B．12 C．3 D．24 2．等差数列 中，，则 （　　） A．7 B．5 C．35 D．14 3．等差数列 的公差为 ，则 ，， 构成（　　） A．公差为 的等差数列 B．公差为 的等差数列 C．公差为 4d 的等差数列 D．公差为 的等差数列 【巩固练习】 1．等差数列 中，，则 （　　） A．5 B．3 C．15 D．9 2．等差数列 中，，则 （　　） A．21 B．18 C．27 D．24 3．等差数列 中，，则 （　　） A．72 B．64 C．80 D．40 4．等差数列 中，，，则 （　　） A．8 B．6 C．16 D．3 5．等差数列 中，若 为偶数项和，，（　　） A．12 B．10 C．6 D．24 6．等差数列 中，，则 （　　） A．65 B．70 C．60 D．35 7．等差数列 中，，，则 （　　） A．90 B．100 C．80 D．45 8．等差数列 中，，则 （　　） A．20 B．10 C．40 D．50 考点五 等差数列的综合应用 方法与技巧： 1. 识别信号：求 的最值、判断证明等差数列、实际问题（增长率、排队、阶梯计价）。 1. 操作流程：求 最值两法——一是求出使 、 的 ；二是将 配方或用二次函数性质。证明等差用定义：验证 为同一常数。 1. 技巧·口诀：“正项停在前，负项跟在后；和的最值看变号”。 1. 易错点： 时 与 同为最值；实际问题中 为正整数，需取整检验。 【例题精讲】 1．等差数列 中，，，求 的最大值。 2．已知数列 满足 ，，求证：数列 为等差数列，并求 。 【变式训练】 1．等差数列 中， 有最大值的条件是（　　） A． B． C． D． 2．等差数列 中，，则 （　　） A．30 B．60 C．15 D．20 3．在等差数列 中，，，则 取得最小值时 （　　） A．3 或 4 B．4 C．3 D．5 【巩固练习】 1．等差数列 中，，，则 （　　） A．30 B．40 C．50 D．20 2．等差数列 中，，则 （　　） A．6 B．3 C．9 D．12 3．已知等差数列 的前 项和 ，则 的最大值为（　　） A．16 B．15 C．17 D．18 4．等差数列 中，，，求 。 5．等差数列 中，，，则 （　　） A．9 B．-9 C．18 D．0 6．某人第 1 天存 10 元，以后每天比前一天多存 2 元，则第 30 天共存钱（　　） A．1170 元 B．1140 元 C．1200 元 D．600 元 7．等差数列 中，，，则 （　　） A．54 B．42 C．48 D．60 8．已知等差数列 满足 恒成立，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 三、达标检测 1．等差数列 中，，，则 （　　） A．21 B．23 C．19 D．25 2．已知 ，， 成等差数列，则 （　　） A．5 B．4 C．6 D．10 3．等差数列 中，，，则 （　　） A．100 B．90 C．110 D．80 4．等差数列 中，，则 （　　） A．49 B．28 C．56 D．42 5．等差数列 中，，，则 （　　） A．33 B．46 C．40 D．37 6．在等差数列 中，，，则 （　　） A．9 B．8 C．10 D．7 7．等差数列 中，，则 （　　） A． B． C． D． 8．等差数列 中，，， 的最大值为（　　） A．77 B．70 C．84 D．80 9．等差数列 中，，求 。 10．已知数列 满足 ，，求 。 11．等差数列 中，，，求 与 。 12．三个数成等差数列，其和为 15，积为 80，求这三个数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 等差数列 考点预览 考点一 等差数列的定义与通项公式 考点二 等差中项 考点三 等差数列的前 项和 考点四 等差数列的性质 考点五 等差数列的综合应用 一、知识填空 1．等差数列的定义 （1）如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示。 （2）等差数列的数学表达式： （）。 2．等差数列的通项公式 （1） （首项为 ，公差为 ）。 （2） 可看作关于 的一次函数（ 时），图象上各点（，）在 上。 3．等差中项 （1）由三个数 ，， 组成的等差数列中， 叫做 与 的等差中项，且 。 （2）数列 为等差数列 （）。 4．等差数列的前 项和 （1） （用 ，， 表示）。 （2） （用 ，， 表示）； 在 时是关于 的二次函数（无常数项）。 5．等差数列的性质 （1）若 （），则 。 （2），， 构成 数列。 自检自纠： 1．（1）同一个常数；公差 （2） 2．（1） （2）一条直线 3．（1） （2） 4．（1） （2） 5．（1） （2）等差 二、考点专练 考点一 等差数列的定义与通项公式 方法与技巧： 1. 识别信号：判断数列是否为等差数列、由 与 求通项或指定项。 1. 操作流程：验证 是否恒等于同一常数；求通项直接用 ；也可用 。 1. 技巧·口诀：“后项减前项定公差，首项加差乘个数，跨项相减定项数”。 1. 易错点：判断等差要全项验证，只验证前几项不够； 时是常数列，也是等差数列。 【例题精讲】 1．已知等差数列 中，，，则 （　　） A．29 B．30 C．32 D．27 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．已知等差数列 中，，，求 。 【答案】 【详解】，，故 。 【变式训练】 1．等差数列 中，，，则公差 （　　） A．2 B．3 C．1 D．-2 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．等差数列 中，，，则 （　　） A．15 B．17 C．13 D．11 【答案】A 【详解】，。故选 A。 3．下列数列中是等差数列的是（　　） A．，，，，… B．，，，，… C．，，，，… D．，，，，… 【答案】C 【详解】C 中相邻两项之差恒为 ，是等差数列；A 的后一项总是前一项的 2 倍，B 是摆动，C 差恒定，D 为平方数列。故选 C。 【巩固练习】 1．等差数列 中，，，则 （　　） A．15 B．16 C．17 D．14 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．等差数列 中，，，则 （　　） A．1 B．-2 C．2 D．0 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．等差数列 中，，，则 （　　） A．3 B．4 C．2 D．-3 【答案】A 【详解】。故选 A。 4．等差数列 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。故选 A。 5．在等差数列 中，若 ，则 （　　） A．8 B．16 C．4 D．32 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 6．数列 满足 ，，则 （　　） A．298 B．300 C．301 D．296 【答案】A 【详解】。故选 A。 7．已知等差数列 的通项 ，则公差 （　　） A．4 B．-3 C．1 D．-4 【答案】A 【详解】。故选 A。 8．在 3 与 27 之间插入 3 个数，使这 5 个数成等差数列，则插入的 3 个数为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】，插入的数为 ，，。故选 A。 考点二 等差中项 方法与技巧： 1. 识别信号：三个数成等差数列、已知两项求中间项、用等差中项证明或求参。 1. 操作流程：；等价形式 ；三项成等差常设为 ，，。 1. 技巧·口诀：“中项乘二等于和，三项对称设中项”。 1. 易错点：等差中项公式是 ，即 A 是 a 与 b 和的一半，不要记成乘积形式；任意两个实数都有且只有一个等差中项。 【例题精讲】 1． 与 的等差中项为（　　） A．11 B．12 C．10 D．22 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．已知 ，， 成等差数列，则 （　　） A．8 B．4 C．2 D．16 【答案】A 【详解】由等差中项性质 。故选 A。 【变式训练】 1． 与 的等差中项为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．已知 ，， 成等差数列（即 为等差中项），且 ，，则 （　　） A．7 B．14 C．8 D．6 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 3．三个数成等差数列，其和为 ，则中间数为（　　） A．4 B．6 C．3 D．12 【答案】A 【详解】设三数为 ，，，和为 ，故中间数 。故选 A。 【巩固练习】 1． 与 的等差中项为（　　） A．3 B．6 C．-3 D．2 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．已知 ，， 成等差数列，则 （　　） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】A 【详解】，解得 。故选 A。 3．在等差数列 中，，则 （　　） A．5 B．10 C．2.5 D．20 【答案】A 【详解】 为 与 的等差中项，。故选 A。 4．三个数 ，， 成等差数列，则 （　　） A．6 B．5 C．8 D．4 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．已知四个数 ，，， 成等差数列，则 （　　） A．8 B．10 C．6 D．4 【答案】A 【详解】公差 ，，，故 。故选 A。 6． 与 的等差中项为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 7．在等差数列 中，，则 （　　） A．14 B．7 C．21 D．3.5 【答案】A 【详解】。故选 A。 8．已知 ，， 成等差数列，则 （　　） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【详解】，。故选 A。 考点三 等差数列的前 项和 方法与技巧： 1. 识别信号：已知 ，，，， 中的若干个，求其余量。 1. 操作流程：两个公式选用——知 与 用 ；知 与 用 ；知三求二，列方程（组）。 1. 技巧·口诀：“和分首尾乘个数，或用首项加半差，知三求二列方程”。 1. 易错点： 中是 而不是 ； 与 混淆（，）。 【例题精讲】 1．等差数列 中，，，求 。 【答案】 【详解】。 2．等差数列 中，，，求 。 【答案】 【详解】。 【变式训练】 1．等差数列 中，，，则 （　　） A．2 B．3 C．1 D．-2 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 2．等差数列 中，，，则 （　　） A．76 B．88 C．80 D．84 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．等差数列 中，，，则 （　　） A．90 B．75 C．85 D．80 【答案】A 【详解】，，。故选 A。 【巩固练习】 1．等差数列 中，，，则 （　　） A．3 B．0 C．6 D．-3 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．等差数列 中，，，则 （　　） A．66 B．63 C．72 D．60 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．等差数列 中，，则 （　　） A．4 B．6 C．12 D．2 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 4．等差数列 中，，，则 （　　） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 5．等差数列 的前 项和 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】（），且 成立。故选 A。 6．等差数列 中，，，则 取得最大值时 （　　） A．5 或 6 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【详解】，，，故 最大。故选 A。 7．已知等差数列 中 ，，则 （　　） A．15 B．10 C．20 D．25 【答案】A 【详解】。故选 A。 8．等差数列 中，，，则 （　　） A．81 B．90 C．99 D．108 【答案】A 【详解】，。故选 A。 考点四 等差数列的性质 方法与技巧： 1. 识别信号：下标之和相等求和、隔项等差、 的片段和结构、奇偶项求和。 1. 操作流程：若 ，则 ；片段和 ，， 成等差（公差 ）；奇数项和与偶数项和联系：（项数为奇数时）。 1. 技巧·口诀：“下标和等项和等，片段和差成等差；奇项和减偶项和，恰是正中那一项”。 1. 易错点： 是错误的（下标相加不等于项相加）；片段和成等差的公差是 而非 。 【例题精讲】 1．等差数列 中，，则 （　　） A．10 B．20 C．5 D．15 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 2．等差数列 中，，，则 （　　） A．77 B．66 C．88 D．55 【答案】A 【详解】，；。故选 A。 【变式训练】 1．等差数列 中，，则 （　　） A．6 B．12 C．3 D．24 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 2．等差数列 中，，则 （　　） A．7 B．5 C．35 D．14 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 3．等差数列 的公差为 ，则 ，， 构成（　　） A．公差为 的等差数列 B．公差为 的等差数列 C．公差为 4d 的等差数列 D．公差为 的等差数列 【答案】A 【详解】片段和 ，， 成等差，公差为 ；此处 ，公差为 。故选 A。 【巩固练习】 1．等差数列 中，，则 （　　） A．5 B．3 C．15 D．9 【答案】A 【详解】，故 ，。故选 A。 2．等差数列 中，，则 （　　） A．21 B．18 C．27 D．24 【答案】A 【详解】，，。故选 A。 3．等差数列 中，，则 （　　） A．72 B．64 C．80 D．40 【答案】A 【详解】。故选 A。 4．等差数列 中，，，则 （　　） A．8 B．6 C．16 D．3 【答案】A 【详解】 为 与 的等差中项，。故选 A。 5．等差数列 中，若 为偶数项和，，（　　） A．12 B．10 C．6 D．24 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 6．等差数列 中，，则 （　　） A．65 B．70 C．60 D．35 【答案】A 【详解】。故选 A。 7．等差数列 中，，，则 （　　） A．90 B．100 C．80 D．45 【答案】A 【详解】。故选 A。 8．等差数列 中，，则 （　　） A．20 B．10 C．40 D．50 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 考点五 等差数列的综合应用 方法与技巧： 1. 识别信号：求 的最值、判断证明等差数列、实际问题（增长率、排队、阶梯计价）。 1. 操作流程：求 最值两法——一是求出使 、 的 ；二是将 配方或用二次函数性质。证明等差用定义：验证 为同一常数。 1. 技巧·口诀：“正项停在前，负项跟在后；和的最值看变号”。 1. 易错点： 时 与 同为最值；实际问题中 为正整数，需取整检验。 【例题精讲】 1．等差数列 中，，，求 的最大值。 【答案】最大值为 【详解】；，，故 最大；。 2．已知数列 满足 ，，求证：数列 为等差数列，并求 。 【答案】， 【详解】由定义知 为同一常数，故为等差数列；；。 【变式训练】 1．等差数列 中， 有最大值的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 时 关于 的图象开口向下，有最大值。故选 A。 2．等差数列 中，，则 （　　） A．30 B．60 C．15 D．20 【答案】A 【详解】，。故选 A。 3．在等差数列 中，，，则 取得最小值时 （　　） A．3 或 4 B．4 C．3 D．5 【答案】A 【详解】，，，故 最小。故选 A。 【巩固练习】 1．等差数列 中，，，则 （　　） A．30 B．40 C．50 D．20 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．等差数列 中，，则 （　　） A．6 B．3 C．9 D．12 【答案】A 【详解】，故 。故选 A。 3．已知等差数列 的前 项和 ，则 的最大值为（　　） A．16 B．15 C．17 D．18 【答案】A 【详解】， 时取最大值 。故选 A。 4．等差数列 中，，，求 。 【答案】 【详解】。 5．等差数列 中，，，则 （　　） A．9 B．-9 C．18 D．0 【答案】A 【详解】，，。故选 A。 6．某人第 1 天存 10 元，以后每天比前一天多存 2 元，则第 30 天共存钱（　　） A．1170 元 B．1140 元 C．1200 元 D．600 元 【答案】A 【详解】 元。故选 A。 7．等差数列 中，，，则 （　　） A．54 B．42 C．48 D．60 【答案】A 【详解】，， 成等差，，， 等差得 ，。故选 A。 8．已知等差数列 满足 恒成立，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 对一切 成立，需 （若 ， 充分大时 ）。故选 A。 三、达标检测 1．等差数列 中，，，则 （　　） A．21 B．23 C．19 D．25 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．已知 ，， 成等差数列，则 （　　） A．5 B．4 C．6 D．10 【答案】A 【详解】。故选 A。 3．等差数列 中，，，则 （　　） A．100 B．90 C．110 D．80 【答案】A 【详解】。故选 A。 4．等差数列 中，，则 （　　） A．49 B．28 C．56 D．42 【答案】A 【详解】。故选 A。 5．等差数列 中，，，则 （　　） A．33 B．46 C．40 D．37 【答案】A 【详解】。故选 A。 6．在等差数列 中，，，则 （　　） A．9 B．8 C．10 D．7 【答案】A 【详解】。故选 A。 7．等差数列 中，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】（），且 成立。故选 A。 8．等差数列 中，，， 的最大值为（　　） A．77 B．70 C．84 D．80 【答案】A 【详解】，，。故选 A。 9．等差数列 中，，求 。 【答案】 【详解】，故 ，，。 10．已知数列 满足 ，，求 。 【答案】 【详解】，，。 11．等差数列 中，，，求 与 。 【答案】， 【详解】，故 ，。 12．三个数成等差数列，其和为 15，积为 80，求这三个数。 【答案】，，（或 ，，） 【详解】设三数为 ，，，则 ，；，，，，故三数为 ，，（次序可为 ，，）。 学科网（北京）股份有限公司 $