专题01 数列的概念及其表示（专项训练7大题型）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题01 数列的概念及其表示 （题型突破·举一反三） 题型一、数列的概念及辨析 题型二、根据规律求数列中的项 题型三、观察法求数列的通项公式 题型四、数列周期性的应用 题型五、判断数列的增减性 题型六、确定数列中的最大(小)项 题型七、根据数列的单调性求参数 求数列的最大项与最小项的常用方法 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项． （2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项． （3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为． 题型01 数列的概念及辨析 【典例1】有下列命题； ①数列的通项公式是； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列与数列是同一数列； ④数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【变式1-1】下列各项表示数列的是（    ） A．△，○，☆，□ B． C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D． 【变式1-2】下列说法错误的是（   ） A．数列的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列就是数列 D．数列中的项不能是三角形 【变式1-3】（2026·高二·湖北十堰·期末）下列说法中正确的是（    ） A．数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列 B．与集合中的元素要求互异类似，数列的项是不相同的 C．数列0，2，4，6，…可记为 D．已知，则数列是递增数列 题型02 根据规律求数列中的项 【典例2】（2026·高二·甘肃·期中）已知数列则这个数列的第25项为（ ） A． B． C．7 D． 【变式2-1】（2026·高二·安徽安庆·期末）数列为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，，，，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，，如此继续，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-2】（2026·高二·四川南充·阶段检测）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】的第9项是（   ） A． B． C． D．以上均不对 题型03 观察法求数列的通项公式 【典例3】（2026·高二·陕西汉中·期中）数列，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高二·江西吉安·阶段检测）已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高二·吉林长春·期中）已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高二·广东佛山·期中）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 题型04 数列周期性的应用 【典例4】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】设数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．3 【变式4-2】（2026·高二·甘肃白银·阶段检测）已知数列满足，若，则（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高二·甘肃兰州·阶段检测）已知数列满足，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 题型05 判断数列的增减性 【典例5】（2026·高二·河南南阳·阶段检测）设为数列的前n项和，,则“为递增数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式5-1】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）若数列是单调递减数列，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-3】（2026·高二·四川达州·期中）下列数列是单调递减数列的是（   ） A． B． C． D． 题型06 确定数列中的最大(小)项 【典例6】（2026·高三·四川绵阳·开学考试）已知数列的通项公式为，则数列最大的项的值为_________. 【变式6-1】（2026·高二·河北张家口·期末）已知数列的通项公式为，求使取得最大值时的n的值_________ 【变式6-2】已知数列的通项公式为，在下列说法中：①有最大项；②有最小项；③没有最大项；④没有最小项．正确的是________．（填序号） 【变式6-3】（2026·高二·广东广州·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前5项中的最大值是______. 题型07 根据数列的单调性求参数 【典例7】（2026·高二·辽宁辽阳·期末）已知数列的通项公式为，，若是递增数列，则的取值范围是______． 【变式7-1】（2026·高一·北京·期中）已知函数，若数列满足， （1）若为递增函数，则的取值范围为______； （2）若是递增数列，则的取值范围为______. 【变式7-2】（2026·高二·陕西·阶段检测）已知数列的通项公式为，且为递减数列，则实数的取值范围是______． 【变式7-3】（2026·高二·山东菏泽·期末）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是__________. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列的概念及其表示参考答案 题型01 数列的概念及辨析 【典例1】【答案】A 【解析】①，若，则，故①错误； ②，因为数列，所以数列的图象是一群孤立的点，故②正确； ③，数列的首项是，数列的首项是， 故不是同一个数列，故③错误； ④，易得逐渐变小，故该数列是递减数列，故④错误. 【变式1-1】【答案】B 【解析】由数列的定义得数列是指按照一定次序排列的一列数， 而不能是图形、文字、向量等，故B正确． 故选：B 【变式1-2】【答案】B 【解析】对于A，根据数列的相关概念，数列的第1项即为首项4，故A正确； 对于B，若数列是一个首项为3的常数列，则各项均等于3，故B错误； 对于C，根据数列的相关概念可知C正确； 对于D，数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确． 故选：B. 【变式1-3】【答案】D 【解析】选项A：数列是按一定顺序排列的一列数，具有有序性， 数列 与 的顺序完全不同，因此是两个不同的数列，A选项错误； 选项B：集合中的元素具有互异性，而数列的项可以重复。 例如常数列 就是一个合法的数列，B选项错误； 选项C：数列 的通项公式为 （）， 而 对应的数列是 ，首项为2，与题目中的首项0不符，C选项错误； 选项D：函数 是指数函数，底数 ，故 单调递增， 数列 是该函数在正整数点上的取值，所以是递增数列，D 选项正确. 故选：D. 题型02 根据规律求数列中的项 【典例2】【答案】B 【解析】根据数列前的几项可得，， 所以. 【变式2-1】【答案】A 【解析】由数列的构造方法可知，，，，可得 ， 即 ， 【变式2-2】【答案】B 【解析】数列 分子：，通项为； 分母：，通项为； 故数列通项为，第8项：. 【变式2-3】【答案】B 【解析】由题意可知，故第9项为． 故选：B 题型03 观察法求数列的通项公式 【典例3】【答案】A 【解析】对于数列，，，，…， 由观察法可得其通项公式可以为：，故A正确； 对于B，在通项公式中，取，可得，显然与数列第二项不符，故B错误； 对于C，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故C错误； 对于D，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故D错误. 【变式3-1】【答案】D 【解析】对于A：当为奇数时，；当为偶数时，，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于B：当时，；时，；时，，以此类推，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于C：根据余弦函数性质，，与B相同，所以是该数列的通项公式； 对于D：，与数列的对应项不符，故不是该数列的通项公式． 【变式3-2】【答案】B 【解析】当时， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B可以是； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故ACD错误，B正确. 【变式3-3】【答案】D 【解析】注意到四项的分子均为，分母均为，可得通项公式. 题型04 数列周期性的应用 【典例4】【答案】D 【解析】，，，，， 故是周期为的周期数列，且， 记数列的前项积为，所以. 【变式4-1】【答案】A 【解析】由， 则，， 所以数列的周期为4， 又， ，，， 故． 【变式4-2】【答案】B 【解析】因为，又，则，，， 所以数列是周期数列，且是数列的一个周期，则. 【变式4-3】【答案】A 【解析】由题意得，，，，，,， 则数列的周期为， 故. 题型05 判断数列的增减性 【典例5】【答案】A 【解析】已知，而， 充分性：若递增，则，，故递增，即充分性成立； 必要性：取数列的通项为，则，显然为递增数列，但为递减数列，故必要性不成立； “为递增数列”是“为递增数列”的充分非必要条件． 【变式5-1】【答案】A 【解析】对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 【变式5-2】【答案】D 【解析】数列，，，0，1，2，3，…是递增数列， 但不是递增数列，故不充分； 数列1，1，1，1，…的前项和为是递增数列， 但该数列不是递增数列，故不必要． 故选：D． 【变式5-3】【答案】A 【解析】数列是单调递减数列，都是单调递增数列． 题型06 确定数列中的最大(小)项 【典例6】【答案】 【解析】， 当时，， 当时，， 当时，分母，数列递减， 所以在处最大，最大项为. 【变式6-1】【答案】3 【解析】, 设， 则 ， 故为递减数列，而，，， 故当时，，当时，， 故当时，即； 当时，即， 故使取得最大值时的n的值为. 【变式6-2】【答案】①② 【解析】令，则是关于n的减函数， 则， 所以当即时取得最大为0，当即时取得最小为， 所以既有最大项又有最小项，故①和②正确． 故答案为：①② 【变式6-3】【答案】 【解析】由，得， 则数列的前5项中的最大值是. 故答案为：. 题型07 根据数列的单调性求参数 【典例7】【答案】 【解析】因为，， 所以，． 又因为数列为递增数列， 所以对恒成立， 即对恒成立， 化简整理得，对恒成立． 由二次函数性质知，当时，有最小值4， 所以， 故实数的取值范围是． 【变式7-1】【答案】 【解析】(1)若为上的递增函数，则，化简得， 解得，即的取值范围为. (2)若数列（）为递增数列，则，化简得， 解得，即的取值范围为. 【变式7-2】【答案】 【解析】因为，且为递减数列， 所以，即， 所以，故，因为，所以. 【变式7-3】【答案】 【解析】当时，， 而， 若是递增数列，则恒成立， 得到的最小值是，解得； 当时，， 若是递增数列，则恒成立， 即，解得，且，解得， 综上，，即. 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列的概念及其表示 （题型突破·举一反三） 题型一、数列的概念及辨析 题型二、根据规律求数列中的项 题型三、观察法求数列的通项公式 题型四、数列周期性的应用 题型五、判断数列的增减性 题型六、确定数列中的最大(小)项 题型七、根据数列的单调性求参数 求数列的最大项与最小项的常用方法 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项． （2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项． （3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为． 题型01 数列的概念及辨析 【典例1】有下列命题； ①数列的通项公式是； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列与数列是同一数列； ④数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【解析】①，若，则，故①错误； ②，因为数列，所以数列的图象是一群孤立的点，故②正确； ③，数列的首项是，数列的首项是， 故不是同一个数列，故③错误； ④，易得逐渐变小，故该数列是递减数列，故④错误. 【变式1-1】下列各项表示数列的是（    ） A．△，○，☆，□ B． C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D． 【答案】B 【解析】由数列的定义得数列是指按照一定次序排列的一列数， 而不能是图形、文字、向量等，故B正确． 故选：B 【变式1-2】下列说法错误的是（   ） A．数列的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列就是数列 D．数列中的项不能是三角形 【答案】B 【解析】对于A，根据数列的相关概念，数列的第1项即为首项4，故A正确； 对于B，若数列是一个首项为3的常数列，则各项均等于3，故B错误； 对于C，根据数列的相关概念可知C正确； 对于D，数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确． 故选：B. 【变式1-3】（2026·高二·湖北十堰·期末）下列说法中正确的是（    ） A．数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列 B．与集合中的元素要求互异类似，数列的项是不相同的 C．数列0，2，4，6，…可记为 D．已知，则数列是递增数列 【答案】D 【解析】选项A：数列是按一定顺序排列的一列数，具有有序性， 数列 与 的顺序完全不同，因此是两个不同的数列，A选项错误； 选项B：集合中的元素具有互异性，而数列的项可以重复。 例如常数列 就是一个合法的数列，B选项错误； 选项C：数列 的通项公式为 （）， 而 对应的数列是 ，首项为2，与题目中的首项0不符，C选项错误； 选项D：函数 是指数函数，底数 ，故 单调递增， 数列 是该函数在正整数点上的取值，所以是递增数列，D 选项正确. 故选：D. 题型02 根据规律求数列中的项 【典例2】（2026·高二·甘肃·期中）已知数列则这个数列的第25项为（ ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【解析】根据数列前的几项可得，， 所以. 【变式2-1】（2026·高二·安徽安庆·期末）数列为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，，，，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，，如此继续，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】由数列的构造方法可知，，，，可得 ， 即 ， 【变式2-2】（2026·高二·四川南充·阶段检测）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】数列 分子：，通项为； 分母：，通项为； 故数列通项为，第8项：. 【变式2-3】的第9项是（   ） A． B． C． D．以上均不对 【答案】B 【解析】由题意可知，故第9项为． 故选：B 题型03 观察法求数列的通项公式 【典例3】（2026·高二·陕西汉中·期中）数列，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于数列，，，，…， 由观察法可得其通项公式可以为：，故A正确； 对于B，在通项公式中，取，可得，显然与数列第二项不符，故B错误； 对于C，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故C错误； 对于D，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故D错误. 【变式3-1】（2026·高二·江西吉安·阶段检测）已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：当为奇数时，；当为偶数时，，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于B：当时，；时，；时，，以此类推，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于C：根据余弦函数性质，，与B相同，所以是该数列的通项公式； 对于D：，与数列的对应项不符，故不是该数列的通项公式． 【变式3-2】（2026·高二·吉林长春·期中）已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B可以是； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故ACD错误，B正确. 【变式3-3】（2026·高二·广东佛山·期中）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】注意到四项的分子均为，分母均为，可得通项公式. 题型04 数列周期性的应用 【典例4】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，，，， 故是周期为的周期数列，且， 记数列的前项积为，所以. 【变式4-1】设数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】由， 则，， 所以数列的周期为4， 又， ，，， 故． 【变式4-2】（2026·高二·甘肃白银·阶段检测）已知数列满足，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，又，则，，， 所以数列是周期数列，且是数列的一个周期，则. 【变式4-3】（2026·高二·甘肃兰州·阶段检测）已知数列满足，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，，，，,， 则数列的周期为， 故. 题型05 判断数列的增减性 【典例5】（2026·高二·河南南阳·阶段检测）设为数列的前n项和，,则“为递增数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】已知，而， 充分性：若递增，则，，故递增，即充分性成立； 必要性：取数列的通项为，则，显然为递增数列，但为递减数列，故必要性不成立； “为递增数列”是“为递增数列”的充分非必要条件． 【变式5-1】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）若数列是单调递减数列，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 【变式5-2】设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】数列，，，0，1，2，3，…是递增数列， 但不是递增数列，故不充分； 数列1，1，1，1，…的前项和为是递增数列， 但该数列不是递增数列，故不必要． 故选：D． 【变式5-3】（2026·高二·四川达州·期中）下列数列是单调递减数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】数列是单调递减数列，都是单调递增数列． 题型06 确定数列中的最大(小)项 【典例6】（2026·高三·四川绵阳·开学考试）已知数列的通项公式为，则数列最大的项的值为_________. 【答案】 【解析】， 当时，， 当时，， 当时，分母，数列递减， 所以在处最大，最大项为. 【变式6-1】（2026·高二·河北张家口·期末）已知数列的通项公式为，求使取得最大值时的n的值_________ 【答案】3 【解析】, 设， 则 ， 故为递减数列，而，，， 故当时，，当时，， 故当时，即； 当时，即， 故使取得最大值时的n的值为. 【变式6-2】已知数列的通项公式为，在下列说法中：①有最大项；②有最小项；③没有最大项；④没有最小项．正确的是________．（填序号） 【答案】①② 【解析】令，则是关于n的减函数， 则， 所以当即时取得最大为0，当即时取得最小为， 所以既有最大项又有最小项，故①和②正确． 故答案为：①② 【变式6-3】（2026·高二·广东广州·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前5项中的最大值是______. 【答案】 【解析】由，得， 则数列的前5项中的最大值是. 故答案为：. 题型07 根据数列的单调性求参数 【典例7】（2026·高二·辽宁辽阳·期末）已知数列的通项公式为，，若是递增数列，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】因为，， 所以，． 又因为数列为递增数列， 所以对恒成立， 即对恒成立， 化简整理得，对恒成立． 由二次函数性质知，当时，有最小值4， 所以， 故实数的取值范围是． 【变式7-1】（2026·高一·北京·期中）已知函数，若数列满足， （1）若为递增函数，则的取值范围为______； （2）若是递增数列，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】(1)若为上的递增函数，则，化简得， 解得，即的取值范围为. (2)若数列（）为递增数列，则，化简得， 解得，即的取值范围为. 【变式7-2】（2026·高二·陕西·阶段检测）已知数列的通项公式为，且为递减数列，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】因为，且为递减数列， 所以，即， 所以，故，因为，所以. 【变式7-3】（2026·高二·山东菏泽·期末）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】当时，， 而， 若是递增数列，则恒成立， 得到的最小值是，解得； 当时，， 若是递增数列，则恒成立， 即，解得，且，解得， 综上，，即. 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $