万有引力与航天 复习讲义-2026-2027学年高一下学期物理人教版必修第二册

高考物理一轮复习 · 万有引力与航天 · 体系化专题讲义（专题13　原卷版＋解析版） 专题13　引潮力与潮汐（原卷版） 一、情境引入 · 海边一天涨两次潮，背对月球的一侧也在涨潮——月球只往一个方向拉，背面的水为什么也鼓起来？ · 太阳对地球的引力约是月球的 178 倍，潮汐却主要由月球掀起——为什么近的月球胜过重的太阳？ 二、知识梳理 1. 引潮力：地球作为整体，在月球引力作用下的加速度等于地心处的 （ 为月球质量， 为月地距离）。海水各处受到的月球引力略有不同，某处的加速度减去地心处的加速度，就是该处海水相对地球的加速度，对应的力叫引潮力。 1. 两个水包：近月一侧，海水的加速度比地心大，相对地球“冲向”月球；远月一侧，海水的加速度比地心小，相对地球被“留在后面”。两侧都背离地心，大小约为 （ 为地球半径）；侧面的海水则被压向地心。于是形成两个水包，地球每自转一圈，各地经过两次涨潮。 1. 引潮力与距离的三次方成反比：引力 ，表示月球的引力场有多强；引潮力 ，表示在地球大小的范围内这个场变化有多大。太阳质量大但离得远，月球质量小但离得近；距离的三次方让月球占了上风，所以潮汐主要由月球引起。 1. 大潮与小潮：日、月、地大致在一条直线上时（新月、满月），两者的引潮力叠加，出现大潮；日、月方向互相垂直时（上弦、下弦），部分抵消，出现小潮。 1. 涨潮每天推迟：月球也在绕地球同向转动，地球要多转一点才能再次正对月球（会合周期，见专题 3），所以涨潮时刻每天推迟。 图 13-1　引潮力的来源与两个水包 易错　① 把引潮力当成月球对海水的全部引力。② 以为背对月球的一侧不会涨潮。③ 以为太阳引力大，掀起的潮也比月球大。 三、典例精析 【例13】（2023·河北卷）我国自古就有“昼涨为潮，夜涨为汐”之说，潮汐是月球和太阳对海水的引力变化产生的周期性涨落现象，常用引潮力来解释。月球对海水的引潮力大小与月球质量成正比、与月地距离的 3 次方成反比，方向如图 1，随着地球自转，引潮力的变化导致了海水每天 2 次的潮涨潮落。太阳对海水的引潮力与月球类似，但大小约为月球引潮力的 0.45 倍。每月 2 次大潮（引潮力最大）和 2 次小潮（引潮力最小）是太阳与月球引潮力共同作用的结果，结合图 2，下列说法正确的是（　　） A．月球在位置 1 时会出现大潮 B．月球在位置 2 时会出现大潮 C．涨潮总出现在白天，退潮总出现在夜晚 D．月球引潮力和太阳引潮力的合力一定大于月球引潮力 四、变式训练 【变式13-1】（2024·广西卷）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中 、 和 处单位质量的海水受月球引力大小在（　　） A． 处最大 B． 处最大 C． 处最大 D．、 处相等， 处最小 【变式13-2】（2026·贵州卷）月球引潮力是引起海洋潮汐的主要原因，可等效为地表某点处质量为 的海水所受月球引力减去地心处相同质量的物质所受月球引力。已知地球半径为 ，地心 与月心 间距为 ，月球质量为 ，引力常量为 ，地表 点背对月球，、 和 在同一直线上，如图所示，则 点处质量为 的海水所受月球引潮力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式13-3】（原创·近的胜过重的）已知太阳质量约为月球质量的 倍，日地距离约为月地距离的 390 倍。对地球上同一份海水： （1）太阳的引力是月球引力的多少倍？　（2）太阳的引潮力是月球引潮力的多少倍？ （3）简要说明为什么引力大的太阳，引潮力反而比月球小。 【变式13-4】（原创·潮为什么每天晚 50 分钟）地球自转周期（相对恒星）约为 23.9 h，月球绕地球公转的周期约为 27.3 天，二者转动方向相同。 （1）同一地点相邻两次看到月球位于正南方的时间间隔约为多少？ （2）同一地点相邻两次满潮的时间间隔约为多少？ （3）假如月球反向绕地球公转，相邻两次满潮的间隔约为多少？ 参考答案（原卷版） 专题13　引潮力与潮汐 例13　A 变式13-1　A 变式13-2　D 变式13-3　（1）约 178 倍；（2）约 0.46 倍；（3）引潮力取决于引力在地球大小范围内的变化，与距离的三次方成反比；太阳虽然引力大，但离得远，引力随距离变化平缓。 变式13-4　（1）约 24.8 h（24 h 50 min）；（2）约 12.4 h（12 h 25 min）；（3）约 11.5 h。 专题13　引潮力与潮汐（解析版） 一、情境引入 · 海边一天涨两次潮，背对月球的一侧也在涨潮——月球只往一个方向拉，背面的水为什么也鼓起来？ · 太阳对地球的引力约是月球的 178 倍，潮汐却主要由月球掀起——为什么近的月球胜过重的太阳？ 二、知识梳理 1. 引潮力：地球作为整体，在月球引力作用下的加速度等于地心处的 （ 为月球质量， 为月地距离）。海水各处受到的月球引力略有不同，某处的加速度减去地心处的加速度，就是该处海水相对地球的加速度，对应的力叫引潮力。 1. 两个水包：近月一侧，海水的加速度比地心大，相对地球“冲向”月球；远月一侧，海水的加速度比地心小，相对地球被“留在后面”。两侧都背离地心，大小约为 （ 为地球半径）；侧面的海水则被压向地心。于是形成两个水包，地球每自转一圈，各地经过两次涨潮。 1. 引潮力与距离的三次方成反比：引力 ，表示月球的引力场有多强；引潮力 ，表示在地球大小的范围内这个场变化有多大。太阳质量大但离得远，月球质量小但离得近；距离的三次方让月球占了上风，所以潮汐主要由月球引起。 1. 大潮与小潮：日、月、地大致在一条直线上时（新月、满月），两者的引潮力叠加，出现大潮；日、月方向互相垂直时（上弦、下弦），部分抵消，出现小潮。 1. 涨潮每天推迟：月球也在绕地球同向转动，地球要多转一点才能再次正对月球（会合周期，见专题 3），所以涨潮时刻每天推迟。 图 13-1　引潮力的来源与两个水包 易错　① 把引潮力当成月球对海水的全部引力。② 以为背对月球的一侧不会涨潮。③ 以为太阳引力大，掀起的潮也比月球大。 三、典例精析 【例13】（2023·河北卷）我国自古就有“昼涨为潮，夜涨为汐”之说，潮汐是月球和太阳对海水的引力变化产生的周期性涨落现象，常用引潮力来解释。月球对海水的引潮力大小与月球质量成正比、与月地距离的 3 次方成反比，方向如图 1，随着地球自转，引潮力的变化导致了海水每天 2 次的潮涨潮落。太阳对海水的引潮力与月球类似，但大小约为月球引潮力的 0.45 倍。每月 2 次大潮（引潮力最大）和 2 次小潮（引潮力最小）是太阳与月球引潮力共同作用的结果，结合图 2，下列说法正确的是（　　） A．月球在位置 1 时会出现大潮 B．月球在位置 2 时会出现大潮 C．涨潮总出现在白天，退潮总出现在夜晚 D．月球引潮力和太阳引潮力的合力一定大于月球引潮力 【解析】物理：引潮力沿日（月）地连线方向把海水拉长。位置 1 日、月、地共线，两个引潮力沿同一直线叠加，出现大潮，A 对。位置 2 时日、月方向互相垂直，一个拉长的方向恰好是另一个压扁的方向，部分抵消，是小潮，B 错；此时合力小于月球引潮力，D 错。两个水包随地球自转扫过各地，白天和夜晚都有涨潮、退潮，C 错。 【答案】A 四、变式训练 【变式13-1】（2024·广西卷）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中 、 和 处单位质量的海水受月球引力大小在（　　） A． 处最大 B． 处最大 C． 处最大 D．、 处相等， 处最小 【变式13-2】（2026·贵州卷）月球引潮力是引起海洋潮汐的主要原因，可等效为地表某点处质量为 的海水所受月球引力减去地心处相同质量的物质所受月球引力。已知地球半径为 ，地心 与月心 间距为 ，月球质量为 ，引力常量为 ，地表 点背对月球，、 和 在同一直线上，如图所示，则 点处质量为 的海水所受月球引潮力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式13-3】（原创·近的胜过重的）已知太阳质量约为月球质量的 倍，日地距离约为月地距离的 390 倍。对地球上同一份海水： （1）太阳的引力是月球引力的多少倍？　（2）太阳的引潮力是月球引潮力的多少倍？ （3）简要说明为什么引力大的太阳，引潮力反而比月球小。 【变式13-4】（原创·潮为什么每天晚 50 分钟）地球自转周期（相对恒星）约为 23.9 h，月球绕地球公转的周期约为 27.3 天，二者转动方向相同。 （1）同一地点相邻两次看到月球位于正南方的时间间隔约为多少？ （2）同一地点相邻两次满潮的时间间隔约为多少？ （3）假如月球反向绕地球公转，相邻两次满潮的间隔约为多少？ 参考答案与解析（解析版） 专题13　引潮力与潮汐 变式13-1　A 物理：单位质量海水受月球引力 ，只看到月心的距离 。 离月球最近，引力最大，A 对； 最远，引力最小。（引力不同，正是引潮力的来源。） 变式13-2　D 物理： 点在背对月球一侧，到月心的距离为 ，该处海水受月球引力 ；地心处同质量物质受月球引力 。引潮力等于两者之差，D 对。A、C 用的是距离的一次方，不是引力；B 用的 不是到月心的距离。（ 处引力比地心小，差值背离月球，所以背面也涨潮。） 变式13-3　（1）约 178 倍；（2）约 0.46 倍；（3）引潮力取决于引力在地球大小范围内的变化，与距离的三次方成反比；太阳虽然引力大，但离得远，引力随距离变化平缓。 代数：引力 ，；引潮力 ，。 物理：引力表示场有多强，引潮力表示在地球大小的范围内场变化了多少。太阳的场很强但在远处很平缓，月球的场弱但在近处很陡。 变式13-4　（1）约 24.8 h（24 h 50 min）；（2）约 12.4 h（12 h 25 min）；（3）约 11.5 h。 （1）物理（会合周期）：地球自转“追”月球，快的多转一圈，，代数得 。 （2）两个水包，一个会合周期内各地经过两次，间隔约 12.4 h。 （3）反向时两者角速度相加，，，两次满潮间隔约 11.5 h。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考物理一轮复习 · 万有引力与航天 · 体系化专题讲义（专题8　原卷版＋解析版） 专题8　角动量、椭圆轨道与轨道类型（原卷版） 一、情境引入 · 彗星在远处慢悠悠，靠近太阳时却猛地一甩而过——近处和远处的速度有什么关系？ · 从同一点以不同速度出发，轨迹可以是圆、椭圆、抛物线、双曲线——是什么决定了轨道的形状？ 二、知识梳理 1. 开普勒第二定律与角动量：行星所受引力始终指向中心天体，所以行星与中心天体的连线在相同时间内扫过相同的面积。只有垂直于连线的速度分量 在“扫面积”，因此 保持不变； 叫作角动量，只受指向中心的力时角动量守恒。 1. 近点与远点：在近点和远点，速度都垂直于连线，所以 。这个关系只能用于同一条轨道上的两点。 1. 椭圆轨道的机械能：只受引力时机械能守恒， 在轨道上处处相同。联立角动量关系可得 （ 为半长轴），机械能只由半长轴决定；圆轨道是 的特例。 1. 轨道类型看机械能的正负（在某点速度垂直于连线时）： 该点速度 机械能 轨道 椭圆（该点为远点） 圆 椭圆（该点为近点） 抛物线（恰好逃逸） 双曲线 图 8-1　同一点、速度垂直于连线，只改变速度大小得到的五种轨道 易错　① 在任意位置用“ 不变”（应为 不变）。② 拿两个不同的圆轨道套用 。③ 以为速度大于逃逸速度就会“撞上”中心天体。 三、典例精析 【例8】（2025·甘肃卷）如图，一小星球与某恒星中心距离为 时，小星球的速度大小为 、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为 ，引力常量为 。下列说法正确的是（　　） A．若 ，小星球做匀速圆周运动 B．若 ，小星球做抛物线运动 C．若 ，小星球做椭圆运动 D．若 ，小星球可能与恒星相撞 四、变式训练 【变式8-1】（2025·广东卷）一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的 5 倍和 7 倍。关于该小行星，下列说法正确的是（　　） A．公转周期约为 6 年 B．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小 C．从远日点到近日点线速度大小逐渐减小 D．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的 【变式8-2】（原创·彗星）某彗星绕太阳沿椭圆轨道运动，近日点到太阳中心的距离为 0.5 AU，远日点到太阳中心的距离为 35 AU（1 AU 为日地距离）。 （1）彗星在近日点的速度是远日点速度的多少倍？ （2）估算这颗彗星的公转周期。 【变式8-3】（原创·角动量与能量联立）质量为 的卫星沿椭圆轨道绕地球运动，近地点离地心 ，远地点离地心 。地球半径为 ，地面重力加速度为 ，引力势能 ，不考虑地球自转。 （1）求卫星在近地点的速度 ； （2）求卫星在远地点的速度 ； （3）求卫星的机械能 ，并与半径为 的圆轨道卫星的机械能比较。 【变式8-4】（2025·浙江卷，多选）月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示，月球半径为 ，表面重力加速度为 ，不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体，要求落在纬度 的 处，其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心 点，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则（　　） A．发射点离月面的高度 B．物体沿椭圆运动的周期为 C．此椭圆两焦点之间的距离为 D．若水平发射的速度为 ，发射高度为 ，则物体落到 处的速度为 参考答案（原卷版） 专题8　角动量、椭圆轨道与轨道类型 例8　A 变式8-1　D 变式8-2　（1）70 倍；（2）约 75 年。 变式8-3　（1）；（2）；（3），与半径为 的圆轨道卫星的机械能相同。 变式8-4　BC 专题8　角动量、椭圆轨道与轨道类型（解析版） 一、情境引入 · 彗星在远处慢悠悠，靠近太阳时却猛地一甩而过——近处和远处的速度有什么关系？ · 从同一点以不同速度出发，轨迹可以是圆、椭圆、抛物线、双曲线——是什么决定了轨道的形状？ 二、知识梳理 1. 开普勒第二定律与角动量：行星所受引力始终指向中心天体，所以行星与中心天体的连线在相同时间内扫过相同的面积。只有垂直于连线的速度分量 在“扫面积”，因此 保持不变； 叫作角动量，只受指向中心的力时角动量守恒。 1. 近点与远点：在近点和远点，速度都垂直于连线，所以 。这个关系只能用于同一条轨道上的两点。 1. 椭圆轨道的机械能：只受引力时机械能守恒， 在轨道上处处相同。联立角动量关系可得 （ 为半长轴），机械能只由半长轴决定；圆轨道是 的特例。 1. 轨道类型看机械能的正负（在某点速度垂直于连线时）： 该点速度 机械能 轨道 椭圆（该点为远点） 圆 椭圆（该点为近点） 抛物线（恰好逃逸） 双曲线 图 8-1　同一点、速度垂直于连线，只改变速度大小得到的五种轨道 易错　① 在任意位置用“ 不变”（应为 不变）。② 拿两个不同的圆轨道套用 。③ 以为速度大于逃逸速度就会“撞上”中心天体。 三、典例精析 【例8】（2025·甘肃卷）如图，一小星球与某恒星中心距离为 时，小星球的速度大小为 、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为 ，引力常量为 。下列说法正确的是（　　） A．若 ，小星球做匀速圆周运动 B．若 ，小星球做抛物线运动 C．若 ，小星球做椭圆运动 D．若 ，小星球可能与恒星相撞 【解析】物理：速度垂直于连线且引力恰好提供向心力 时做圆周运动，A 对。 物理（看机械能的正负）：。 时 ，是椭圆，B 错； 时 ，是抛物线，C 错； 时为双曲线，该点速度垂直于连线且大于圆周速度，是离恒星最近的点，此后越来越远，不会相撞，D 错。 【答案】A 四、变式训练 【变式8-1】（2025·广东卷）一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的 5 倍和 7 倍。关于该小行星，下列说法正确的是（　　） A．公转周期约为 6 年 B．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小 C．从远日点到近日点线速度大小逐渐减小 D．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的 【变式8-2】（原创·彗星）某彗星绕太阳沿椭圆轨道运动，近日点到太阳中心的距离为 0.5 AU，远日点到太阳中心的距离为 35 AU（1 AU 为日地距离）。 （1）彗星在近日点的速度是远日点速度的多少倍？ （2）估算这颗彗星的公转周期。 【变式8-3】（原创·角动量与能量联立）质量为 的卫星沿椭圆轨道绕地球运动，近地点离地心 ，远地点离地心 。地球半径为 ，地面重力加速度为 ，引力势能 ，不考虑地球自转。 （1）求卫星在近地点的速度 ； （2）求卫星在远地点的速度 ； （3）求卫星的机械能 ，并与半径为 的圆轨道卫星的机械能比较。 【变式8-4】（2025·浙江卷，多选）月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示，月球半径为 ，表面重力加速度为 ，不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体，要求落在纬度 的 处，其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心 点，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则（　　） A．发射点离月面的高度 B．物体沿椭圆运动的周期为 C．此椭圆两焦点之间的距离为 D．若水平发射的速度为 ，发射高度为 ，则物体落到 处的速度为 参考答案与解析（解析版） 专题8　角动量、椭圆轨道与轨道类型 变式8-1　D 物理（开普勒第三定律）：半长轴 ， 年 年，A 错。 物理：从远日点到近日点离太阳越来越近，引力越来越大，B 错；引力做正功，速度越来越大，C 错。 物理：加速度 ，近日点 ，是地球公转加速度的 ，D 对。 变式8-2　（1）70 倍；（2）约 75 年。 （1）物理（角动量）：，。 （2）物理（开普勒第三定律，以地球为比较对象）：半长轴 ， 年 年（与哈雷彗星相近）。 变式8-3　（1）；（2）；（3），与半径为 的圆轨道卫星的机械能相同。 物理（角动量）：。物理（能量守恒）：。 代数：用 ，，得 ，。。 半径 的圆轨道：。椭圆的机械能只由半长轴决定（）。 变式8-4　BC 物理（开普勒第三定律）：周期只由半长轴决定，，其中 ；周期最短，就是半长轴最短。 几何：月心 是椭圆的一个焦点。发射点速度水平、与半径垂直，是椭圆离月心最远的点，所以另一个焦点 也在竖直轴上。椭圆上任一点到两焦点的距离之和为 ，对 点：。 最短是 到竖直轴的垂直距离 ，这时 在 的正左方，，C 对。 代数：，半焦距 ；发射点到月心的距离 ，，A 错。，B 对。 物理：离月面越高引力越小，不是匀强的“重力”，不能用 ；应由 计算，D 错。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考物理一轮复习 · 万有引力与航天 · 体系化专题讲义（专题15　原卷版＋解析版） 专题15　黑洞（原卷版） 一、情境引入 · 银河系中心有一个看不见的点，S2 等恒星绕着它高速运转；2022 年公布的照片里，那里只有一圈亮环围着一片黑影——看不见的东西，怎么知道它有多重？ · 如果把整个地球压缩成黑洞，它只有一颗弹珠那么大（半径约 9 mm）——为什么压得足够小，连光也逃不出来？ · 黑洞常被说成“吞噬一切”——它的引力是不是在任何距离上都比同质量的恒星大？黑洞是不是一定“密得可怕”？ 二、知识梳理 1. 称：看它怎么拉别人：黑洞不发光，只能通过绕它运动的星体来“称”。测出星体的轨道半径（椭圆轨道用半长轴） 和周期 ，由“三步走”得中心天体的质量 。与地球绕太阳比较，两式相比，可以不用 ：。 1. 黑：逃逸速度达到光速：逃逸速度由天体的质量和半径决定（见专题 6）。质量不变，把天体压得越小，表面的逃逸速度越大；当它达到光速 时，连光也逃不出去，这样的天体就是黑洞，这时的天体表面所在的球面叫视界。中学阶段用牛顿力学作类比估算（不考虑相对论效应）；严格的理论是广义相对论，它给出的视界半径与这个估算恰好相同。 1. 远处并不可怕：均匀球体对外部物体的引力，等于把全部质量集中在球心（见专题 9）。所以在恒星表面以外，同质量的黑洞与恒星引力完全相同。不同在于：恒星的引力在其表面处最大，进入内部反而减小；黑洞没有表面挡着，物体可以一直靠近到视界，引力越来越大。 1. 引潮力：靠近一个几倍太阳质量的黑洞时，物体两端受到的引力差别（引潮力，见专题 13）会大到把物体沿径向拉长、撕碎。 1. 吸积盘为什么发光：落向黑洞的物质并不直接掉进去，而是一圈圈向内盘旋，形成吸积盘。每一圈都近似为圆轨道，轨道越低，机械能越小（见专题 7）；减少的机械能转化为内能，以电磁辐射的形式放出。 图 15-1　（a）同质量的恒星与黑洞，引力随距离的变化；（b）几种天体表面的逃逸速度 易错　① 以为黑洞的引力在任何距离上都比同质量的恒星大。② 以为由绕行星体的轨道半径和周期，也能求出绕行星体自身的质量。③ 用比值法称质量时，半径和周期没有统一用天文单位和年。 三、典例精析 【例15】（2026·北京海淀一模）黑洞是一种质量非常大、半径非常小的天体。天文学家跟踪观测了银河系中心附近恒星的运行轨迹，推测出银河系中心存在质量为 的黑洞。已知相距为 、质量分别为 和 的两质点之间的引力势能 ， 为引力常量。仅考虑黑洞对物质的引力作用。 （1）银河系中心黑洞会不断吞噬周围的星际物质，这些物质在被吞噬的过程中会先进入“吸积盘”，并产生电磁辐射。为了研究进入吸积盘中物质产生的电磁辐射，某同学建立如下简化模型：在被吞噬的过程中，吸积盘各处物质绕黑洞旋转，机械能不断转化为电磁辐射，在运动过程中其轨道半径不断减小，但每一圈的运动仍可视为匀速圆周运动。吸积盘中距离黑洞 到 （）的区域产生的电磁辐射功率为 ，吸积盘的吸积质量（单位时间内进入吸积盘的物质的质量）为 ，求黑洞质量 。 （2）某黑洞附近的 S0-2 星体绕其做椭圆运动。已知 S0-2 星体做椭圆运动的半长轴约为 、周期约为 ，估算黑洞质量 （ 取 ，结果保留一位有效数字）。 四、变式训练 【变式15-1】（原创·要压多小才是黑洞）已知质量分别为 、、相距为 的两质点之间的引力势能 （无穷远处为零），光速为 ，不考虑相对论效应。 （1）质量为 的天体，若连光也不能从它的表面逃到无穷远，它的半径 最大不能超过多少？ （2）太阳质量约为 ， 取 ，，若太阳在质量不变的情况下收缩成黑洞，它的半径最大约为多少？ （3）太阳表面的逃逸速度约为 。不用（2）的数据，只用这个条件求：太阳收缩成黑洞时，半径至少要缩小为原来的几分之一？ 【变式15-2】（原创·大黑洞反而“稀”）把质量为 的天体压缩到半径 时成为黑洞。 （1）证明黑洞的平均密度 ，即质量越大，平均密度越小； （2）取 ，，估算质量与太阳相同（）的黑洞的平均密度的数量级；质量约为太阳的多少倍时，黑洞的平均密度与水（）相同？ 参考答案（原卷版） 专题15　黑洞 例15　（1）；（2）约 变式15-1　（1）；（2）约 （约 3 km）；（3）至少缩小为原来的 。 变式15-2　（1），代入 即得；（2）约 （约 ）；约 倍。 专题15　黑洞（解析版） 一、情境引入 · 银河系中心有一个看不见的点，S2 等恒星绕着它高速运转；2022 年公布的照片里，那里只有一圈亮环围着一片黑影——看不见的东西，怎么知道它有多重？ · 如果把整个地球压缩成黑洞，它只有一颗弹珠那么大（半径约 9 mm）——为什么压得足够小，连光也逃不出来？ · 黑洞常被说成“吞噬一切”——它的引力是不是在任何距离上都比同质量的恒星大？黑洞是不是一定“密得可怕”？ 二、知识梳理 1. 称：看它怎么拉别人：黑洞不发光，只能通过绕它运动的星体来“称”。测出星体的轨道半径（椭圆轨道用半长轴） 和周期 ，由“三步走”得中心天体的质量 。与地球绕太阳比较，两式相比，可以不用 ：。 1. 黑：逃逸速度达到光速：逃逸速度由天体的质量和半径决定（见专题 6）。质量不变，把天体压得越小，表面的逃逸速度越大；当它达到光速 时，连光也逃不出去，这样的天体就是黑洞，这时的天体表面所在的球面叫视界。中学阶段用牛顿力学作类比估算（不考虑相对论效应）；严格的理论是广义相对论，它给出的视界半径与这个估算恰好相同。 1. 远处并不可怕：均匀球体对外部物体的引力，等于把全部质量集中在球心（见专题 9）。所以在恒星表面以外，同质量的黑洞与恒星引力完全相同。不同在于：恒星的引力在其表面处最大，进入内部反而减小；黑洞没有表面挡着，物体可以一直靠近到视界，引力越来越大。 1. 引潮力：靠近一个几倍太阳质量的黑洞时，物体两端受到的引力差别（引潮力，见专题 13）会大到把物体沿径向拉长、撕碎。 1. 吸积盘为什么发光：落向黑洞的物质并不直接掉进去，而是一圈圈向内盘旋，形成吸积盘。每一圈都近似为圆轨道，轨道越低，机械能越小（见专题 7）；减少的机械能转化为内能，以电磁辐射的形式放出。 图 15-1　（a）同质量的恒星与黑洞，引力随距离的变化；（b）几种天体表面的逃逸速度 易错　① 以为黑洞的引力在任何距离上都比同质量的恒星大。② 以为由绕行星体的轨道半径和周期，也能求出绕行星体自身的质量。③ 用比值法称质量时，半径和周期没有统一用天文单位和年。 三、典例精析 【例15】（2026·北京海淀一模）黑洞是一种质量非常大、半径非常小的天体。天文学家跟踪观测了银河系中心附近恒星的运行轨迹，推测出银河系中心存在质量为 的黑洞。已知相距为 、质量分别为 和 的两质点之间的引力势能 ， 为引力常量。仅考虑黑洞对物质的引力作用。 （1）银河系中心黑洞会不断吞噬周围的星际物质，这些物质在被吞噬的过程中会先进入“吸积盘”，并产生电磁辐射。为了研究进入吸积盘中物质产生的电磁辐射，某同学建立如下简化模型：在被吞噬的过程中，吸积盘各处物质绕黑洞旋转，机械能不断转化为电磁辐射，在运动过程中其轨道半径不断减小，但每一圈的运动仍可视为匀速圆周运动。吸积盘中距离黑洞 到 （）的区域产生的电磁辐射功率为 ，吸积盘的吸积质量（单位时间内进入吸积盘的物质的质量）为 ，求黑洞质量 。 （2）某黑洞附近的 S0-2 星体绕其做椭圆运动。已知 S0-2 星体做椭圆运动的半长轴约为 、周期约为 ，估算黑洞质量 （ 取 ，结果保留一位有效数字）。 【解析】（1）物理（圆轨道的能量）：质量为 的物质在半径 处做圆周运动，，，机械能 。 物理（能量守恒）：单位时间内有质量 的物质从 盘旋到 ，减少的机械能全部变成辐射，所以辐射功率 。代数：。 （2）物理（三步走，把椭圆近似为半径为 的圆）：。代数：，约为太阳质量的 200 万倍。 【答案】（1）；（2）约 四、变式训练 【变式15-1】（原创·要压多小才是黑洞）已知质量分别为 、、相距为 的两质点之间的引力势能 （无穷远处为零），光速为 ，不考虑相对论效应。 （1）质量为 的天体，若连光也不能从它的表面逃到无穷远，它的半径 最大不能超过多少？ （2）太阳质量约为 ， 取 ，，若太阳在质量不变的情况下收缩成黑洞，它的半径最大约为多少？ （3）太阳表面的逃逸速度约为 。不用（2）的数据，只用这个条件求：太阳收缩成黑洞时，半径至少要缩小为原来的几分之一？ 【变式15-2】（原创·大黑洞反而“稀”）把质量为 的天体压缩到半径 时成为黑洞。 （1）证明黑洞的平均密度 ，即质量越大，平均密度越小； （2）取 ，，估算质量与太阳相同（）的黑洞的平均密度的数量级；质量约为太阳的多少倍时，黑洞的平均密度与水（）相同？ 参考答案与解析（解析版） 专题15　黑洞 变式15-1　（1）；（2）约 （约 3 km）；（3）至少缩小为原来的 。 （1）物理：物体从天体表面恰好逃到无穷远，到达时速度为零，，代数得逃逸速度 。物理：连光都逃不掉，要求 ，即 。 （2）代数：。太阳现在的半径约 ，要压缩二十多万倍。 （3）物理：质量不变，逃逸速度 ；要从 变成 ，速度变为 500 倍，半径要变为 。与（2）的结果（约 ）一致。 变式15-2　（1），代入 即得；（2）约 （约 ）；约 倍。 （1）代数：。物理：半径与质量成正比，体积却与质量的三次方成正比，所以质量越大，平均密度越小。 （2）代入数据，，比原子核还密。，。超大质量黑洞的平均密度可以和水差不多——“大黑洞反而稀”。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考物理一轮复习 · 万有引力与航天 · 体系化专题讲义（专题6　原卷版＋解析版） 专题6　引力势能与第二宇宙速度（原卷版） 一、情境引入 · 物体以 离开地面，就能永远飞离地球，不再回来——为什么有这样一个“门槛”速度？ · 按 算，把物体送到无穷远需要无穷多的能量——可实际上为什么是有限的？ 二、知识梳理 1. 引力做功：功等于 – 图线下的面积。引力 随距离增大而迅速减小，图线下从 一直延伸到无穷远的面积是有限的：把物体从 移到无穷远，克服引力做功 。 1. 引力势能：规定无穷远处势能为零，则 。势能为负，表示物体在引力“井”里，要再得到 的能量才能到达无穷远。引力做的功等于势能的减少量：。 1. 与 的关系：从 升到 ，；当 时 。 只是地面附近的近似。 1. 第二宇宙速度：物体恰好能到达无穷远时，，得 ，与发射方向无关。 图 6-1　引力的 – 图像：图线下的面积表示功 易错　① 外力做的功与引力做的功符号相反。② 中的 是到球心的距离，不是离地高度。③ 题目可能把势能零点放在星球表面，此时要按题目给出的表达式计算。 三、典例精析 【例6】（2025·河北卷）从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半径为 ，表面重力加速度为 。质量为 的飞行器与星球中心距离为 时，引力势能为 （）。要使飞行器在距星球表面高度为 的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为（　　） A． B． C． D． 四、变式训练 【变式6-1】（原创· 什么时候不准）把质量为 的物体从地面移到离地高 处。地球质量为 、半径为 ，地面重力加速度为 ，不考虑地球自转。 （1）用 求势能的增加量 ； （2）证明 时，； （3）若 ， 是多少？用 计算会偏大还是偏小？偏多少？ 【变式6-2】（原创）某星球质量是地球的 2 倍，半径是地球的 。该星球的第二宇宙速度是地球第二宇宙速度的（　　） A． 倍 B．2 倍 C． 倍 D．4 倍 【变式6-3】（2024·北京卷）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点 为观测点，以质量为 的小星体（记为 P）为观测对象。当前 P 到 点的距离为 ，宇宙的密度为 。 （1）求小星体 P 远离到 处时宇宙的密度 ； （2）以 点为球心，以小星体 P 到 点的距离为半径建立球面。P 受到的万有引力相当于球内质量集中于 点对 P 的引力。已知质量为 和 、距离为 的两个质点间的引力势能 ， 为引力常量。仅考虑万有引力和 P 远离 点的径向运动。 a．求小星体 P 从 处远离到 处的过程中动能的变化量 ； b．宇宙中各星体远离观测点的速率 满足哈勃定律 ，其中 为星体到观测点的距离， 为哈勃系数。 与时间 有关但与 无关，分析说明 随 增大还是减小。 【变式6-4】（原创·竖直上抛能多高）从地面以第一宇宙速度 竖直向上发射一个物体，不计空气阻力和地球自转，地球半径为 ，地面重力加速度为 。 （1）物体上升的最大高度 是多少？ （2）若错误地用 计算势能，得到的最大高度是多少？两者相差多少？ 参考答案（原卷版） 专题6　引力势能与第二宇宙速度 例6　B 变式6-1　（1）；（2） 时 ，故 ；（3），用 计算得 ，偏大一倍。 变式6-2　B 变式6-3　（1）；（2）a．（动能减少）；b． 随 增大而减小。 变式6-4　（1）；（2）用 算得 ，只有真实值的一半。 专题6　引力势能与第二宇宙速度（解析版） 一、情境引入 · 物体以 离开地面，就能永远飞离地球，不再回来——为什么有这样一个“门槛”速度？ · 按 算，把物体送到无穷远需要无穷多的能量——可实际上为什么是有限的？ 二、知识梳理 1. 引力做功：功等于 – 图线下的面积。引力 随距离增大而迅速减小，图线下从 一直延伸到无穷远的面积是有限的：把物体从 移到无穷远，克服引力做功 。 1. 引力势能：规定无穷远处势能为零，则 。势能为负，表示物体在引力“井”里，要再得到 的能量才能到达无穷远。引力做的功等于势能的减少量：。 1. 与 的关系：从 升到 ，；当 时 。 只是地面附近的近似。 1. 第二宇宙速度：物体恰好能到达无穷远时，，得 ，与发射方向无关。 图 6-1　引力的 – 图像：图线下的面积表示功 易错　① 外力做的功与引力做的功符号相反。② 中的 是到球心的距离，不是离地高度。③ 题目可能把势能零点放在星球表面，此时要按题目给出的表达式计算。 三、典例精析 【例6】（2025·河北卷）从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半径为 ，表面重力加速度为 。质量为 的飞行器与星球中心距离为 时，引力势能为 （）。要使飞行器在距星球表面高度为 的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为（　　） A． B． C． D． 【解析】物理：轨道半径 ，引力提供向心力 ，又 ，得 。 物理：只有引力做功，机械能守恒（按题给势能，零点在表面）：。 代数：，。 【答案】B 四、变式训练 【变式6-1】（原创· 什么时候不准）把质量为 的物体从地面移到离地高 处。地球质量为 、半径为 ，地面重力加速度为 ，不考虑地球自转。 （1）用 求势能的增加量 ； （2）证明 时，； （3）若 ， 是多少？用 计算会偏大还是偏小？偏多少？ 【变式6-2】（原创）某星球质量是地球的 2 倍，半径是地球的 。该星球的第二宇宙速度是地球第二宇宙速度的（　　） A． 倍 B．2 倍 C． 倍 D．4 倍 【变式6-3】（2024·北京卷）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点 为观测点，以质量为 的小星体（记为 P）为观测对象。当前 P 到 点的距离为 ，宇宙的密度为 。 （1）求小星体 P 远离到 处时宇宙的密度 ； （2）以 点为球心，以小星体 P 到 点的距离为半径建立球面。P 受到的万有引力相当于球内质量集中于 点对 P 的引力。已知质量为 和 、距离为 的两个质点间的引力势能 ， 为引力常量。仅考虑万有引力和 P 远离 点的径向运动。 a．求小星体 P 从 处远离到 处的过程中动能的变化量 ； b．宇宙中各星体远离观测点的速率 满足哈勃定律 ，其中 为星体到观测点的距离， 为哈勃系数。 与时间 有关但与 无关，分析说明 随 增大还是减小。 【变式6-4】（原创·竖直上抛能多高）从地面以第一宇宙速度 竖直向上发射一个物体，不计空气阻力和地球自转，地球半径为 ，地面重力加速度为 。 （1）物体上升的最大高度 是多少？ （2）若错误地用 计算势能，得到的最大高度是多少？两者相差多少？ 参考答案与解析（解析版） 专题6　引力势能与第二宇宙速度 变式6-1　（1）；（2） 时 ，故 ；（3），用 计算得 ，偏大一倍。 （1）代数：，再用 。 （2） 时 ，。 （3） 时 ，而 ，偏大一倍。 把高处的引力也当作 ，而实际引力越往上越小，所以偏大。 变式6-2　B 物理：，。代数：。 变式6-3　（1）；（2）a．（动能减少）；b． 随 增大而减小。 （1）物理：球面跟着 P 一起膨胀，球内包住的始终是同一批物质，质量不变：。代数：。 （2）a．物理：P 受到的引力相当于球内质量 集中在 点对它的引力；只有引力做功，动能与引力势能之和不变，。代数：。 b．物理：引力始终把 P 往回拉，P 离 越远，速度越小；同时 越来越大。 的分子变小、分母变大，所以 随时间增大而减小。 变式6-4　（1）；（2）用 算得 ，只有真实值的一半。 （1）物理：只有引力做功，机械能守恒，到最高点速度为零：。代数：用 、，得 ，，。 （2），。高处引力变小，物体实际能升得更高，用 会低估高度。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考物理一轮复习 · 万有引力与航天 · 体系化专题讲义（专题2　原卷版＋解析版） 专题2　圆轨道“三步走”与称量天体（原卷版） 一、情境引入 · 水星绕太阳一圈 88 天，海王星要 165 年——离中心越远转得越慢，慢多少？ · 没有人称过太阳，却知道它的质量——只看行星怎么转，能不能称出中心天体？ 二、知识梳理 1. 三步走：在理想圆轨道模型中（忽略其他天体的引力），中心天体的引力提供环绕天体所需的向心力。① 写引力 ；② 令它等于向心力，按题目给的量选 、、 或 ；③ 解出所求的量。环绕天体的质量 两边约掉。 1. 比例关系（同一中心天体，“高轨低速长周期”）： 物理量 表达式 越大 线速度 越小 角速度 越小 周期 越大 向心加速度 越小 1. 称质量与密度：由 （开普勒第三定律，比值只由中心天体决定）得 ，（环绕天体质量远小于中心天体）只能求出中心天体的质量。已知中心天体的半径 时，再由 可求出它的平均密度。 1. 黄金代换：在星球表面（不计自转），所以 ，可以把未知的 换成已知的 和 。 图 2-1　轨道半径 、天体半径 与离地高度 易错　① 轨道半径 、天体半径 、离地高度 混用，。② 只有周期“越高越大”，其余三个量“越高越小”。③ 用环绕天体的运动只能求中心天体的质量，求不出环绕天体自己的质量。 三、典例精析 【例2】（2026·湖南卷）郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一恒星做匀速圆周运动的周期为 ，轨道半径为该恒星半径的 倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为 ，则该恒星的平均密度为（　　） A． B． C． D． 四、变式训练 【变式2-1】（2026·北京丰台一模）人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，若它的轨道半径增大到原来的 2 倍，下列说法正确的是（　　） A．根据公式 可知，卫星运动的线速度将增大到原来的 2 倍 B．根据公式 可知，卫星运行的向心加速度减小到原来的 C．根据公式 可知，卫星需要的向心力将减小到原来的 D．根据公式 可知，地球提供的向心力将减小到原来的 【变式2-2】（2026·四川卷）离地球 280 光年外有一恒星 TOI-561。与 TOI-561 相距约 0.01 AU（日地距离为 1 AU）的行星绕其公转的周期约为地球公转周期的 ，该行星和地球的公转均视为匀速圆周运动。则 TOI-561 与太阳的质量的比值约为（　　） A．0.16 B．0.64 C．1.6 D．6.4 【变式2-3】（2026·浙江卷）已知行星的平均密度为 ，靠近行星表面运行的卫星做圆周运动的周期为 。对于任何行星均为同一常量的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】（原创·只用一块表称密度）近地卫星绕地球一周约需 84 min，引力常量 。 （1）不用地球的半径和质量，估算地球的平均密度； （2）某颗小行星的半径只有地球的百分之一，一个探测器贴着它的表面绕行一周也恰好需要 84 min。这颗小行星的平均密度与地球相比如何？ 参考答案（原卷版） 专题2　圆轨道“三步走”与称量天体 例2　C 变式2-1　D 变式2-2　B 变式2-3　B 变式2-4　（1）；（2）与地球相同。 专题2　圆轨道“三步走”与称量天体（解析版） 一、情境引入 · 水星绕太阳一圈 88 天，海王星要 165 年——离中心越远转得越慢，慢多少？ · 没有人称过太阳，却知道它的质量——只看行星怎么转，能不能称出中心天体？ 二、知识梳理 1. 三步走：在理想圆轨道模型中（忽略其他天体的引力），中心天体的引力提供环绕天体所需的向心力。① 写引力 ；② 令它等于向心力，按题目给的量选 、、 或 ；③ 解出所求的量。环绕天体的质量 两边约掉。 1. 比例关系（同一中心天体，“高轨低速长周期”）： 物理量 表达式 越大 线速度 越小 角速度 越小 周期 越大 向心加速度 越小 1. 称质量与密度：由 （开普勒第三定律，比值只由中心天体决定）得 ，（环绕天体质量远小于中心天体）只能求出中心天体的质量。已知中心天体的半径 时，再由 可求出它的平均密度。 1. 黄金代换：在星球表面（不计自转），所以 ，可以把未知的 换成已知的 和 。 图 2-1　轨道半径 、天体半径 与离地高度 易错　① 轨道半径 、天体半径 、离地高度 混用，。② 只有周期“越高越大”，其余三个量“越高越小”。③ 用环绕天体的运动只能求中心天体的质量，求不出环绕天体自己的质量。 三、典例精析 【例2】（2026·湖南卷）郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一恒星做匀速圆周运动的周期为 ，轨道半径为该恒星半径的 倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为 ，则该恒星的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【解析】物理（三步走）：恒星的引力提供行星的向心力，，其中轨道半径 ；物理（质量与密度）：。 代数：两式联立，。恒星半径 约掉了，只剩下倍数 和周期 。 【答案】C 四、变式训练 【变式2-1】（2026·北京丰台一模）人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，若它的轨道半径增大到原来的 2 倍，下列说法正确的是（　　） A．根据公式 可知，卫星运动的线速度将增大到原来的 2 倍 B．根据公式 可知，卫星运行的向心加速度减小到原来的 C．根据公式 可知，卫星需要的向心力将减小到原来的 D．根据公式 可知，地球提供的向心力将减小到原来的 【变式2-2】（2026·四川卷）离地球 280 光年外有一恒星 TOI-561。与 TOI-561 相距约 0.01 AU（日地距离为 1 AU）的行星绕其公转的周期约为地球公转周期的 ，该行星和地球的公转均视为匀速圆周运动。则 TOI-561 与太阳的质量的比值约为（　　） A．0.16 B．0.64 C．1.6 D．6.4 【变式2-3】（2026·浙江卷）已知行星的平均密度为 ，靠近行星表面运行的卫星做圆周运动的周期为 。对于任何行星均为同一常量的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】（原创·只用一块表称密度）近地卫星绕地球一周约需 84 min，引力常量 。 （1）不用地球的半径和质量，估算地球的平均密度； （2）某颗小行星的半径只有地球的百分之一，一个探测器贴着它的表面绕行一周也恰好需要 84 min。这颗小行星的平均密度与地球相比如何？ 参考答案与解析（解析版） 专题2　圆轨道“三步走”与称量天体 变式2-1　D 物理：轨道半径变了，、 也跟着变，不能只看公式里的一个 。由三步走， 变为原来的 ，A 错； 变为原来的 ，B 错；所需向心力就是引力，也变为原来的 ，C 错。 物理： 中 、、 都不变，只有 变， 变为原来的 ，D 对。 变式2-2　B 物理（三步走）：中心天体质量 ，行星绕 TOI-561、地球绕太阳都满足这个关系。 代数：两式相比，。 变式2-3　B 物理：贴表面运行，，。代数：，与行星的大小、质量都无关，B 对。 变式2-4　（1）；（2）与地球相同。 （1）物理：贴表面运行，，。代数：。 （2）贴表面运行的周期只由密度决定，周期相同，密度就相同，与半径无关。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考物理一轮复习 · 万有引力与航天 · 体系化专题讲义（专题1　原卷版＋解析版） 专题1　牛顿炮弹与第一宇宙速度（原卷版） 一、情境引入 · 苹果会落地，月亮却一直挂在天上——月亮也在“往下落”吗？ · 从高山上水平抛出炮弹，速度越大落得越远——要多快，炮弹才能绕地球一圈而不落地？ 二、知识梳理 1. 月地检验：月球离地心约 ，由公转周期算出它的向心加速度约为 ，恰好等于 。使苹果下落的力和拉住月球的力是同一种力，大小与距离的平方成反比：。 1. 第一宇宙速度：贴着地面做匀速圆周运动，重力提供向心力，，得 。物体一直在下落，但每下落一段，地面也恰好“弯下去”同样的高度，所以永远落不到地面。 1. 发射速度与运动结果（从地面发射）： 发射速度 运动结果 落回地面 贴着地面做匀速圆周运动（第一宇宙速度） 绕地球运动（椭圆或更高的圆轨道） 挣脱地球，绕太阳运动（第二宇宙速度 ） 飞出太阳系（第三宇宙速度 ） 图 1-1　牛顿炮弹：速度越大落得越远，达到第一宇宙速度时绕地一周 易错　① 第一宇宙速度既是最小的发射速度，也是最大的环绕速度（轨道越高，环绕速度越小）。② 与星球的质量和半径有关，不同星球的第一宇宙速度不同。③ 探测器要去火星，必须先挣脱地球，发射速度要大于 。 三、典例精析 【例1】（2026·北京卷）2026 年 2 月，我国捷龙三号运载火箭成功发射七颗卫星。假设某卫星在距离地面高度为 的轨道上绕地球做匀速圆周运动，周期为 。地球的半径为 ，下列说法正确的是（　　） A．若已知引力常量 ，可计算地球的质量 B．该卫星的运行速度大于第一宇宙速度 C．该卫星的加速度大于地球表面的重力加速度 D． 越大，卫星运行的周期 越小 四、变式训练 【变式1-1】（原创·月地检验）已知地球半径 ，月球轨道半径约为 ，月球公转周期约为 27.3 天，地面重力加速度 。 （1）根据月球的运动，求月球的向心加速度 ； （2）假设拉住月球的力与使苹果下落的力是同一种力，且大小与到地心距离的平方成反比，月球的加速度应为多少？比较两个结果，你能得出什么结论？ 【变式1-2】（原创·炮弹为什么不落地）如图，在地面上的 点沿水平方向（地面的切线方向）以 抛出一个物体，不计空气阻力，，地球半径 。若没有重力，物体经时间 将沿切线到达 点，；过 作竖直线（平行于 ）交地面于 ，记 。取 。 （1）物体在竖直方向下落的高度 是多少？ （2）此时 ，地面相对切线下降的高度 是多少？ （3）比较 与 ，说明物体为什么不会落回地面，并由 推出 。 【变式1-3】（2026·北京昌平一模）某空间站绕地球做匀速圆周运动，运行一圈所用时间约为 90 分钟。已知地球半径为 ，引力常量为 。下列说法正确的是（　　） A．由以上信息可求出地球的质量 B．空间站绕地球运行的线速度小于地球第一宇宙速度 C．若空间站在半径更大的轨道上匀速绕行，其周期将小于 90 分钟 D．航天员在空间站内处于完全失重状态，其受到的地球引力为零 参考答案（原卷版） 专题1　牛顿炮弹与第一宇宙速度 例1　A 变式1-1　（1）；（2），两者一致：拉住月球的力与使苹果下落的力是同一种力，大小与距离平方成反比。 变式1-2　（1）；（2）；（3）物体下落的高度恰好等于地面“弯下去”的高度，所以离地面的高度始终不变；。 变式1-3　B 专题1　牛顿炮弹与第一宇宙速度（解析版） 一、情境引入 · 苹果会落地，月亮却一直挂在天上——月亮也在“往下落”吗？ · 从高山上水平抛出炮弹，速度越大落得越远——要多快，炮弹才能绕地球一圈而不落地？ 二、知识梳理 1. 月地检验：月球离地心约 ，由公转周期算出它的向心加速度约为 ，恰好等于 。使苹果下落的力和拉住月球的力是同一种力，大小与距离的平方成反比：。 1. 第一宇宙速度：贴着地面做匀速圆周运动，重力提供向心力，，得 。物体一直在下落，但每下落一段，地面也恰好“弯下去”同样的高度，所以永远落不到地面。 1. 发射速度与运动结果（从地面发射）： 发射速度 运动结果 落回地面 贴着地面做匀速圆周运动（第一宇宙速度） 绕地球运动（椭圆或更高的圆轨道） 挣脱地球，绕太阳运动（第二宇宙速度 ） 飞出太阳系（第三宇宙速度 ） 图 1-1　牛顿炮弹：速度越大落得越远，达到第一宇宙速度时绕地一周 易错　① 第一宇宙速度既是最小的发射速度，也是最大的环绕速度（轨道越高，环绕速度越小）。② 与星球的质量和半径有关，不同星球的第一宇宙速度不同。③ 探测器要去火星，必须先挣脱地球，发射速度要大于 。 三、典例精析 【例1】（2026·北京卷）2026 年 2 月，我国捷龙三号运载火箭成功发射七颗卫星。假设某卫星在距离地面高度为 的轨道上绕地球做匀速圆周运动，周期为 。地球的半径为 ，下列说法正确的是（　　） A．若已知引力常量 ，可计算地球的质量 B．该卫星的运行速度大于第一宇宙速度 C．该卫星的加速度大于地球表面的重力加速度 D． 越大，卫星运行的周期 越小 【解析】物理：卫星做匀速圆周运动，地球的引力提供向心力，轨道半径 ：。代数：，、、 已知，再知道 就能算出，A 对。 物理：由 得 ，轨道越高越慢；第一宇宙速度是贴着地面（）环绕的速度，是最大的环绕速度，该卫星 ，速度更小，B 错。 物理：卫星的加速度 ，地面 ，离地心越远越小，，C 错。 越大，周期越长，D 错。 【答案】A 四、变式训练 【变式1-1】（原创·月地检验）已知地球半径 ，月球轨道半径约为 ，月球公转周期约为 27.3 天，地面重力加速度 。 （1）根据月球的运动，求月球的向心加速度 ； （2）假设拉住月球的力与使苹果下落的力是同一种力，且大小与到地心距离的平方成反比，月球的加速度应为多少？比较两个结果，你能得出什么结论？ 【变式1-2】（原创·炮弹为什么不落地）如图，在地面上的 点沿水平方向（地面的切线方向）以 抛出一个物体，不计空气阻力，，地球半径 。若没有重力，物体经时间 将沿切线到达 点，；过 作竖直线（平行于 ）交地面于 ，记 。取 。 （1）物体在竖直方向下落的高度 是多少？ （2）此时 ，地面相对切线下降的高度 是多少？ （3）比较 与 ，说明物体为什么不会落回地面，并由 推出 。 【变式1-3】（2026·北京昌平一模）某空间站绕地球做匀速圆周运动，运行一圈所用时间约为 90 分钟。已知地球半径为 ，引力常量为 。下列说法正确的是（　　） A．由以上信息可求出地球的质量 B．空间站绕地球运行的线速度小于地球第一宇宙速度 C．若空间站在半径更大的轨道上匀速绕行，其周期将小于 90 分钟 D．航天员在空间站内处于完全失重状态，其受到的地球引力为零 参考答案与解析（解析版） 专题1　牛顿炮弹与第一宇宙速度 变式1-1　（1）；（2），两者一致：拉住月球的力与使苹果下落的力是同一种力，大小与距离平方成反比。 （1）物理：月球做匀速圆周运动，。代数：，，。 （2）物理：若 ，则 。这就是牛顿的“月地检验”。 变式1-2　（1）；（2）；（3）物体下落的高度恰好等于地面“弯下去”的高度，所以离地面的高度始终不变；。 （1）物理：竖直方向自由落体，下落 。 （2）几何：直角三角形 中，，，，所以 。代数：展开得 。 只有几米而 有六千多千米， 比 小得多，略去后 。 （3）物理：令落下的等于弯下的，，即 ；代数：，。物体一直在“落”，只是地面也一直在“弯走”。 变式1-3　B 物理：由 求地球质量，要知道轨道半径 。题中只给了地球半径，没有给空间站离地面的高度，求不出 ，A 错。 物理：空间站的轨道半径大于地球半径， 比贴地环绕的第一宇宙速度小，B 对。轨道半径越大，周期越长，C 错。 物理：完全失重时，地球引力并没有消失，而是全部用来提供航天员随空间站做圆周运动的向心力，D 错。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考物理一轮复习 · 万有引力与航天 · 体系化专题讲义（专题3　原卷版＋解析版） 专题3　观测几何：大距、冲日、会合周期、凌日视差（原卷版） 一、情境引入 · 金星只在黄昏或黎明出现，离太阳从不超过约 46°——为什么它不能整夜高挂在天上？ · 金星凌日时，相距很远的两地看到的小黑点位置不同——这点差别能告诉我们太阳系有多大吗？ 二、知识梳理 1. 距角：从地球看，行星与太阳之间的夹角。 · 内行星大距（距角最大）时，地球到行星的视线与行星轨道相切，直角在行星处：。内行星没有冲日。 · 外行星方照（距角为 ）时，直角在地球处：， 为此时在太阳处地球与行星连线的夹角。 1. 会合周期：两颗行星同向绕太阳转动，从一次处在某个相对位置（如冲日，两者在太阳同侧排成一线）到下一次回到同一相对位置，快的恰好比慢的多转一圈：。 1. 凌日视差：地面上两观测点相距 ，两条视线在金星处交叉，对顶的两个三角形相似：，整理得 。开普勒第三定律只给出各轨道半径的比例，凌日视差把地面上的基线 搬到天上，定出日地距离这把“比例尺”。 图 3-1　三种观测几何（实心点为起始位置，空心点为下一次回到同一相对位置） 易错　① 内行星只有大距，没有冲日。② 会合周期是“快的多转一圈”，不是两个周期直接相减。③ 凌日视差的相似三角形中，太阳一侧对应 ，地球一侧对应 。 三、典例精析 【例3】（2025·重庆卷）“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为 的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为 ，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的（　　） A．轨道半径之比为 B．周期之比为 C．线速度大小之比为 D．向心加速度大小之比为 四、变式训练 【变式3-1】（2026·北京东城一模，节选）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。地球及地外行星（轨道半径大于地球轨道半径的行星）绕太阳运动的轨道半径如下表所示。 行星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 （1）已知万有引力常量 ，地球公转周期 ，日地距离 ， 取 3.14，请估算太阳的质量 （保留一位有效数字）； （2）当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。通过计算分析说明，地外行星相邻两次冲日的时间间隔最短的是哪颗行星。 【变式3-2】（原创·大距）从地球上看，金星与太阳之间的最大角距离（大距）约为 （）。把地球和金星的轨道都看成以太阳为圆心的共面圆。 （1）以日地距离 1 AU 为单位，估算金星的轨道半径； （2）估算金星的公转周期（用“年”表示）； （3）金星每隔多长时间运行到地球和太阳之间一次（会合周期）？ 参考答案（原卷版） 专题3　观测几何：大距、冲日、会合周期、凌日视差 例3　D 变式3-1　（1）约 ；（2）海王星（相邻两次冲日约相隔 1.006 年）。 变式3-2　（1）约 0.72 AU；（2）约 0.61 年（约 223 天）；（3）约 1.6 年。 专题3　观测几何：大距、冲日、会合周期、凌日视差（解析版） 一、情境引入 · 金星只在黄昏或黎明出现，离太阳从不超过约 46°——为什么它不能整夜高挂在天上？ · 金星凌日时，相距很远的两地看到的小黑点位置不同——这点差别能告诉我们太阳系有多大吗？ 二、知识梳理 1. 距角：从地球看，行星与太阳之间的夹角。 · 内行星大距（距角最大）时，地球到行星的视线与行星轨道相切，直角在行星处：。内行星没有冲日。 · 外行星方照（距角为 ）时，直角在地球处：， 为此时在太阳处地球与行星连线的夹角。 1. 会合周期：两颗行星同向绕太阳转动，从一次处在某个相对位置（如冲日，两者在太阳同侧排成一线）到下一次回到同一相对位置，快的恰好比慢的多转一圈：。 1. 凌日视差：地面上两观测点相距 ，两条视线在金星处交叉，对顶的两个三角形相似：，整理得 。开普勒第三定律只给出各轨道半径的比例，凌日视差把地面上的基线 搬到天上，定出日地距离这把“比例尺”。 图 3-1　三种观测几何（实心点为起始位置，空心点为下一次回到同一相对位置） 易错　① 内行星只有大距，没有冲日。② 会合周期是“快的多转一圈”，不是两个周期直接相减。③ 凌日视差的相似三角形中，太阳一侧对应 ，地球一侧对应 。 三、典例精析 【例3】（2025·重庆卷）“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为 的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为 ，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的（　　） A．轨道半径之比为 B．周期之比为 C．线速度大小之比为 D．向心加速度大小之比为 【解析】几何：两条视线在金星处交叉，对顶的两个三角形相似。金星到太阳约 ，到地球约 ，所以 ；代数整理得 ，A 错。 物理（三步走）：，，。代数：，B 错；，C 错；，D 对。 【答案】D 四、变式训练 【变式3-1】（2026·北京东城一模，节选）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。地球及地外行星（轨道半径大于地球轨道半径的行星）绕太阳运动的轨道半径如下表所示。 行星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 （1）已知万有引力常量 ，地球公转周期 ，日地距离 ， 取 3.14，请估算太阳的质量 （保留一位有效数字）； （2）当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。通过计算分析说明，地外行星相邻两次冲日的时间间隔最短的是哪颗行星。 【变式3-2】（原创·大距）从地球上看，金星与太阳之间的最大角距离（大距）约为 （）。把地球和金星的轨道都看成以太阳为圆心的共面圆。 （1）以日地距离 1 AU 为单位，估算金星的轨道半径； （2）估算金星的公转周期（用“年”表示）； （3）金星每隔多长时间运行到地球和太阳之间一次（会合周期）？ 参考答案与解析（解析版） 专题3　观测几何：大距、冲日、会合周期、凌日视差 变式3-1　（1）约 ；（2）海王星（相邻两次冲日约相隔 1.006 年）。 （1）物理（三步走）：太阳的引力提供地球的向心力，。代数：。 （2）物理（会合周期）：地球转得快，相邻两次冲日之间地球恰好比行星多转一圈，。代数：。 物理：由开普勒第三定律，轨道半径越大，周期 越大， 越小， 越短。海王星轨道半径最大，冲日间隔最短。估算： 年 年， 年；作为对比，火星 年 年， 年。行星越远，几乎不动，地球只要多转一点点就又追上它。 变式3-2　（1）约 0.72 AU；（2）约 0.61 年（约 223 天）；（3）约 1.6 年。 （1）几何：大距时地球到金星的视线与金星轨道相切，直角在金星，，。 （2）物理（开普勒第三定律）： 年 年。 （3）物理（会合周期，快的多转一圈）：；代数： 年 年。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考物理一轮复习 · 万有引力与航天 · 体系化专题讲义（专题4　原卷版＋解析版） 专题4　观测方法：凌星法与视向速度（原卷版） 一、情境引入 · 有的恒星每隔一段固定的时间，亮度就微微暗下去一次——是什么挡住了它的光？ · 有的恒星光谱线周期性地红移、蓝移——几百光年外看不见的行星，怎样被发现、被“称”出来？ 二、知识梳理 1. 凌星法：行星从恒星前方经过时，挡住一部分星光。 · 变暗深度等于面积之比：（ 为行星半径， 为恒星半径）。 · 相邻两次开始变暗的时间间隔就是行星的公转周期 。恒星离我们极远，地球一年里的移动几乎不改变视线方向，所以这里不用会合周期。 · 行星从恒星圆盘中央经过、且 时，每次变暗持续时间 ，其中 ， 为行星轨道半径。 1. 能看到凌星的条件：行星的轨道平面必须几乎包含视线（轨道面侧对着我们）。轨道面正对我们时，行星始终绕着恒星转，却永远挡不住它。 1. 视向速度法：恒星和行星绕共同的质心转动，恒星沿视线方向的速度使谱线波长周期性变化，由波长的变化可求出恒星的速度 ；再由周期 得恒星绕质心转动的半径 。再结合已知的恒星质量，才能估算行星的质量。 1. 两种方法配合：凌星法结合恒星半径给出行星的半径，视向速度法结合恒星质量给出行星的质量，合起来可求行星的平均密度，判断它是岩石行星还是气态行星。 1. 用卫星测小天体：小行星又小又暗，可以让卫星绕它做圆周运动来测量。绕同一个中心天体的不同圆轨道， 相同；测出两条轨道的周期，再知道两条轨道半径之间的关系，就能定出小天体的半径，进而由三步走求出它的质量。 图 4-1　凌星光变曲线与能否看到凌星 易错　① 凌星中的“恒星”是遥远的另一颗恒星，不是太阳。② 变暗深度是半径比的平方。③ 相邻两次开始变暗的时刻之差才是周期，不是一次变暗持续的时间。 三、典例精析 【例4】（2025·湖南卷）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径 和质量 。为探测某自转周期为 的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为 ，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为 。已知引力常量为 ，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到 ，。下列选项正确的是（　　） A． 为 ， 为 ， 为 B． 为 ， 为 ， 为 C． 为 ， 为 ， 为 D． 为 ， 为 ， 为 四、变式训练 【变式4-1】（原创·凌星法）观测发现某恒星的亮度周期性地变暗：相邻两次开始变暗的时间间隔为 ，每次变暗时亮度降低 1%，每次变暗持续时间为 （）。已知该恒星质量为 ，引力常量为 ，行星绕恒星做匀速圆周运动，轨道平面包含视线。 （1）行星半径 与恒星半径 之比是多少？ （2）求行星的轨道半径 ； （3）忽略行星自身的大小，估算恒星半径 （用 、、 表示）。 【变式4-2】（原创·视向速度法）观测某恒星光谱中的一条谱线，发现其波长在 与 之间周期性变化，周期为 。已知光速为 ，波长的相对变化等于视向速度与光速之比。设恒星绕系统质心做匀速圆周运动，视线在轨道平面内。 （1）求恒星做圆周运动的速率 ； （2）求恒星做圆周运动的轨道半径 ； （3）恒星所受引力可等效为位于质心、质量为 的天体对它的引力，求 （用 、、 表示）。 【变式4-3】（原创·岩石还是气体）对某颗系外行星，凌星观测测得恒星亮度每次降低 1%，已知恒星半径 ；视向速度法测得行星质量约为 。 （1）求行星的半径； （2）求行星的平均密度，并判断它更可能是岩石行星还是气态行星（地球平均密度约为 ）。 参考答案（原卷版） 专题4　观测方法：凌星法与视向速度 例4　A 变式4-1　（1）；（2）；（3）。 变式4-2　（1）；（2）；（3）。 变式4-3　（1）；（2），远小于岩石行星的密度，更可能是气态行星。 专题4　观测方法：凌星法与视向速度（解析版） 一、情境引入 · 有的恒星每隔一段固定的时间，亮度就微微暗下去一次——是什么挡住了它的光？ · 有的恒星光谱线周期性地红移、蓝移——几百光年外看不见的行星，怎样被发现、被“称”出来？ 二、知识梳理 1. 凌星法：行星从恒星前方经过时，挡住一部分星光。 · 变暗深度等于面积之比：（ 为行星半径， 为恒星半径）。 · 相邻两次开始变暗的时间间隔就是行星的公转周期 。恒星离我们极远，地球一年里的移动几乎不改变视线方向，所以这里不用会合周期。 · 行星从恒星圆盘中央经过、且 时，每次变暗持续时间 ，其中 ， 为行星轨道半径。 1. 能看到凌星的条件：行星的轨道平面必须几乎包含视线（轨道面侧对着我们）。轨道面正对我们时，行星始终绕着恒星转，却永远挡不住它。 1. 视向速度法：恒星和行星绕共同的质心转动，恒星沿视线方向的速度使谱线波长周期性变化，由波长的变化可求出恒星的速度 ；再由周期 得恒星绕质心转动的半径 。再结合已知的恒星质量，才能估算行星的质量。 1. 两种方法配合：凌星法结合恒星半径给出行星的半径，视向速度法结合恒星质量给出行星的质量，合起来可求行星的平均密度，判断它是岩石行星还是气态行星。 1. 用卫星测小天体：小行星又小又暗，可以让卫星绕它做圆周运动来测量。绕同一个中心天体的不同圆轨道， 相同；测出两条轨道的周期，再知道两条轨道半径之间的关系，就能定出小天体的半径，进而由三步走求出它的质量。 图 4-1　凌星光变曲线与能否看到凌星 易错　① 凌星中的“恒星”是遥远的另一颗恒星，不是太阳。② 变暗深度是半径比的平方。③ 相邻两次开始变暗的时刻之差才是周期，不是一次变暗持续的时间。 三、典例精析 【例4】（2025·湖南卷）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径 和质量 。为探测某自转周期为 的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为 ，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为 。已知引力常量为 ，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到 ，。下列选项正确的是（　　） A． 为 ， 为 ， 为 B． 为 ， 为 ， 为 C． 为 ， 为 ， 为 D． 为 ， 为 ， 为 【解析】物理：同步轨道上卫星的周期等于小行星的自转周期 ，轨道半径 ；贴表面运行时周期 ，轨道半径 。两条轨道绕同一个中心天体，由开普勒第三定律 。 代数：开立方得 ，整理得 ，所以 为 ， 为 。 物理（三步走）：贴表面运行，，，所以 为 。 【答案】A 四、变式训练 【变式4-1】（原创·凌星法）观测发现某恒星的亮度周期性地变暗：相邻两次开始变暗的时间间隔为 ，每次变暗时亮度降低 1%，每次变暗持续时间为 （）。已知该恒星质量为 ，引力常量为 ，行星绕恒星做匀速圆周运动，轨道平面包含视线。 （1）行星半径 与恒星半径 之比是多少？ （2）求行星的轨道半径 ； （3）忽略行星自身的大小，估算恒星半径 （用 、、 表示）。 【变式4-2】（原创·视向速度法）观测某恒星光谱中的一条谱线，发现其波长在 与 之间周期性变化，周期为 。已知光速为 ，波长的相对变化等于视向速度与光速之比。设恒星绕系统质心做匀速圆周运动，视线在轨道平面内。 （1）求恒星做圆周运动的速率 ； （2）求恒星做圆周运动的轨道半径 ； （3）恒星所受引力可等效为位于质心、质量为 的天体对它的引力，求 （用 、、 表示）。 【变式4-3】（原创·岩石还是气体）对某颗系外行星，凌星观测测得恒星亮度每次降低 1%，已知恒星半径 ；视向速度法测得行星质量约为 。 （1）求行星的半径； （2）求行星的平均密度，并判断它更可能是岩石行星还是气态行星（地球平均密度约为 ）。 参考答案与解析（解析版） 专题4　观测方法：凌星法与视向速度 变式4-1　（1）；（2）；（3）。 （1）几何：挡住的光等于面积比，。 （2）物理（三步走）：。 （3）物理：变暗期间行星约走过恒星的直径 ，，；代数得 。 变式4-2　（1）；（2）；（3）。 （1）物理（多普勒效应）：，视线在轨道面内，波长偏移最大时视向速度就是恒星的速率。 （2）匀速圆周运动 。 （3）物理：设恒星质量为 ，；代数：。注意 是等效质量，不是行星质量：若恒星质量为 、行星质量为 ，则 （推导见专题 10）。 变式4-3　（1）；（2），远小于岩石行星的密度，更可能是气态行星。 （1）几何：，。 （2）代数：，与木星相近，远小于地球，是气态行星。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考物理一轮复习 · 万有引力与航天 · 体系化专题讲义（专题5　原卷版＋解析版） 专题5　引力与向心力：赤道物体、同步卫星、失重（原卷版） 一、情境引入 · 赤道上的人和同步卫星都是一天转一圈——为什么一个站在地上，一个却悬在 3.6 万千米的高空？ · 空间站里的航天员飘在舱内，可那里的引力还有地面的九成——引力去哪儿了？ 二、知识梳理 1. 卫星：只受引力，引力全部提供向心力，可以用“三步走”。 1. 赤道上的物体：受引力和地面的支持力，两者的合力提供随地球自转的向心力：。向心力只占引力的约 ，所以通常认为 ；但不能写 。 1. 三个对象怎样比较（A 赤道物体，B 近地卫星，C 同步卫星）： · A 与 C：周期都是一天，角速度相同，用 、，半径大的 、 都大。 · B 与 C：都只受引力，用“三步走”，轨道越高越慢，周期越长。 · A 与 B：既不同 ，A 又不是卫星，不能直接比，要借 C 作“中间人”。 1. 同步卫星（地球静止轨道卫星）：周期等于地球自转周期，轨道在赤道平面内，轨道半径约为地球半径的 6.6 倍，所有同步卫星的高度、速率都相同。 1. 失重：舱内物体相对舱的加速度等于两者加速度之差。舱只受引力时，忽略舱内不同位置引力的微小差别，舱和物体的加速度都等于该处的 ，相对加速度为零，物体对支撑物没有压力——完全失重。引力并没有消失，而是全部用来提供做圆周运动所需的向心力。 图 5-1　赤道物体的受力与三个对象 易错　① 用 比较赤道物体和同步卫星（赤道物体不是卫星）。② 以为完全失重就是“不受引力”。③ 以为同步卫星可以定点在北京上空（同步卫星只能在赤道平面内）。 三、典例精析 【例5】（2026·北京顺义统测）如图所示，物体 位于地球赤道表面，相对地面静止且随地球自转， 为近地卫星（卫星做圆周运动的轨道半径近似等于地球半径）， 为地球同步卫星。下列说法正确的是（　　） A．、、 的周期大小关系为 B．、、 的速度大小关系为 C．地面对 的支持力与地球对 的万有引力大小相等 D． 的向心加速度与 所在位置处的重力加速度大小相等 四、变式训练 【变式5-1】（2026·北京海淀一模）2025 年 2 月，实践 25 号卫星成功为北斗 G7 卫星加注推进剂，完成了人类航天史上首次“太空加油”。已知北斗 G7 卫星在地球同步静止轨道绕地球做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．北斗 G7 卫星的运行周期小于地球赤道上随地球自转物体的运行周期 B．北斗 G7 卫星的向心加速度大于地球表面附近的重力加速度 C．北斗 G7 卫星的运行速度小于地球赤道上随地球自转物体的线速度 D．加注燃料前，北斗 G7 卫星受到某种微小阻力，高度降低，稳定后线速度增大 【变式5-2】（2022·全国乙卷，改编）2022 年 3 月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约 400 km 的中国空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的空间站中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（　　） A．所受地球引力的大小近似为零 B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零 C．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等 D．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小 【变式5-3】（原创·同步卫星有多高）已知地球半径 ，地面重力加速度 ，地球自转周期取 。不考虑地球自转对地面重力加速度的影响，求地球同步卫星离地面的高度 （结果保留两位有效数字）。 参考答案（原卷版） 专题5　引力与向心力：赤道物体、同步卫星、失重 例5　B 变式5-1　D 变式5-2　C 变式5-3　（约为地球半径的 5.6 倍） 专题5　引力与向心力：赤道物体、同步卫星、失重（解析版） 一、情境引入 · 赤道上的人和同步卫星都是一天转一圈——为什么一个站在地上，一个却悬在 3.6 万千米的高空？ · 空间站里的航天员飘在舱内，可那里的引力还有地面的九成——引力去哪儿了？ 二、知识梳理 1. 卫星：只受引力，引力全部提供向心力，可以用“三步走”。 1. 赤道上的物体：受引力和地面的支持力，两者的合力提供随地球自转的向心力：。向心力只占引力的约 ，所以通常认为 ；但不能写 。 1. 三个对象怎样比较（A 赤道物体，B 近地卫星，C 同步卫星）： · A 与 C：周期都是一天，角速度相同，用 、，半径大的 、 都大。 · B 与 C：都只受引力，用“三步走”，轨道越高越慢，周期越长。 · A 与 B：既不同 ，A 又不是卫星，不能直接比，要借 C 作“中间人”。 1. 同步卫星（地球静止轨道卫星）：周期等于地球自转周期，轨道在赤道平面内，轨道半径约为地球半径的 6.6 倍，所有同步卫星的高度、速率都相同。 1. 失重：舱内物体相对舱的加速度等于两者加速度之差。舱只受引力时，忽略舱内不同位置引力的微小差别，舱和物体的加速度都等于该处的 ，相对加速度为零，物体对支撑物没有压力——完全失重。引力并没有消失，而是全部用来提供做圆周运动所需的向心力。 图 5-1　赤道物体的受力与三个对象 易错　① 用 比较赤道物体和同步卫星（赤道物体不是卫星）。② 以为完全失重就是“不受引力”。③ 以为同步卫星可以定点在北京上空（同步卫星只能在赤道平面内）。 三、典例精析 【例5】（2026·北京顺义统测）如图所示，物体 位于地球赤道表面，相对地面静止且随地球自转， 为近地卫星（卫星做圆周运动的轨道半径近似等于地球半径）， 为地球同步卫星。下列说法正确的是（　　） A．、、 的周期大小关系为 B．、、 的速度大小关系为 C．地面对 的支持力与地球对 的万有引力大小相等 D． 的向心加速度与 所在位置处的重力加速度大小相等 【解析】物理（ 与 ）：同步卫星的周期等于地球自转周期，，角速度相同；由 ，，所以 。注意 不是卫星，不能用三步走。 物理（ 与 ，三步走）：都只受引力，，所以 ，。综合得 ，A 错；，B 对。 物理（ 的受力）：，支持力比引力小一点，C 错； 随地球自转的向心加速度 只有约 ，远小于重力加速度，D 错。 【答案】B 四、变式训练 【变式5-1】（2026·北京海淀一模）2025 年 2 月，实践 25 号卫星成功为北斗 G7 卫星加注推进剂，完成了人类航天史上首次“太空加油”。已知北斗 G7 卫星在地球同步静止轨道绕地球做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．北斗 G7 卫星的运行周期小于地球赤道上随地球自转物体的运行周期 B．北斗 G7 卫星的向心加速度大于地球表面附近的重力加速度 C．北斗 G7 卫星的运行速度小于地球赤道上随地球自转物体的线速度 D．加注燃料前，北斗 G7 卫星受到某种微小阻力，高度降低，稳定后线速度增大 【变式5-2】（2022·全国乙卷，改编）2022 年 3 月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约 400 km 的中国空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的空间站中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（　　） A．所受地球引力的大小近似为零 B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零 C．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等 D．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小 【变式5-3】（原创·同步卫星有多高）已知地球半径 ，地面重力加速度 ，地球自转周期取 。不考虑地球自转对地面重力加速度的影响，求地球同步卫星离地面的高度 （结果保留两位有效数字）。 参考答案与解析（解析版） 专题5　引力与向心力：赤道物体、同步卫星、失重 变式5-1　D 物理：同步卫星的周期等于地球自转周期，与赤道上的物体相同，A 错。物理（三步走）：，同步轨道半径大于地球半径，向心加速度小于地面的重力加速度，B 错。 物理：同步卫星与赤道上的物体角速度相同，，同步卫星的半径大得多，线速度也大，C 错。 物理：受阻力后高度降低，稳定在较低的圆轨道上；由 ， 减小，线速度增大，D 对（阻力反而让卫星“越转越快”，见专题 7）。 变式5-2　C 物理：航天员仍受地球引力（约为地面的九成），A 错；舱对他几乎没有作用力，引力全部提供他随飞船做圆周运动所需的向心力，所以飘浮，B 错、C 对；地面上所受引力比轨道上更大，而轨道上引力等于所需向心力，D 错。（原题文本作“天宫二号”，当时授课实际在中国空间站，故改编。） 变式5-3　（约为地球半径的 5.6 倍） 物理（三步走）：；物理（黄金代换）：。 代数：，。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考物理一轮复习 · 万有引力与航天 · 体系化专题讲义（总览篇） 高考物理一轮复习 · 必修二 · 选择性必修 万有引力与航天 体系化专题讲义（思维导图＋真题＋原创变式＋解析） 【总览篇】 一个力 · 一种运动 · 两个守恒 —— 15 个专题 · 真题精选 · 原创变式 体系思维导图：左为主干，中为分支，右为专题编号与核心结论 本专辑目录（共 16 份） · 总览篇：思维导图 · 体系总览 · 思维方法总结（本份） · 专题1　牛顿炮弹与第一宇宙速度（原卷版＋解析版） · 专题2　圆轨道“三步走”与称量天体（原卷版＋解析版） · 专题3　观测几何：大距、冲日、会合周期、凌日视差（原卷版＋解析版） · 专题4　观测方法：凌星法与视向速度（原卷版＋解析版） · 专题5　引力与向心力：赤道物体、同步卫星、失重（原卷版＋解析版） · 专题6　引力势能与第二宇宙速度（原卷版＋解析版） · 专题7　圆轨道能量与变轨做功（原卷版＋解析版） · 专题8　角动量、椭圆轨道与轨道类型（原卷版＋解析版） · 专题9　引力场与壳层定理（原卷版＋解析版） · 专题10　双星、暗星与三星（原卷版＋解析版） · 专题11　拉格朗日点（原卷版＋解析版） · 专题12　引力弹弓（原卷版＋解析版） · 专题13　引潮力与潮汐（原卷版＋解析版） · 专题14　微重力环境（原卷版＋解析版） · 专题15　黑洞（原卷版＋解析版） 讲义说明 · 专题结构：每个专题包括情境引入、知识梳理（含配图与易错提醒）、典例精析、变式训练四部分。 · 思维方法总结：体系总览之后单列一节，提炼贯穿全单元的五个解题工具（三步走、看能量、看差、看约束、看变化率），每个工具配有使用信号、操作步骤、示范和书中对应题目。做题卡住时，先想想该用哪个工具。 · 题源：精选 2022—2026 年全国及各省高考真题、北京市各区一模、统测等试题，标注“年份·卷别”；标注“原创”者为编者原创题。 · 原卷版＋解析版：每个专题单独一份。前半部分为原卷版（学生用，不含解析，末尾附参考答案）；后半部分为解析版（教师用，典例后附详细解析，变式训练的答案与解析放在末尾）。 · 配图：全部重新绘制，黑白打印清晰。 体系总览：一个力 · 一种运动 · 两个守恒 整个天体单元可以概括为一句话：一个平方反比的引力，使天体做（近似）圆周运动；运动中能量和角动量守恒。多体、潮汐、黑洞等问题并没有新的定律，只是把这几条规律用到更复杂或更极端的情形。 主干 核心关系 对应专题 一个力 ；球外 ，均匀球壳内 1、9 一种运动 引力提供向心力（“三步走”）；赤道上随地球自转的物体除外 2、3、4、5 能量守恒 ；圆轨道 ； 6、7 角动量守恒 不变； 8 多体 同一个 ，合力提供向心力 10、11 拓展 换参考系；引潮力 ；逃逸速度达到光速 12～15 看到题目，先想到什么 题目问的是 先想到 快慢、周期、加速度的比较 “三步走”；先分清是不是同一个中心天体、是不是只受引力 能不能逃逸、要做多少功、受阻力后怎么变 ，圆轨道 （椭圆轨道用半长轴 ） 近点、远点速度，椭圆轨道 角动量守恒与能量守恒联立 多个天体一起转 同一个 ；矢量合成求合力；分清“引力距离”和“转动半径” 有大小的物体各处受力不同 两处引力之差；小量近似 思维方法总结：五个贯穿全单元的解题工具 本单元的题目千变万化，但解题时反复用到的只有下面五个工具。每个工具都按“一句话 → 什么时候想到它 → 怎么用 → 示范 → 书中对应的题”来写。做题卡住时，先问自己：这道题该用哪个工具？ 工具一　三步走（圆轨道） · 一句话：只受中心天体的引力做圆周运动时，引力全部用来提供向心力。 · 什么时候想到它：题目说“绕……做匀速圆周运动”，而且只受一个中心天体的引力；问快慢、周期、加速度，或要“称”中心天体的质量、密度。 · 怎么用：① 写引力 ， 是到中心天体球心的距离；② 按题目给的量选向心力的形式：、 或 ；③ 令两者相等，环绕天体的质量 约掉，解出所求的量。 · 示范（例 2）：行星绕恒星转，周期 ，轨道半径 （ 为恒星半径）。① 引力 ；② 题目给的是周期，选 ；③ 两者相等，得 。代数：再除以恒星体积 ， 全部约掉，。 · 注意：赤道上随地球自转的物体除了引力还受地面支持力，不能用三步走，要用工具四“看约束”。 · 对应题目：例 1、变式 1-3；例 2、变式 2-1～2-4；变式 3-1（1）；例 4；例 15（2）；以及几乎所有比较快慢的选择题。 工具二　看能量 · 一句话：只有引力做功时，动能与引力势能之和不变；发动机、阻力做的功，等于机械能的变化。 · 什么时候想到它：问“能不能逃出去”“要做多少功”“发射速度多大”“受阻力后怎样变化”“是什么形状的轨道”。 · 怎么用：① 写引力势能 （题目另给零点时按题目的写）；② 圆轨道上用三步走得 ，机械能 ；③ 列“初态机械能 ＋ 外力做的功 ＝ 末态机械能”；④ 判断轨道： 是圆或椭圆， 恰好逃到无穷远， 一去不回。 · 示范（例 6）：飞行器从星球表面发射，最后在离表面高 （轨道半径 ）的圆轨道上运行。① 题给势能零点在表面，轨道处势能为 ；② 三步走得 ，动能为 ；③ 只有引力做功，机械能守恒：。代数：。 · 对应题目：专题 6 全部；例 7、变式 7-1、7-2；例 8、变式 8-3；例 15（1）、变式 15-1。 工具三　看差 · 一句话：两样东西之间的相对运动，只由它们的加速度（或速度、角速度）之差决定，两者共同的那一部分不起作用。 · 什么时候想到它：问“相对……怎样运动”“每隔多久再排成一线”“背对月球的一侧为什么也涨潮”“航天员为什么飘起来”“探测器为什么被加速”。 · 怎么用：① 找出两个对象，分别写出它们的加速度（或速度、角速度）；② 相减，得到相对的量；③ 只用这个差来分析相对运动。换参考系，其实就是把两者共同的部分减掉。 · 示范（会合周期）：地球和火星同向绕太阳转，相邻两次“冲日”相隔多久？① 两者角速度分别为 、；② 站在地球上看，火星相对地球转动的角速度是两者之差；③ 相对转过一整圈 ，就又排成一线：。代数：。 · 同一个想法还用在：引力弹弓（换到行星参考系，减去行星的速度）；引潮力（某处海水受的引力减去地心处的引力）；完全失重（舱和人的加速度之差为零）。 · 对应题目：变式 3-1（2）、3-2（3）；变式 5-2；例 12、变式 12-1、12-2；变式 13-1～13-4；变式 14-2（3）。 工具四　看约束 · 一句话：几个物体被要求“一起转”（同一个角速度）时，各自需要的向心力就被定死了；引力给多了或给少了，差额由“连接”来补。 · 什么时候想到它：题目出现“同步”“相对静止”“始终在一条直线上”“一起绕……转”；或者物体除了一个中心天体的引力，还受别的力（地面、绳、机械臂、另一颗星）。 · 怎么用：① 找出共同的角速度 （往往由另一个物体决定：地球自转、月球公转、双星的周期）；② 用 写出每个物体“需要”的向心力， 是它到转动中心的距离；③ 写出它实际受到的引力；④ 需要的与实际给的之差，就是支持力、拉力或另一颗星的引力。比较快慢时用 、，不能套“轨道越高越慢”。 · 示范（赤道上的人）：① 人随地球自转， 由地球自转定死；② 需要的向心力 ，只有引力的约 ；③ 实际受到的引力是 ；④ 引力有余，多出来的部分由地面的支持力顶住：。所以体重秤的示数比引力略小。 · 对应题目：例 5、变式 5-1、5-3；例 10、变式 10-1～10-3；例 11、变式 11-1～11-3；例 14（3）、变式 14-1。 工具五　看变化率 · 一句话：相隔很近的两点，某个量的差 ≈ 这个量随位置的变化率 × 两点间的距离。 · 什么时候想到它：两点离得很近（如 、地球半径远小于月地距离、舱的大小远小于轨道半径），而题目问的是这两点的“差”。 · 怎么用：① 写出这个量随距离变化的表达式，如 ；② 求它的变化率，即 增加一点点时它变化多少（ 的导数为 ）；③ 差 ≈ 变化率 × 间距。 · 示范（山顶的重力加速度）：珠穆朗玛峰高约 ，峰顶的 比地面小多少？① ；② 在地面处变化率为 ；③ ，即 。精确计算 ，结果几乎一样； 越小，估算越准。 · 同一个想法还解释了： 是 在地面附近的近似（势能的变化率就是 ）；引潮力比引力多除一个距离，与 成正比；微重力的大小与物体到质心的距离成正比。 · 对应题目：变式 6-1、6-4；专题 13 知识梳理第 3 条、变式 13-3；专题 14 知识梳理第 2 条。 五个工具一览 工具 一句话 看到什么信号就想到它 对应专题 三步走 引力全部提供向心力 只受一个中心天体引力的圆周运动 1～4、15 看能量 只有引力做功时机械能守恒 逃逸、做功、发射速度、阻力、轨道形状 6～8、15 看差 相对运动只看两者之差 相对运动、再次相遇、涨潮、失重、弹弓 3、5、12～14 看约束 同一个 ，差额由连接来补 同步、相对静止、一起转、受力不止引力 5、10、11、14 看变化率 差 ≈ 变化率 × 间距 两点很近、问两点之差 6、13、14 拿到一道题，按这个顺序问自己 1. 是不是只受一个中心天体引力的圆周运动？是 → 三步走。 1. 有没有“做功”“逃逸”“发射速度”“阻力”，或者要判断轨道形状？有 → 看能量。 1. 是不是几个物体被要求一起转，或者物体除了引力还受别的力？是 → 看约束。 1. 问的是不是两个物体之间的相对运动？是 → 看差。 1. 是不是两点离得很近，而问的是它们的差？是 → 看变化率。 一道综合题常常要连用几个工具，例如双星暗星题先“看约束”找共同的 ，再对看得见的那颗星用“三步走”。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考物理一轮复习 · 万有引力与航天 · 体系化专题讲义（专题14　原卷版＋解析版） 专题14　微重力环境（原卷版） 一、情境引入 · 空间站离地面约 400 km，那里的引力约为地面的九成，航天员和水滴却飘在舱里——引力还在，人为什么会飘？ · 舱内松开的小物体，过一段时间会慢慢漂向舱壁，所以叫“微”重力而不叫“零”重力——不完全为零的那一点是从哪里来的？ 二、知识梳理 1. 完全失重：舱和舱内物体只受地球引力时，在同一位置它们的加速度都等于该处的 。两者之间没有相对加速度，物体对支撑物没有压力——这就是完全失重。引力并没有消失，它全部用来使物体随舱一起做圆周运动。 1. 为什么是“微”重力：空间站有一定大小，舱内各点到地心的距离不同。若空间站始终一面朝向地球，舱内各点就以同一个角速度 绕地球转动（， 为质心到地心的距离）。只有在质心处，引力恰好等于所需向心力： · 质心外侧（离地心更远）：引力更小，而所需向心力 更大，引力不够用； · 质心内侧：引力更大，所需向心力更小，引力有余。 · 引力与所需向心力的这点差别，要由支撑物来补；没有支撑时，物体就相对舱慢慢漂移。这个差别的大小与物体到质心的距离成正比，在约 400 km 高的轨道上，离质心 1 m 处只有几微米每二次方秒（不到 的百万分之一）。 1. 其他来源：稀薄大气的阻力使空间站减速，松开的物体相对舱向前漂。 图 14-1　空间站内偏离质心的物体相对舱的漂移方向 易错　① 以为完全失重就是“不受引力”。② 以为失重就是“加速度为零”。 三、典例精析 【例14】（2022·江苏卷）在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略，空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为 ，如图 1 所示。机械臂一端固定在空间站上的 点，另一端抓住质量为 的货物，在机械臂的操控下，货物先绕 点做半径为 、角速度为 的匀速圆周运动，运动到 点停下，然后在机械臂操控下，货物从 点由静止开始做匀加速直线运动，经时间 到达 点，、 间的距离为 。 （1）求货物做匀速圆周运动时受到合力提供的向心力大小 ； （2）求货物运动到 点时机械臂对其做功的瞬时功率 ； （3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如图 2 所示，它们在同一直线上，货物与空间站同步做匀速圆周运动，已知空间站轨道半径为 ，货物与空间站中心的距离为 ，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比 。 四、变式训练 【变式14-1】（2023·北京卷）在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量。如图所示，不可伸长的轻绳一端固定于 点，另一端系一待测小球，使其绕 做匀速圆周运动，用力传感器测得绳上的拉力为 ，用停表测得小球转过 圈所用的时间为 ，用刻度尺测得 点到球心的距离为圆周运动的半径 。下列说法正确的是（　　） A．圆周运动轨道可处于任意平面内 B．小球的质量为 C．若误将 圈记作 圈，则所得质量偏大 D．若测 时未计入小球半径，则所得质量偏小 【变式14-2】（原创·引力并没有消失）中国空间站离地面高度约 ，地球半径 ，地面重力加速度 。 （1）空间站所在处的重力加速度约为多少？ （2）质量为 60 kg 的航天员在空间站中所受地球引力约为多少？ （3）如果他站在舱内的体重秤上，秤的示数是多少？为什么？ 【变式14-3】（原创·太空中怎样称质量）空间站中用“质量测量仪”测航天员的质量：用恒力 从静止拉动航天员（已扣除座椅等装置的质量），测得他在 1.0 s 内移动了 1.0 m。 （1）求航天员的质量； （2）为什么在空间站中不能用天平或体重秤测质量，却可以用这种方法？ 参考答案（原卷版） 专题14　微重力环境 例14　（1）；（2）；（3） 变式14-1　A 变式14-2　（1）约 ；（2）约 520 N；（3）0。 变式14-3　（1）75 kg；（2）天平、体重秤都靠重力被托住来工作，失重时物体对秤没有压力； 与是否失重无关。 专题14　微重力环境（解析版） 一、情境引入 · 空间站离地面约 400 km，那里的引力约为地面的九成，航天员和水滴却飘在舱里——引力还在，人为什么会飘？ · 舱内松开的小物体，过一段时间会慢慢漂向舱壁，所以叫“微”重力而不叫“零”重力——不完全为零的那一点是从哪里来的？ 二、知识梳理 1. 完全失重：舱和舱内物体只受地球引力时，在同一位置它们的加速度都等于该处的 。两者之间没有相对加速度，物体对支撑物没有压力——这就是完全失重。引力并没有消失，它全部用来使物体随舱一起做圆周运动。 1. 为什么是“微”重力：空间站有一定大小，舱内各点到地心的距离不同。若空间站始终一面朝向地球，舱内各点就以同一个角速度 绕地球转动（， 为质心到地心的距离）。只有在质心处，引力恰好等于所需向心力： · 质心外侧（离地心更远）：引力更小，而所需向心力 更大，引力不够用； · 质心内侧：引力更大，所需向心力更小，引力有余。 · 引力与所需向心力的这点差别，要由支撑物来补；没有支撑时，物体就相对舱慢慢漂移。这个差别的大小与物体到质心的距离成正比，在约 400 km 高的轨道上，离质心 1 m 处只有几微米每二次方秒（不到 的百万分之一）。 1. 其他来源：稀薄大气的阻力使空间站减速，松开的物体相对舱向前漂。 图 14-1　空间站内偏离质心的物体相对舱的漂移方向 易错　① 以为完全失重就是“不受引力”。② 以为失重就是“加速度为零”。 三、典例精析 【例14】（2022·江苏卷）在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略，空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为 ，如图 1 所示。机械臂一端固定在空间站上的 点，另一端抓住质量为 的货物，在机械臂的操控下，货物先绕 点做半径为 、角速度为 的匀速圆周运动，运动到 点停下，然后在机械臂操控下，货物从 点由静止开始做匀加速直线运动，经时间 到达 点，、 间的距离为 。 （1）求货物做匀速圆周运动时受到合力提供的向心力大小 ； （2）求货物运动到 点时机械臂对其做功的瞬时功率 ； （3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如图 2 所示，它们在同一直线上，货物与空间站同步做匀速圆周运动，已知空间站轨道半径为 ，货物与空间站中心的距离为 ，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比 。 【解析】（1）物理：完全失重，货物做圆周运动的向心力全部来自机械臂，。 （2）物理：匀加速直线运动，，；代数：，。机械臂的力 ，。 （3）物理（同一个 ）：货物在 处与空间站同 ，。货物在内侧，引力大于所需向心力，机械臂要把它往外拉：，其中 。 代数：，所以 ，机械臂对货物的力背离地心。 【答案】（1）；（2）；（3） 四、变式训练 【变式14-1】（2023·北京卷）在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量。如图所示，不可伸长的轻绳一端固定于 点，另一端系一待测小球，使其绕 做匀速圆周运动，用力传感器测得绳上的拉力为 ，用停表测得小球转过 圈所用的时间为 ，用刻度尺测得 点到球心的距离为圆周运动的半径 。下列说法正确的是（　　） A．圆周运动轨道可处于任意平面内 B．小球的质量为 C．若误将 圈记作 圈，则所得质量偏大 D．若测 时未计入小球半径，则所得质量偏小 【变式14-2】（原创·引力并没有消失）中国空间站离地面高度约 ，地球半径 ，地面重力加速度 。 （1）空间站所在处的重力加速度约为多少？ （2）质量为 60 kg 的航天员在空间站中所受地球引力约为多少？ （3）如果他站在舱内的体重秤上，秤的示数是多少？为什么？ 【变式14-3】（原创·太空中怎样称质量）空间站中用“质量测量仪”测航天员的质量：用恒力 从静止拉动航天员（已扣除座椅等装置的质量），测得他在 1.0 s 内移动了 1.0 m。 （1）求航天员的质量； （2）为什么在空间站中不能用天平或体重秤测质量，却可以用这种方法？ 参考答案与解析（解析版） 专题14　微重力环境 变式14-1　A 物理：舱内完全失重，小球不需要别的力“托住”，绳的拉力就是全部向心力，在任何平面内都能做匀速圆周运动，A 对。 物理：，；代数：，B 错。 物理（误差分析）：把 圈记作 圈， 偏大， 偏小，C 错；测 时没算进小球半径， 偏小， 偏大，D 错。 变式14-2　（1）约 ；（2）约 520 N；（3）0。 （1）物理：。 （2）。 （3）物理：航天员和秤的加速度都等于 ，两者之间没有挤压，示数为零。引力没有消失，只是全部用来提供向心力。 变式14-3　（1）75 kg；（2）天平、体重秤都靠重力被托住来工作，失重时物体对秤没有压力； 与是否失重无关。 （1）物理：从静止开始做匀加速直线运动，；代数：，。 （2）天平和体重秤都靠“重力被托住”来工作，完全失重时物体对秤盘没有压力；而 是牛顿第二定律，与是否失重无关，测的是惯性质量。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考物理一轮复习 · 万有引力与航天 · 体系化专题讲义（专题10　原卷版＋解析版） 专题10　双星、暗星与三星（原卷版） 一、情境引入 · 冥王星和它的卫星卡戎，绕着两者之间“空中”的一点转动——到底是谁绕谁转？ · 天文学家只看得见一颗星在绕圈，却能断定旁边藏着一个黑洞——看不见的那颗怎么“称”？ 二、知识梳理 1. 双星的特点：两颗星在相互引力作用下绕连线上的某点 做匀速圆周运动，始终位于同一直线上。 · 角速度、周期相同； · 向心力大小相同（就是彼此间的那一对引力）； · 两种距离：引力公式中用两星间距 ，向心力公式中用各自到 点的转动半径 、，。 1. 常用关系：由 得 ，即质量大的转动半径小；。两式相加可得 。只知道 和 时，只能求出总质量；再知道两星的转动半径之比，才能求出各自的质量。 1. 只看得见一颗星：可以把看不见的那颗星对它的引力，等效成位于 点、质量为 的星体对它的引力，再对看得见的星用“三步走”。注意 只是为描述看得见的星的运动而引入的等效质量，并不等于暗星的质量。 1. 三星系统：先找转动中心，再把另外两颗星的引力矢量合成，最后分清“引力距离”和“转动半径”。 · 直线型（三星等质量、等间距 ）：中间星所受合力为零，静止在中心；两边的星 。 · 三角形型（三星等质量，位于边长为 的等边三角形顶点）：绕三角形中心转动，转动半径为 ，不是 。 图 10-1　双星与两种三星模型 易错　① 方程两边都写 或都写 。② 三角形型的转动半径写成 。③ 把等效质量 当成暗星的质量。 三、典例精析 【例10】（2024·重庆卷）在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动。假设 a、b 两个天体的质量均为 ，相距为 ，其连线的中点为 ，另一天体（图中未画出）质量为 （）。若 c 处于 a、b 连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c 可视为绕 点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为 。则（　　） A．c 的线速度大小为 a 的 倍 B．c 的向心加速度大小为 b 的一半 C．c 在一个周期内的路程为 D．c 的角速度大小为 四、变式训练 【变式10-1】（原创）观测到双星 A、B 绕连线上某点做匀速圆周运动，A 的转动半径是 B 的 ，两星中心距离为 ，周期为 ，引力常量为 。求： （1）两星的总质量 ； （2）A、B 各自的质量。 【变式10-2】（原创·盖亚 BH3）2024 年，天文学家分析盖亚（Gaia）卫星的观测数据，发现一颗恒星 A 绕着一个看不见的天体 B 运动，B 被命名为“盖亚 BH3”。把 A、B 看成围绕两者连线上的 点做匀速圆周运动的双星（实际轨道是椭圆，这里简化为圆），不考虑其他天体的影响，如图所示。引力常量为 ，由观测能够得到 A 的速率 和运行周期 。 （1）A 所受 B 的引力可等效为位于 点处质量为 的星体对它的引力。设 A、B 的质量分别为 、，求 （用 、 表示），并说明 一定小于 ； （2）求 与 、 的关系式； （3）观测得 ，（约 11.6 年）。取 ，太阳质量 ，估算 约为太阳质量的多少倍。若一个看不见的天体质量超过约 3 倍太阳质量，它只能是黑洞，判断 B 是不是黑洞。 【变式10-3】（原创·三角形三星）三颗质量均为 的星位于边长为 的等边三角形的三个顶点，在相互引力作用下绕三角形中心做匀速圆周运动。引力常量为 。求： （1）每颗星所受的合力大小； （2）每颗星的线速度大小和周期。 参考答案（原卷版） 专题10　双星、暗星与三星 例10　A 变式10-1　（1）；（2），。 变式10-2　（1），因 ，所以 ；（2）；（3）约 30 倍；，B 是黑洞。 变式10-3　（1）；（2），。 专题10　双星、暗星与三星（解析版） 一、情境引入 · 冥王星和它的卫星卡戎，绕着两者之间“空中”的一点转动——到底是谁绕谁转？ · 天文学家只看得见一颗星在绕圈，却能断定旁边藏着一个黑洞——看不见的那颗怎么“称”？ 二、知识梳理 1. 双星的特点：两颗星在相互引力作用下绕连线上的某点 做匀速圆周运动，始终位于同一直线上。 · 角速度、周期相同； · 向心力大小相同（就是彼此间的那一对引力）； · 两种距离：引力公式中用两星间距 ，向心力公式中用各自到 点的转动半径 、，。 1. 常用关系：由 得 ，即质量大的转动半径小；。两式相加可得 。只知道 和 时，只能求出总质量；再知道两星的转动半径之比，才能求出各自的质量。 1. 只看得见一颗星：可以把看不见的那颗星对它的引力，等效成位于 点、质量为 的星体对它的引力，再对看得见的星用“三步走”。注意 只是为描述看得见的星的运动而引入的等效质量，并不等于暗星的质量。 1. 三星系统：先找转动中心，再把另外两颗星的引力矢量合成，最后分清“引力距离”和“转动半径”。 · 直线型（三星等质量、等间距 ）：中间星所受合力为零，静止在中心；两边的星 。 · 三角形型（三星等质量，位于边长为 的等边三角形顶点）：绕三角形中心转动，转动半径为 ，不是 。 图 10-1　双星与两种三星模型 易错　① 方程两边都写 或都写 。② 三角形型的转动半径写成 。③ 把等效质量 当成暗星的质量。 三、典例精析 【例10】（2024·重庆卷）在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动。假设 a、b 两个天体的质量均为 ，相距为 ，其连线的中点为 ，另一天体（图中未画出）质量为 （）。若 c 处于 a、b 连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c 可视为绕 点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为 。则（　　） A．c 的线速度大小为 a 的 倍 B．c 的向心加速度大小为 b 的一半 C．c 在一个周期内的路程为 D．c 的角速度大小为 【解析】物理：，c 对 a、b 的影响可忽略。对 a：，代数得 ，D 错。 物理：设 c 到 a、b 的距离为 ，到 的距离为 ，两个引力的合力沿垂直平分线指向 ：。代数：，，，三者成等边三角形。 于是 ，A 对；，B 错；路程 ，C 错。 【答案】A 四、变式训练 【变式10-1】（原创）观测到双星 A、B 绕连线上某点做匀速圆周运动，A 的转动半径是 B 的 ，两星中心距离为 ，周期为 ，引力常量为 。求： （1）两星的总质量 ； （2）A、B 各自的质量。 【变式10-2】（原创·盖亚 BH3）2024 年，天文学家分析盖亚（Gaia）卫星的观测数据，发现一颗恒星 A 绕着一个看不见的天体 B 运动，B 被命名为“盖亚 BH3”。把 A、B 看成围绕两者连线上的 点做匀速圆周运动的双星（实际轨道是椭圆，这里简化为圆），不考虑其他天体的影响，如图所示。引力常量为 ，由观测能够得到 A 的速率 和运行周期 。 （1）A 所受 B 的引力可等效为位于 点处质量为 的星体对它的引力。设 A、B 的质量分别为 、，求 （用 、 表示），并说明 一定小于 ； （2）求 与 、 的关系式； （3）观测得 ，（约 11.6 年）。取 ，太阳质量 ，估算 约为太阳质量的多少倍。若一个看不见的天体质量超过约 3 倍太阳质量，它只能是黑洞，判断 B 是不是黑洞。 【变式10-3】（原创·三角形三星）三颗质量均为 的星位于边长为 的等边三角形的三个顶点，在相互引力作用下绕三角形中心做匀速圆周运动。引力常量为 。求： （1）每颗星所受的合力大小； （2）每颗星的线速度大小和周期。 参考答案与解析（解析版） 专题10　双星、暗星与三星 变式10-1　（1）；（2），。 物理：，。代数：两式相加得 ；，，所以 。半径小的那颗质量大。 变式10-2　（1），因 ，所以 ；（2）；（3）约 30 倍；，B 是黑洞。 （1）物理（同一个 ）：A、B 的向心力是同一对引力，，两星距离 。物理（等效）：。代数：。 （2）物理（三步走，对 A）：，。代数：。 （3）代数：。物理：由（1），暗星的真实质量比 还大，至少约 30 倍太阳质量，远超 3 倍，B 只能是黑洞。（不用解三次方程，一个不等式就够了。） 变式10-3　（1）；（2），。 （1）物理：两个大小为 、夹角 的力，合力指向中心，。 （2）物理：转动半径（到中心的距离）为 ，不是 ：。代数：，。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考物理一轮复习 · 万有引力与航天 · 体系化专题讲义（专题9　原卷版＋解析版） 专题9　引力场与壳层定理（原卷版） 一、情境引入 · 沿矿井往下走，越靠近地心，重力加速度 不是变大，反而越来越小——这是为什么？ · 假如太阳突然变成同样质量的黑洞，地球的轨道会不会改变？ 二、知识梳理 1. 引力场强度：（单位 N/kg），描述空间某点“引力场的强弱”，与放在该点的物体质量无关。 1. 均匀球体外部：，就像全部质量集中在球心，只与总质量和到球心的距离有关，与球的大小无关。 1. 均匀球壳内部：球壳对壳内任一点的引力为零（各方向的引力恰好抵消）。所以在均匀球体内部，只有比该点更靠内的那部分球体起作用：；深为 的矿井底部 。 1. 割补法：挖去一块后的引力 ＝ 完整球体的引力 － 被挖去部分（看作一个小球）的引力。 1. 天体被压缩：质量不变、半径变小时，表面的 、、 都变大，而离球心同一距离处（在球外）的引力不变。 图 9-1　均匀球内外的 与球壳内引力抵消 易错　① 球壳内 只对质量均匀分布的球壳成立。② 用 计算球体内部的点（要只算内部那部分质量）。③ 有自转时，同一星球赤道和两极的重力加速度不同。 三、典例精析 【例9】（2023·湖南卷）根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的 1～8 倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的 10～20 倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的 倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是（　　） A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同 B．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大 C．恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变 D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度 四、变式训练 【变式9-1】（原创·矿井与穿地隧道）把地球看成质量均匀分布的球体，半径为 ，表面重力加速度为 ，不考虑地球自转。 （1）求深为 的矿井底部的重力加速度 ； （2）设想沿地球直径挖一条光滑隧道，把物体从隧道一端由静止释放。证明物体做简谐运动，并求它从一端运动到另一端所用的时间。这个时间与近地卫星的周期有什么关系？ 【变式9-2】（原创·压缩）一颗质量分布均匀的星球，质量不变、半径收缩为原来的 。 （1）它的平均密度变为原来的几倍？ （2）表面重力加速度、第一宇宙速度分别变为原来的几倍？ （3）在距球心为原半径 处（现在已在星球外部），重力加速度如何变化？ 【变式9-3】（原创·割补法）质量分布均匀的球体，挖去空腔前质量为 、半径为 。在其内部挖去一个半径为 的球形空腔，空腔与球面内切，如图所示。在两球心连线的延长线上、空腔一侧距大球球心 处，有一质量为 的质点。求剩余部分对质点的万有引力大小。 【变式9-4】（原创）假设太阳在质量不变的情况下收缩成一个半径约 3 km 的黑洞，其他条件不变。下列说法正确的是（　　） A．地球受到太阳的引力变大 B．地球的公转周期变短 C．地球的公转轨道不变 D．太阳“表面”的重力加速度不变 参考答案（原卷版） 专题9　引力场与壳层定理 例9　B 变式9-1　（1）；（2），恰为近地卫星周期的一半。 变式9-2　（1）8 倍；（2）表面重力加速度 4 倍，第一宇宙速度 倍；（3）不变。 变式9-3　 变式9-4　C 专题9　引力场与壳层定理（解析版） 一、情境引入 · 沿矿井往下走，越靠近地心，重力加速度 不是变大，反而越来越小——这是为什么？ · 假如太阳突然变成同样质量的黑洞，地球的轨道会不会改变？ 二、知识梳理 1. 引力场强度：（单位 N/kg），描述空间某点“引力场的强弱”，与放在该点的物体质量无关。 1. 均匀球体外部：，就像全部质量集中在球心，只与总质量和到球心的距离有关，与球的大小无关。 1. 均匀球壳内部：球壳对壳内任一点的引力为零（各方向的引力恰好抵消）。所以在均匀球体内部，只有比该点更靠内的那部分球体起作用：；深为 的矿井底部 。 1. 割补法：挖去一块后的引力 ＝ 完整球体的引力 － 被挖去部分（看作一个小球）的引力。 1. 天体被压缩：质量不变、半径变小时，表面的 、、 都变大，而离球心同一距离处（在球外）的引力不变。 图 9-1　均匀球内外的 与球壳内引力抵消 易错　① 球壳内 只对质量均匀分布的球壳成立。② 用 计算球体内部的点（要只算内部那部分质量）。③ 有自转时，同一星球赤道和两极的重力加速度不同。 三、典例精析 【例9】（2023·湖南卷）根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的 1～8 倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的 10～20 倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的 倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是（　　） A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同 B．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大 C．恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变 D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度 【解析】物理：恒星在自转，赤道处的物体需要向心力，重力加速度比两极小，A 错。 物理：两极处不需要向心力，；质量不变， 变小， 变大，B 对。， 变小， 变大，C 错。 物理：中子星由质量更大的恒星坍缩而成，密度更大、半径更小， 更大，D 错。 【答案】B 四、变式训练 【变式9-1】（原创·矿井与穿地隧道）把地球看成质量均匀分布的球体，半径为 ，表面重力加速度为 ，不考虑地球自转。 （1）求深为 的矿井底部的重力加速度 ； （2）设想沿地球直径挖一条光滑隧道，把物体从隧道一端由静止释放。证明物体做简谐运动，并求它从一端运动到另一端所用的时间。这个时间与近地卫星的周期有什么关系？ 【变式9-2】（原创·压缩）一颗质量分布均匀的星球，质量不变、半径收缩为原来的 。 （1）它的平均密度变为原来的几倍？ （2）表面重力加速度、第一宇宙速度分别变为原来的几倍？ （3）在距球心为原半径 处（现在已在星球外部），重力加速度如何变化？ 【变式9-3】（原创·割补法）质量分布均匀的球体，挖去空腔前质量为 、半径为 。在其内部挖去一个半径为 的球形空腔，空腔与球面内切，如图所示。在两球心连线的延长线上、空腔一侧距大球球心 处，有一质量为 的质点。求剩余部分对质点的万有引力大小。 【变式9-4】（原创）假设太阳在质量不变的情况下收缩成一个半径约 3 km 的黑洞，其他条件不变。下列说法正确的是（　　） A．地球受到太阳的引力变大 B．地球的公转周期变短 C．地球的公转轨道不变 D．太阳“表面”的重力加速度不变 参考答案与解析（解析版） 专题9　引力场与壳层定理 变式9-1　（1）；（2），恰为近地卫星周期的一半。 （1）物理（壳层定理）：外面那层球壳对矿井底的引力为零，只有半径为 的内球起作用，其质量为 。代数：。 （2）物理：物体在距地心 处只受内球的引力 ，方向指向地心，回复力与位移成正比且反向，做简谐运动，。代数：从一端到另一端为半个周期，；近地卫星周期 。 变式9-2　（1）8 倍；（2）表面重力加速度 4 倍，第一宇宙速度 倍；（3）不变。 代数：，，。物理（壳层定理）：在球外，引力只看总质量和到球心的距离，与星球大小无关，所以距球心 处的 不变。 变式9-3　 物理（割补法 ＝ 叠加原理）：剩余部分的引力 ＝ 整球的引力 − 空腔那块小球的引力。 整球：。小球质量 ，球心到质点的距离 ：。 代数：。 变式9-4　C 物理（壳层定理）：地球在太阳外部，太阳对地球的引力只取决于太阳的总质量和日地距离，与太阳的大小无关，所以引力、公转周期和轨道都不变，A、B 错，C 对。太阳半径变小，表面 急剧增大，D 错。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考物理一轮复习 · 万有引力与航天 · 体系化专题讲义（专题12　原卷版＋解析版） 专题12　引力弹弓（原卷版） 一、情境引入 · 旅行者号没有带足够的燃料，却借着木星、土星一次次加速，最终飞出了太阳系——速度是从哪里来的？ · 引力做功只与起点和终点有关，探测器飞近行星又飞远，引力做的总功应该为零——它的速度怎么会变大？ 二、知识梳理 1. 在行星参考系中看：行星质量远大于探测器，飞掠的短时间内可近似看成匀速直线运动，并忽略太阳等其他天体的影响。在这个参考系中行星不动，探测器从远处飞近又飞离到远处，引力做的总功为零，所以飞离时相对行星的速率与飞近时相同，只是方向改变了。 1. 换回太阳参考系：太阳参考系中的速度 ＝ 相对行星的速度 ＋ 行星的速度（矢量相加）。 · 迎着行星运动方向飞来、绕到背后正好折返（理想的一维情形）：飞近时相对行星的速率为 ，飞离时相对行星的速率仍为 ，方向与行星运动方向相同，再加上行星的 ，得 ，加速。 · 从后方追上行星、绕到前方折返：，减速（飞往水星等内行星的探测器常这样减速）。 1. 与弹性碰撞类比：在行星运动方向上，这一过程相当于一个小球与一个质量极大、速度为 的球发生弹性碰撞。实际飞掠时探测器通常只偏转一定角度，速度增量小于 。 1. 能量从哪里来：在太阳参考系中，探测器与行星通过引力交换能量，探测器增加的动能来自行星的动能。行星质量极大，被“拽”慢的程度小到无法测出。动能的大小本来就与所选的参考系有关：在行星参考系中探测器的动能不变，在太阳参考系中增大。 图 12-1　同一次飞掠，在两个参考系中看（迎面飞来、绕到背后折返） 易错　① 只写 ，漏掉换回太阳参考系时的那个 。② 以为任何飞掠都能多出 （只有迎面飞来、正好折返的极限情形才是）。③ 以为“引力做的总功为零”在任何参考系中都成立。 三、典例精析 【例12】（原创·木星借力，多选）探测器以相对太阳的速度 飞近木星，木星绕太阳运动的速度为 ，在飞掠的短时间内可视为匀速直线运动，木星质量远大于探测器，不考虑太阳等其他天体的影响。探测器分别从木星运动的反方向或同方向接近（同向时 ），绕到木星另一侧后折返，飞离木星后相对太阳的速度大小分别为 、，如图所示。在木星运动方向上，这一过程可以与弹性碰撞类比。下列说法正确的是（　　） A．以木星为参考系，探测器飞离时的速率等于飞近时的速率 B． C．同向接近时，探测器飞离后速度变小， D．反向接近的过程中，以太阳为参考系，木星引力对探测器做的总功为零 四、变式训练 【变式12-1】（原创·借木星加速）木星绕太阳运动的速度 。一个质量为 的探测器以相对太阳 的速度迎着木星飞来，绕到木星背后折返（可看作一维弹性“碰撞”，木星质量远大于探测器）。 （1）探测器飞离木星后相对太阳的速度多大？ （2）探测器动能的增加量是多少（用 、、 表示）？这些能量从哪里来？ （3）若探测器从木星后方以 （）追上木星并绕到前方折返，飞离后速度多大？比原来大还是小？ 【变式12-2】（原创·换个参考系看碰撞）质量 的小球以 的速度与静止的质量 的小球发生弹性正碰。 （1）求两球的质心速度 ； （2）在以 运动的参考系中，弹性碰撞后两球的速度只反向、大小不变。用这一方法求碰后两球相对地面的速度； （3）用动量守恒、动能守恒验证你的结果。 参考答案（原卷版） 专题12　引力弹弓 例12　AC 变式12-1　（1）；（2），来自木星的动能；（3），比原来小（减速）。 变式12-2　（1）；（2）（反弹），；（3）碰撞前后总动量均为 ，总动能均为 。 专题12　引力弹弓（解析版） 一、情境引入 · 旅行者号没有带足够的燃料，却借着木星、土星一次次加速，最终飞出了太阳系——速度是从哪里来的？ · 引力做功只与起点和终点有关，探测器飞近行星又飞远，引力做的总功应该为零——它的速度怎么会变大？ 二、知识梳理 1. 在行星参考系中看：行星质量远大于探测器，飞掠的短时间内可近似看成匀速直线运动，并忽略太阳等其他天体的影响。在这个参考系中行星不动，探测器从远处飞近又飞离到远处，引力做的总功为零，所以飞离时相对行星的速率与飞近时相同，只是方向改变了。 1. 换回太阳参考系：太阳参考系中的速度 ＝ 相对行星的速度 ＋ 行星的速度（矢量相加）。 · 迎着行星运动方向飞来、绕到背后正好折返（理想的一维情形）：飞近时相对行星的速率为 ，飞离时相对行星的速率仍为 ，方向与行星运动方向相同，再加上行星的 ，得 ，加速。 · 从后方追上行星、绕到前方折返：，减速（飞往水星等内行星的探测器常这样减速）。 1. 与弹性碰撞类比：在行星运动方向上，这一过程相当于一个小球与一个质量极大、速度为 的球发生弹性碰撞。实际飞掠时探测器通常只偏转一定角度，速度增量小于 。 1. 能量从哪里来：在太阳参考系中，探测器与行星通过引力交换能量，探测器增加的动能来自行星的动能。行星质量极大，被“拽”慢的程度小到无法测出。动能的大小本来就与所选的参考系有关：在行星参考系中探测器的动能不变，在太阳参考系中增大。 图 12-1　同一次飞掠，在两个参考系中看（迎面飞来、绕到背后折返） 易错　① 只写 ，漏掉换回太阳参考系时的那个 。② 以为任何飞掠都能多出 （只有迎面飞来、正好折返的极限情形才是）。③ 以为“引力做的总功为零”在任何参考系中都成立。 三、典例精析 【例12】（原创·木星借力，多选）探测器以相对太阳的速度 飞近木星，木星绕太阳运动的速度为 ，在飞掠的短时间内可视为匀速直线运动，木星质量远大于探测器，不考虑太阳等其他天体的影响。探测器分别从木星运动的反方向或同方向接近（同向时 ），绕到木星另一侧后折返，飞离木星后相对太阳的速度大小分别为 、，如图所示。在木星运动方向上，这一过程可以与弹性碰撞类比。下列说法正确的是（　　） A．以木星为参考系，探测器飞离时的速率等于飞近时的速率 B． C．同向接近时，探测器飞离后速度变小， D．反向接近的过程中，以太阳为参考系，木星引力对探测器做的总功为零 【解析】物理（换到木星参考系）：木星不动，探测器从远处飞近又飞离到远处，引力做的总功为零，速率不变，只改方向，A 对。 物理（换回太阳参考系）：反向接近时，相对木星的速率为 ，折返后相对木星仍为 、方向与 相同，再加上木星的 ，，B 错。 同向接近时，相对木星的速率为 ，折返后相对木星的速度为 、方向与 相反，换回太阳参考系为 ，大小 。代数：因 ，，所以 ，C 对。 物理：反向接近时探测器在太阳参考系中动能增大，木星引力对它做了正功，D 错。“总功为零”只在木星参考系中成立。 【答案】AC 四、变式训练 【变式12-1】（原创·借木星加速）木星绕太阳运动的速度 。一个质量为 的探测器以相对太阳 的速度迎着木星飞来，绕到木星背后折返（可看作一维弹性“碰撞”，木星质量远大于探测器）。 （1）探测器飞离木星后相对太阳的速度多大？ （2）探测器动能的增加量是多少（用 、、 表示）？这些能量从哪里来？ （3）若探测器从木星后方以 （）追上木星并绕到前方折返，飞离后速度多大？比原来大还是小？ 【变式12-2】（原创·换个参考系看碰撞）质量 的小球以 的速度与静止的质量 的小球发生弹性正碰。 （1）求两球的质心速度 ； （2）在以 运动的参考系中，弹性碰撞后两球的速度只反向、大小不变。用这一方法求碰后两球相对地面的速度； （3）用动量守恒、动能守恒验证你的结果。 参考答案与解析（解析版） 专题12　引力弹弓 变式12-1　（1）；（2），来自木星的动能；（3），比原来小（减速）。 （1）物理：木星参考系中探测器速率不变、方向反向：相对速度 ；换回太阳参考系再加上 ：。 （2）代数：。物理：系统动量守恒，木星被往后拽了极小的速度，木星减少的动能就是探测器增加的动能。 （3）物理：相对木星的速度为 （向前），折返后为 （向后）；换回太阳参考系，速度为 ，大小 。 变式12-2　（1）；（2）（反弹），；（3）碰撞前后总动量均为 ，总动能均为 。 （1）。 （2）物理：在以 运动的参考系中两球速度分别为 、，弹性碰撞后只反向，变为 、；换回地面系加上 ：，。即 。 （3）动量：；动能：。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考物理一轮复习 · 万有引力与航天 · 体系化专题讲义（专题11　原卷版＋解析版） 专题11　拉格朗日点（原卷版） 一、情境引入 · “鹊桥”中继星在地月 点附近，比月球离地球还远，却和月球一起绕地球转，始终待在月球背后——按开普勒第三定律它本该转得更慢，它是怎么跟上的？ · 韦布空间望远镜停在日地 点附近，那里离地球约 150 万千米——为什么偏偏是这个位置？ 二、知识梳理 1. 拉格朗日点：在两个大天体（如地球与月球、太阳与地球）的共同引力作用下，小天体能与两个大天体保持相对位置不变的点。共有 5 个。 1. 关键条件——同一个角速度：处在拉格朗日点的小天体与两个大天体以相同的角速度转动，它的角速度不是由“只绕一个中心天体”的开普勒第三定律决定的。 1. 列方程（以 为例，地球质量 、月球质量 、地月距离 、 到月球距离 ，地球近似不动）： · 月球：； · 处的卫星（两个引力同向相加）：。 · 在两大天体之间，两个引力反向，要相减，转动半径为 。若题目把两大天体看成双星，则 ，转动中心在两者的质心。 1. 与月球（或地球）的比较：处在拉格朗日点的小天体与月球的 相同，比较线速度、向心加速度时用 、，只看转动半径。“轨道越高越慢”只适用于只受一个中心天体引力的情形。 1. 拓展：、、 三点不稳定，航天器需要不时修正位置；、 与两大天体构成等边三角形，是稳定的。 图 11-1　日地系统的五个拉格朗日点 易错　① 漏掉月球（或地球）的引力。② 用卫星自己的 。③ 、 处第二个天体引力的方向搞反。 三、典例精析 【例11】（2023·福建卷，多选）韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日 点附近。在 点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点 转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为 和 ，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为 ， 点到地心的距离记为 （），在 点的航天器绕 点转动的角速度大小记为 。下列关系式正确的是（　　）［可能用到的近似 ］ A． B． C． D． 四、变式训练 【变式11-1】（2026·黑吉辽蒙卷，多选）我国计划将“羲和二号”太阳探测卫星部署至日地系统拉格朗日点 L5。研究表明，太阳中心 、地球中心 和 L5 的连线构成稳定的等边三角形，太阳、地球和部署在 L5 的卫星以相同周期绕日地连线上的 点做圆周运动，如图所示，则（　　） A．卫星的向心加速度比地球的大 B．卫星与地球的线速度大小相等 C．太阳和地球对卫星引力的合力指向 、 连线中点 D．太阳和地球对卫星的引力大小之比等于太阳和地球的质量之比 【变式11-2】（原创·鹊桥号，多选）“鹊桥”号中继星位于地月拉格朗日 点附近，与月球一起以相同的周期绕地球转动，始终处在地球和月球连线的延长线上（月球外侧）。下列说法正确的是（　　） A．鹊桥号的线速度比月球的小 B．鹊桥号的向心加速度比月球的大 C．鹊桥号做圆周运动所需的向心力仅由地球的引力提供 D．若没有月球，只受地球引力的物体在鹊桥号所在位置做匀速圆周运动，其周期比月球的长 【变式11-3】（原创·韦布望远镜离地球多远）地球质量约为太阳质量的 ，日地距离约为 。利用例 11 中 的表达式，估算日地 点到地球的距离。 参考答案（原卷版） 专题11　拉格朗日点 例11　BD 变式11-1　AD 变式11-2　BD 变式11-3　约 专题11　拉格朗日点（解析版） 一、情境引入 · “鹊桥”中继星在地月 点附近，比月球离地球还远，却和月球一起绕地球转，始终待在月球背后——按开普勒第三定律它本该转得更慢，它是怎么跟上的？ · 韦布空间望远镜停在日地 点附近，那里离地球约 150 万千米——为什么偏偏是这个位置？ 二、知识梳理 1. 拉格朗日点：在两个大天体（如地球与月球、太阳与地球）的共同引力作用下，小天体能与两个大天体保持相对位置不变的点。共有 5 个。 1. 关键条件——同一个角速度：处在拉格朗日点的小天体与两个大天体以相同的角速度转动，它的角速度不是由“只绕一个中心天体”的开普勒第三定律决定的。 1. 列方程（以 为例，地球质量 、月球质量 、地月距离 、 到月球距离 ，地球近似不动）： · 月球：； · 处的卫星（两个引力同向相加）：。 · 在两大天体之间，两个引力反向，要相减，转动半径为 。若题目把两大天体看成双星，则 ，转动中心在两者的质心。 1. 与月球（或地球）的比较：处在拉格朗日点的小天体与月球的 相同，比较线速度、向心加速度时用 、，只看转动半径。“轨道越高越慢”只适用于只受一个中心天体引力的情形。 1. 拓展：、、 三点不稳定，航天器需要不时修正位置；、 与两大天体构成等边三角形，是稳定的。 图 11-1　日地系统的五个拉格朗日点 易错　① 漏掉月球（或地球）的引力。② 用卫星自己的 。③ 、 处第二个天体引力的方向搞反。 三、典例精析 【例11】（2023·福建卷，多选）韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日 点附近。在 点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点 转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为 和 ，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为 ， 点到地心的距离记为 （），在 点的航天器绕 点转动的角速度大小记为 。下列关系式正确的是（　　）［可能用到的近似 ］ A． B． C． D． 【解析】物理（双星）：地球绕 的半径为 ，，代数得 ，B 对、A 错。 物理（同一个 ）： 处航天器绕 的半径为 ，。 代数：用所给近似展开， 一项与 相消，整理得 ，，D 对。 【答案】BD 四、变式训练 【变式11-1】（2026·黑吉辽蒙卷，多选）我国计划将“羲和二号”太阳探测卫星部署至日地系统拉格朗日点 L5。研究表明，太阳中心 、地球中心 和 L5 的连线构成稳定的等边三角形，太阳、地球和部署在 L5 的卫星以相同周期绕日地连线上的 点做圆周运动，如图所示，则（　　） A．卫星的向心加速度比地球的大 B．卫星与地球的线速度大小相等 C．太阳和地球对卫星引力的合力指向 、 连线中点 D．太阳和地球对卫星的引力大小之比等于太阳和地球的质量之比 【变式11-2】（原创·鹊桥号，多选）“鹊桥”号中继星位于地月拉格朗日 点附近，与月球一起以相同的周期绕地球转动，始终处在地球和月球连线的延长线上（月球外侧）。下列说法正确的是（　　） A．鹊桥号的线速度比月球的小 B．鹊桥号的向心加速度比月球的大 C．鹊桥号做圆周运动所需的向心力仅由地球的引力提供 D．若没有月球，只受地球引力的物体在鹊桥号所在位置做匀速圆周运动，其周期比月球的长 【变式11-3】（原创·韦布望远镜离地球多远）地球质量约为太阳质量的 ，日地距离约为 。利用例 11 中 的表达式，估算日地 点到地球的距离。 参考答案与解析（解析版） 专题11　拉格朗日点 变式11-1　AD 物理（同一个 ）：太阳、地球、卫星都绕 点转动，角速度相同。几何： 在日地连线上、靠近太阳，卫星到 的距离大于地球到 的距离（设日地距离为 、，则 ）。所以 卫星大，A 对； 卫星大，B 错。 物理：卫星做圆周运动的圆心是 ，合力必须指向 ，不是 、 连线中点，C 错。 物理：等边三角形中卫星到太阳、地球的距离相等，，两个引力之比等于太阳与地球的质量之比，D 对。 变式11-2　BD 物理（同一个 ）：鹊桥号与月球周期相同、角速度相同，鹊桥号的转动半径更大，、 都比月球大，A 错、B 对。 物理：鹊桥号在月球外侧，地球和月球的引力都指向地球一侧，两者共同提供向心力，C 错。 物理（开普勒第三定律）：只受地球引力时，轨道半径越大周期越长；该位置比月球离地球远，周期比月球长，D 对。正是月球多给的那份引力，让鹊桥号能“跟上”月球。 变式11-3　约 代数：，，约为日地距离的百分之一，与韦布望远镜的实际位置相符。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考物理一轮复习 · 万有引力与航天 · 体系化专题讲义（专题7　原卷版＋解析版） 专题7　圆轨道能量与变轨做功（原卷版） 一、情境引入 · 轨道越高，卫星跑得越慢，可把它送上去却要花更多的能量——“速度”和“能量”为什么背道而驰？ · 稀薄大气的阻力让卫星越转越快；想追上同一轨道前方的飞船，反而要先减速——这是怎么回事？ 二、知识梳理 1. 圆轨道的能量：由 得 ；又 ，所以机械能 。三者之比 。以上只适用于圆轨道；椭圆轨道的机械能要把 换成半长轴 ，（见专题 8）。 1. 轨道越高，机械能越大： 越大， 越大（越接近零），但 越小。升高轨道时势能的增加量是动能减少量的 2 倍，所以必须由外界（发动机）补充能量。 1. 阻力使卫星“越转越快”：阻力做负功，机械能减小，轨道半径缓慢减小，而 反而增大。 1. 变轨做功：发动机做的功等于机械能的增加量，，只与始末轨道有关。 1. 椭圆变轨：在小圆轨道上 点加速，引力不足以提供所需向心力，卫星沿椭圆远离到 点；在 点再加速，进入大圆轨道。速度关系 。在同一点，若卫星只受中心天体的引力，不论在哪条轨道上，加速度都是 ，只由位置决定。 图 7-1　圆轨道的三种能量与椭圆变轨 易错　① 只算动能的变化而忘了势能。② 以为终点速度变小了，发动机就做了负功。③ 把“同一点加速度相同”误说成“同一点速度相同”。 三、典例精析 【例7】（2025·北京卷）2024 年 6 月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道 1 上绕月球飞行，在 点变轨后进入椭圆轨道 2， 为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道 2 上从 向 运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道 2 上从 向 运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道 2 上机械能与在轨道 1 上相等 D．利用引力常量和轨道 1 的周期，可求出月球的质量 四、变式训练 【变式7-1】（2025·江西卷）如图所示，Ⅰ和Ⅱ分别为神舟二十号飞船的近地圆轨道、椭圆变轨轨道，Ⅲ为天和核心舱运行圆轨道，、 为变轨点。不计阻力，飞船在轨道Ⅱ上从 点到 点运动过程中，下列选项正确的是（　　） A．速率增大，机械能增大 B．速率减小，机械能减小 C．速率增大，机械能不变 D．速率减小，机械能不变 【变式7-2】（原创·阻力让卫星变快）质量为 的卫星在稀薄大气中运行，轨道半径从 缓慢减小到 ，每一圈都可看作圆周运动。地球质量为 ，引力常量为 。 （1）此过程中卫星的动能、势能、机械能各如何变化？ （2）求大气阻力对卫星做的功 ； （3）势能的减少量中，有多少变成了动能？其余的去了哪里？ 【变式7-3】（2026·北京通州模拟）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在 点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。下列说法正确的是（　　） A．空间站变轨前、后在 点的加速度相同 B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C．空间站变轨后在 点的速度比变轨前的小 D．空间站变轨后在近地点的速度比变轨前的小 【变式7-4】（原创·怎样追上前方的飞船）飞船 A 和 B 在同一圆轨道上同向运行，B 在 A 前方不远处。A 只在出发点点火一次，然后沿新轨道绕行一周回到出发点，希望此时恰好与 B 相遇。 （1）若 A 在出发点向前喷气减速，它将进入什么形状的轨道？出发点是这条轨道的近地点还是远地点？ （2）根据开普勒第三定律比较新轨道与原轨道的周期，说明 A 应该先加速还是先减速，才能在回到出发点时追上 B。 参考答案（原卷版） 专题7　圆轨道能量与变轨做功 例7　A 变式7-1　D 变式7-2　（1）动能增大，势能减小，机械能减小；（2）；（3）一半变成动能，另一半通过阻力做功转化为内能。 变式7-3　A 变式7-4　（1）椭圆轨道，出发点是远地点；（2）应先减速。 专题7　圆轨道能量与变轨做功（解析版） 一、情境引入 · 轨道越高，卫星跑得越慢，可把它送上去却要花更多的能量——“速度”和“能量”为什么背道而驰？ · 稀薄大气的阻力让卫星越转越快；想追上同一轨道前方的飞船，反而要先减速——这是怎么回事？ 二、知识梳理 1. 圆轨道的能量：由 得 ；又 ，所以机械能 。三者之比 。以上只适用于圆轨道；椭圆轨道的机械能要把 换成半长轴 ，（见专题 8）。 1. 轨道越高，机械能越大： 越大， 越大（越接近零），但 越小。升高轨道时势能的增加量是动能减少量的 2 倍，所以必须由外界（发动机）补充能量。 1. 阻力使卫星“越转越快”：阻力做负功，机械能减小，轨道半径缓慢减小，而 反而增大。 1. 变轨做功：发动机做的功等于机械能的增加量，，只与始末轨道有关。 1. 椭圆变轨：在小圆轨道上 点加速，引力不足以提供所需向心力，卫星沿椭圆远离到 点；在 点再加速，进入大圆轨道。速度关系 。在同一点，若卫星只受中心天体的引力，不论在哪条轨道上，加速度都是 ，只由位置决定。 图 7-1　圆轨道的三种能量与椭圆变轨 易错　① 只算动能的变化而忘了势能。② 以为终点速度变小了，发动机就做了负功。③ 把“同一点加速度相同”误说成“同一点速度相同”。 三、典例精析 【例7】（2025·北京卷）2024 年 6 月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道 1 上绕月球飞行，在 点变轨后进入椭圆轨道 2， 为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道 2 上从 向 运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道 2 上从 向 运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道 2 上机械能与在轨道 1 上相等 D．利用引力常量和轨道 1 的周期，可求出月球的质量 【解析】物理：在轨道 2 上从 到 ，离月球越来越远，引力与速度方向的夹角大于 ，引力做负功，动能逐渐减小，A 对。加速度 ， 增大，加速度减小，B 错。 物理：从圆轨道 1 进入椭圆轨道 2，要在 点点火加速，发动机做正功，机械能增大，轨道 2 上的机械能比轨道 1 大，C 错。 物理（三步走）：由 求月球质量，还需要轨道 1 的半径，只知道 和周期求不出，D 错。 【答案】A 四、变式训练 【变式7-1】（2025·江西卷）如图所示，Ⅰ和Ⅱ分别为神舟二十号飞船的近地圆轨道、椭圆变轨轨道，Ⅲ为天和核心舱运行圆轨道，、 为变轨点。不计阻力，飞船在轨道Ⅱ上从 点到 点运动过程中，下列选项正确的是（　　） A．速率增大，机械能增大 B．速率减小，机械能减小 C．速率增大，机械能不变 D．速率减小，机械能不变 【变式7-2】（原创·阻力让卫星变快）质量为 的卫星在稀薄大气中运行，轨道半径从 缓慢减小到 ，每一圈都可看作圆周运动。地球质量为 ，引力常量为 。 （1）此过程中卫星的动能、势能、机械能各如何变化？ （2）求大气阻力对卫星做的功 ； （3）势能的减少量中，有多少变成了动能？其余的去了哪里？ 【变式7-3】（2026·北京通州模拟）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在 点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。下列说法正确的是（　　） A．空间站变轨前、后在 点的加速度相同 B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C．空间站变轨后在 点的速度比变轨前的小 D．空间站变轨后在近地点的速度比变轨前的小 【变式7-4】（原创·怎样追上前方的飞船）飞船 A 和 B 在同一圆轨道上同向运行，B 在 A 前方不远处。A 只在出发点点火一次，然后沿新轨道绕行一周回到出发点，希望此时恰好与 B 相遇。 （1）若 A 在出发点向前喷气减速，它将进入什么形状的轨道？出发点是这条轨道的近地点还是远地点？ （2）根据开普勒第三定律比较新轨道与原轨道的周期，说明 A 应该先加速还是先减速，才能在回到出发点时追上 B。 参考答案与解析（解析版） 专题7　圆轨道能量与变轨做功 变式7-1　D 物理：从 到 离地心越来越远，引力方向与速度方向夹角大于 ，引力做负功，速率减小；不计阻力，只有引力做功，机械能守恒。 变式7-2　（1）动能增大，势能减小，机械能减小；（2）；（3）一半变成动能，另一半通过阻力做功转化为内能。 物理：每一圈都近似为圆，，，；阻力做的功等于机械能的变化。 代数：。势能减少 ，动能增加 ，恰为一半。 变式7-3　A 物理：变轨前后在同一点 ，到地心的距离相同，受到的引力相同，加速度相同，A 对。 物理（开普勒第三定律）：变轨后的半长轴大于原轨道半径，周期变大，B 错。 物理：原速度沿切线方向，喷气后又获得沿半径方向的速度，两者垂直，合速度变大，C 错。（从能量看： 点势能不变、动能增大，机械能增大，所以半长轴变大。） 物理：近地点离地心的距离 小于原轨道半径 。在近地点卫星接着要远离地球，速度大于该处圆轨道的速度 ；而 ，，所以近地点速度比变轨前大，D 错。 变式7-4　（1）椭圆轨道，出发点是远地点；（2）应先减速。 （1）物理：减速后在出发点所需向心力 小于引力，飞船向内偏，沿椭圆运动；出发点离地心最远，是远地点。 （2）物理（开普勒第三定律 ）：B 在 A 前方，B 再次到达出发点所用的时间小于原轨道周期 。A 减速后椭圆的半长轴小于原轨道半径，周期小于 ；减速量合适时，A 的周期恰好等于 B 到达出发点所用的时间，两者在出发点相遇。若先加速，半长轴变大、周期大于 ，只会落得更远。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $