精品解析：福建省泉州第一中学2026-2027学年高二上学期10月反馈性练习数学试题

泉州一中2028届高二上学期反馈性练习 2026.10.18 一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的垂直关系即可求解. 【详解】因为，所以，所以，解得． 故选:B 2. 一束光线从点出发，经轴反射后经过点，则入射光线所在直线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点关于轴的对称点，则入射光线所在直线的斜率即直线的斜率. 【详解】点关于轴的对称点为，则直线的斜率， 所以入射光线所在直线的斜率为. 3. 已知，，，则事件与的关系是（ ） A. 与互斥但不对立 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与既互斥又相互独立 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的并集公式和独立事件的定义求解.根据且可以判断事件与互斥但不对立；根据且可以判断事件与对立；根据判断事件与独立. 【详解】，，， ， ，， ，故与互斥但不对立，选项A正确，选项B不正确； ，，故与不独立，选项C和D错误. 4. 已知直线：.当点到的距离最大时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出动直线恒过的定点，当直线与该定点和点的连线垂直时，到直线的距离最大，利用两直线垂直的斜率关系求解. 【详解】将直线的方程整理为关于参数的形式： 令，解得，即直线恒过定点， 当直线时，点到直线的距离最大，最大值为， 因为直线的斜率为，直线的斜率为（）， 所以，由两直线垂直的斜率关系得：，化简解得，验证，符合条件. 所以，. 5. 直线，下列图象中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析两直线的斜率以及在轴上的截距，可得出、的符号，即可得出合适的选项. 【详解】直线， 直线的斜率为，该直线在轴上的截距为， 直线的斜率为，该直线在轴上的截距为， 对于A，由直线的图象可得， 由直线的图象可得，即，满足条件； 对于B，由直线的图象可得， 由直线的图象可得，即，不满足条件； 对于C，由直线的图象可得， 由直线的图象可得，即，不满足条件； 对于D，由直线的图象可得， 由直线的图象可得，即，不满足条件. 6. 从编号为，，，，的张卡片中不放回地依次抽出张，每次抽张，设第一次抽到卡片的号码为，第二次抽到卡片的号码为，则“”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】从张卡片不放回依次抽2张，考虑抽取顺序， 可能出现的结果有，， ，，， 总结果数为， 满足的有序数对有，共种. 事件“”的概率为 . 7. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，则，， ，， ， ，，， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则. 8. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为零的实数，，，使得，其中O为原点，已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，结合充分条件，逐一分析判断选项． 【详解】由题意，向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 选项A：已知，若， 因为，故，，共面， 故不能推出，故A错误； 选项B：已知，若， 设，则，解得， 则， 故，，共面，故不能推出，故B错误； 选项C：已知，若， 设，则，解得， ，故，，共面， 故不能推出，故C错误； 选项D：已知，若， 设，则，方程组无解， 故不存在满足条件的实数，故，，不共面， 故能推出，故D正确． 二、多项选择题．本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球，个黄球，从中不放回地依次随机摸出个球，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与相互独立 【答案】AB 【解析】 【分析】将两个红球编号为、，三个黄球编号为、、，列举出样本空间以及事件、，结合古典概型的概率公式可判断AB选项；利用互斥事件的定义可判断C选项；利用独立事件的定义可判断D选项. 【详解】将两个红球编号为、，三个黄球编号为、、， 则样本空间为 ， 事件， ， 对于AB选项，由古典概型的概率公式可得，，A对，B对； 对于C选项，，故与不互斥，C错； 对于D选项，，故与不独立，D错. 10. 下列结论正确的有（ ） A. 倾斜角为的直线的一个方向向量是 B. 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知直线（，不同时为0），若直线过点，则直线的方程可化为 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A：倾斜角为的直线斜率，因为，，所以是直线的一个方向向量，A正确； 选项B：记，计算得，，直线与线段相交，得斜率，B正确； 选项C：将化为，所以两直线平行，则两平行线距离，C错误； 选项D：因直线过，故，即，代入原方程得，整理为，D正确. 11. 已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 若取得最小值，则 B. 若，则平面 C. 若平面，则三棱锥外接球的表面积为 D. 直线到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】将正四面体放入正方体中，建立空间直角坐标系，对每个选项逐一分析即可． 【详解】将正四面体放入正方体中，以点为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，如图所示， 因为正四面体的长为2， 所以正方体的棱长为， 则，，， 因为点，分别为和的重心， 所以点的坐标为，点的坐标为 所以 设，则， 所以， 所以， ， 对于Ａ：因为， ， 所以， 当时，即，，取得最小值，故A错误； 对于B：若，则， 所以， 因为，，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 因为， 所以平面，即平面，故B正确； 对于C：若平面，则，即， ，即， 设平面的一个法向量为，因为，， 则，取，则， 因为， 所以平面，则三棱锥外接球的球心在直线上， 又因为点为等边三角形的重心， 所以点为等边三角形的外心，外接圆半径为， 设三棱锥外接球的半径为， 则，即，解得， 所以三棱锥P－ABC外接球的表面积为，故C选项正确； 对于D：因为点的坐标为，点的坐标为， 所以， 设平面的一个法向量为， 因为，， 所以，取，则， 因为，且直线平面， 所以直线平面， 所以点到平面的距离就是直线到平面的距离， 则点到平面的距离， 即直线到平面的距离为，故D正确， 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求经过点，，且圆心在直线l：上的圆的标准方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由圆心在弦的中垂线上，求出中垂线方程，可得圆心，再求半径得解. 【详解】圆经过点，，则圆心在直线上， 又圆心在直线l：上， 故圆心坐标为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 13. 已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中．如图，在软件的控制台，输入“sample（0:999，20，）”，按回车键，得到范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_______． > sample（0:999， 20， ） [1] 848 633 761 728 309 16 807 55 606 543 [11] 247 23 538 440 898 557 140 213 458 62 【答案】## 【解析】 【分析】运用频率估计概率进行求解即可。 【详解】在20个不重复的数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有633，309，16，543，247，62共6个， 所以据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 14. 如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，把 化为坐标满足的方程，确定点 所在区域；再把 用坐标表示并配方，即可求出取值范围. 【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 由 ， 得 ，，，. 设 . 因为 在长方体内部（含边界），所以 ，，. 又 ，. 由 得 ，即 ，化简得 . 由 得 ，解得 ，故 ，. 因为 ，，所以 . 又 ，代入得 . 配方得 . 因为 ，，所以当 ， 时（此时 ，符合 ）， 取最小值 . 当 ， 或 ， 时， 取最大值 . 所以 的取值范围是 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点． （1）求证：； （2）若，求三棱锥的体积． 【答案】（1）如图所示， 设点是棱的中点，连接，，， 由及点是棱的中点，可得， 因为平面平面，平面平面，平面，故平面， 又因为平面，所以， 又因为四边形为菱形，所以， 而是的中位线，所以，可得， 又由，且平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以． （2）1 【解析】 【分析】(1)先证明平面得到； (2)将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，由于菱形，正三角形中， 由于平面， 所以． 16. 已知的一条内角平分线的方程为，一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点在直线上，设，由为边上的中线，得出线段的中点在直线上，根据中点公式求出中点，代入直线的方程即可求解； （2）由是的一条角平分线，得出点关于直线的对称点在直线上，由点关于直线对称得出坐标，结合点的坐标求出直线的方程，再与直线联立求出的坐标，由两点之间距离公式求出，由点到直线距离公式求出到直线的距离，即可根据三角形面积公式代入计算即可． 【小问1详解】 因为直线的方程为， 设，又， 所以线段的中点坐标为， 因为线段的中点在直线上， 所以，整理得，即， 所以． 【小问2详解】 因为是的一条角平分线， 所以点关于直线的对称点在直线上， 设， 则，解得， 所以， 所以直线的方程为，整理得， 联立直线与直线的方程，， 解得，即， 所以， 点到直线的距离， 所以． 17. 某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成组，制成了频率分布直方图，如图. （1）采用按比例分配的分层随机抽样的方式从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求至少有名学生的成绩在的概率. （2）已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束.已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立.请通过计算说明如果甲、乙参加首场比赛，甲获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图求出，进而求出指定的两个区间内抽取的人数，再利用列举法求出古典概率. （2）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，解得， 成绩在，的频率之比为， 则在中随机抽取了（人），记为，在中随机抽取了（人），记为， 从5人中随机抽取2人的样本空间，共10个样本点， “至少有1名学生的成绩在内”的事件，有7个样本点， 则，所以至少有1名学生的成绩在内的概率为. 【小问2详解】 首场甲、乙比赛，甲获胜有三种情况： ①甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛甲胜，概率为； ②甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛丙胜，丙、乙比赛乙胜，乙、甲比赛甲胜，概率为； ③甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛丙胜，丙、甲比赛甲胜，甲、乙比赛甲胜，概率为， 所以最终甲获胜的概率为. 18. 菱形ABCD边长为，，延长CD至，使得．将三角形ACE沿AC翻折至三角形，记AC中点为，的中点为． （1）证明：平面； （2）若二面角的平面角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若二面角的平面角是不等于的锐角，若存在实数，，使得，，且平面平面，平面平面，求的最小值． 【答案】（1）因为四边形ABCD是菱形， 所以，， 所以由折叠可知， 因为，平面，平面 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，可得，，根据线面垂直的判定定理即可证明结论. （2）建系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用法向量夹角的余弦值可求平面与平面夹角的余弦值. （3）设二面角平面角为，利用面面垂直的性质得和，转化为向量的数量积的关系，即，，从而用可表示出，，从而将转化为关于的函数，进而可求其最小值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 如图，建立空间直角坐标系， 由（1）可知，则即为二面角的平面角． 若二面角的平面角的余弦值为， 则，，，，， 在平面中，，， 设平面一个法向量为， 则，即， 令，得，， 所以平面一个法向量为； 平面中，，， 设平面一个法向量为， 则，即， 令，得，， 则平面一个法向量为， 所以 ， 所以平面与平面夹角余弦值为． 【小问3详解】 设二面角平面角为， 则，． ∵平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 因为平面， 则． ∵平面平面，平面平面， 平面， 所以平面, 因为平面， 所以． ， ， 由， 同理可得． 所以， 令， 原式， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为． 19. 在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”. （1）如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，求出的值.在点，，，中，哪些点为矩形的“关联点”？ （2）如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围； （3）已知点，图形是以为圆心，1为半径的若线段上存在点，使点为的“关联点”，求的取值范围. 【答案】（1），是关联点； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先求出，再分别求出，，，到矩形中的点的距离最小值，根据定义判断即可； （2）根据图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为，写出，，的坐标，同时得到正方形的边长和对角线长，从而得到，根据直线与对角线平行，设，按照，，且分别讨论； （3）求出直线的方程，由圆半径为得到，从而点到圆上点的距离的最小值为2，则，分别讨论，，求出临界值从而得到的取值范围. 【小问1详解】 如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为， 矩形的对角线长为，这也是矩形中任意两点距离的最大值，所以， 对，矩形中的点到它的距离最小为1，不满足关联点的定义， 不是关联点； 对，矩形中的点到它的距离最小为，满足关联点的定义，是关联点； 对，矩形中的点到它的距离最小为1，不满足关联点的定义，不是关联点； 对，矩形中的点到它的距离最小为， 满足关联点的定义，是关联点；因此，是关联点. 【小问2详解】 如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为. 若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”， 可知正方形的边长为2，对角线长为，因此正方形中，， 直线与对角线平行， 由已知，，，设， 当时，或时， 到正方形上点的距离的最小值为，满足关联点的定义，为关联点； 当时，或时， 到正方形上点的距离的最小值为，为关联点； 当且时，如果在第一象限， 则到正方形上点的距离的最小值为， 因此有， 即在圆的一段弧上. 同理点还在下列三段圆弧上： ，， ； 直线与正方形的一条对角线平行， 直线与图中正方形外围的图形（四段线段与四段圆弧组成）的公共点即为关联点； 当直线与第二象限的一段圆弧相切时，，（舍去）； 同理当直线与第四象限的一段圆弧相切时，； 所以的取值范围是. 【小问3详解】 由题线段所在直线方程为，即， 圆半径为，因此， 点到圆上点的距离的最小值为2，则， 当时，令点到线段所在直线距离为， 此时， 令，；当时，线段上存在点，使点为的“关联点”. 当时，令，， 令，， 当时，线段上存在点，使点为的“关联点”. 如图： 综上可知，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州一中2028届高二上学期反馈性练习 2026.10.18 一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 一束光线从点出发，经轴反射后经过点，则入射光线所在直线斜率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则事件与的关系是（ ） A. 与互斥但不对立 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与既互斥又相互独立 4. 已知直线：.当点到的距离最大时，（ ） A. B. C. D. 5. 直线，下列图象中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 从编号为，，，，的张卡片中不放回地依次抽出张，每次抽张，设第一次抽到卡片的号码为，第二次抽到卡片的号码为，则“”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A. B. C. D. 8. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为零的实数，，，使得，其中O为原点，已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题．本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球，个黄球，从中不放回地依次随机摸出个球，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与相互独立 10. 下列结论正确的有（ ） A. 倾斜角为的直线的一个方向向量是 B. 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知直线（，不同时为0），若直线过点，则直线的方程可化为 11. 已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 若取得最小值，则 B. 若，则平面 C. 若平面，则三棱锥外接球的表面积为 D. 直线到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求经过点，，且圆心在直线l：上的圆的标准方程为_____. 13. 已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中．如图，在软件的控制台，输入“sample（0:999，20，）”，按回车键，得到范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_______． > sample（0:999， 20， ） [1] 848 633 761 728 309 16 807 55 606 543 [11] 247 23 538 440 898 557 140 213 458 62 14. 如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点． （1）求证：； （2）若，求三棱锥的体积． 16. 已知的一条内角平分线的方程为，一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求的面积． 17. 某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成组，制成了频率分布直方图，如图. （1）采用按比例分配的分层随机抽样的方式从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求至少有名学生的成绩在的概率. （2）已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束.已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立.请通过计算说明如果甲、乙参加首场比赛，甲获胜的概率. 18. 菱形ABCD边长为，，延长CD至，使得．将三角形ACE沿AC翻折至三角形，记AC中点为，的中点为． （1）证明：平面； （2）若二面角的平面角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若二面角的平面角是不等于的锐角，若存在实数，，使得，，且平面平面，平面平面，求的最小值． 19. 在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”. （1）如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，求出的值.在点，，，中，哪些点为矩形的“关联点”？ （2）如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围； （3）已知点，图形是以为圆心，1为半径的若线段上存在点，使点为的“关联点”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $