精品解析：福建厦门海沧实验中学2026-2027学年第一学期高二10月阶段测试数学试卷

厦门海沧实验中学2026-2027学年第一学期高二10月阶段测试 数学试卷 班级：___________姓名：___________学号：___________ 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱锥中，点D是棱的中点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若且，则 10. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 可能垂直于轴 B. 可能垂直于轴 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，，则下列选项中正确的是（ ） A. 若直线平面，点P的轨迹长度为 B. 若，则直线与所成角的取值范围是 C. 若，则平面平面 D. 若，则的最小值为 三、填空题 （本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线，则其在轴上的截距为________. 13. 若，，三点共线，则______. 14. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 四、解答题 （本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 16. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 17. 如图，在正方体中，为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 如图，在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，且∥∥． （1）求证：四点共面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，． （1）若平面．证明：； （2）若平面平面， （i）证明：； （ii）若，求平面与平面夹角的正弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门海沧实验中学2026-2027学年第一学期高二10月阶段测试 数学试卷 班级：___________姓名：___________学号：___________ 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系关于坐标轴的对称点的特征即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为. 故选：C. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设直线倾斜角为， 直线的斜率，则． 3. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A选项，成立，故不能构成空间的另一个基底； 对于B选项，不存在实数，，使得，故能构成空间的另一个基底； 对于C选项，，故不能构成空间的另一个基底； 对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底． 4. 如图，在三棱锥中，点D是棱的中点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设及图知. 5. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果 【详解】由题意得，， 因为 , 所以 ， 所以， 故选：C 6. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 所以， 所以点到直线的距离是. 故选：D. 7. 已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】整理直线的方程，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为，斜率为， 若，解得；若，解得或， 综上，的取值范围是或. 8. 在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题通过建立空间直角坐标系，利用线面角的向量计算公式，将的最小值问题转化为求的最大值问题，结合二次函数的最值性质求解. 【详解】 如图：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，、、,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，可得各点坐标: ，因点在线段上，设，其中， ，设平面的法向量为，则 ，令，解得，即， 又，， 则， 由同角三角函数关系得，要使最小，需使最大， 当时，，此时取得最大值， 代入得：. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算逐一判断即可. 【详解】对于A，由，可知，， 故，正确； 对于B，由，可知，，, 所以，错误； 对于C，若，且，则，即，正确； 对于D，若且，则设，那么， ，正确. 10. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 可能垂直于轴 B. 可能垂直于轴 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线平行的条件、直线垂直的条件逐项判断即可. 【详解】对于A，因为直线，的系数不为0，所以不垂直于轴，A错误； 对于B，当时，，与轴垂直，B正确； 对于C，当时，. 因为直线的斜率均为且不重合，所以两直线平行，C正确； 对于D，因为，所以，解得或. 当时，由C选项知两直线是平行的； 当时，，斜率均为，且两直线不重合，所以两直线平行. 故时或，D错误； 故选：BC. 11. 已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，，则下列选项中正确的是（ ） A. 若直线平面，点P的轨迹长度为 B. 若，则直线与所成角的取值范围是 C. 若，则平面平面 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由线面平行的性质，线面角，线面垂直的性质以及平面对称的向量求法即可求解. 【详解】依题意，如图以A为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 因为，则， 对于A，设平面的法向量为， 因为，，， 所以，故可取 ，由平面可得，即， 即点三条共线，故的轨迹为线段，而，故A正确； 对于B，当时，，所以，， 设与所成角为， 则， 当时，在，，故， 则有，故B错误； 对于C，设平面法向量为， 因为，， 则，故可取， 设平面的法向量为， 当时，，， ，故可取， ，故平面平面，即C正确； 对于D，当时，点在平面内， 关于平面的对称点，连接交平面于点， 连接，则，因， 由图知 则当三点共线且点在之间时，取得最小值为，故D正确. 三、填空题 （本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知直线，则其在轴上的截距为________. 【答案】 【解析】 【详解】令代入直线方程，可得  ，解得， 因此该直线在轴上的截距为. 13. 若，，三点共线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】三点共线可得到与共线，利用向量共线定理即可求出答案. 【详解】，， 若，，三点共线，则向量与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得， 故答案为：. 14. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合材料，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，即可求解. 【详解】根据材料可知，由平面的方程为，得为平面的法向量， 同理可知，与分别为平面与的法向量. 设直线的方向向量，则，即，取，则. 设直线与平面所成角为，则. 故答案为：. 四、解答题 （本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示求解. 【小问1详解】 ，， ，， . 【小问2详解】 设与的夹角为，则， ，， ，， ， ， 向量与夹角的余弦值为. 16. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 【答案】（1） （2） 或 （3）， 【解析】 【分析】（1）先求出的中点坐标，再由点斜式方程即可求得中线所在直线方程； （2）依题意，分截距为与不为两种情况，截距为时，直接用点斜式即可求得直线方程；截距不为时，设截距式方程，代入点求出参数即得所求直线方程； （3）先求出边的垂直平分线的方程，再利用对称性列方程求解即得对称点的坐标. 【小问1详解】 因，，，设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； 【小问2详解】 依题意，当截距为时，直线井过原点和点，则其方程为，即； 当截距不为时，依题意，可设直线，代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或； 【小问3详解】 的中点，斜率为，则其垂直平分线的斜率为， 故有，即. 设关于的对称点，则中点在上且， 则，解得，，故. 17. 如图，在正方体中，为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2 则，，，， ， （1）设平面的法向量为，， 令，则，， ，， 面平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2 （1）求出平面的法向量和，由可得答案； （2）直线到平面的距离即为点到平面的距离，利用可得答案； （3）求出平面的一个法向量设平面与平面夹角为，可得答案. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2 则，，，， ， （1）略； （2）平面，直线到平面的距离即为点到平面的距离， ，，==， 直线到平面的距离为. （3）平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为， ，==， 所以平面与平面夹角的余弦值. 【点睛】方法点睛：本题考查空间中线面平行关系、线面距离、面面角的求法，关键点是建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题，考查学生的空间想象力和运算能力. 18. 如图，在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，且∥∥． （1）求证：四点共面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为平面平面， 所以． 因为四边形是正方形，所以，所以两两垂直， 则以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系： 根据题意，得． 所以． 因为， 所以共面， 又有公共点， 所以四点共面． （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，只需证出共面即可得证； （2）利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：存在，理由如下： ，则， 设为平面的法向量， 则，即，令， 得平面的一个法向量为． 假设线段上存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为， 令， 则， 设为平面的法向量，则， 即， 令，得平面的一个法向量为． 设平面与平面所成角为， 则． 化简整理，得，因为，所以， 所以在线段上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为，此时． 19. 如图，在四棱锥中，底面，，，． （1）若平面．证明：； （2）若平面平面， （i）证明：； （ii）若，求平面与平面夹角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）在中，由余弦定理得， 即，所以， 因为，所以， 因为底面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以平面， 因为平面，所以． （2）（i）如图：过点作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． （ii） 【解析】 【分析】（1）在中利用余弦定理求得，由勾股定理逆定理得关系，由线面垂直的性质得到线线垂直，由线面垂直的判定得证； （2）（i）由面面垂直的性质得到线面垂直，由此得到线线垂直，再由线面垂直的判定得到线面垂直，从而得到线面垂直； （ii）由三线两两垂直，即可建立空间直角坐标系，设线段长即可写出点坐标，由空间向量的数量积求得平面和平面的法向量，再由空间向量的数量积求得平面和平面夹角的正弦值，由函数的单调性求得平面与平面夹角的正弦值的取值范围. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 （i）略. （ii）由（i）知，所以，设，则， 过点作轴平行于，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，可得， 设平面的法向量为，则 ，即，令，可得， 所以， 设平面与平面夹角为， 则， 又，所以随着的增大而增大， 当时，，当时，， 所以，平面与平面夹角正弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $