精品解析：福建省南平市顺昌县第一中学2026-2027学年高二上学期10月适应性练习数学试题

顺昌一中2026-2027学年第一学期高二年级10月适应性练习 数学 （时长：120分钟 满分：150分） 范围：人教A版必修第二册，第十章，选择性必修一第一章 一、单选题：（本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行六面体中，（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的含《新安吏》和《无家别》的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 4 6. 已知，，，则事件与的关系是（ ） A. 与互斥但不对立 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与既互斥又相互独立 7. 已知向量，，，则三棱锥的体积为（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 如图，正方体中，点是的中点，点为正方形内一动点，且平面，若异面直线与所成角为，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是空间的一个基底，那么下列选项中可作为基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 的长为 D. 与平面所成角的正弦值为 11. 设A，B是两个随机事件，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. 若A与B互斥，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 13. 在一次猜灯谜活动中，共有10道灯谜、甲、乙两名同学独立竞猜，甲同学猜对了8道，乙同学猜对了4道，假设猜对每道灯谜是等可能的．若任选一道灯谜，则恰有一人猜对的概率为______． 14. 如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，_____. 三、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，. （1）用，，表示，并求出； （2）求证：. 16. 已知向量，. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数的值. 17. 某学校在元宵节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道. （1）从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； （2）假设从第二关的20道灯谜中任选一道，甲猜对该题的事件与乙猜对该题的事件相互独立，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率. 18. 如图，三棱锥中，点在上，，，． （1）证明：； （2）若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 在棱长为3的正方体中，点E，F分别在线段AB，BC上，且满足. （1）取的中点为M， 的中点为N，求证： 底面OABC； （2）求证： ； （3）若，请问：在线段上是否存在点G，使得二面角为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺昌一中2026-2027学年第一学期高二年级10月适应性练习 数学 （时长：120分钟 满分：150分） 范围：人教A版必修第二册，第十章，选择性必修一第一章 一、单选题：（本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】点关于轴对称的点的坐标为． 2. 如图，在平行六面体中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 3. 如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 4. 杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的含《新安吏》和《无家别》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法求得总的选法种数和符合条件的选法种数，从而可得答案. 【详解】《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》分别记为a、b、c, 《新婚别》《无家别》《垂老别》分别记为d、e、f, 从“三史”中选两篇，从“三别”中选一篇，有: abd,abe,abf；acd,ace,acf；bcd,bce,bcf,共计9种不同的结果,每种结果都是等可能的，其中含《新安史》和《无家别》的选法有abe,ace，共有2种， ∴所求概率为, 故选：A. 5. 已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 6. 已知，，，则事件与的关系是（ ） A. 与互斥但不对立 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与既互斥又相互独立 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的并集公式和独立事件的定义求解.根据且可以判断事件与互斥但不对立；根据且可以判断事件与对立；根据判断事件与独立. 【详解】，，， ， ，， ，故与互斥但不对立，选项A正确，选项B不正确； ，，故与不独立，选项C和D错误. 故选：A. 7. 已知向量，，，则三棱锥的体积为（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平面的法向量，再利用向量求出点到平面的距离，然后利用向量求出点到直线的距离，进而求出的面积，最后利用三棱锥的体积公式即可. 【详解】设平面的法向量为， 则，则， 则点到平面的距离为， 又，， 则点到直线的距离为， 则， 故三棱锥的体积为. 8. 如图，正方体中，点是的中点，点为正方形内一动点，且平面，若异面直线与所成角为，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设点，求得平面的一个法向量为，根据平面，得到，结合向量的夹角公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】以为原点，以，，所在直线为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设，，， 则，，，， 可得，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 因为平面，所以， 设异面直线与所成角为， 则， 当最大时，取最小值， 由， 所以当时，最大为，此时最小为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是空间的一个基底，那么下列选项中可作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间向量基底的性质，依次判断即可. 【详解】对于A，假设，，共面， 则存在实数使得，即， 由于不共面，则对应向量的系数必须相等，即，解得， 所以向量，，共面，不能作为基底，故A错误； 对于B，假设，，共面， 则存在实数使得，得， 所以向量，，共面，不能作为基底，故B错误； 对于C，假设，，共面， 则存在实数使得，即 由于不共面，则对应向量的系数必须相等，即，方程无解， 所以向量，，不共面，能作为基底，故C正确； 对于D，假设，，共面， 则存在实数使得，即 由于不共面，则对应向量的系数必须相等，即，矛盾， 所以向量，，不共面，能作为基底，故D正确. 10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 的长为 D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过可判断A，通过，可判断B，由可判断C，对于D，法一：过作平面，确定 与平面所成角为，再通过向量的夹角公式可判断，法二：设底面正的中心为，求得，结合直角三角形即可求解. 【详解】A选项：由平行六面体的定义，，平面，平面，由线面平行的判定定理，得平面，所以A正确； B选项： ， 故，，即，， 又，且，平面， 由线面垂直的判定定理，得平面，所以B正确； C选项： ，则，所以C不正确； D选项：法一（向量法）：过作平面，垂足为，连接． 由，且，得为等边三角形，则． 因为平面，所以，，由三角形全等可得， 故在的平分线上，因此与平面所成角为． 由，得，即． ， ， 故直线与平面所成角的正弦值为； 法二（几何法）： 连接，，，由， ，可得， 即四面体为棱长为1的正四面体． 设底面正的中心为，则， 平面，平面，， 在中，． 设与平面所成角为，则，故D正确． 11. 设A，B是两个随机事件，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. 若A与B互斥，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用和事件的概率公式，及相互独立事件同时发生的概率公式即可求解；对于B，利用互斥事件的关系即可求解； 对于C，根据积事件的概率公式，及事件的关系即可求解； 对于D,根据和事件的概率公式求出再由相互独立事件的定义得到A与B相互独立再利用和事件的概率公式即可求解 【详解】若A与B相互独立，则， ∴，故A正确； 若A与B互斥，则，∴，故B错误； ∵，∴， ∴，故C正确； ∵，∴， ∴A与B相互独立.∴与B相互独立，A与相互独立. ∴ ，故D正确. 故选：ACD. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【详解】根据向量坐标的计算公式，， 根据投影向量的计算公式在方向上的投影向量为， 即. 13. 在一次猜灯谜活动中，共有10道灯谜、甲、乙两名同学独立竞猜，甲同学猜对了8道，乙同学猜对了4道，假设猜对每道灯谜是等可能的．若任选一道灯谜，则恰有一人猜对的概率为______． 【答案】##0.56 【解析】 【分析】已知甲、乙两人猜灯谜的独立事件恰有一人猜对的概率P, 设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”,则. 【详解】设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则，， 所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为： ． 故答案为：. 14. 如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，_____. 【答案】## 【解析】 【分析】首先建立空间直角坐标系，根据，利用空间向量位置关系求出点N的坐标，再代入两点间距离公式，即可求解． 【详解】以点A为原点，，为，轴的正方向，过点A作y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，则． 由于为的中点，可得． 设，由于为上靠近的三等分点， 则 ． 因为，所以，得． 此时，， 所以． 三、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，. （1）用，，表示，并求出； （2）求证：. 【答案】（1）， （2） 由（1）可知，，， 所以 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）由平行四边形法则可得，在中，根据重心的性质可得，即可求解； （2）由（1）可知，，，利用向量的数量积运算即可求解. 【小问1详解】 由点是线段的中点，得， 由点是的重心，得， 所以， 因为正四面体中，，， 故， 所以， 即； 【小问2详解】 略 16. 已知向量，. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1）3 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）先求空间向量和的坐标，再求其模长； （2）代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角； （3）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量. 【小问1详解】 因为，， 所以， . 【小问2详解】 ， ， ， 所以与的夹角为； 【小问3详解】 ， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 17. 某学校在元宵节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道. （1）从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； （2）假设从第二关的20道灯谜中任选一道，甲猜对该题的事件与乙猜对该题的事件相互独立，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【小问1详解】 设事件“任选2道灯谜，甲都猜对”，用1，2，3，4，5表示第一关的5道灯谜，其中1，2，3，4表示甲猜对的4道， 则样本空间为，， 所以，， 根据古典概型的计算公式， 得． 【小问2详解】 设事件“任选一道灯谜，甲猜对”，事件“任选一道灯谜，乙猜对”， 事件“任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”， 根据题意可得， ，，，． 因为，且，互斥， 由已知相互独立，所以，相互独立，，也相互独立． 所以 ． 即甲、乙两人恰有一个人猜对的概率为． 18. 如图，三棱锥中，点在上，，，． （1）证明：； （2）若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明： 因为且，，且， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面， 平面，平面， 所以平面， 故. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，再结合线面垂直的性质定理证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，求解向量和平面的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法二：利用体积法解出设点到平面的距离为，进而计算线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以 ， 所以与平面所成的角的正弦值为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，. ， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得： ，即， 解得：. 所以. 19. 在棱长为3的正方体中，点E，F分别在线段AB，BC上，且满足. （1）取的中点为M， 的中点为N，求证： 底面OABC； （2）求证： ； （3）若，请问：在线段上是否存在点G，使得二面角为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线的性质，结合线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设点坐标根据线线垂直计算即可证明； （3）利用面面垂直结合平面法向量的关系计算即可. 【小问1详解】 因为M是的中点，N是的中点， 所以在三角形中，是中位线，所以. 又因为A，F都在底面上， 所以平面，且不在底面内， 所以平面； 【小问2详解】 以O为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，. 设，.因为，， 所以，. 于是，， 由题意，得 即.化简得. 因此. 【小问3详解】 由，且，得. 由第（2）问可知，所以，. 设点G在线段上，则，. 要求二面角为，即平面GEF与平面垂直. 易知，. 设平面GEF的一个法向量为. 因为，，所以； 取，得，. 则平面GEF的一个法向量为. 再求平面的一个法向量. 因为，所以. 设平面的一个法向量为. 因为，，所以； 取，得，， 则平面的一个法向量为 若平面，则两个平面的法向量互相垂直，故. 所以.即，解得. 因为，所以满足条件的点G存在. 此时，，因此. 综上，在线段上存在点G，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $