精品解析：江苏省苏州实验中学科技城校2026-2027学年高一上学期10月学情调研数学试卷

高一年级10月学情调研 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，则. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定，将任意改为存在并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定是特称命题，则原命题的否定为. 故选：D 3. 设集合，，若，则（ ） A. 2 B. 1或2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合包含关系结合集合互异性可得答案. 【详解】由题可得中有两个元素与中元素相同. 若，则，不满足； 若，则，满足题意. 综上可得. 4. 设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于定义在集合中的任意一个x，在集合中都有唯一确定的y与之对应，函数的定义域为，值域为集合Q的子集. 对于A，，定义域不符，A错误； 对于B，时，一个x对应两个y值，B错误； 对于C，时，对应了两个y值，C错误； 对于D，，，值域是集合Q的子集，每个x都有唯一的y与之对应，D正确. 5. 已知都是正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举出反例以及结合基本不等式判断“”和“”的逻辑关系，即得答案. 【详解】由题意可知当时，可取，显然不能推出； 当时，且，所以，即，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 6. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式即可求解. 【详解】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 7. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二次不等式的解集和韦达定理，来确定之间的关系，再代入分式不等式求解即可. 【详解】因为的解集为，所以的根为，且根据一元二次不等式的特征得：； 根据韦达定理得：，所以，代入不等式得：，因为，所以，等价于，解得解集为； 故选：. 8. 若对任意实数，，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数，恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案． 【详解】对任意实数，，不等式恒成立， 则对于任意实数，恒成立， 则只需求的最大值即可，， 设，则， 再设，则 ， 当且仅当，即时取得“＝”． 所以，即实数a的最小值为． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于实数，，，下列命题是真命题的为（ ） A. 若且，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【详解】因为，所以，故A错误； 因为，，所以，故B错误； 因为，所以，，所以，故C正确； 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，故D正确. 10. 已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】依题意可得和为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到，即可得到，从而判断A；再利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以和为关于的方程的两根且， 所以，所以，所以，故A正确； 又，所以，解得，当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C正确； 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC 11. 已知集合，，，若，则下列结论中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先明确集合中元素的特征，再分别分析各选项表达式除以3或9的余数情况，并结合的性质考虑相应的是否存在来综合判断各表达式是否成立． 【详解】集合，， ，，， 设，， 选项A：，结果是3的倍数， 当时，如当时，，故A可能成立； 选项B：，结果是3的倍数， 又，在的因数中，只有，， 显然因数和不能同时取得，不存在，故B不可能成立； 选项C：， 除以3余2，而是3的倍数， 不可能等于，故C不可能成立； 选项D：，结果为9的倍数， 又，为9的倍数， 当时，如当时，，故D可能成立． 故选：． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的定义域为，则实数的取值范围_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的定义域为,转化为恒成立,然后通过分类讨论和两种情况分别求得a的取值范围，可得解. 【详解】的定义域为是使在实数集上恒成立. 若时,要使恒成立,则有 且,即,解得. 若时，化为，恒成立，所以满足题意， 所以 综上,即实数a的取值范围是. 故填: . 【点睛】本题主要考查函数恒成立问题,将恒成立转化为不等式恒成立,然后利用一元二次不等式的知识求解是解决本题的关键,同时要注意对二次项系数进行讨论，属于基础题. 13. 已知，则＝________. 【答案】 【解析】 【分析】根据配凑法求解，注意定义域的求解. 【详解】因为，所以， 所以，其中. ∴. 故答案为： 14. 若对任意恒成立，其中a，b是整数，则的所有取值集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】分和讨论，要使对任意恒成立，则，解方程结合a，b是整数，即可得出答案. 【详解】①当时，由可得对任意恒成立， 若，不成立；若，，不成立. ②当时，由对任意恒成立， 若，当趋于负无穷时，趋于负无穷，趋于正无穷， 则当趋于负无穷时，，不成立； 若，将题意转化为对任意恒成立，不成立； 若，设，作出的图像，如下图所示： 由题意可得：，又因为a，b是整数，则， 所以或或， 所以的所有取值为或或. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，全集． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） ； （2） 或. 【解析】 【分析】（1）由交集，补集定义结合题设可得答案； （2）由题可得是的子集，再分为空集与不为空集两种情况讨论可得答案. 【小问1详解】 时，，或， 则或； 【小问2详解】 因，则是的子集. 若，则； 若，则. 综上可得：或. 16. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值集合； （2）若“，都有”为真命题，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，由得，分和两类情况讨论求的取值； （2）由题意可得，求解中方程的根，结合包含关系求解即可. 【小问1详解】 解方程，得或，故． 因为，所以． 当时，，满足； 当时，方程的解为，则， 若，解得；若，解得． 综上所述，实数的取值集合为． 【小问2详解】 由得，解得或． 因为“，都有“为真命题，则，且． 当，即时，，显然，符合条件； 当时，，由得，解得，此时，符合条件． 综上所述，实数或． 17. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200的十字型地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪．甲工程队参与投标，给出的报价为：花坛报价为4200元/，花岗岩地坪报价为210元/，草坪报价为80元/．设总造价为S（单位：元），AD的长为x（单位：m）． （1）试建立S关于x的函数，并写出x的取值范围； （2）现有乙工程队也参与竞标，其给出的整体报价为元，若无论AD的长为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，由十字型地域面积可得与y的关系，然后可得到S关于x的函数表达式及x的取值范围； （2）由（1）结合题意可得恒成立，可得答案. 【小问1详解】 设，因十字型地域面积为200，AD的长为x. 则. 则 . 【小问2详解】 由（1）， 则恒成立，即. 又，当且仅当时等号成立， 所以，所以. 18. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求a和b的值； （2）若． （i）解关于x的不等式； （ⅱ）若对任意恒成立，求x的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）得到，1是方程的两根，由韦达定理得到a和b的值； （2）（i）因式分解得到，分，和三种情况，得到不等式解集； （ⅱ）变形，得到，则在上恒成立，故，求出解集即可. 【小问1详解】 由题意得，，1是方程的两根， 则，解得． 【小问2详解】 （i）若，则． 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为． （ⅱ）若，则． 令，则在上恒成立， 所以，即， 解得或， 即x的取值范围为． 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合，，是否是“完美集”并说明理由； （2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求的取值范围. （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1）不是“完美集”， 是“完美集”； （2）； （3）“完美集”． 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义验证； （2）由新定义结合一元二次方程的判别式得出，然后变形为的函数形式，得其范围； （3）在中设，然后由和分类讨论可得． 【小问1详解】 （1）因为，不是“完美集”， 又，所以是“完美集”； 【小问2详解】 是“完美集”，则，，又，所以，同理， 设，则是方程的两不等实根， 所以，解得或，又，所以， ， 因为，所以； 即的取值范围是； 【小问3详解】 若，则，由（2）的解析知，且， 当时，与互质，，而，所以，此时，不合题意； 若，，，不妨设，都是正整数， 则，，， 由得，则， 所以，，所以，，则， 所以； 若，，不妨设，且都是正整数， 则， 由知，(i)， 时，， 即，所以，(ii)，而， (i)式与(ii)式矛盾，所以时不存在“完美集”， 综上，“完美集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级10月学情调研 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，，若，则（ ） A. 2 B. 1或2 C. 1 D. 4. 设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的有（ ） A. B. C. D. 5. 已知都是正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 7. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 若对任意实数，，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于实数，，，下列命题是真命题的为（ ） A. 若且，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 11. 已知集合，，，若，则下列结论中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的定义域为，则实数的取值范围_________． 13. 已知，则＝________. 14. 若对任意恒成立，其中a，b是整数，则的所有取值集合为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，全集． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值集合； （2）若“，都有”为真命题，求实数的值． 17. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200的十字型地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪．甲工程队参与投标，给出的报价为：花坛报价为4200元/，花岗岩地坪报价为210元/，草坪报价为80元/．设总造价为S（单位：元），AD的长为x（单位：m）． （1）试建立S关于x的函数，并写出x的取值范围； （2）现有乙工程队也参与竞标，其给出的整体报价为元，若无论AD的长为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 18. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求a和b的值； （2）若． （i）解关于x的不等式； （ⅱ）若对任意恒成立，求x的取值范围． 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合，，是否是“完美集”并说明理由； （2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求的取值范围. （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $