第11章《整式的乘除》考点汇编（11.3：乘法的公式）2026--2027学年华东师大版八年级数学上册

华东师大版第11章《整式的乘除》考点汇编参考答案 （考点内容：11.3乘法公式） ( 考点汇编 ) 考点1：两数和乘以这两数的差（平方差公式） 例1、下列各式不能使用平方差公式的是（　B　） A、 B、 C、 D、 【同步练习】 1、下列各式中，不能用平方差公式计算的是（   D  ） A、 B、 C、 D、 2、下列不能用平方差公式直接计算的是（   A   ） A、 B、 C、 D、 例2、计算或用乘法公式简便计算： （1）； （2）； （3）； （4） （5） （6） 【详解】（1）解原式； （2）解原式； （3）解原式； （4）解原式 （5）解原式； （6）解原式 【同步练习】利用平方差公式计算： （1） （2） （3） 【详解】（1）解原式 （2）解原式． （3）解原式． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握这个公式是解题的关键． 例3、如图1、图2的两个长方形可以按不同的形式拼成图3和图4两个图形。 ( 图 1 a a - b b a - b a b a b a b a - b 图 2 图 3 图 4 ) （1）在图3中的阴影部分面积可表示为___________（写成多项式乘法的形式）；在图4中的阴影部分的面积可表示为___________（写成两数平方差的形式）； （2）比较图3与图4的阴影部分面积，可以得到的等式是（     ） A、     B、 C、 （3）请利用所得等式解决下面的问题： ①已知，则 ___________； ②计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少？ ③计算： 【详解】（1）解：，； （2）解：根据（1）可得； （3）解：①由（2）得 ∵ ∴，解得； ②原式 … ， ∵ ∴个位数根据2，4，8，6四个数一个循环，即 所以的个位数字是6； ③原式 ． 【同步练习】乘法公式的探究及应用： ( 图 1 b a a b 图 2 ) （1）如图1所示，可以求出阴影部分的面积是_____________（写成两数平方差的形式）； （2）若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的矩形，此矩形的面积是______________（写成多项式乘法的形式）； （3）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_____________； （4）应用所得的公式计算： 【详解】（1）阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积； 故答案为； （2）长方形的宽为，长为，面积=长×宽， 故答案为； （3）由（1）、（2）得到， 故答案为； （4）由（3）得到， ∴ 【点评】此题考查了本题考查了平方差公式的几何推导和应用。（1）根据题意得出阴影部分面积后整理可得；（2）根据矩形的面积公式计算即可；（3）根据阴影部分面积相同列等式即可；（4）根据平方差的公式进行分析计算即可。 考点2：两数和（差）的平方 例4、下列各式中，能用完全平方公式计算的是（  A   ） A、 B、 C、 D、 【同步练习】下列代数式：①；②；③；④.其中，能直接利用完全平方公式进行变形的是（   D  ） A、①③ B、③④ C、②④ D、①④ 例5、已知是完全平方式，则k的值为（    B  ） A、8 B、 C、4 D、 【同步练习】 1、如果是完全平方式，那么m的值为（  A  ） A、 B、 C、 D、 2、已知关于x的代数式是一个完全平方式，则k的值为（   C  ） A、4 B、 C、4或 D、 例6、已知，，求下列各式的值。 （1）； （2）； （3） 【详解】（1）解：已知， 则； （2）解：； （3）解：． 【同步练习】 1、若，，则的值是（  C   ） A、6 B、8 C、10 D、12 2、已知，，则的值为（ B   ） A、9 B、3 C、12 D、6 3、已知，，求下列代数式的值： （1）； （2） 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 例7、如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果a、b满足，则阴影部分的面积为（    B  ） A、14 B、12 C、9 D、6 ( b a G 例题 7 图 A B C D E F b a G 同步练习 2 图 A B C D E F 同步练习 1 图 b a G A B C D F E ) 【同步练习】 1、如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，那么阴影部分的面积是（    B ） A、49 B、50 C、51 D、52 2、如图，两个正方形边长分别为a、b（），若，则图中阴影部分面积为（    C ） A、 B、 C、 D、 例8、化简求值：；其中， 【详解】解原式 当，时，原式． 【同步练习】 1、先化简，再求值：，其中， 【详解】解原式 当，时，原式． 2、先化简，再求值：，其中， 【详解】解原式 当，时，原式． 【点评】先利用平方差公式和完全平方公式展开原式，合并同类项化简后，再代入x、y的值求解即可。 ( 师生互动 ) 1、已知，且，则的值为___________；【答案】2 2、若，则的值是__________；【答案】49 3、已知，则的值为_______；【答案】4 4、先化简，再求值：，其中， 【详解】解原式 当，时，原式． 5、已知，求代数式的值。 【详解】解原式 ∵ ∴ 将代入化简后的式子，得原式． 6、解答以下问题： ( b a 图 2 图 1 a b a b A B C D E 图 3 ) （1）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是_____ _； （2）如图3，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积为_______. 【详解】（1）解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为 所以有， 故答案为：． （2）由题意得 阴影面积为： 7、阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值。 解：设，则原方程变为，整理得， ∴、∵，∴ 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化。 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程。 （1）已知实数x，y满足，求的值、 （2）设a，b满足等式，求的值。 【详解】（1）解：设 ， 原方程变为，整理得 ∴ ∴ ∵， ∴，即 ∴ ∴； （2）解：设， 则， 原等式变为 整理得， ∴ ∵， ∴ ∴，即 ∴ 即的值为． 【点评】（1）观察等式左边为平方差结构，将两个括号中共有的视为整体换元，结合平方的非负性求解； （2）观察所求式子与等式中两个括号内式子的关系，将视为整体换元，利用平方差公式简化计算，结合非负性求解。 ( 探究应用 ) 1、已知，如图1所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形。请仔细观察，解决下列问题： ( 图 1 a a - b b a - b a b a b a b a - b 图 2 图 3 ) （1）图2中的阴影部分面积可表示为 ；（写成多项式乘法的形式） 图3中的阴影部分面积可表示为 ；（写成两数平方的差的形式） （2）比较图2和图3的阴影部分的面积可以得到的等式是（     ） A、   B、   C、 （3）请利用你得到的等式解决下面的问题： ① 若，，则的值为 ； ②计算： ③的结果的个位数字为 . 【详解】（1）解：图2中长方形的长为，宽为，因此面积为， 图3中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 故答案为：，； （2）解：由（1）得； 故选：B； （3）解：①因为，所以 又因为， 所以； 故答案为：2． ② ③原式 … ， ∵ ∴个位数根据2，4，8，6四个数一个循环，即 所以的个位数字是6； 【点评】本题考查平方差公式的几何背景以及数字的变化规律。（1）根据图形面积计算方法可得答案，（2）由（1）可得等式；（3）①根据平方差公式可得答案；②根据平方差公式进先计算即可求解；③根据平方差公式进行计算，进而找到的个位数字的规律，即可求解。 2、【公式探究】 ( b a 图 1 b a 图 2 ) 如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含a，b的等式表示）； 【公式应用】请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：（使用乘法公式简便计算） 【公式拓展】使用数学公式，有时可以简便我们的计算，请逆用上面的数学公式，进行计算： 【详解】（1）解：由图2可知，阴影部分的面积为； 由图1可知，阴影部分的面积为； 故可得：； （2）解：①∵ ∴ ∵， ∴， ∴； ②解原式 ； （3）解原式 【点评】此题考查了本题考查了平方差公式的几何推导和应用。（1）根据题意得出阴影部分面积后整理可得；（2）根据矩形的面积公式计算即可；（3）根据阴影部分面积相同列等式即可；（4）根据平方差的公式进行分析计算即可。 3、阅读材料：定义：如果一个数i的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位。它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似。 例如计算：；； （1）填空：_________；_________、 （2）计算（需写出计算过程）：①；② 【详解】（1）解：∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为：，1． （2）解：①； ② 4、定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”。例如：，，，，则8，16，24都是“和谐数”。 （1）特例感知：44 “和谐数”（填“是”或“不是”） （2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； ( 3 A B C D 5 … 1 … )（3）迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形ABCD，其边长为199，求阴影部分的面积。 【详解】（1）解：设 解得，不是整数 ∴44不是“和谐数”； （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： ∵k是正整数 ∴能被8整除 ∴能被8整除； （3）解：阴影部分的面积           答：阴影面积为20000． 5、理解图形，完成下列各题： ( 图 1 b a b a 图 2 C A B ) （1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为a，b的正方形和两个长方形。用两种方法表示该大正方形的面积，可得数学等式是________________；若，，则该大正方形的边长为________； （2）【能力提升】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若x满足，可设，，则，，则________； （3）仿照这个方法，请你尝试解决：若，求的值； （4）【解决问题】如图，是直角三角形，，分别以边AC，BC为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积。 【详解】（1）解：由题意得，可得等式为 由， 得 故，（不符合要求，舍去）， 即该大正方形的边长为8； （2）解：∵ 可设，，则， ∵， ∴ ∴； （3）解：设， 则，． ∵ ∴ ∴； ∴； （4）解：设，，则 ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴； ∴， ∴的面积为6． 6、数学活动 【知识生成】我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题、图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到 ( b a 图 1 b a a b b a H C 图 2 G D F E B A ) 【直接应用】（1）已知：，求ab的值； 【解决问题】（2）如图2，四边形ABCD是长方形，分别以AD、DC为边向两边作正方形ADEF和正方形CGHD，若，两正方形的面积和为54，求长方形ABCD的面积； 【知识迁移】（3）若，求的值。 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴； （2）设正方形ADEF的边长为a，正方形CGHD的边长为b，则 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）设，，则， ∴ 7、【阅读理解】题目：若，求的值。 解：观察发现，与中的与x互为相反数， 所以我们不妨设， ∵，∴ ∵，∴， ∴ 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想。 【理解应用】 （1）若，则； （2）若x满足，求和x的值。 【拓展应用】 （3）如图，在中，，，点D是边BC上的点，在边AB上取一点E，使，设。分别以AB、BD为边在外部作正方形ABFG和正方形BDMN，连结AD.若，的面积为10，求出正方形ABFG和正方形BDMN的面积和。 【详解】（1）解：设，，则， ∴； （2）解：设，，则 ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ ∴，，即或 ∴ 或； ( N G A B C D E F M )（3）解：∵，， ∴， ∵的面积为10 ∴ ∴ 设，，则， ∵ ∴ 【点评】本题为整式的混合运算综合题，涉及比较多完全平方公式，熟悉掌运算法则是解题的关键。 8、我们知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些等式。例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： ( 图 1 b a a b A B C D E 图 2 ) （1）若，则__________； （2）①若，则___；②若，则___； （3）两块完全相同的三角板ABD、CBE按如图2放置，，点C，B，D在同一直线上，连接AC、ED，若，求阴影部分的面积。 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：12； （2）解：①∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 故答案为：5； ②∵， ∴ 故答案为：7； （3）解：设， ∵ ∴， ∴ ∴ 【点评】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方公式是解题的关键。 9、阅读：我们学习了完全平方公式：和，可变形解决问题，如：若x满足，求的值。 解：设， 则， ∴ 请仿照上述例子解决下列问题： （1）若x满足，求的值； （2）若x满足，求的值； （3）如图，正方形ABCD的边长为x，，，长方形EFGD的面积是40，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（用具体的数值表示）。 【详解】（1）解：设， ∴， ∴； （2）解：设，， ∴， ∵ ∴，解得：，即； （3）解：正方形ABCD的边长为x，， ∴， ∵NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，长方形EFGD的面积是40 ∴， ∴， ( M H F Q G N P A B C E D )设，，则， ∴阴影部分的面积 即阴影部分的面积为169． 10、阅读理解：若x满足，求的值。 解：设，，则， ∴ 解决问题： （1）若x满足，则 ； （2）若x满足，求的值； （3）如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形CEFG摆放在一起（），其中B、C、G三点在同一条直线上，若，，求阴影部分面积。 【详解】（1）解：设，，则： ， ∴； （2）解： 设，，则： ， ∵ ∴ ∴ ∴； （3）解：∵四边形ABCD和EFGC是正方形 ∴， ( F G A B C E D )∵ ∴ 又，且 ∴ ∴ 又 ∵ ∴ ∴ ∴阴影面积 ． 11、数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题。 ( b a a b 图 1 b a a b 图 2 b a a b 图 3 b a F G A B C E D 图 4 ) （1）请写出图1，图2阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：______，______（用字母表示）。 【拓展探究】 （2）用4个长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，ab之间的等量关系是____________； 【解决问题】 （3）如图4，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形BCFG.已知，两正方形的面积和为21，求的面积。 【知识迁移】 （4）当时，则的值是______.（直接写出结果） 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积为或，因此可得 ； 图2阴影部分的面积为或，因此可得； （2）解：图3阴影部分的面积为或， 因此可得； （3）解：由题意可知：， ∴ ∴ ∴ ∴； （4）解：∵， ∴ ∴ ∴． 【点评】（1）根据整个图形面积（或阴影面积）及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （2）根据整个图形面积及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （3）根据图形得到两个正方形边长和及面积和求解即可得到答案； （4）根据公式直接转化即可。 12、观察下列等式： ，，， （1）根据上述各式反映出的规律填空： （2）如果一个正整数个位上数字是5，去掉个位上的数字之后的数是a（a为正整数）， ①这个正整数可以表示为_____ ___（用含a的代数式表示）； ②试说明该正整数平方后一定可以被25整除。 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴； （2）①这个正整数可以表示为； ②理由：∵ 又∵a为正整数 ∴为整数 ∴该正整数平方后一定可以被25整除． 13、把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法。配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用。 例如：利用配方法求最小值：求代数式的最小值。 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空： ； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； （3）如图，某农场计划利用一面足够长的承重墙，再用总长为40m的篱笆围成一个长方形菜园ABCD，长方形一边BC平行于承重墙、设垂直于墙的边长AB为xm，菜园ABCD的面积为，求S的最大值。 【详解】（1）解：∵一次项系数的一半为2，平方为 ( A B C D )∴； （2）解： ∵ ∴当时，，此时的最小值为； （3）解：根据题意得：垂直于墙的边长，篱笆总长40m ∴平行于墙的边 ∴面积 ∵ ∴当时，S取得最大值． 14、配方法是初中数学的重要变形工具，核心是利用完全平方公式将多项式（）变形为的形式，可用于解决分解因式。求最值等多类问题。 请补全下列配方法的应用过程： （1）分解因式；原式； （2）求代数式的最小值： ∵ ∴当即时，有最小值，最小值是______. 【拓展应用】（3）如图，在四边形ABCD中，，，，若，求四边形ABCD面积的最大值。 【详解】（1） （2） （3）解：如图，设AC与BD交于点O ∵ ∴ ∵ ∴ ( A B C D O ) ∵ ∴ ∴ ∴当时，四边形ABCD面积的最大值为9． 15、【课内链接】我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解 【拓展新知】利用完全平方公式，可以将多项式（a、b、c是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法。配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”。 【理解新知】配方法的应用。例如： （1）将配方成的形式为：_________________________； （2）利用配方法分解因式：_________________________； （3）多项式的最小值为_________________________； （4）如图，在四边形ABCD中，.若，则四边形ABCD面积的最大值为____. 【详解】（1）解：； ∴将配方成的形式为：； （2）解：； （3）解： ∵ ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为2026； （4）解：如图，如图，设AC与BD交于点O ∵ ( A B C D O )∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴当时，四边形ABCD面积有最大值，最大值为8． 【点评】本题主要考查配方法及因式分解，解题的关键是理解题意。 16、【知识生成】 （1）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式。如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（）.把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）、图1中阴影部分面积可表示为：_____，图2中阴影部分面积可表示为_____，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：___ __. 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形。 （2）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：___ __，方法2：_ ____，所以可得到等式：__ ___； 【迁移运用】 （3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，则___ __； ②已知，求的值。 ( a b 图 1 a b 图 2 b a a b 图 3 b a a b 图 4 b a a b ) 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 故答案为：，，； （2）方法1：阴影部分面积为阴影部分正方形的面积，表示为：， 方法2：用大正方形的面积减四个长方形的面积，表示为：， 所以可得到等式：； 故答案为：，，； （3）①由（2）得 ∵ ∴ 故答案为：5； ②方法1：∵， ∴ 方法2：令， 则， ∴ 【点评】本题考查了完全平方公式的变形与几何意义，掌握完全平方公式的灵活变形是解决问题的关键。 第11章《整式的乘除》考点汇编（考点内容：11.3乘法公式）参考答案———第 22 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大版第11章《整式的乘除》考点汇编 （考点内容：11.3乘法公式） ( 考点汇编 ) 考点1：两数和乘以这两数的差（平方差公式） 例1、下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A、 B、 C、 D、 【同步练习】 1、下列各式中，不能用平方差公式计算的是（     ） A、 B、 C、 D、 2、下列不能用平方差公式直接计算的是（      ） A、 B、 C、 D、 例2、计算或用乘法公式简便计算： （1）； （2）； （3）； （4） （5） （6） 【同步练习】利用平方差公式计算： （1） （2） （3） 例3、如图1、图2的两个长方形可以按不同的形式拼成图3和图4两个图形。 ( 图 1 a a - b b a - b a b a b a b a - b 图 2 图 3 图 4 ) （1）在图3中的阴影部分面积可表示为___________（写成多项式乘法的形式）；在图4中的阴影部分的面积可表示为___________（写成两数平方差的形式）； （2）比较图3与图4的阴影部分面积，可以得到的等式是（     ） A、     B、 C、 （3）请利用所得等式解决下面的问题： ①已知，则 ___________； ②计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少？ ③计算： 【同步练习】乘法公式的探究及应用： ( 图 1 b a a b 图 2 ) （1）如图1所示，可以求出阴影部分的面积是_____________（写成两数平方差的形式）； （2）若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的矩形，此矩形的面积是______________（写成多项式乘法的形式）； （3）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_____________； （4）应用所得的公式计算： 考点2：两数和（差）的平方 例4、下列各式中，能用完全平方公式计算的是（     ） A、 B、 C、 D、 【同步练习】下列代数式：①；②；③；④.其中，能直接利用完全平方公式进行变形的是（     ） A、①③ B、③④ C、②④ D、①④ 例5、已知是完全平方式，则k的值为（      ） A、8 B、 C、4 D、 【同步练习】 1、如果是完全平方式，那么m的值为（    ） A、 B、 C、 D、 2、已知关于x的代数式是一个完全平方式，则k的值为（     ） A、4 B、 C、4或 D、 例6、已知，，求下列各式的值。 （1）； （2）； （3） 【同步练习】 1、若，，则的值是（     ） A、6 B、8 C、10 D、12 2、已知，，则的值为（   ） A、9 B、3 C、12 D、6 3、已知，，求下列代数式的值： （1）； （2） 例7、如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果a、b满足，则阴影部分的面积为（      ） A、14 B、12 C、9 D、6 ( b a G 例题 7 图 A B C D E F b a G 同步练习 2 图 A B C D E F 同步练习 1 图 b a G A B C D F E ) 【同步练习】 1、如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，那么阴影部分的面积是（     ） A、49 B、50 C、51 D、52 2、如图，两个正方形边长分别为a、b（），若，则图中阴影部分面积为（     ） A、 B、 C、 D、 例8、化简求值：；其中， 【同步练习】 1、先化简，再求值：，其中， 2、先化简，再求值：，其中， ( 师生互动 ) 1、已知，且，则的值为___________； 2、若，则的值是__________； 3、已知，则的值为_______； 4、先化简，再求值：，其中， 5、已知，求代数式的值。 6、解答以下问题： ( b a 图 2 图 1 a b a b A B C D E 图 3 ) （1）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是_____ _； （2）如图3，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积为_______. 7、阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值。 解：设，则原方程变为，整理得， ∴、∵，∴ 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化。 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程。 （1）已知实数x，y满足，求的值、 （2）设a，b满足等式，求的值。 ( 探究应用 ) 1、已知，如图1所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形。请仔细观察，解决下列问题： ( 图 1 a a - b b a - b a b a b a b a - b 图 2 图 3 ) （1）图2中的阴影部分面积可表示为 ；（写成多项式乘法的形式） 图3中的阴影部分面积可表示为 ；（写成两数平方的差的形式） （2）比较图2和图3的阴影部分的面积可以得到的等式是（     ） A、   B、   C、 （3）请利用你得到的等式解决下面的问题： ① 若，，则的值为 ； ②计算： ③的结果的个位数字为 . 2、【公式探究】 ( b a 图 1 b a 图 2 ) 如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含a，b的等式表示）； 【公式应用】请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：（使用乘法公式简便计算） 【公式拓展】使用数学公式，有时可以简便我们的计算，请逆用上面的数学公式，进行计算： 3、阅读材料：定义：如果一个数i的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位。它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似。 例如计算：；； （1）填空：_________；_________、 （2）计算（需写出计算过程）：①；② 4、定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”。例如：，，，，则8，16，24都是“和谐数”。 （1）特例感知：44 “和谐数”（填“是”或“不是”） （2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； ( 3 A B C D 5 … 1 … )（3）迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形ABCD，其边长为199，求阴影部分的面积。 5、理解图形，完成下列各题： ( 图 1 b a b a 图 2 C A B ) （1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图的四部分，两个边长分别为a，b的正方形和两个长方形。用两种方法表示该大正方形的面积，可得数学等式是________________；若，，则该大正方形的边长为________； （2）【能力提升】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若x满足，可设，，则，，则________； （3）仿照这个方法，请你尝试解决：若，求的值； （4）【解决问题】如图，是直角三角形，，分别以边AC，BC为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积。 6、数学活动 【知识生成】我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题、图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到 ( b a 图 1 b a a b b a H C 图 2 G D F E B A ) 【直接应用】（1）已知：，求ab的值； 【解决问题】（2）如图2，四边形ABCD是长方形，分别以AD、DC为边向两边作正方形ADEF和正方形CGHD，若，两正方形的面积和为54，求长方形ABCD的面积； 【知识迁移】（3）若，求的值。 7、【阅读理解】题目：若，求的值。 解：观察发现，与中的与x互为相反数， 所以我们不妨设， ∵，∴ ∵，∴， ∴ 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想。 【理解应用】 （1）若，则； （2）若x满足，求和x的值。 【拓展应用】 （3）如图，在中，，，点D是边BC上的点，在边AB上取一点E，使，设。分别以AB、BD为边在外部作正方形ABFG和正方形BDMN，连结AD.若，的面积为10，求出正方形ABFG和正方形BDMN的面积和。 ( N G A B C D E F M ) 8、我们知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些等式。例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： ( 图 1 b a a b A B C D E 图 2 ) （1）若，则__________； （2）①若，则___；②若，则___； （3）两块完全相同的三角板ABD、CBE按如图2放置，，点C，B，D在同一直线上，连接AC、ED，若，求阴影部分的面积。 9、阅读：我们学习了完全平方公式：和，可变形解决问题，如：若x满足，求的值。 解：设， 则， ∴ 请仿照上述例子解决下列问题： （1）若x满足，求的值； （2）若x满足，求的值； ( M H F Q G N P A B C E D )（3）如图，正方形ABCD的边长为x，，，长方形EFGD的面积是40，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（用具体的数值表示）。 10、阅读理解：若x满足，求的值。 解：设，，则， ∴ 解决问题： （1）若x满足，则 ； （2）若x满足，求的值； （3）如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形CEFG摆放在一起（），其中B、C、G三点在同一条直线上，若，，求阴影部分面积。 ( F G A B C E D ) 11、数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题。 ( b a a b 图 1 b a a b 图 2 b a a b 图 3 b a F G A B C E D 图 4 ) （1）请写出图1，图2阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：______，______（用字母表示）。 【拓展探究】 （2）用4个长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，ab之间的等量关系是____________； 【解决问题】 （3）如图4，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形BCFG.已知，两正方形的面积和为21，求的面积。 【知识迁移】 （4）当时，则的值是______.（直接写出结果） 12、观察下列等式： ，，， （1）根据上述各式反映出的规律填空： （2）如果一个正整数个位上数字是5，去掉个位上的数字之后的数是a（a为正整数）， ①这个正整数可以表示为_____ ___（用含a的代数式表示）； ②试说明该正整数平方后一定可以被25整除。 13、把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法。配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用。 例如：利用配方法求最小值：求代数式的最小值。 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空： ； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； （3）如图，某农场计划利用一面足够长的承重墙，再用总长为40m的篱笆围成一个长方形菜园ABCD，长方形一边BC平行于承重墙、设垂直于墙的边长AB为xm，菜园ABCD的面积为，求S的最大值。 ( A B C D ) 14、配方法是初中数学的重要变形工具，核心是利用完全平方公式将多项式（）变形为的形式，可用于解决分解因式。求最值等多类问题。 请补全下列配方法的应用过程： （1）分解因式；原式； （2）求代数式的最小值： ∵ ∴当即时，有最小值，最小值是______. ( A B C D )【拓展应用】（3）如图，在四边形ABCD中，，，，若，求四边形ABCD面积的最大值。 15、【课内链接】我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解 【拓展新知】利用完全平方公式，可以将多项式（a、b、c是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法。配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”。 【理解新知】配方法的应用。例如： （1）将配方成的形式为：_________________________； （2）利用配方法分解因式：_________________________； （3）多项式的最小值为_________________________； ( A B C D )（4）如图，在四边形ABCD中，.若，则四边形ABCD面积的最大值为____. 16、【知识生成】 （1）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式。如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（）.把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）、图1中阴影部分面积可表示为：_____，图2中阴影部分面积可表示为_____，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：___ __. 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形。 （2）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：___ __，方法2：_ ____，所以可得到等式：__ ___； 【迁移运用】 （3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，则___ __； ②已知，求的值。 ( a b 图 1 a b 图 2 b a a b 图 3 b a a b 图 4 b a a b ) 第11章《整式的乘除》考点汇编（考点内容：11.3乘法公式）——————第 15 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $