精品解析：山东曹县博宇中学2026-2027学年第一学期第一次阶段学情自测数学试题

博宇中学初三数学2026-2027学年第一学期第一次月考试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 关于的方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 2. 下列是相似图形但不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 3. 如图，在中，，，点在边上，且．点在边上，且，则的长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形外角性质结合已知条件证得，结合证明，利用相似三角形对应边成比例求出的长，进而求得． 【详解】解：∵， ， ，，且， ， ， ， ，， ， ， 解得， ． 4. 如图，是的直径，点C、D在上，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【详解】解：∵与均为所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 5. 下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】需关注各圆相关结论的适用前提，结合定义判断说法的正确性． 【详解】解：①直径是经过圆心的弦，故①正确； ②平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径，该说法缺少此前提，故②错误； ③圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段，不是对称轴，故③错误； ④相等的圆心角所对的弧相等的前提是在同圆或等圆中，该说法缺少此前提，故④错误； 综上，正确的说法共个． 6. 如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 7. 若，则的值为（ ） A. B. 4 C. 4或 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】采用换元法简化方程，结合的非负性舍去负根． 【详解】解：设，由平方的非负性得． 方程可化为． 整理得． ． 解得，． ∵， ∴不符合题意，舍去． ∴． 8. 如图，在边长为的等边中，点为中点，点，分别在，边上，若连接，，且．设，，则关于的方程根的个数情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质说明，可得，再根据一元二次方程根的判别式得出答案． 【详解】解：∵，点为中点， ∴，． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 整理，得． 关于x的方程中， ∴方程有两个相等的实数根． 9. 如图，直线与坐标轴交于A，B两点，点是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作，当与直线l相切时，m的值为（ ） A. 4或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知一次函数求出与坐标轴的交点，得出的长度，与直线l相切时，需分情况进行讨论，点M在点B左侧和右侧，利用相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：在中， 令，则， 令，则， ∴，， ∴； 如图，设与相切于点C，连接， 则，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理，设与相切于点，连接， 易证得：， ∴，即， ∴， ∴， ∴或． 10. 设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和、两根之积，构造恒等式，代入已知条件整体代换求值即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ，，， ． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则代数式的值是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ，即． 代数式． 代入，得． 12. 如图，在中，为上一点，且，在边上取一点E，使以为顶点的三角形与相似，则等于_________． 【答案】10或 【解析】 【分析】根据相似三角形对应边成比例得出或，再代值计算即可． 【详解】解：以为顶点的三角形与相似， 或 或 或 解得：或． 故答案为：10或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，根据相似得到相应的线段的关系时解题的关键． 13. 如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 14. 如图所示，线段的长为1．线段上的点C满足关系式；线段上的点D满足关系式；…．如果线段上的点E也满足上述规律，那么线段的长度等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出线段的长度，同理得到线段的长度，据此求解即可． 【详解】解：设线段的长度为x， ∵， ∴， 解得：(负值舍去)， ∴； 同理：， 同理：． 15. 如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与， 分别相交于点，，则线段长度的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆心为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则有；由勾股定理的逆定理知，是直角三角形，直径，由线段最短知，即，只有当点F在CD上，且CD是直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，有最小值为CD的长，由直角三角形的面积公式知，此时． 【详解】解：设圆心为F，与的切点为， ，，， 是的直径， 连接，连接，， ∵点、在上，是的直径 ， 又∵ ∴， ∵与切于点， ∴； ∴当点是的斜边的高的中点时，三点共线，且为的斜边的高，此时的直径等于 又∵， ∴能取到最小值4.8. 故答案为: 【点睛】本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，线段最短，直角三角形的面积公式求解．作辅助线转化问题是关键. 三、解答题（共75分） 16. 解方程 （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先把二次项系数化为正数，再因式分解，利用因式分解法解一元二次方程； （2）移项，提取公因式因式分解，再求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ，． 【小问2详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， 故或， 解得：，． 17. 求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将每个特殊角的三角函数值代入原式，再按照实数的混合运算顺序，先计算乘法，再计算加法得到结果． （2）先把分子、分母中各个特殊角的三角函数值代入，再对分母进行化简，最后按照分式运算规则完成计算，必要时进行分母有理化． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图，其问题如下：今有圭垛一堆．上一束，底宽八束．问共几束． （1）你能解决这个问题吗？ （2）如果将这个“圭垛”继续堆积下去，即第n行有n束…你能发现从上往下数前多少行的束数的和是300吗？（提示：．） 【答案】（1）总共36束 （2）从上往下数前24行的束数的和是300 【解析】 【分析】（1）列式计算解决问题即可； （2）由题意得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 答：总共36束； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：从上往下数前24行的束数的和是300． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在图中画出的位似图形，使与的相似比为，点、、分别与点A、B、C对应，且点在第一象限； （2）在（1）的条件下，与的面积比为______． 【答案】（1）解：即为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）根据位似图形面积比等于相似比的平方作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为． 20. 如图，内两条弦，相交于，，，．求的长． 【答案】的长为 【解析】 【详解】解；连接，， 在中，与均对， ． 又， ， ，即， 解得． ． 答：的长为． 21. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据，，） 【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为 （2）线段的长度约为 【解析】 【分析】（1）根据题意作辅助线构造矩形，根据矩形性质得到对边相等，再利用三角函数求解即可． （2）作垂线构造矩形，利用（1）中的信息得到两直线平行得到角的度数，利用三角函数求边长，再利用构造等腰直角三角形直接计算即可． 【小问1详解】 解：如图， 过点作于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， 在中，，， ∵， ∴， ， ， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为． 【小问2详解】 解：如图， 过点分别作，垂足分别为，， ∴四边形是矩形 ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ， ， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ， ， 答：线段的长度约为． 22. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】材料1：定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，（），以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 材料2：解决含参数（如，，等）直线方程过定点问题时，定点坐标与参数数值无关，即无论参数取何值，定点都满足直线方程．如直线可化为，所以直线恒过点． 【初步思考】 （1）请直接写出一元二次方程的衍生点的坐标为_________． 【尝试应用】 （2）关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标． ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，直接写出直线解析式_________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】 （3）是否存在、，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上．若有请直接写出、，的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①∵这个方程根的判别式为， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ， 因式分解，得， 解得，（满足）， ∴该方程的衍生点的坐标为． ②；③； （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再根据一元二次方程的衍生点的定义即可得； （2）①利用一元二次方程根的判别式即可得证；再利用因式分解法求出方程的解，由此即可得； ②根据这个一元二次方程的衍生点的坐标即可得； ③先求出，再根据可得，由此即可得； （3）先求出直线的图象经过定点，则可得关于的方程的两个根为，，再代入计算即可得． 【小问1详解】 解：， 因式分解，得， 解得，（满足）， 则这个方程的衍生点的坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：① 略 ②∵该方程的衍生点的坐标为， 设衍生点在直线上，则， 解得，， ∴所有衍生点都在同一条直线上，这条直线的解析式为， 故答案为：． ③∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【小问3详解】 解：直线可化为：， ∴直线的图象经过定点， 要使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为，， ∴， ∴，， 故存在，，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，此时，． 23. 如图，点在以为直径的上，连接并延长至点，使，连接交于点，延长至点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图： ∵是的直径，且点在上， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， ∵是的直径，且点在上， ∴是的切线 （2） 【解析】 【分析】（1）由是直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到，结合条件，可知既是边上的高，又是边上的中线，由此得到，设，结合已知角的倍数关系得到，利用等腰三角形内角和求出，计算推出，根据切线的判定定理证明是的切线； （2）已经得到，设，利用勾股定理列方程，求解得到与的长度，连接，再次利用直径所对圆周角是直角，得，用直角三角形面积的两种表达方式，面积法求出线段，最后在中，再通过勾股定理计算的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，且， ∴， 解得， ∴，， 连接，如图： ∵是的直径，且点在上， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得， ∵在中，， ∴． 【点睛】三角形同一条边上高线与中线重合，可以判定该三角形为等腰三角形，题目出现直径优先使用直径所对圆周角为直角，直角三角形可以利用面积法求斜边上的高． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 博宇中学初三数学2026-2027学年第一学期第一次月考试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 关于的方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是相似图形但不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，点在边上，且．点在边上，且，则的长为（） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，点C、D在上，．则（ ） A. B. C. D. 5. 下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的值为（ ） A. B. 4 C. 4或 D. 或2 8. 如图，在边长为的等边中，点为中点，点，分别在，边上，若连接，，且．设，，则关于的方程根的个数情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 9. 如图，直线与坐标轴交于A，B两点，点是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作，当与直线l相切时，m的值为（ ） A. 4或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则代数式的值是___________． 12. 如图，在中，为上一点，且，在边上取一点E，使以为顶点的三角形与相似，则等于_________． 13. 如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 14. 如图所示，线段的长为1．线段上的点C满足关系式；线段上的点D满足关系式；…．如果线段上的点E也满足上述规律，那么线段的长度等于___________． 15. 如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与， 分别相交于点，，则线段长度的最小值是__________． 三、解答题（共75分） 16. 解方程 （1）． （2）． 17. 求下列各式的值： （1）； （2）． 18. 图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图，其问题如下：今有圭垛一堆．上一束，底宽八束．问共几束． （1）你能解决这个问题吗？ （2）如果将这个“圭垛”继续堆积下去，即第n行有n束…你能发现从上往下数前多少行的束数的和是300吗？（提示：．） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在图中画出的位似图形，使与的相似比为，点、、分别与点A、B、C对应，且点在第一象限； （2）在（1）的条件下，与的面积比为______． 20. 如图，内两条弦，相交于，，，．求的长． 21. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据，，） 22. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】材料1：定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，（），以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 材料2：解决含参数（如，，等）直线方程过定点问题时，定点坐标与参数数值无关，即无论参数取何值，定点都满足直线方程．如直线可化为，所以直线恒过点． 【初步思考】 （1）请直接写出一元二次方程的衍生点的坐标为_________． 【尝试应用】 （2）关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标． ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，直接写出直线解析式_________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】 （3）是否存在、，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上．若有请直接写出、，的值；若没有，请说明理由． 23. 如图，点在以为直径的上，连接并延长至点，使，连接交于点，延长至点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $