精品解析：山东济南市历城区唐冶中学2026－2027学年上学期九年级9月数学阶段学情自测

2026唐治中学9月九年级月考数学试题 （满分150分时间120分钟） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从上面看，是一个长方形加一个圆，只有B选项符合题意． 2. 如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，即可解题． 【详解】解：∵， ∴． 3. 若关于的方程有一个根为2，则另一个根为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设另一个根为，利用一元二次方程根与系数关系求解即可． 【详解】解：设另一个根为a， ∵关于的方程有一个根为2， ∴， 解得． 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵的图象向左平移2个单位， ∴得． ∵再向下平移2个单位， ∴得． 5. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 6. 如图，四边形为菱形，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用菱形四边相等、对边平行，得，由平行推出同位角，从而为等腰直角三角形，；再由斜边求出直角边，进而得；最后结合第二象限坐标符号写出． 【详解】解：作轴于点，则． 四边形为菱形， ，且． （两直线平行，同位角相等）． 在中，， ， ． 由勾股定理：， 又， ，解得． ， ． 点B在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正， ． 7. 如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（ ） A. 一直变长 B. 一直变短 C. 先变长，后变短 D. 先变短，后变长 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，掌握中心投影的定义是解答本题的关键．根据接近光源时，影子会变短，远离光源时，影子会变长解答即可． 【详解】解：如图，夜晚冬冬从点走向点，他的影子会先变短，再变长． 故选：D． 8. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是18．则的面积为（ ） A. 64 B. 54 C. 44 D. 34 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意可得，，则，得到，再证明，得，，由此即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 9. 如图，在中，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，则线段的长为（        ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解方程即可求解． 【详解】解：连接，作于点，作交的延长线于点， 由作法得平分，垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、分别交于、，连接、，有以下结论：；是等腰直角三角形；；若点是的中点，则；⑤当时，，其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由角相等与对顶角证相似；通过四点共圆导角证明等腰直角三角形；用旋转法证明半角模型核心等式；设边长用勾股定理代数求解；用对称性与特殊角三角函数计算比值． 【详解】四边形是正方形， ． ，， ， ∴， 又， ，故正确 ， ， 是等腰直角三角形，故正确； 如图所示， 将绕点顺时针旋转得到， 则，，． ． ， 、、三点共线， 在和中， ， ，故正确． 设正方形的边长为,则,， ， ， ， ， ， ，故正确． 在和中， ， ， ， ， ， 假设正方形边长为，设,则, 如图，连接，交于， ，， 是的垂直平分线， ，， 中，, 中，， ， ， ， ， ， ， ， ，故⑤正确． 【点睛】本题是正方形半角模型综合题，综合考查旋转全等、四点共圆、相似三角形、勾股定理与三角函数．正方形内夹角（半角模型），优先用旋转构造全等，得到；出现两个角共底边，联想四点共圆快速导角；几何多选题要逐条严格推导，注意看清分式的分子分母；涉及线段比值时，设正方形边长为简化计算． 二．填空题（每题4分，共20分） 11. 若=，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】将等式左边拆分变形，即可求出的值． 【详解】解：由， ∵， ∴， ∴． 12. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为， 且二胡的琴弦长为 则有， 解得， 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据根的判别式即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故答案为：且 14. 如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点，，，在同一直线上，点，，在同一直线上），则的长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明与． 设，根据点，，，在同一直线上，点，，在同一直线上可得，，再由与相似可得由此可解． 【详解】解：由题意可知，，，， 设，则， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴，即， 则有， 整理可得， 解得（舍去），， ∴则的长为． 故答案为： ． 15. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为BC上一点，，将沿AE折叠得到，连接DF，则线段DF的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点F作，，垂足分别为N，M，连接CF，BF，交AE于点K，根据线段间的数量关系可得，，由勾股定理得出，根据折叠的性质可得，，依据三角形等面积发得出，设，则，利用勾股定理建立等式得出，继续利用勾股定理求解即可得出结果． 【详解】解：过点F作，，垂足分别为N，M，连接CF，BF，交AE于点K，如图所示： ∵正方形ABCD的边长为6，， ∴，， ∴， ∵折叠为， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， 解得：，即， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，正方形及折叠的性质等，理解题意，作出相应辅助线，熟练运用勾股定理求解是解题关键． 三、解答题． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先移项，把右边式子移到左边，再因式分解，提取公因式，转化为两个一次因式乘积等于0的形式，再分别求解． （2）采用配方法，把常数项移到等式右侧，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，再开方求解；也可以用公式法代入求根公式计算． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，． 17. 如图，在矩形中，点M在上，，，垂足为N．求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明，即可得出结果. 【详解】略 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画的一个位似，使它与的位似比为； （3）判断和是位似图形吗？若是，请直接写出位似中心的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） 如图所示，即为所求图形； （2）如图所示，即为所求图形； （3）和是位似图形，位似中心坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移，位似作图，确定位似中心，掌握平移，位似图形的性质是关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据位似的性质，延长，由结合位似比得到，连接各点即可作图； （3）根据题意，连接，并延长交于一点，这个点即为位似中心，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：和是位似图形，理由如下， 如图所示，连接，并延长交于一点， ∴这个点即为位似中心，坐标为． 19. 综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 （1）若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； （2）已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； （3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）200，2000 （2）该玩偶的售价为44元 （3）商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元；理由： 设该玩偶的售价为x元，此时利润能达到2500元， 由题意可得：， 整理得：， ∵， ∴该一元二次方程没有实数根，∴ 商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元． 【解析】 【分析】（1）先计算降价后增加的销量，再计算总利润即可； （2）设出售价，根据利润关系列一元二次方程求解即可； （3）设利润能达到2500元，列方程后利用判别式判断方程是否有实根即可解答． 【小问1详解】 解： ∵当售价定为50元时，每天卖出100个，售价每降1元多卖10个． ∴当售价为40元时，降价金额为元，增加玩偶的数量为：个，商店每天卖出该玩偶的数量是个， ∴每天的利润为元． 【小问2详解】 解：设该玩偶的售价为x元， 由题意可得：， 整理得：，解得：，均符合． 所以在利润相同的情况下，售价越低销量越高，越有利于尽快清空库存，故舍去售价较高的46元. 答：该玩偶的售价为44元． 【小问3详解】 解：略． 20. 已知函数是二次函数． （1）求m的值； （2）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （3）当时，y的最大值为______，最小值为______． 【答案】（1） （2）对称轴为直线，顶点坐标为 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的定义得到，，然后求解即可； （2）将代入表达式，然后配方成顶点式求解即可； （3）首先判断出二次函数图象开口向下，然后求出y的最大值，然后分别将和代入表达式求解比较得到最小值． 【小问1详解】 解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴这个二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问3详解】 解：∵的二次项系数为， ∴二次函数图象开口向下， ∵顶点坐标为， ∴当时，当时，y的最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，y的最小值为． 21. 定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． （1）下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． （2）若方程是“和谐方程”，求m的值． （3）若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 【答案】（1）②③ （2） （3）（或） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）根据根与系数的关系结合新定义建立方程，再解方程即可； （3）根据根与系数的关系结合新定义求解即可． 【小问1详解】 解：①，则 ∴， ∴不满足，故不是“和谐方程”； ②， ∴ 满足，故是“和谐方程”； ③ 解得：， ∴， ∴满足，故是“和谐方程”； 故答案为：②③； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵方程是“和谐方程”， ∴ ∴． 即． 解得：； 【小问3详解】 解：对于， 则 ∵方程为“和谐方程”， ∴， ∵， ∴，即（或）． 22. 如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接、，它们相交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵E为边上一点，与相交于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）3 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，因为，所以，而，则，再根据相似三角形的性质即可证明结论； （2）由且、，求得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵且、， ∴， ∴． 23. 在中，，，，现有动点P从点C出发，沿方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿方向向点C运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： （1）填空：________，__________；（用含t的代数式表示） （2）当t为多少时，平分面积； （3）当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 【答案】（1）， （2）当时，平分面积 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点P和点Q的运动速度表示即可； （2）用含t的式子表示的面积，根据列方程求解，注意检验解的合理性； （3）分两种情况讨论或，根据对应边成比例列方程求解，注意结合动点的运动范围检验解的合理性． 【小问1详解】 解：根据题意得，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴点Q到C点的时间为，点P到A点的时间为， P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动． ， 平分的面积， ， ∴， ， 解得，（舍）， ∴当时，平分面积； 【小问3详解】 解：∵， ∴以C、P、Q为顶点的三角形与相似有两种情况， 情况一：当时，则， ， ∴； 情况二：当时，则， ， ∴， ， 此情况不符合实际情况， 综上所述，当时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 24. 在中，，，P为上的一点（不与端点重合），过点P作交于点M，得到． （1）【问题发现】如图1，当时，P为的中点时，与的数量关系为 ； （2）【类比探究】如图2，当时，绕点A顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） 不发生变化，理由如下： 当时，， 则， ，， 由勾股定理可得：， ， ， ，， ， 由旋转得：， 即， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）当时，，可得，由，得出，可得，推出，即可得出答案； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 当时，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， ，， 由勾股定理可得：，， 绕点顺时针旋转至，，三点共线， ，， ， ， 当旋转至直线上方时，如图， 则； 当旋转至直线下方时，如图， 则； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026唐治中学9月九年级月考数学试题 （满分150分时间120分钟） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的方程有一个根为2，则另一个根为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形为菱形，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（ ） A. 一直变长 B. 一直变短 C. 先变长，后变短 D. 先变短，后变长 8. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是18．则的面积为（ ） A. 64 B. 54 C. 44 D. 34 9. 如图，在中，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，则线段的长为（        ） A. B. C. 5 D. 10. 如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、分别交于、，连接、，有以下结论：；是等腰直角三角形；；若点是的中点，则；⑤当时，，其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题4分，共20分） 11. 若=，则=______． 12. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 14. 如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点，，，在同一直线上，点，，在同一直线上），则的长为_________． 15. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为BC上一点，，将沿AE折叠得到，连接DF，则线段DF的长为______． 三、解答题． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在矩形中，点M在上，，，垂足为N．求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画的一个位似，使它与的位似比为； （3）判断和是位似图形吗？若是，请直接写出位似中心的坐标；若不是，请说明理由． 19. 综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 （1）若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； （2）已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； （3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 20. 已知函数是二次函数． （1）求m的值； （2）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （3）当时，y的最大值为______，最小值为______． 21. 定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． （1）下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． （2）若方程是“和谐方程”，求m的值． （3）若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 22. 如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接、，它们相交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 在中，，，，现有动点P从点C出发，沿方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿方向向点C运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： （1）填空：________，__________；（用含t的代数式表示） （2）当t为多少时，平分面积； （3）当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 24. 在中，，，P为上的一点（不与端点重合），过点P作交于点M，得到． （1）【问题发现】如图1，当时，P为的中点时，与的数量关系为 ； （2）【类比探究】如图2，当时，绕点A顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $