精品解析：山东省菏泽市曹县博宇中学2025-2026学年九年级上学期第一次测试数学试题

2025—2026学年度第一学期10月份数学质量检测 九年级试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置．） 1. 在中，，，则的形状（　　） A. 一定是锐角三角形 B. —定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 无法确定 2. 如图，的半径为10，弦，M是弦上的动点，则不可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 10 3. 如图，与位似，点O为位似中心，若，的周长为6，则的周长为（ ）． A. B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. 6 C. D. 8 6. 如图，是直径，点，在半圆上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到，则点B的对应点为，则的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，，延长到，，连接，得．根据此图可求得的结果（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 10. 如图,在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，则的值是（ ）． A. B. C. D. 11. 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使．按照此规律，线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，只要求最后结果填写在答题卡的指定位置） 13. 如图，在半径为5的中，弦，，垂足为点，则的长为__________． 14. 已知为锐角，，则________． 15. 如图大坝的横断面是梯形，斜坡AB的坡比i＝1:2，背水坡CD的坡比i＝1:1，若坡面CD的长度为米，则斜坡AB的长度为_______． 16. 如图，等边△ABC内接于⊙O，AD是直径，则∠CBD=_____°． 17. 如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过______秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 18. 如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点．连接，，，与交于点，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中结论正确的结论有__________________．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本题共8小题，共78分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 如图在中，，高，它的内接矩形（点在边上，点、在边上，点在边上），与边之比为，求的长． 21. 如图，中，，，D为边延长线上一点，，求的值． 22. 如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）请在图中标出外接圆的圆心C，并写出点C的坐标． （2）在直角坐标系的第三象限，画出以点O为位似中心，与位似的图形，使它与的相似比为，并写出点A，B对应点的坐标． 23. 如图，是的直径，是的一条弦，且于点，连接，，． （1）当时，求的度数； （2）若，，求的半径． 24. 如图，和均为等腰三角形，且，，． （1）求证：； （2）连接BD、CE，若，的面积为9，求的面积． 25. 如图，中，，为上一点，经过点，，，交于点，过点作，交于点． 求证： （1）； （2）． 26. 【阅读理解】：如图，在中，a，b，c分别是，，的对边，，其外接圆半径为．根据锐角三角函数的定义：，，可得，即（规定）． 【探究活动】如图，在锐角中，a，b，c分别是，，的对边，其外接圆半径为，那么：______________________（用>，=或<连接），并说明理由． 【初步应用】：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，a，b，c分别是，，的对边．已知，，，求． 【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为，点处的俯角为，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100m，求楼的高度．（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期10月份数学质量检测 九年级试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置．） 1. 在中，，，则的形状（　　） A. 一定是锐角三角形 B. —定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据，求出及的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 故选：B． 2. 如图，的半径为10，弦，M是弦上的动点，则不可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先过O作于D，连接，根据勾股定理求出的值，进而可求出的取值范围． 【详解】解：过O作于D，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理，垂线段最短，能根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 3. 如图，与位似，点O为位似中心，若，的周长为6，则的周长为（ ）． A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，位似三角形的性质，解题关键是“相似三角形周长之比等相似比”． 由与位似可得出与相似，根据相似比就等于位似比，求出结果即可． 【详解】解：与位似， ， ， ， 的周长为6， 的周长为3． 故选：C． 4. 如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故①正确，④正确； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故②正确； 当＝时，虽但不是其对应的夹角，所以与不相似，故③不正确． 因此有3个正确． 故选：C． 5. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则： ， 解得：， 即蜡烛火焰的高度为， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形． 6. 如图，是直径，点，在半圆上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角及圆内接四边形的性质，连接BC并运用这两个性质是解题的关键． 连接，由直径所对的圆周角是直角可求得的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得的度数． 【详解】解：连接， 是直径， ， ， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， 故选：C． 7. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到，则点B的对应点为，则的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，， 的坐标为或， 即的坐标为或， 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 8. 构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在中，，，延长到，，连接，得．根据此图可求得的结果（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数比，二次根式分母有理化，解题的关键是掌握以上性质． 令，得出，根据勾股定理求出，然后根据锐角三角函数比求解即可． 【详解】解：令， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．可证明，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得出，又根据即可得出答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 如图,在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长到点D，连接，由网格可得即，即可求出答案． 【详解】解：延长到点D，连接，如图： ，， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数、解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 11. 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3， ∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处， ∴AF＝AD＝5，EF＝DE， 在Rt△ABF中，BF＝， ∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1， 设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x 在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2， ∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝， ∴DE＝EF＝3﹣x＝， ∴tan∠DAE＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键． 12. 如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使．按照此规律，线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、图形类规律探索，正确归纳推出一般规律是解题关键．先解直角三角形可得，，，再归纳推出一般规律，（为正整数），由此即可得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 依此类推：，（为正整数）， ∴， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，只要求最后结果填写在答题卡的指定位置） 13. 如图，在半径为5的中，弦，，垂足为点，则的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】连接OA，根据垂径定理得到AP＝AB，利用勾股定理得到答案． 【详解】连接OA， ∵AB⊥OP， ∴AP＝AB＝×6＝3，∠APO＝90°，又OA＝5， ∴OP＝＝＝4， 故答案为：4. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键． 14. 已知为锐角，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案． 【详解】解：∵a为锐角，且， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了根据特殊角的三角函数值求角度，正确记忆特殊角三角函数值是解题的关键． 15. 如图大坝的横断面是梯形，斜坡AB的坡比i＝1:2，背水坡CD的坡比i＝1:1，若坡面CD的长度为米，则斜坡AB的长度为_______． 【答案】米 【解析】 【分析】过点B作BE⊥AD于E，过点C作CF⊥AD于F，根据等腰直角三角形的性质求出CF，根据坡度的概念求出AE，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：过点B作BE⊥AD于E，过点C作CF⊥AD于F， 则四边形BEFC为矩形， ∴BE=CF， ∵坡CD的坡比i=1:1， ∴∠D=45°， ∴(米)， ∵斜坡AB的坡比i=1:2， ∴AE=2BE=2CF=12， 由勾股定理得：(米)， 故答案为：米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−−坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 16. 如图，等边△ABC内接于⊙O，AD是直径，则∠CBD=_____°． 【答案】30°． 【解析】 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠C=∠BAC =60°， 根据圆周角定理得：∠D=∠C=60°， ∵AD为直径， ∴∠ABD=90°， ∴∠BAD=30° ∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=90°-60°=30° ∴∠CBD=∠CAD=30°． 故答案为：30° 17. 如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过______秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 【答案】秒或秒 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．设在开始运动后第秒，与相似，由题意表示出，，，分两种情况考虑：当，时，；当，时，，分别由相似得比例，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果． 【详解】解：设在开始运动后第秒，与相似， 由题意得：cm，cm，cm， 分两种情况考虑： 当，时，； ， 即， 解得：， 当秒时，与相似； 当，时，， ∴，即， 解得：， 当秒时，与相似， 综上，当秒或2秒时，与相似． 故答案为：秒或秒 18. 如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点．连接，，，与交于点，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④．其中结论正确的结论有__________________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， 垂直平分， ，， ∵， ∴， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故①正确； ，， ， ，故②正确； ∵， ∴， ， ，故③错误， 设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积的面积， 的面积为， ．故④错误， 故答案为：①②． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题． 三、解答题（本题共8小题，共78分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含特殊三角函数值，含二次根式乘方的混合运算，握熟记特殊角三角函数值，二次根式的运算法则是解题关键．先代入特殊角的三角函数值，再运用二次根式运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 20. 如图在中，，高，它的内接矩形（点在边上，点、在边上，点在边上），与边之比为，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】设矩形的长，则宽，易证四边形是矩形，则，根据矩形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设矩形的长，则宽， 四边形是矩形， ，， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ，， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 21. 如图，中，，，D为边延长线上一点，，求的值． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是：过点作于点．根据，即可求出，从而由勾股定理可求出．再根据等腰三角形的性质可求出，结合，即可求出，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ． ， ， ． ，， ， ， ， ． 22. 如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）请在图中标出外接圆的圆心C，并写出点C的坐标． （2）在直角坐标系的第三象限，画出以点O为位似中心，与位似的图形，使它与的相似比为，并写出点A，B对应点的坐标． 【答案】（1） 如图所示， （2）如图所示，即为所要求作的三角形，， 【解析】 【分析】（1）根据题意找到线段和的垂直平分线的交点即为外接圆的圆心C； （2）根据位似图形的性质画出，进而写出点A，B对应点的坐标． 【小问1详解】 解：找到线段和的垂直平分线的交点， ∴点C即为外接圆的圆心； ∴； 【小问2详解】 ∴，． 【点睛】本题主要考查了画位似图形，三角形外接圆的性质，解题的关键在于能够熟练掌握画位似图形的方法，三角形外接圆的性质． 23. 如图，是的直径，是的一条弦，且于点，连接，，． （1）当时，求的度数； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据在同一个三角形中，等边对等角可得，然后根据同弧所对的圆周角相等即可求出，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论； （2）根据垂径定理即可求出，然后设，则，再根据勾股定理列出方程即可求出结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的直径，，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即的半径为． 【点睛】此题考查的是圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、垂径定理和勾股定理，掌握同弧所对的圆周角相等、等边对等角、垂径定理和勾股定理是解决此题的关键． 24. 如图，和均为等腰三角形，且，，． （1）求证：； （2）连接BD、CE，若，的面积为9，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴． 又∵， ∴； （2）4 【解析】 【分析】（1）根据，即可得出，再根据，即证明； （2）由，得出，，从而可证，进而可证，再根据，即得出，进而可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴，即， ∴，且相似比为， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定定理及其性质是解题关键． 25. 如图，中，，为上一点，经过点，，，交于点，过点作，交于点． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1） ， ， ， ， 又， ， ； （2） 如图，连接， ，， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明，利用平行线证明，利用同弧所对的圆周角相等，可得，即可得证； （2）如图，连接，利用平行线的性质及圆周角定理得出，再利用圆内接四边形的性质证明，从而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆周角定理，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 26. 【阅读理解】：如图，在中，a，b，c分别是，，的对边，，其外接圆半径为．根据锐角三角函数的定义：，，可得，即（规定）． 【探究活动】如图，在锐角中，a，b，c分别是，，的对边，其外接圆半径为，那么：______________________（用>，=或<连接），并说明理由． 【初步应用】：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，a，b，c分别是，，的对边．已知，，，求． 【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为，点处的俯角为，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100m，求楼的高度．（参考数据：，） 【答案】探究活动：，；初步应用：；综合应用：楼高度约为． 【解析】 【分析】探究活动：由锐角三角函数可得，可得解； 初步应用：将数值代入可求解； 综合应用：由锐角三角函数即可求解． 【详解】解：探究活动：如图，过点C作直径，连接， ∴，， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， 故答案为：，； 初步应用： ∵，，，， ∴， ∴， ∴； 综合应用： 如图， 由题意得：，，，， ∴， ∵， ∴，， 设楼，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴楼高度约为． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，锐角三角函数等知识，读懂材料，并能熟练运用结论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $