精品解析：江苏省常州高级中学2026-2027学年高二上学期10月单元检测数学试题

江苏省常州高级中学2026~2027学年第一学期高二年级 十月数学学科单元检测卷 2026.10 说明：1．请将所有题目的答案填涂在答卷纸上． 2．本卷总分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 方程表示的曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：，：，若与平行，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆：关于直线对称，则圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 方程表示的曲线长度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，满足，，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 过点作直线的垂线，垂足为，点，分别是直线：和直线：上的动点，则当，，变化时，的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列四个命题中正确的有（ ） A. 所有直线的倾斜角都存在，但不是所有直线的斜率都存在 B. 过点和的直线的方程都可以写为 C. 与圆相切且横纵截距互为相反数的直线共有4条 D. 若直线不经过第三象限，则实数的取值范围是 10. 已知圆，圆，直线，则（ ） A. 无论取何值，圆与圆都有且仅有两条公切线 B. 若为直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则四边形面积的最小值为8 C. 若为直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则直线恒过定点 D. 若为圆上一动点，则无论取何值，点运动到哪里，圆上都恰有两个点满足的面积为3 11. 已知圆：，直线过点，且与圆交于，两点，则（ ） A. 线段长度的最小值为 B. 面积的最大值为 C. 直线与轴负半轴和轴正半轴围成的三角形面积的最小值为6 D. 过点作直线的垂线交圆于，两点，则线段的中点到原点的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的离心率为________． 13. 已知圆：，直线：，若直线上存在点，使得圆上存在两点，，满足，则实数的取值范围是________． 14. 已知圆：，直线：，点在直线上，若过点存在直线交圆于，两点，使得点为线段的中点，则点的横坐标的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线：与直线：垂直，交点为． （1）求实数的值及点的坐标； （2）若直线过点且在轴上的截距为，直线与直线关于直线对称，求直线的方程． 16. 已知椭圆的两个焦点分别是，，为椭圆上一点． （1）若椭圆和椭圆共焦点，且点的坐标为，求椭圆的标准方程； （2）若，面积为，且椭圆的离心率为，求椭圆的长轴长． 17. 已知点，为坐标原点，圆：． （1）当时，已知圆和圆相交于，两点，求线段的长度； （2）若圆上存在点使得，求实数的取值范围． 18. 已知圆经过点，且与直线相切于点，圆的方程为． （1）求圆的方程； （2）若直线与圆相切，且被圆所截得的线段长为，求直线的方程； （3）设为圆上任意一点，过点向圆引切线，切点为，探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出所有满足条件的定点的坐标，及相对应的定值；若不存在，请说明理由． 19. 已知圆：，点为直线上一动点，为坐标原点． （1）当时，过点作直线与圆相交，若直线将圆分成两段弧，弧长比为，求直线的方程； （2）当时，点在圆上运动，点满足，求的最小值； （3）过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线，与轴分别交于点，点，求线段长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省常州高级中学2026~2027学年第一学期高二年级 十月数学学科单元检测卷 2026.10 说明：1．请将所有题目的答案填涂在答卷纸上． 2．本卷总分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线得斜率，由斜率得倾斜角． 【详解】已知直线的斜率为，因此倾斜角为． 故选：C． 2. 方程表示的曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的定义确定焦点位置、长半轴长，计算短半轴长后即可得到椭圆标准方程. 【详解】表示动点到定点的距离，表示动点到定点的距离， 所以，原方程等价于，因为两定点间距，符合椭圆的定义， 所以，的轨迹为椭圆，其中焦点为、，即焦点在轴上，焦距，得；长轴长，得. 所以，，焦点在轴上的椭圆标准方程为， 所以，方程表示的曲线的标准方程为. 3. 已知直线：，：，若与平行，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列方程求解，再检验排除两直线重合的情况即可得到结果 【详解】因为 直线：，：，与平行， 所以，即，解得或， 当时，，，满足平行要求； 当时，，，即，与重合，不符合要求. 综上所述，实数的取值集合为. 4. 已知圆：关于直线对称，则圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆关于直线对称的性质可知圆心在对称轴上，先求出参数m，再利用圆的半径公式计算半径. 【详解】对于圆的一般方程（满足），其圆心坐标为，半径公式为, 由圆：得，，，因此圆心坐标为， 由圆关于直线对称，可知圆心在该直线上，将圆心坐标代入直线方程得 ，解得， 将代入半径公式得 ，故圆的半径为2. 5. 方程表示的曲线长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将原方程变形后分和两种情况转化为圆的方程，分别计算两段符合条件的弧长后求和. 【详解】由题意得，解得，所以， 又，得，所以， 当时，，圆心为，半径为， 当时，，圆心为，半径为， 设曲线交轴于点、，连接交与点，如下图所示： 由题意可得，所以和都是等边三角形， 则，故， 所以的长为，同理可知的长为， 所以方程表示的曲线长度为. 6. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将集合间的包含关系转化为两开圆的内含或内切关系，从而得到动点的轨迹是圆心为，半径为的闭圆，再将所求代数式转化为动点与定点连线的斜率，进而根据直线与圆相切或相交求解即可． 【详解】由集合是圆心为，半径为的圆的内部的点的集合， 集合是圆心为，半径为的圆的内部的点的集合， 又，则圆在圆内，即，即， 则，即的轨迹是圆心为，半径为的圆上及圆内部点的集合， 令，则的几何意义是动点与点连线的斜率， 则设过动点和点的直线的方程为，即， 所以该直线与圆相切或相交， 所以圆心到该直线的距离， 整理得，解得． 7. 已知实数，满足，，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，消元化简可得，构造函数，求导可得其极小值，从而得到结果. 【详解】由可得， 因为，，所以，即， 则， 设，， 则， 令，即，化简可得， 解得或（舍去）， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 所以当时，取得极小值，即最小值， 所以的最小值为. 8. 过点作直线的垂线，垂足为，点，分别是直线：和直线：上的动点，则当，，变化时，的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线经过定点，结合条件求出动点的轨迹方程为，设的中点为，化简目标式为，判断动点的轨迹为直线，利用圆心到直线的距离为圆心到直线上点距离的最小值即可求得的最小值即可. 【详解】即， 由解得，则直线经过定点， 又因，则，故点的轨迹为以为直径的圆，其圆心为，半径为， 则点的轨迹方程为. 因点，分别是直线：和直线：上的动点， 设的中点为，则，则， 易知动点的轨迹为与直线平行且距离相等的直线，其方程为， 因圆心到直线的距离，则， 故的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列四个命题中正确的有（ ） A. 所有直线的倾斜角都存在，但不是所有直线的斜率都存在 B. 过点和的直线的方程都可以写为 C. 与圆相切且横纵截距互为相反数的直线共有4条 D. 若直线不经过第三象限，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A利用倾斜角和斜率的定义即可判断，对于B利用直线的方程即可判断，对于C利用几何法即可判断，对于D根据斜率分类讨论即可求解. 【详解】对于A，所有直线的倾斜角为都存在，当倾斜角为时，直线的斜率不存在， 所以不是所有直线的斜率都存在，故A正确； 对于B，当时，由，得，当时，直线的方程为满足方程， 当时，直线的方程为也满足方程， 所以过点和的直线的方程都可以写为， 故B正确； 对于C，由圆，得圆心为，半径为， 当横纵截距为0时，设直线方程为，由，解得， 当横纵截距不为0时，设直线的方程为，由，解得， 所以与圆相切且横纵截距互为相反数的直线共有3条，故C错误； 对于D，由，得，纵截距为， 当时，，不经过第三象限， 当时，由直线不经过第三象限， 所以，解得， 当时，直线必经过第三象限，不满足题意， 所以实数的取值范围是，故D正确. 10. 已知圆，圆，直线，则（ ） A. 无论取何值，圆与圆都有且仅有两条公切线 B. 若为直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则四边形面积的最小值为8 C. 若为直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则直线恒过定点 D. 若为圆上一动点，则无论取何值，点运动到哪里，圆上都恰有两个点满足的面积为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两圆位置关系判定方法即可判断A项；结合图形对称性求出四边形的面积表示式，利用圆心到直线距离的最值以及三角函数的性质即可求得面积最小值判断B项；依题设点，写出切点弦方程，证明其过定点即可；结合图形将面积为3转化为点到直线的距离为2，固定一条经过原点的直线，分直线是否经过点讨论点的个数即得. 【详解】由圆，可知圆心为，半径为； 由圆，可知圆心为，半径为. 对于A，因满足， 则两圆相交，故两圆有且仅有两条公切线，故A正确； 对于B，如图1，， 则四边形的面积为， 要使四边形面积取得最小值，只需使取得最小值，而点为直线上一动点， 故当时，取得最小值为， 此时，其中， 设，因，则， 故当时，取得最小值为，故B正确； 对于C，因为直线上一动点，可设， 又因切点分别为，，易得，则点在以点为圆心，长为半径的圆上， 又因， 则该圆的方程为，直线即两圆的公共弦， 将两圆的方程相减，即得直线的方程为， 即，由解得，即直线恒过定点，故C错误； 对于D，如图2，不妨设圆上的点到直线的距离为， 因，由的面积为3可得，则， 若固定一条经过原点的直线，依题意，只需判断圆上是否恰有两个点到直线的距离为2. 如果直线m与圆C相离，此时圆心C到m的距离的最大值不超过，此时恰有两点到直线的距离为2， 如果直线与圆C相交，因圆的半径为2，则恰有两点到直线的距离为2. 综上可知D正确. 11. 已知圆：，直线过点，且与圆交于，两点，则（ ） A. 线段长度的最小值为 B. 面积的最大值为 C. 直线与轴负半轴和轴正半轴围成的三角形面积的最小值为6 D. 过点作直线的垂线交圆于，两点，则线段的中点到原点的距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】当弦AB长度取最小时，弦心距取最大，，通过运算即可判断A选项； 根据三角形的面积公式以及垂径定理，用含弦心距的式子表示面积，即可判断B选项； 利用点斜式设直线方程为，用含的式子表示三角形的面积，即可判断C选项； 利用平面向量建立关系式，求得点的轨迹为圆，再结合点到圆上距离的最值，即可判断D选项. 【详解】过作的垂线，记垂足为，则为弦心距； 根据垂径定理，，取最小，即取最大，，代入上式运算可得：，则A选项正确； ，令，， ，当时，面积取到最大值为，则B选项错误； 设直线方程为，记直线与轴负半轴的交点为，与轴正半轴的交点为，当时，，即， 当时，，即，， 当且仅当，即时，取最小值，则C选项正确； 设，，， 因为为中点，所以，， ，， 因为，所以，， 两式整理可得：，即， 的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 因此，则D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将椭圆的一般方程化为标准形式，确定、的取值，再根据椭圆参数关系求出，最后代入离心率公式计算即可. 【详解】将椭圆方程化为标准形式 ， 则 ，，， 故离心率为. 13. 已知圆：，直线：，若直线上存在点，使得圆上存在两点，，满足，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】圆：，圆心，半径， 过点作圆的两条切线，切线夹角是点对圆的最大张角， 若要使得圆上存在两点，，满足， 则最大张角大于等于， 当最大张角等于时，半角为， 设切点为，在直角三角形中，，即，， 只要，就存在满足条件的， 即圆心到直线的距离， ，即，解得， 所以实数的取值范围是. 14. 已知圆：，直线：，点在直线上，若过点存在直线交圆于，两点，使得点为线段的中点，则点的横坐标的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，根据中位线可得，的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，则为圆与圆的交点，利用圆与圆的位置关系即可求解. 【详解】取中点，因为为线段的中点，所以， 所以的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 设坐标为，可得， 代入化简得的轨迹方程， 过点存在直线交圆于，即圆与圆要有交点，需满足， 代入可得：， 即，解得：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线：与直线：垂直，交点为． （1）求实数的值及点的坐标； （2）若直线过点且在轴上的截距为，直线与直线关于直线对称，求直线的方程． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）利用两直线垂直的系数关系列方程求，再联立两直线方程求交点； （2）先根据截距条件求直线的方程，再通过求上一点关于的对称点，结合公共交点推导直线的方程. 【小问1详解】  由与垂直， 得 ，解得， 将代入两直线方程为，， 联立方程组  ，解得，，所以. 【小问2详解】 因为直线在轴上的截距为，故过点，又过， 则的斜率， 故的方程为，即， 联立与的方程  ，解得，， 故与交于点， 因为直线与直线关于直线对称，所以直线也过点， 取上点，设关于的对称点为， 则 与垂直，得，即；  的中点在上，得，即， 将代入上式解得，，即， 由直线过，，得直线的斜率， 所以的方程为，整理得. 16. 已知椭圆的两个焦点分别是，，为椭圆上一点． （1）若椭圆和椭圆共焦点，且点的坐标为，求椭圆的标准方程； （2）若，面积为，且椭圆的离心率为，求椭圆的长轴长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设椭圆的标准方程为，从而根据共焦点得到，再将点的坐标代入椭圆得到，进而即可求出椭圆的标准方程； （2）设椭圆的长半轴长为，半焦距为，则根据椭圆的定义，三角形的面积公式及余弦定理得到，再根据椭圆离心率的定义得到，进而即可求出长轴长。 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为，半焦距为， 由椭圆和椭圆共焦点，则设其长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则，，则，则①， 又为椭圆上一点，则②， 联立①和②，得，解得，或（舍去）； 则，所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 设椭圆的长半轴长为，半焦距为， 由椭圆的两个焦点分别是，，为椭圆上一点， 则，， 又，面积为， 则，即， 则由余弦定理得， 即③， 又椭圆的离心率为，即，即④， 联立③和④，得，得， 所以椭圆的长轴长为． 17. 已知点，为坐标原点，圆：． （1）当时，已知圆和圆相交于，两点，求线段的长度； （2）若圆上存在点使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再结合点到直线距离公式和弦长公式计算AB长度；（2） 先将转化为点P的轨迹方程，再利用两圆有公共点的圆心距条件求解a的取值范围. 【小问1详解】 当时，圆M：，即圆M：， 圆和圆相交于，，将两圆方程作差消去二次项，得公共弦AB所在直线方程为， 圆的圆心为，半径，故圆心到直线AB的距离为  ， 由弦长公式得. 【小问2详解】 设点，由，得  ， 两边平方得  ，整理得点P的轨迹方程为， 即轨迹为以为圆心，半径的圆， 由题意圆M与上述轨迹圆有公共点，圆M的圆心为，半径，故圆心距满足  ，即，两边平方得， 对，化简为，其判别式，故该不等式对任意实数a恒成立； 对，化简为，解得； 综上，实数a的取值范围为 18. 已知圆经过点，且与直线相切于点，圆的方程为． （1）求圆的方程； （2）若直线与圆相切，且被圆所截得的线段长为，求直线的方程； （3）设为圆上任意一点，过点向圆引切线，切点为，探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出所有满足条件的定点的坐标，及相对应的定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）和 （3）存在，当定点为时，；当定点为时， 【解析】 【分析】（1）由圆的性质可得； （2）讨论斜率存在与否，利用点到直线的距离和圆的弦长公式可得； （3）由弦长公式得到，再结合为圆上任意一点代入圆方程化简，然后利用两点间距离公式表示出，结合同次系数相同解方程组可得. 【小问1详解】 因为圆经过点，且与直线相切于点， 所以圆心，半径， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，易得其方程为， 当时，弦长为的直径，舍去； 当时，由圆的弦长公式可得，符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 因为直线与圆相切，且被圆所截得的线段长为， 所以，解得， 此时直线方程为， 综上，满足条件的直线方程为和. 【小问3详解】 因为圆心，半径， 所以， 点为圆上任意一点，代入方程可得， 所以， 设，则， 因为为定值，所以， 所以， 将代入上式右边化简可得， 因为为圆上任意一点，所以上式两边同次系数相同， 即， 解得或， 所以存在，当定点为时，；当定点为时，. 19. 已知圆：，点为直线上一动点，为坐标原点． （1）当时，过点作直线与圆相交，若直线将圆分成两段弧，弧长比为，求直线的方程； （2）当时，点在圆上运动，点满足，求的最小值； （3）过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线，与轴分别交于点，点，求线段长度的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由弧长比得到圆心角，再利用弦心距求解； （2）设出点坐标，转化为点到直线的距离小于等于半径求解； （3）设出切线方程，利用韦达定理和根的判别式求解. 【小问1详解】 由弧长比为，可得圆心角比为，所以圆心角， 设直线方程为：，则弦心距为：， 而圆心到直线的距离为：，所以，解得：， 则或，所以直线的方程为：或. 【小问2详解】 设，，则，，， 因为，所以，代入圆方程得， 化简得：①，即：的轨迹是圆心为，半径为的圆. ②， 将①式代入②式中，得：， 问题转变为求的最小值，令， 构建新的直线方程：， 因为直线和圆有交点，所以圆心到直线的距离小于等于圆的半径， 即： ，解得：，即：，所以的最小值为. 【小问3详解】 设直线方程为：，因为直线与圆相切，所以弦心距为2，即：，整理合并化简得：， 因为必定有两条切线，所以关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ，所以，解得：. 由韦达定理得：，，此时直线分别为：， 所以和轴交点坐标为，同理可得另一条直线和轴交点坐标为， 所以，而， 当且仅当时取等号，所以线段长度的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $