精品解析：江苏省南京市第一中学2025-2026学年高二上学期12月阶段性检测数学试卷

南京一中2025-2026学年度第一学期12月阶段性检测试卷 高二数学 2025.12 命题人：王琳、陈丞、韩淑敏 校对人： 韩淑敏、陈丞 审核人： 王琳 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆方程得到，所以焦距 【详解】因为，，所以焦距 故选：A 2. 已知等差数列满足，则（ ） A. B. C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式列方程，求出公差，再根据通项公式即可求得答案. 【详解】在等差数列中，记公差为，由于， 则，即， 所以. 故选：B 3. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由化简得到公比，则可求. 【详解】由，则，即，即公比 又，所以. 故选：B 4. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出，，，结合函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即 故选：D. 5. 已知抛物线的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，且，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先设 ，由抛物线的定义可知 ，M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，所以，得到 【详解】设 ,准线为 ， 由抛物线的定义可知点M到准线距离为 ， M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，所以 即，得到 故选：C 6. 若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意判断出，从而判断出数列的前11项为负，从第12项开始为正，由此可判断出答案. 【详解】因为是等差数列，，所以， 因为，所以，所以公差， 即为递增数列； 故当时，，当时，， 所以当时，取得最小值， 即中最小的项是. 故选：C. 7. 设为数列的前项积，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，结合已知可推出当时，，从而求得，利用即可求得答案. 【详解】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时，有， 又当时，，则由可得， 即，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 8. 已知是双曲线右支上不同的两点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线对称性结合题意可得四边形为矩形，利用双曲线定义及与勾股定理计算可用表示出，，再利用为直角三角形，借助勾股定理可列出与、、有关齐次方程，即可计算出，即可得解. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以，所以四边形为矩形， 因，设，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形，所以， 则，得，则， 又因为为直角三角形，，所以， 则， 所以，即，其渐近线方程为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知方程，则下列说法正确的有（ ） A. 若，此时方程为椭圆，离心率为 B. 若，此时方程为双曲线，其渐近线为 C. 若方程表示双曲线，则 D. 若方程表示椭圆，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程条件（分母均为正且不相等）； 双曲线的标准方程条件（分母异号）；椭圆的离心率计算；双曲线的渐近线方程，逐步分析即可； 【详解】选项A：若，则为椭圆，，则离心率为，故A正确； 选项B：当时，方程为，即（双曲线，焦点在轴）， 所以，，渐近线方程为，而非，故B错误； 选项C：若方程表示双曲线，则，解得或， 即：. 故C正确； 选项D：若方程表示椭圆，则， 所以，且，即，故D错误. 故选：AC. 10. 已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，所以，则是等比数列， 根据题意得， 所以数列为等比数列，利用累加法求出， 再利用分组求和法得到. 【详解】因为，所以， 则是首项为，公比为3的等比数列，故A错误； 根据题意得，， 所以数列为首项为2，公比为1的等比数列，故B正确； 所以，故C正确；，故D正确. 故选：BCD 11. 已知直线与曲线和都相切，切点分别为、，则（ ） A. B. C. 满足条件的直线有条 D. 满足条件的直线只有条 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数的几何意义写出切线的两种方程，可得出，消去，化简后可判断AB选项；由已知条件得出，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，结合零点存在定理可判断CD选项. 【详解】由题可知直线与曲线相切于点， 又，所以直线的斜率， 则曲线在点处的切线方程为，即， 直线与曲线相切于点，， 则曲线在点处的切线方程为，即， 因为直线与两条曲线都相切，则， 则，即， 可得，即，故B正确，A错误； 把代入，得， 令，其中，则， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以， 又因为，， 所以，， 由零点存在定理可知，函数在区间、上各存在一个零点， 故函数有且只有两个零点，故满足条件的直线有条，故C正确，D错误． 故选：BC. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图像在点处的切线方程是，则＝______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，可得的值，根据点M在切线上，可求得的值，即可得答案. 【详解】由导数的几何意义可得，， 又在切线上， 所以，则=3， 故答案为：3 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查分析理解的能力，属基础题. 13. 设数列满足，且，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据对数的运算得到，所以数列是以为公比的等比数列，再利用等比数列的性质计算即可. 【详解】因为，得，所以， 所以，所以数列是以为公比的等比数列，，所以 所以 ，所以 故答案为：1 14. 已知数列满足：奇数项成等比，公比为q，偶数项成等差，公差为d，且数列的前n项和为， ，，. 若，则正整数__________. 【答案】3 【解析】 【分析】由题目条件求出，再求出，分m为奇数和偶数两种情况代入求解. 【详解】因为，所以，又， 即 解得， ①当n为奇数时，设，则， ②当n为偶数时，设，则 综上 当m为奇数时，由， 当m为偶数时，， 当时，右边小于或等于2，左边大于2，等式不成立； 综上，； 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列的各项都为正数，且． （1）证明数列为等差数列； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） 由数列的各项都为正数，且， 得，即， 所以数列是以为公差的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）将两边取倒数，再结合等差数列的定义即可得证； （2）利用裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，由（1）得， 所以，则， 所以. 16. 已知函数. （1）若在点处的切线与直线平行，求在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）当时，的单调递增区间为，无单调减区间；当时，的单调递增区间为，单调减区间为. 【解析】 【分析】（1）由在点处的切线与直线平行，求出，再求出点处的斜率和坐标，利用点斜式得到切线方程. （2）求出导函数，对参数进行分类讨论即可得到函数的单调区间. 【小问1详解】 ， 由题意，，即， 所以，所以处的切点为， 所以在点处的切线方程为； 【小问2详解】 函数的定义域为， 当时，恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调减区间； 当时，令，解得，令，解得， 所以的单调递增区间为，单调减区间为. 17. 已知椭圆C：，直线l的斜率为1，且交椭圆C于A、B两点，O为坐标原点. （1）若直线l与轴交于点T，且，求直线l的方程； （2）椭圆C上是否存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或； （2）存在，或. 【解析】 【分析】（1）设出直线的方程，与椭圆方程联立，结合向量关系列式求解. （2）假定存在符合条件的点，结合（1）的信息求出点的坐标并代入椭圆方程求解即得. 【小问1详解】 设直线l的方程为，设， 由，得，， 则，，由，得， 由，得，因此，解得， 所以直线l的方程为或. 【小问2详解】 设AB中点，由（1）得，，即。 假设椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形， 则，且，即， 由点P在椭圆上，得，解得，满足，且， 所以存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，直线l的方程为或. 18. 记数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设求数列的前2n项和B2n； （3）设m为整数，且对任意，，求m的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）7. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合变形，再利用等比数列定义求出通项. （2）由（1）求出，再利用分组求和法，并结合等比数列前n项和公式求解. （3）利用错位相减法求出数列前n项和，进而确定该和最大值范围即可求得的最小值. 【小问1详解】 在数列中，，则， 当时，，则数列是以为首项，2为公比的等比数列， 因此，当时，，而不满足上式， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得， 则， ， . 【小问3详解】 设，则， 当时，， 于是， 则， 因此，由，得，又， 所以符合题设条件的m的最小整数值为7. 19. 已知双曲线的渐近线方程是，且过点. （1）求的标准方程； （2）、分别为双曲线的左、右顶点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于、两点，记直线、、、的斜率分别为、、、，已知. （i）证明：为定值； （ii）求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （i）设点、，又，， 所以，同理，， 所以，所以； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的方程； （2）（i）设点、，利用斜率公式结合双曲线的方程可求出，再结合可得出的值； （ii）解法一：设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，根据结合韦达定理求出的值，再结合三角形的面积公式与函数相关知识可求得面积的取值范围； 解法二：设直线的方程为，直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，可求出点的坐标，同理可得出点的坐标，根据，，可求出的取值范围，根据可得出，再结合三角形的面积公式与函数相关知识可求得面积的取值范围. 【小问1详解】 因为双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为， 因为双曲线过点，所以， 所以双曲线的方程为，即为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）（法一）由已知与坐标轴不垂直，故可设直线的方程为， 由，消去得， 所以， . 所以， 整理，得， 即 整理，得，解得或， 当时，直线过点，不合题意，舍去， 当时，直线过点，满足题意， 所以直线过定点， .. 因为， 又，所以， 由直线与双曲线的左支有两个交点，且与坐标轴不垂直， 得，令，则， ， 因为在上单调递减，所以， 所以，所以面积的取值范围是. （ii）（法二）设直线的方程为，直线的方程为， 由消去得，则，解得，， 同理，. 由直线与双曲线的左支有两个交点，且与坐标轴不垂直， 所以，，可得，解得即且. 又，即， 所以. 由， 令，且且， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，故， 所以， ， 由在上单调递减，所以，即， 所以，所以面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京一中2025-2026学年度第一学期12月阶段性检测试卷 高二数学 2025.12 命题人：王琳、陈丞、韩淑敏 校对人： 韩淑敏、陈丞 审核人： 王琳 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列满足，则（ ） A. B. C. 8 D. 10 3. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. 8 D. 16 4. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，且，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 6. 若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ） A. B. C. D. 7. 设为数列的前项积，已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是双曲线右支上不同的两点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知方程，则下列说法正确的有（ ） A. 若，此时方程为椭圆，离心率为 B. 若，此时方程为双曲线，其渐近线为 C. 若方程表示双曲线，则 D. 若方程表示椭圆，则 10. 已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 11. 已知直线与曲线和都相切，切点分别为、，则（ ） A. B. C. 满足条件的直线有条 D. 满足条件的直线只有条 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图像在点处的切线方程是，则＝______． 13. 设数列满足，且，则__________. 14. 已知数列满足：奇数项成等比，公比为q，偶数项成等差，公差为d，且数列的前n项和为， ，，. 若，则正整数__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列的各项都为正数，且． （1）证明数列为等差数列； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知函数. （1）若在点处的切线与直线平行，求在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 17. 已知椭圆C：，直线l的斜率为1，且交椭圆C于A、B两点，O为坐标原点. （1）若直线l与轴交于点T，且，求直线l的方程； （2）椭圆C上是否存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 18. 记数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设求数列的前2n项和B2n； （3）设m为整数，且对任意，，求m的最小值. 19. 已知双曲线的渐近线方程是，且过点. （1）求的标准方程； （2）、分别为双曲线的左、右顶点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于、两点，记直线、、、的斜率分别为、、、，已知. （i）证明：为定值； （ii）求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $