精品解析：内蒙古乌兰浩特市第八中学2026-2027学年九年级上学期第一次质量监测数学试题

2026－2027学年第一学期九年级学业质量监测 数学试题 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】解：A．含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B．含有根号，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C．最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； D．只含一个未知数，最高次数为2，且为整式方程，符合题意． 故选：D． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，2，1 B. 1，，1 C. 0，， D. 0，，1 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查了一元二次方程， 根据一元二次方程的一般形式确定出所求即可． 【分析】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为1、、1． 故选：B． 3. 抛物线y＝﹣（x﹣8）2+2的顶点坐标是（　　） A. （2，8） B. （8，2） C. （﹣8，2） D. （﹣8，﹣2） 【答案】B 【解析】 【分析】根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标． 【详解】因为y＝﹣（x﹣8）2+2是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（8，2）． 故选B． 【点睛】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法． 4. 观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（ ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的解．通过观察表格中的值与方程右边的1.1比较，确定解所在的范围即可． 【详解】解：∵ 当时，， 当时，， ∴ 方程的解在和之间， 即． 故选：C． 5. 为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服质量不变，其体积v（）与密度（）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于时，其体积可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设体积v（）与密度（）的反比例函数关系式为，运用待定系数法求出m，得到该反比例函数关系式，进而根据图象即可求解． 【详解】解：设体积v（）与密度（）的反比例函数关系式为， 从图上可以看出图象过点， 将其代入得，解得， ∴， 当时，， 综合各个选项，只有符合． 6. 若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合开口向下的抛物线的性质比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的y值越小， 点A到对称轴的距离：， 点B到对称轴的距离：， 点C到对称轴的距离：， ∵， ∴． 7. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据题意可得，再根据反比例函数图象，一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，于轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴直线为， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：B ． 8. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为， 根据题意得：． 故选：A． 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 9. 若反比例函数的图像位于第一、三象限，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数图像位于第一、三象限时，比例系数大于零是解题的关键． 反比例函数图像位于第一、三象限时，比例系数大于零，即，再解不等式即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第一、三象限， ∴比例系数， 解得：． 故答案为：． 10. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律求解即可． 【详解】据题意可得： 11. 某汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数解析式是，则从汽车开始刹车到汽车停止所需的时间是 _______． 【答案】3秒## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式． 将解析式化为顶点式，得出当时，S有最大值27，即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴当时，S有最大值27， ∴从汽车开始刹车到汽车停止所需的时间是3秒． 故答案为：3秒． 12. 已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线．现有下列5个结论：①函数图像与x轴的另一交点为；②；③；④（n为实数且）；⑤若点在抛物线上，则当时，q的最大值为c．其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数的图像与性质，根据对称性可判断①；根据对称轴计算公式可判断②；根据当时，可判断③；当时，函数有最小值，最小值为，据此可判断④；由增减性可得当时，q随p的增大而增大，则当时，q有最大值，而当时，，据此可判断⑤． 【详解】解：①∵函数图像与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， ∴函数图像与x轴的另一交点为，故①正确； ②∵对称轴为直线， ∴， ∴，故②正确； ③由①和图象得，时，， ∴，故③正确； ④∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，一定有， ∴，故④正确； ⑤∵点在抛物线上，当，且抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，q随p的增大而增大， ∴当时，q有最大值， ∵当时，， ∴当时，， ∴q的最大值一定大于c，故⑤错误； 故答案为：①②③④． 三、解答题（共6小题，满分64分） 13. 解下列一元二次方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法，即可求解； （2）根据因式分解法，即可求解． 【小问1详解】 解：由题得， 或， ； 【小问2详解】 解：由题得， ， ， 或， ． 14. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程总有实数根； （2）若方程的两根一正一负，求的取值范围． 【答案】（1） 证明： ， ∵， ∴无论为何值，该一元二次方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据根的判别式证明即可； （2）根据根与系数的关系得到两根之积，进而根据“两根一正一负”作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：两根之积， ∵方程的两根一正一负， ∴两根之积， 即， 解得：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． （1）求的值； （2）关于的不等式的解集为 ； （3）若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 【答案】（1）的值为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求解； （2）联立方程，求出点的横坐标，再结合图象，求出直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围即可； （3）直线交轴于点，先求出，设，则，根据，列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：点在一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象上， 当时，， ， ； 【小问2详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ，整理得，解得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 则由图可知，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，直线交轴于点， 当时，， 则， 设，则， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ，则或， 解得或， 则或． 16. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）3元 （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. 【小问3详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 17. 洒水车是城市绿化的生力军．某辆洒水车喷出水的上、下边缘分别可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，喷出水的上、下边缘的竖直高度分别为（单位；m），且分别与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． （1）在一次洒水作业中，水平距离与喷出水的上边缘的竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 竖直高度 ①直接写出喷出水的上边缘竖直高度的最大值； ②根据以上信息，求出与满足的函数关系式，并求出喷出水的上边缘落地点的水平距离； （2）在（1）的条件下，喷出水的下边缘的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．记喷出水的落地区域的宽度为（单位：），当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键． （1）①根据抛物线的对称性求得对称轴，进而结合表格，即可求解； ②待定系数法求得抛物线解析式，然后令即可求解； （2）由上边缘落地点的水平距离和喷出水的落地区域的宽度范围求出下边缘落地点的水平距离范围，代入临界值列不等式即可解答． 【小问1详解】 解：①∵当和时，， ∴上边缘抛物线对称轴为直线， 由表格知，当时，，即喷出水的上边缘竖直高度的最大值； 故答案为：； ②由表可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设上边缘抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为：， 令，， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴喷出水的上边缘落地点的水平距离为； 【小问2详解】 解：∵喷出水的下边缘的竖直高度与水平距离近似满足， 令，得， 设其正根为，则喷出水的下边缘落地点的水平距离为， ∵喷出水的上边缘落地点的水平距离为，喷出水的落地区域的宽度， ∴， 解得：， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴． 18. 综合与探究 如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，求此时点的坐标为__________； （3）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线把的面积分成两部分，使，请求出点的坐标； （4）若为抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）点和点是关于函数对称轴的对称点，连接交抛物线的对称轴于点，点即为所求，求解即可； （3）设点，则点，由可得，即，求解即可得出答案； （4）分两种情况：当为斜边时；当为斜边时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入中，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，令，则， ， 设直线的解析式为：， 将，代入可得：， 解得：， 直线的解析式为：， 抛物线的对称轴为直线， 点和点是关于函数对称轴的对称点， 如图，连接交抛物线的对称轴于点， ， 由轴对称的性质可得：， ，则点即为所求， 在中，当时，， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设点，则点， ∵ ∴，即 解得：或（不符合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴； 【小问4详解】 解：设， ，， ，，， 当为斜边时，，即， 解得：，此时， 当为斜边时，，即， 解得：，此时； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，点的对称性、图形的面积计算，勾股定理，直角三角形的性质等，理解坐标与图形性质，学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年第一学期九年级学业质量监测 数学试题 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，2，1 B. 1，，1 C. 0，， D. 0，，1 3. 抛物线y＝﹣（x﹣8）2+2的顶点坐标是（　　） A. （2，8） B. （8，2） C. （﹣8，2） D. （﹣8，﹣2） 4. 观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（ ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A. B. C. D. 5. 为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服质量不变，其体积v（）与密度（）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于时，其体积可以是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 9. 若反比例函数的图像位于第一、三象限，则m的取值范围是______． 10. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 11. 某汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数解析式是，则从汽车开始刹车到汽车停止所需的时间是 _______． 12. 已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线．现有下列5个结论：①函数图像与x轴的另一交点为；②；③；④（n为实数且）；⑤若点在抛物线上，则当时，q的最大值为c．其中正确的结论有________（填序号）． 三、解答题（共6小题，满分64分） 13. 解下列一元二次方程： （1）． （2）． 14. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程总有实数根； （2）若方程的两根一正一负，求的取值范围． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． （1）求的值； （2）关于的不等式的解集为 ； （3）若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 16. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 17. 洒水车是城市绿化的生力军．某辆洒水车喷出水的上、下边缘分别可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，喷出水的上、下边缘的竖直高度分别为（单位；m），且分别与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． （1）在一次洒水作业中，水平距离与喷出水的上边缘的竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 竖直高度 ①直接写出喷出水的上边缘竖直高度的最大值； ②根据以上信息，求出与满足的函数关系式，并求出喷出水的上边缘落地点的水平距离； （2）在（1）的条件下，喷出水的下边缘的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．记喷出水的落地区域的宽度为（单位：），当时，直接写出的取值范围． 18. 综合与探究 如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，求此时点的坐标为__________； （3）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线把的面积分成两部分，使，请求出点的坐标； （4）若为抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $