精品解析：内蒙古兴安盟乌兰浩特五中联盟校2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试卷

2025-2026学年九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题（每小题3分，满分24分） 1. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接．若，则m的值为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，左右两边需同时加上常数是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 6. 若二次函数的x和y的部分对应值如下，则下列说法错误的是（ ） … 0 1 2 3 … … 1.75 1.75 … A. 二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上 B. 对称轴为直线 C. D. 7. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图①中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 9. 一元二次方程的两根为，则的值为________． 10. 如果一个平面图形绕着某点旋转角（）后所得到的新图形与原图形重合，那么称此图形是旋转对称图形，其中叫做旋转对称角．中心对称是一种特殊的旋转对称，其对应的旋转角为__________． 11. 已知二次函数的解析式为（），若函数过和两点，则a的取值范围______． 12. 下列关于二次函数（为常数）的结论： ①该函数的图象与函数的图象形状相同； ②该函数的图象一定经过点； ③当时，y随x的增大而减小； ④该函数的图象的顶点在函数的图象上，其中所有正确结论的序号是 ___________ ． 三、解答题（共6小题，满分64分） 13. 解方程： （1） （2） 14. 已知抛物线过点和点．抛物线的对称轴为直线． （1）当时，比较的大小； （2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 15. 如图，中，，，，且关于的方程有两个相等的实数根． （1）判断的形状； （2）若平分，且，、为方程的两根，求的值． 16. 某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心为坐标原点，过原点的水平线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度为，测得当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为；当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为． （1）求抛物线的解析式； （2）求飞机飞行的最大高度及最远距离． 17. 某厂家生产销售一种儿童电动玩具，3月份前4天该儿童电动玩具售价y（元/个）和销量t（个）的数据如下表所示： 第x天 1 2 3 4 售价 y（元/个） 30 32 34 36 销量 t/个 100 120 140 160 从第5天开始工厂对外调整价格为28元一个，据统计第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为（，且x为整数）． （1）写出销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式，并且求出第5天以后的最大销量． （2）若成本价为20元/个，求该工厂这些天（按20天计）销售该儿童电动玩具得到的利润W（元）与第x天满足的关系式，并写出第几天的利润最大，最大利润为多少． 18. 如图，抛物线过点，点，点，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是x轴上方二次函数图象上一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在直线l上，求直线的解析式； （3）若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题（每小题3分，满分24分） 1. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算出各选项中方程根的判别式的值，找出大于0的选项即可得答案． 【详解】A.方程中，，故方程有两个相等的实数根，不符合题意， B.方程中，，故方程有两个不相等的实数根，符合题意， C.方程可变形为，故方程没有实数根，不符合题意， D.方程中，，故方程没有实数根，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 2. 如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接．若，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线性质，先用的代数式表示出，，的坐标，再作的平分线交于点，过点作于点，根据全等和角平分线性质得到用的代数式表示的和的长，根据和的关系即可求出的值． 【详解】解：当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ， ∵轴， ， ， ， 作的平分线交于点，过点作于点，如图， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ，， ， ， 即， ． 故选：B． 3. 用配方法解方程时，左右两边需同时加上常数是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：， ，即， 用配方法解方程时，左右两边需同时加上常数是1， 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：∵ 原抛物线为 ， 向左平移2个单位长度，得 ， 再向下平移4个单位长度，得 ， ∴ 得到的抛物线解析式为 ， 故选：D． 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是二次函数和一次函数的图象，能根据函数图象所在的象限判断出，的符号是解题的关键．本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致即可． 【详解】解：A、一次函数的图象经过一二四象限，故，，由二次函数的图象可知，，此选项错误，不符合题意； B、一次函数的图象经过一二三象限，故，，由二次函数的图象可知，，此选项错误，不符合题意； C、一次函数的图象经过一二四象限，故，，由二次函数的图象可知，，此选项错误，不符合题意； D、一次函数的图象经过一二三象限，故，，由二次函数的图象可知，，此选项正确，符合题意． 故选：D． 6. 若二次函数的x和y的部分对应值如下，则下列说法错误的是（ ） … 0 1 2 3 … … 1.75 1.75 … A. 二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上 B. 对称轴为直线 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象性质．根据当时，，可判断选项A；当或2，二次函数值都是，可判断选项B；观察表格数据的变化，可判断选项C和D． 【详解】解：A、∵当时，， ∴二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，故选项A说法正确，不符合题意； B、∵当或2，二次函数值都是， ∴对称轴为直线，故选项B说法正确，不符合题意； C、∵对称轴为直线，从表格可知，当时，y随x的增大而增大， ∴开口向上，则，故选项C说法正确，不符合题意； D、∵当时，时， ∴方程的一根在和0之间， ∵对称轴为直线， ∴抛物线与x轴必有第二个交点， ∴， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 7. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式判断出开口方向和对称轴，再判断出离对称轴越远函数值越大即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴， ∴离y轴越远函数值越大， ∵， ∴， 故选：A． 8. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图①中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，正方形的性质，仿照题目中的运算方法，进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ， 四个矩形的长为，宽为， 大正方形的面积可以表示为，中间小正方形的面积为， ， 大正方形的面积还可以表示为， ， ， 综上所述，， 故选：D． 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 9. 一元二次方程的两根为，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入求值式化简计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为 ∴由根与系数的关系，得 ，． 则 ． 故答案为：2． 10. 如果一个平面图形绕着某点旋转角（）后所得到的新图形与原图形重合，那么称此图形是旋转对称图形，其中叫做旋转对称角．中心对称是一种特殊的旋转对称，其对应的旋转角为__________． 【答案】180 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形，中心对称图形的定义是绕对称中心旋转后与原图形重合，因此旋转对称角为． 【详解】解：根据旋转对称图形的定义，中心对称图形绕点O旋转后能与自身重合， 故旋转对称角α为． 故答案为：180． 11. 已知二次函数的解析式为（），若函数过和两点，则a的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，理解二次函数性质利用数形结合思想解题是关键． 由抛物线解析式可得，然后求得当时，y取最小值，再由函数经过和两点可得当时，y取最小值，从而得到，然后结合题意列不等式求解． 【详解】解：由可得： ∴当时，y取最小值 又∵函数过和两点 ∴当时，y取最小值 ∴， 解得： ∵ ∴， 解得： 故答案为：． 12. 下列关于二次函数（为常数）的结论： ①该函数的图象与函数的图象形状相同； ②该函数的图象一定经过点； ③当时，y随x的增大而减小； ④该函数的图象的顶点在函数的图象上，其中所有正确结论的序号是 ___________ ． 【答案】① 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． ①根据二次函数的一样，形状一样即可求解；②求出当时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得． 【详解】解：二次函数， 与函数的二次项系数相同，故图象形状相同，结论①正确； 对于 当时， ∴该函数的图象不一定经过点，结论②不正确； 二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，则结论③不正确； 对称轴为直线， ∴当时，， ∴顶点坐标为， 对于二次函数，当时，， ∴该函数的图象的顶点不在函数的图象上，结论④不正确； 综上，所有正确的结论序号是① 故答案为：①． 三、解答题（共6小题，满分64分） 13. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）提公因式，利用因式分解法解方程即可． （2）方程两边都除以3， 移项， 配方，利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ，或 ， 【小问2详解】 解：方程两边都除以3，得 移项，得 配方，得 即 两边开平方，得 ∴， 14. 已知抛物线过点和点．抛物线的对称轴为直线． （1）当时，比较的大小； （2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，解不等式组，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据可得抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小，据此即可解答； （2）同理，根据抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小，列得，计算即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线中，， ∴抛物线开口向上， ∵点和点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴； 【小问2详解】 解：∵抛物线开口向上，且，都有， ∴点在对称轴的左侧，点在对称轴上或对称轴的右侧，点在对称轴的右侧，且点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，大于点到对称轴的距离， ∴，解得， ∴的取值范围是． 15. 如图，中，，，，且关于的方程有两个相等的实数根． （1）判断的形状； （2）若平分，且，、为方程的两根，求的值． 【答案】（1）直角三角形 （2）6 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根，运用根的判别式可得，由此可得，由勾股定理逆定理即可求解； （2）如图所示，过点作于点，作延长线于点，根据角平分线的定义和性质可得，，，可证，可得，即一元二次方程两个根相等，再根据根的判别式进行计算，最后根据图形的性质检验根的情况，即可求解． 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下， 关于的方程有两个相等的实数根， ∴方程化为一般式为： ∴，整理得，， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点，作延长线于点， ∵平分， ∴，且， 由（1）可得，， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，且， ∴， ∴， ∵、为方程的两根， ∴，整理得，， 解得，， 当时，原方程为， 解得，，不符合题意，舍去； 当时，原方程为， 解得，，即，符合题意； ∴的值为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程判别式，勾股定理逆定理判定直角三角形性质，角平分线的定义和性质定理，全等三角形的判定和性质等知识的综合运用，理解并掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，合理作出辅助线是解题的关键． 16. 某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心为坐标原点，过原点的水平线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度为，测得当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为；当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为． （1）求抛物线的解析式； （2）求飞机飞行的最大高度及最远距离． 【答案】（1） （2）最大高度为，最远距离为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求出抛物线的解析式是解答的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线经过点，，， 设抛物线的解析式为， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由， ∴当时，有最大值，最大值为6； 令，由得，（舍去）， 答：飞机飞行的最大高度为，最远距离为． 17. 某厂家生产销售一种儿童电动玩具，3月份前4天该儿童电动玩具售价y（元/个）和销量t（个）的数据如下表所示： 第x天 1 2 3 4 售价 y（元/个） 30 32 34 36 销量 t/个 100 120 140 160 从第5天开始工厂对外调整价格为28元一个，据统计第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为（，且x为整数）． （1）写出销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式，并且求出第5天以后的最大销量． （2）若成本价为20元/个，求该工厂这些天（按20天计）销售该儿童电动玩具得到的利润W（元）与第x天满足的关系式，并写出第几天的利润最大，最大利润为多少． 【答案】（1）销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式为，第5天以后第20天的销量最大，最大值为500 （2），第20天时工厂利润最大，最大利润为4000元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是找到等量关系求分段函数的解析式． （1）根据表格中数据，用待定系数法求出销量t与第x天满足的关系式，并根据第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系式，由函数性质求出最值； （2）根据单件利润×销售量＝总利润分段列出函数解析式，即可由函数性质得到答案． 【小问1详解】 解：由表格可知，前4天销量t与第x天满足一次函数关系， 设，把代入得： ， 解得， ∴销量t与第x天满足的关系式为； ∵第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为， ∵， ∴当时，t随x的增大而增大， ∵， ∴当时，t有最大值，最大值为， ∴销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式为，第5天以后第20天的销量最大，最大值为500； 【小问2详解】 解：设y与x的函数解析式为， 把代入得： ， 解得， ∴y与x的函数解析式为， ①当时，， 当时，W有最大值，最大值为； ②当时，， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴第20天时W的最大值为4000元． ∴W（元）与x的函数关系式为；第20天时工厂利润最大，最大利润为4000元． 18. 如图，抛物线过点，点，点，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是x轴上方二次函数图象上一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在直线l上，求直线的解析式； （3）若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值，值为8 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）由题意知，抛物线对称轴直线，如图1，连接交于，由翻折的性质可知，，为的中点，设，则，，，由勾股定理得，，即，解得，或（舍去），即，则，设直线的解析式为，将，代入，计算求解，然后作答即可； （3）设，直线的解析式为，将代入得，，解得，，则的解析式为，当时，，则，即，同理可得，，然后求解作答即可． 【小问1详解】 解：将，点，点代入得， ， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意知，抛物线对称轴直线， 如图1，连接交于， 由翻折的性质可知，，为的中点， 设，则，，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴，则， 设直线的解析式为， 将，代入得， ， 解得，， ∴； 【小问3详解】 解：设，直线的解析式为， 将代入得， ， 解得，， ∴的解析式为， 当时，， 则，即， 同理可得，直线的解析式为， 当时，， 则，即， ∴， ∴的值为定值，定值为8． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $