精品解析：山东省泰安市新泰中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段测试数学试题

新泰中学2026级高一上学期第一次阶段性诊断检测 数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5mm黑色中性笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共8个） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合那么（ ） A. ， B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A. B. C. D. 5. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（       ） A. B. C. D. 6. 若，则关于的不等式的解集为（       ） A. B. C. 或 D. 或 7. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 3 D. 4 二、多选题（每题6分，共3个，多选错选均不得分，选对部分得部分分．） 9. 已知集合是全集，集合，的关系如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为1 11. 设狄利克雷函数,符号函数,则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共3题．） 12. 已知函数的定义域为，则的定义域___________． 13. 已知函数，则___________． 14. 设函数则不等式的解集是___________ 四、解答题（共5个题目） 15. 解下列不等式（最后答案用集合或区间表示）： （1）； （2）； （3）； （4） 16. 已知函数． （1）求； （2）求函数的解析式； （3）若，求实数的值． 17. 已知集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； 18. 某公司引进一种智能设备投入生产，已知该设备的固定投入为万元，每生产吨产品还需再投入材料、人工等费用万元.根据市场调研，产品的销售单价（万元/吨）与生产量（吨）满足如下关系：（生产吨产品就需更换新设备），假设生产的产品可以全部售出. （1）求总利润（万元）关于生产量（吨）的函数： （2）至少需要生产多少吨产品，公司才不会出现亏损？ （3）当生产量为多少吨时，可使总利润达到最大？ 19. 已知函数． （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）若且方程有两个正实数根，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰中学2026级高一上学期第一次阶段性诊断检测 数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5mm黑色中性笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共8个） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 2. 已知集合那么（ ） A. ， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先可求出直线与的交点坐标，然后根据交集的相关性质即可得出结果. 【详解】由于直线与的交点坐标为， 已知集合， 则，故D正确. 3. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】从充分性和必要性两个维度分别判断： 判断充分性： 因为，可得为负数，也为负数.不等式两边同时乘，不等号方向改变， 得：，化简得，充分性成立； 判断必要性： 若，举反例：取，，此时，但，不满足， 必要性不成立 因此“”是“”的充分不必要条件. 4. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出此命题是真命题时的范围，再根据条件关系选择即可. 【详解】由题意可以得到，此命题为真命题时， 时，， 即，∵需要求一个必要不充分条件， 即的范围比此范围大就行，∴满足题意. 5. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集. 于是，解得. 所以实数的取值范围是. 6. 若，则关于的不等式的解集为（       ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，， 所以 ， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解集为或. 7. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】任取，则，， 变形得，其中，故，因此， 任取，则，， 变形得，其中，故，因此， 由且，可得； 任取，则，， 变形得，其中，故，因此， 取元素8，可知， 若，解得，故，说明，因此; 综上可得. 8. 若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理将所求代数式转化为关于的表达式，再利用基本不等式求最小值. 【详解】∵ 关于的不等式的解集为， ∴ 二次项系数，且、是方程的两个实根， 由韦达定理得：，即，（）， 所以，令，由得，则， 代入上式得： ，根据基本不等式，对任意， 有，当且仅当即时等号成立， 因此，当即时等号成立，故最小值为. 二、多选题（每题6分，共3个，多选错选均不得分，选对部分得部分分．） 9. 已知集合是全集，集合，的关系如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据Venn图及集合间的关系、基本运算逐一判断即可. 【详解】对于A，由Venn图可知，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，设，则，所以， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以，又， 所以，故D正确. 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，正确； 对于B：由 ，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由 ， 当且仅当，即时取等号，的最小值为1，故D正确. 11. 设狄利克雷函数,符号函数,则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据两类分段函数各自的性质进行分类讨论逐一判断. 【详解】对于A：若.因此；若,同理可证时也成立，故A正确； 对于B：若为无理数，则,故B错误； 对于C：易知必为有理数，因此恒成立，而当为无理数时，,此时,故C错误； 对于D：证明D即证.易知与必同时为有理数或同时为无理数，因此,故即证. 当时，;当时，;当时，,故恒成立. 故得证，即D正确. 故选：AD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共3题．） 12. 已知函数的定义域为，则的定义域___________． 【答案】 【解析】 【详解】对于函数，由，则， 所以函数的定义域为， 对于，由，则， 所以的定义域为． 13. 已知函数，则___________． 【答案】2 【解析】 【详解】令，解得， 所以. 14. 设函数则不等式的解集是___________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据分段函数的定义域分与两种情况分别求解，最后将两部分解集取并集． 【详解】因为所以原不等式等价于． 当时，，解得 当时，，即 所以结合，得 因此原不等式的解集为 四、解答题（共5个题目） 15. 解下列不等式（最后答案用集合或区间表示）： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 因为等价于， 即，解得或， 所以不等式的解集为． 【小问2详解】 因为恒成立， 所以的解集为. 【小问3详解】 因为等价于，整理可得， 等价于，解得， 所以不等式的解集为． 【小问4详解】 因为等价于或，解得或， 故的解集为． 16. 已知函数． （1）求； （2）求函数的解析式； （3）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接取代入即可求解； （2）利用换元法即可求解； （3）根据条件列出方程即可求解． 【小问1详解】 取，得． 【小问2详解】 由有意义可得 令，则，， 故，其中， 因此的解析式为． 【小问3详解】 由题意得，故，解得， 又因为，因此． 17. 已知集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将充分不必要条件转化为集合真包含关系 ，列不等式组求解；（2）将全称真命题转化为集合包含关系，分和两类讨论求解. 【小问1详解】   若“”是“”的充分不必要条件，则 ， 因此 ，解得，故实数的取值范围为； 【小问2详解】 若命题“，都有”为真，则，分两类讨论： ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足，该不等式组无解； 综上，实数的取值范围为. 18. 某公司引进一种智能设备投入生产，已知该设备的固定投入为万元，每生产吨产品还需再投入材料、人工等费用万元.根据市场调研，产品的销售单价（万元/吨）与生产量（吨）满足如下关系：（生产吨产品就需更换新设备），假设生产的产品可以全部售出. （1）求总利润（万元）关于生产量（吨）的函数： （2）至少需要生产多少吨产品，公司才不会出现亏损？ （3）当生产量为多少吨时，可使总利润达到最大？ 【答案】（1） （2）吨 （3）吨 【解析】 【分析】（1）根据销售单价公式和成本可知，，再写成分段函数的形式； （2）由分段函数计算当时，由，计算至少需要的产品数量； （3）由分段函数分别计算当和时的最值，再比较大小，即可求解. 【小问1详解】 由题意，， . 【小问2详解】 当时，由，得. 故，整理得. 故，解得，结合，知， 当时，由恒成立， 综上可知至少需要生产吨产品，公司才不会出现亏损. 【小问3详解】 当时，. 因为. （当且仅当，即（吨）时取“”号） 所以（万元）. 当时，因为抛物线的对称轴， 所以（万元）. 因为，所以当生产量吨时，总利润达到最大. 19. 已知函数． （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）若且方程有两个正实数根，求的最小值． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集 为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解 集为. （3） 【解析】 【分析】（1）将原不等式整理为标准二次不等式，分二次项系数为和不为两种情况，结合恒成立条件求的取值范围； （2）对不等式左边因式分解，根据的不同取值比较对应方程两根大小，分类求解不等式解集； （3）代入整理方程，利用韦达定理将所求代数式转化为关于参数的函数，结合正根条件确定的范围，再用基本不等式求最小值. 【小问1详解】 由题意对任意恒成立，整理得恒成立： ① 当时，不等式为，恒成立，符合条件； ② 当时，需满足，解得. 综上，实数的取值范围. 【小问2详解】 不等式因式分解得，分类讨论： ① 当时，，解集为； ② 当时，不等式化为，解得，解集为； ③当时，，解集为； ④当时，不等式化为，解集为； ⑤当时，，解集为. 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 当时，原方程整理为， 设两根为，由韦达定理得，， 因方程有两个正实根，恒成立， 故只需满足，即，解得. 所求代数式变形为 ， 代入韦达定理结果得， 令（），则，代入得， 由基本不等式得，当且仅当即（舍去）时等号成立， 此时满足，故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $