精品解析：山东济南市历城第二中学2026-2027学年高一上学期10月学情诊断数学试卷

历城二中 63 级高一 10 月份学情诊断数学试题 考试时间：120 分钟　　总分：150 分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据存在量词命题的否定， 命题“，”的否定是 ，． 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 4. 已知命题 ：，；命题 ：，，则（　　） A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题 C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题 【答案】B 【解析】 【详解】对 ，取 ，则 不成立， 是假命题， 是真命题； 对 ，取 ，则 成立， 是真命题， 是假命题； 和 都是真命题． 5. 使函数 的定义域是 的一个必要不充分条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把“定义域为”的充要条件求出来（按 的正负、零点分类），再利用集合关系求解即可． 【详解】要使函数定义域为，需 对任意 恒成立． ①当 时， 恒成立，符合； ②当 时，需 ，； ③当 时，二次函数开口向下，不可能恒正，舍去． 的定义域是的充要条件是 ，即 ． .取值范围相同，是充要条件； B.没有交集，既不充分也不必要条件; D.没有交集，既不充分也不必要条件； C.真包含， ，当时，推不出，充分性不成立， 能推出，必要性成立， 故是 的定义域是的必要不充分条件. 6. 关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据含参的一元二次不等式的解法，分类讨论求出不等式的解集，然后分析该集合中能含有哪两个整数，即可求出实数的取值范围． 【详解】由题意得，原不等式可转化为， 当时，解得，此时解集中的整数为2，3，则； 当时，解得，此时解集中的整数为0，，则； 当时，不等式为，无解，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：B． 7. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L．E．J．Brouwer），简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数 ，存在实数 ，使得 ，我们称该函数为“不动点”函数，实数 为该函数的“不动点”．已知函数 在区间 上恰有两个不同的不动点，则实数 的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】“不动点”就是方程 的根，即方程在内恰有两个不同的实根，令，则在内有两个零点，由此分析即可求得实数 的取值范围． 【解答】由 ，得 ， 令， 由函数 在区间 上恰有两个不同的不动点， 得方程在内恰有两个不同的实根， 在内有两个零点， 所以或， 所以或， 所以或， 所以实数 的取值范围为. 8. 当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分和两种情况去掉绝对值符号结合不等式的解法讨论可得. 【详解】当时，恒成立， 当即时，不等式的解集为或， 又当时，关于的不等式恒成立，所以需满足即； 当即时，不等式的解集为或， 又当时，关于的不等式恒成立，所以需满足即； 当时，，而恒成立，此情况无解， 综上，时，；时，， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（　　） A. 已知函数，则 B. 与是同一函数 C. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 D. 函数的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A用换元法求解析式；B看定义域与对应关系；C注意“括号里”的范围；D先求根号内式子的取值范围． 【详解】解：A：令，则， ，，正确； B：，与的定义域、对应关系都相同，是同一函数，正确； C：，，即的定义域为， 由得，即定义域为，错误； D：，且当或时取到一切非负值， 的值域为，正确． 10. 设，且满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最值判断AB选项；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C选项；利用两正数的算术平均数不大于其平方平均数求出最大值判断D选项. 【详解】对于A选项：因为，，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以有最大值为，A错误； 对于B选项：因为，，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以有最小值为，B正确； 对于C选项：因为，，， 所以，当且仅当即 时，等号成立， 所以有最小值为5，C正确； 对于D选项：因为，，， 所以，当且仅当即时，等号成立，此时与矛盾， 所以，D错误. 故选：BC. 11. 对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义可得，对于A，B，结合集合运算法则求，，再求即可判断，对于C，由可得，，由此可得，，由此证明，即可判断，对于D，由可得，，结合集合关系推出即可判断. 【详解】根据定义， 对于A，因为，， 所以，， 所以，A正确， 对于B，因为，， 所以，， 所以，B错误， 对于C，若，则，， ， ， ∴，C正确； 对于D，若，则，， 由可得，由可得， 所以，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有___________位． 【答案】20 【解析】 【分析】三集合容斥，总人次 = 至少会一种人数 + 仅会两种人数 三种都会人数，据此变形求解仅会两类的数量. 【详解】先把会三种球的人数加起来：（人）， 这里面，只会两种球的人被重复算了1次，三种球都会的人被重复算了2次， 而实际至少会一种的只有80人，三种球都会的5人，多算了2次，一共多算：， 用总加和减去多算的部分，再减去实际的总人数，剩下的就是只会两种球的人数：． 13. 已知正数，满足，则的最小值为 ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题设可得，，再根据基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】，，由，得， 又，， ， 当且仅当，即时取等号， 的最小值为． 14. 已知当时，不等式恒成立，则实数a=________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据因式的符号可得且为方程的实数根，故可求的值. 【详解】若，则当时，， 故在上恒成立，但的图象为抛物线， 它的开口向上，故矛盾，舍； 故，故时，，故， 当时，，故， 考虑的解，因为，故此方程必有两个不同的解， 而，故此方程有且仅有一个正实根， 故为方程的正实根，故， 故， 故答案为： 四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知命题，命题对任意，不等式恒成立； （1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）若命题中至少有一个是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据存在量词命题的否定的真假，对参数分类讨论分析求解即可； （2）先求命题都为真命题时实数的取值范围，然后分析即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 由命题，则， ①当时，满足题意， ②当时，由题意得：，解得：， 综上所述，实数的取值范围为． 【小问2详解】 当命题为真命题时，由（1）可知或， 当命题为真命题时，设，， 由函数为二次函数，开口向上，对称轴为：， 所以函数在上单调递减，， 所以对任意，不等式恒成立， 则需要，即，解得：， 所以命题都为真命题时实数的取值范围为：， 所以命题至少有一个为假时，即实数取值范围为． 16. 某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从2026年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本400万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，．每百台高级设备售价为90万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台． （1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 【答案】（1） （2）当年产量为百台（即4000台）时年利润最大，最大年利润为万元 【解析】 【分析】（1）根据利润=销售收入−生产成本−固定成本列函数关系式即可； （2）当时，根据二次函数的性质得到最值；当时，利用基本不等式求出最值；再比较得到最值即可． 【小问1详解】 由题意，年产量为百台时的销售收入为万元， ． 当时，； 当时，． 【小问2详解】 当时，， 当时，取最大值； 当时， ， 当且仅当，即时取等号． ， 当年产量为百台（即4000台）时年利润最大，最大年利润为万元． 17. 已知集合，集合． （1）若，全集，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先解出集合，再利用集合的补集与交集运算即可； （2）由，对集合，进行分类讨论； （3）命题是的必要不充分条件等价于集合是集合的真子集，对集合，进行分类讨论． 【小问1详解】 由得，解得：， 当时，，则， 所以，即. 【小问2详解】 若， ①当时，，即，此时，满足题意； ②当时，，即时， 需要或，解得或，结合得， 综上所述，若，则实数的取值范围为：. 【小问3详解】 若命题是命题的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， ③当时，，此时满足题意； ④当时，， 需满足，解得：，所以， 综上所述，若命题是命题的必要不充分条件，则实数的取值范围为：. 18. 已知二次函数 （，， 为实数）． （1）若 的解集是 ，求不等式 的解集； （2）当 ， 时，求关于 的不等式 的解集； （3）若不等式 对任意 恒成立，求 的最大值． 【答案】（1） （2）当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ． （3） 【解析】 【详解】（1）由一元二次不等式的解集与方程的根之间的关系，用 表示、 ，由此将不等式 转化为不含参的二次不等式求解即可； （2）将不等式  转化为 ，再讨论与的大小关系，由此得到不等式 的解集； （3）将不等式 对任意 恒成立，转化为 ，得到 的关系，再用换元法，结合基本不等式，求得  的最大值． 【解答】（1） 的解集为 ， ，且 是 的两根， ，，即 ，． ， 即 ， ，， ，解得. 不等式 的解集为 ． （2）当 时，原不等式为 ， 即 ． ， 抛物线开口向下，两根为 与 ． ①当，即 时， 的解集为 ； ②当， 即 时，，的解集为 ； ③当，即 时， 的解集为 ． 综上所述，当时，不等式 的解集为； 当 时，不等式 的解集为； 当 时，不等式 的解集为 ． （3） 即 ， 对任意 恒成立， 且 ， ， ． 令 ，，则 ， ． 因为，当且仅当时，等号成立. 所以. 的最大值为 ． 19. 定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. （1）证明：是一个“乘法封闭集”； （2）若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； （3）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【答案】（1） 设，则， 所以， 因为，所以，所以， 所以是一个“乘法封闭集”. （2），或. （3） 【解析】 【分析】（1）根据“乘法封闭集”的定义证明即可； （2）根据“乘法封闭集”的定义进行讨论即可； （3）根据“完美元素”的定义，得到m和n的关系，进行讨论排除即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，中恰有2个元素，不妨设， 由“乘法封闭集”的定义可知，， 由，得或，即或，所以，或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时； 若令，则，所以或，解得或（舍去），此时，或. 综上，，或. 【小问3详解】 因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以，或. 假设，则，即为7的倍数， 设，若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数， 假设不成立，所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 历城二中 63 级高一 10 月份学情诊断数学试题 考试时间：120 分钟　　总分：150 分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（　　） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知命题 ：，；命题 ：，，则（　　） A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题 C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题 5. 使函数 的定义域是 的一个必要不充分条件是（　　） A. B. C. D. 6. 关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L．E．J．Brouwer），简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数 ，存在实数 ，使得 ，我们称该函数为“不动点”函数，实数 为该函数的“不动点”．已知函数 在区间 上恰有两个不同的不动点，则实数 的取值范围为（　　） A. B. C. D. 8. 当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（　　） A. 已知函数，则 B. 与是同一函数 C. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 D. 函数的值域为 10. 设，且满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 11. 对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有___________位． 13. 已知正数，满足，则的最小值为 ___________． 14. 已知当时，不等式恒成立，则实数a=________． 四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知命题，命题对任意，不等式恒成立； （1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）若命题中至少有一个是假命题，求实数的取值范围． 16. 某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从2026年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本400万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，．每百台高级设备售价为90万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台． （1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 17. 已知集合，集合． （1）若，全集，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18. 已知二次函数 （，， 为实数）． （1）若 的解集是 ，求不等式 的解集； （2）当 ， 时，求关于 的不等式 的解集； （3）若不等式 对任意 恒成立，求 的最大值． 19. 定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. （1）证明：是一个“乘法封闭集”； （2）若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； （3）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $