精品解析：山东省新泰市第一中学2024-2025学年高一上学期过程适应性训练数学试题

新泰中学2024级高一上学期适应性训练 数学试题 考试时间：120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知集合M满足，则所有满足条件的集合M的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（ ） A. ，对应关系 B. ，，对应关系 C. ，对应关系 D. ，对应关系 6. 设集合或，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 设集合，且，则实数a可以是（ ） A. B. 1 C. D. 0 10. 下列各命题中，p是q的充要条件的有（ ） A. p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例 B. p：四边形是菱形；：四边形的对角线互相垂直 C. ：；：， D. ：；： 11. 设正实数满足，则（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值 第Ⅱ卷（非选择题） 三、嫃空题 12. 设集合，则集合的子集个数为________ 13. 若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是________. 14. 已知不等式的解集为，则________，的最小值是_________ 四、解答题 15. 已知全集,集合,集合为小于6的质数. （1）求; （2）求. 16. 已知集合，集合，命题，命题. （1）当实数a为何值时，p是q的充要条件； （2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 17. 已知关于的不等式的解集为，（）. （1）求实数，的值； （2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 18. 某服装厂为扩大生产增加收益，新引进了一套某种服装的生产设备，用该设备生产制作服装每月的成本（单位：元）由两部分构成：①固定成本（与生产服装的数量无关）：元；②生产所需材料成本：（单位：元），为每月生产服装的件数. （1）用该设备生产服装，每月产量为何值时，平均每件服装的成本最低，每件的最低成本为多少？ （2）若每月生产件服装，每件售价为：（单位：元），假设每件服装都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该设备每月的利润不低于4万元？ 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰中学2024级高一上学期适应性训练 数学试题 考试时间：120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意先解出集合A，进而得到结果． 【详解】由已知，集合，又， 所以. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全称的否定是特称可得； 【详解】由全称的否定是特称可得命题“”的否定为“”. 故选：C. 3. 下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质结合已知判断C选项，特殊值法分别判断A,B,D选项即可. 【详解】当时满足，可得，A选项错误； 当，可得，B选项错误； 若，由不等式乘法性质可得，C选项正确； 当，可得，D选项错误. 故选：C. 4. 已知集合M满足，则所有满足条件的集合M的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由集合间的基本关系利用元素个数即可求得满足题意的个数. 【详解】根据可以确定必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个， 因此依据集合的元素个数分类如下： 含有3个元素：. 含有4个元素：， 含有5个元素：. 所有满足条件的集合M可以是：，共7个. 故选：B 5. 下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（ ） A. ，对应关系 B. ，，对应关系 C. ，对应关系 D. ，对应关系 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义，结合特例法逐一判断即可. 【详解】A：因为集合是整数集，其中奇数除以的结果不是整数， 所以不是的函数，因此本选项不符合题意； B：显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义， 因此本选项不符合题意； C：因为任意一个实数的平方是一个确定的实数，符合函数的定义， 所以本选项符合题意； D：因为，但是没有意义，因此不符合题意，所以本选项不符合题意， 故选：C 6. 设集合或，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，再结合集合及，运算即可得解. 【详解】由集合或，则， 又集合且，则， 故选：B. 7. 已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次不等式解集转化为一元二次方程的解，根据韦达定理求出，，再用基本不等式求出最值 【详解】的解集为，则是方程的两个根，故，，故 因为，所以有基本不等式得：，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为 故选：D 8. 若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的代换求最小值，再由不等式有解得，即可求参数范围. 【详解】由， 仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，只需， 所以. 故选：B 二、多项选择题 9. 设集合，且，则实数a可以是（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，可得，对集合N分类讨论可得结果. 【详解】，因为，所以， 因为，所以当时，，满足， 当时，，满足， 当时，，满足， 故选：ACD. 10. 下列各命题中，p是q的充要条件的有（ ） A. p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例 B. p：四边形是菱形；：四边形的对角线互相垂直 C. ：；：， D. ：；： 【答案】AD 【解析】 【分析】根据充要条件的判断方法，逐项判断即可. 【详解】对A：“两个三角形相似”，可得“三角形三边对应成比例”，所以p是q的充分条件；又“两个三角形三边成比例”可得“两个三角形相似”，所以p是q的必要条件.所以p是q的充要条件，故A正确； 对B：因为对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，所以p不是q的充要条件，故B错误； 对C：由“”“或”，所以p不是q的充要条件，故C错误； 对D：，所以p是q的充要条件，故D正确. 故选：AD 11. 设正实数满足，则（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】BD 【解析】 【分析】对于B，直接由即可判断B正确，对于A，由B中结论可得，从而判断A错误，对于C，利用将变形为结合可判断C错误，对于D，利用结合立方差公式将变形为，结合即可判断D正确. 【详解】正实数满足，即有，可得，B正确， 而，即有最大值，当且仅当时等号成立，A错误， 由，当且仅当时等号成立，C错误， 由，当且仅当时等号成立，D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、嫃空题 12. 设集合，则集合的子集个数为________ 【答案】16 【解析】 【分析】先化简集合A，再利用子集的定义求解. 【详解】解：， 故A的子集个数为， 故答案为：16 13. 若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是________. 【答案】或 【解析】 【分析】分别讨论和，利用不等式的解集不是空集，解出的取值范围. 【详解】解：若，则原不等式等价为，此时不等式的解集为空集，所以不成立，即. 若，要使不等式的解集不是空集， 则①若，有，解得. ②若，则满足条件. 综上所述，满足条件的的取值范围是或. 故答案为：或. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的基本解法，属于基础题. 14. 已知不等式的解集为，则________，的最小值是_________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据不等式的解集可得之间的关系，然后将用表示，再用基本不等式求其最小值即可． 【详解】的解集为 ，，， ，当且仅当，即时取等号 故的最小值为10． 故答案为：，10． 四、解答题 15. 已知全集,集合,集合为小于6的质数. （1）求; （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出集合A,B再求并集即可 （2）求出A的补集再与集合B求交集即可 【小问1详解】 由得或 所以 又,所以 【小问2详解】 ,所以 所以 16. 已知集合，集合，命题，命题. （1）当实数a为何值时，p是q的充要条件； （2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式求出集合，根据p是q的充要条件，可得，即可得解； （2）由p是q的充分不必要条件，可得A是B的真子集，再分和两种情况讨论，从而可得出答案. 【小问1详解】 解：，即， 有，解得， 故， 因为p是q的充要条件，所以， 故的解集也为， 所以，解得； 【小问2详解】 解：因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集， ①时，此时，即或，符合题意， ②时，当或时，，即， 此时（不同时取等号），解得， 当时，，即， 此时（不同时取等号），解得， 综上所述a的取值范围. 17. 已知关于的不等式的解集为，（）. （1）求实数，的值； （2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集，结合韦达定理列出方程，即可求得的值. （2）由（1）中的结果，结合基本不等式，可得，然后代入不等式，即可求得的范围. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以，且，可得 即 【小问2详解】 由（1）知，则，即 所以 当且仅当时，即时，等号成立. 故恒成立， 即恒成立， 所以，解得 故 18. 某服装厂为扩大生产增加收益，新引进了一套某种服装的生产设备，用该设备生产制作服装每月的成本（单位：元）由两部分构成：①固定成本（与生产服装的数量无关）：元；②生产所需材料成本：（单位：元），为每月生产服装的件数. （1）用该设备生产服装，每月产量为何值时，平均每件服装的成本最低，每件的最低成本为多少？ （2）若每月生产件服装，每件售价为：（单位：元），假设每件服装都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该设备每月的利润不低于4万元？ 【答案】（1）该用该设备每月生产2000件服装时，可使得平均每件所需的成本最少，每件最少成本为300元 （2）该设备每月至少生产800件产品，才能确保该设备每月的利润不低于4万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，可知平均每套所需的成本费用为，再利用基本不等式即可求出结果； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式即可求出结果. 【小问1详解】 解：设平均每套所需的成本费用为元，则有 . 当且仅当，即时，等号成立，此时. 所以该用该设备每月生产2000件服装时，可使得平均每件所需的成本最少，每件最少成本为300元； 【小问2详解】 解：设月利润为（元），则有： ， 整理得：，解得（舍）或， 所以该设备每月至少生产800件产品，才能确保该设备每月的利润不低于4万元. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1） 由，所以集合是“完美集”； （2） 若是两个不同的正数， 且是“完美集”， 设， 根据根与系数关系可知相当于方程的两根， 由于，解得或（舍）， 所以， 又均为正数， 所以，当且仅当时成立 是两个不同的正数， 所以至少有一个大于2； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设设中，得到，分，，进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设中， 由， 得， 当时，即有， 又为正整数，所以， 则，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，即有， 故只能， 则，可求得， 于是此时“完美集”只有一个为； 当时，由， 即有， 又， 又，所以， 即， 又， 即，与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”； 综上所述，“完美集”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $