精品解析：四川省罗江中学校2025-2026学年下学期科素养评估测评卷（二）八年级数学

2026年春八年级数学科素养评估测评卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（共48分，每题4分） 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，则此项不是最简二次根式； B、∵， ∴， ∴，则此项不是最简二次根式； C、，则此项不是最简二次根式； D、是最简二次根式． 2. 要登上高的建筑物，为了安全需使用梯子，梯子底端需至少离建筑物，则梯子的长度至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据墙面与地面垂直，可知建筑物高度、梯子底端到墙面的水平距离、梯子长度构成直角三角形，再利用勾股定理求出梯子长度即可求解． 【详解】解：∵建筑物墙面垂直于地面， ∴建筑物高度、梯子底端到建筑物的水平距离、梯子长度构成直角三角形，梯子为该直角三角形的斜边， ∵建筑物高为，梯子底端离建筑物至少，即直角三角形两条直角边长分别为和， ∴由勾股定理得，梯子长度为， ∴梯子长度至少为． 3. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 四个角都相等的四边形为矩形 B. 一组对边平行且相等的四边形为平行四边形 C. 对角线相等的平行四边形为菱形 D. 一组邻边相等的矩形为正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，对各选项逐一判断，即可得到假命题． 【详解】解： A、四边形内角和为，四个角都相等，所以每个内角都为，因此四个角都相等的四边形是矩形，A是真命题，不符合题意； B、根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，B是真命题，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，C是假命题，符合题意； D、根据正方形的判定，一组邻边相等的矩形是正方形，D是真命题，不符合题意； 故选：C． 4. 若代数式有意义，则x应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数列出一元一次不等式，求解即可得到答案． 【详解】解：二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， 代数式有意义， ， 移项得， 不等式两边同时除以，得． 5. 一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用任意多边形外角和为的性质，已知每个外角的度数，用外角和除以单个外角的度数即可求出多边形边数． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都是，设边数为， ∴ 因此这个多边形的边数为9． 6. 如图，在中，，，是的高线．若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再由直角三角形的性质可得，最后由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的高线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7. 将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，若，则MN的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】第一次折叠：点落在边上，说明是上的点，且，此时是的中位线，， 第二次折叠：将点再向上折叠，得到，此时是的中位线。 因为，而是的中位线，所以：． 8. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（ ） A. 30平方里 B. 32.5平方里 C. 84平方里 D. 65平方里 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可证明该沙田是直角三角形，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为7里，24里，25里， ，， ， 故该三角形沙田是直角三角形，且两条直角边的长分别为7里，24里 则沙田的面积为 （平方里）． 9. 如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为、，则阴影部分的面积为（ ） A. 52 B. 76 C. 100 D. 124 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意可知，． 在中． 所以阴影部分的面积． 10. 如图，在菱形中，，为对角线上一点，过点分别作于点．于点．若，则菱形的边长为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，连接与交于点，由菱形中，，设，则，，再根据，整理得，结合，解得，即可得菱形的边长为． 【详解】解：如图，连接，连接与交于点， ∵菱形中，， ∴，，，，， ∴中，，， 设，，， ∵，，， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴， 解得， 即菱形的边长为． 11. 【观察】，． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】对于正整数，定义，例如：．求的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出，由此计算即可得出结果，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得， ∴ ． 12. 如图，在正方形中，P是边上一动点（不与A、B重合），对角线相交于点O，过点P分别作的垂线，分别交于点E、F，交于点M、N，下列结论：①；②；③；④当P是的中点时，，其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质证明全等，可判断①结论；根据正方形的性质证明四边形是矩形，可判断②结论；过点作交于点，分别证明四边形是平行四边形，四边形是正方形，可判断③结论；同③理可证，四边形、是正方形，可判断④结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 又， ，①结论正确； 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ，②结论错误； 如图，过点作交于点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 由①可知，， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， 四边形是正方形， ， ，③结论正确； 设正方形的边长为，则， 是的中点， ， 同③理可证，四边形、是正方形， ， ， ，， ，④结论错误， 故答案为：①③． 二、填空题（共24分，每题4分） 13. 化简：________ 【答案】## 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质将原式变形，再根据判断的符号，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质可得， ， ， ． 14. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，C的坐标分别是，，则B点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形“对边平行且相等”的性质，通过点的平移规律来求解未知点的坐标． 【详解】解：在中，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 15. 如图，在四边形中，，若，则的度数为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股逆定理，三角形内角和性质，等边对等角，先结合，得，，又因为，故，所以，即可计算出的度数，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 则 即， ∴， ∴． 故答案为： 16. 如图，是内部的任意一点，连接，，，．若的面积为，的面积为，且，则的面积是______． 【答案】30 【解析】 【分析】过点P作，延长交的延长线于点E，由平行四边形的性质可得，，可得，则，，再根据可得，然后根据平行四边形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，过点P作，延长交的延长线于点E， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴的面积是30． 17. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则，要求的最小值，即求的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，知的最小值即等于直角三角形斜边上的高． 【详解】解：连接，如图： ∵在中，，，， ∴，即， 又∵于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 当时，的最小值即为直角三角形斜边上的高， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段． 18. 如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处，当三角形为直角三角形时，的长为______． 【答案】3或6 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，当为直角三角形，有两种情况：①当点落在矩形内部，即时，连接，结合矩形性质、勾股定理求得，再根据折叠性质得到点、、共线，，，求得，设，则，再根据勾股定理即可得解；②当点落在边上，即时，证明四边形是正方形即可得解． 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： ①当点落在矩形内部，即时，如下图，连接， 矩形中，，， 在中，，， ， 把沿着折叠，使点落在点处， ， ， 点、、共线， 根据折叠性质可得：，， ， 设，则， 中，， ， 解得， ； ②当点落在边上，即时，如下图： 由折叠性质得：，， 四边形是正方形， ， 此时符合题意． 故答案为：3或6． 三、解答题（共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应． （1）先逐项化简，再合并同类二次根式即可； （2）先根据乘法公式计算，再算加减即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 20. 如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿什么方向航行？ 【答案】慢船沿南偏西方向航行 【解析】 【分析】根据三角形的三边长，可知，得，从而得出答案． 【详解】解：由题意知，海里，海里，海里， ∵，， ∴， ∴， ∵快船沿北偏西方向航行， ∴慢船沿南偏西方向航行． 21. 已知，，求下列各式的值： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式将原式转化为，进而将已知数据代入计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 22. 已知：在平行四边形中，对角线交于点O，E、F分别是对角线上两点，且． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对边平行的性质推出，证明，即可推出结论； （2）根据全等三角形的性质得到，证明，得到，证得四边形是平行四边形，结合推出，即可证得平行四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定定理，熟记各定理是解题的关键． 23. 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，中点为，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长是40，对角线AC的长是16，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵平行四边形的对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，中点为， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）96 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明，根据菱形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质，勾股定理，计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，且周长是40，对角线的长是16， ∴，， ， ． ∴四边形的面积为：． 24. 如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 四边形是正方形．理由如下： ∵于点D， ∴． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 又∵， ∴矩形是正方形 （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握对称性，正方形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． （1）对称性得到，，，，，进而推出，得到四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）设，推出，在中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：略；． 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴，． 设，则． ∴． ∵， ∴，． ∴． 在中，，即． 解得． ∴． ∵， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，四边形为矩形，是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． （1）若，求证：四边形是平行四边形． （2）在线段上是否存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，并求此时点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在线段上有一点，且，求四边形周长的最小值． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形，， ，， ． 是的中点， ． 当时，由题意，得， 则， ， 四边形是平行四边形． （2）秒时，；秒时， （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质，即可解答； （2）分点Q在点P的左侧和右侧两种讨论，利用菱形的判定与性质及勾股定理即可求得答案； （3）证明四边形是平行四边形，可得四边形的周长为，当的值最小时，四边形的周长最小．作点关于的对称点，连接交于点，则，，则，则当，，三点共线时，的值最小，即的值最小，最小为，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在线段上存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是菱形． 分两种情况讨论： ①如图1，当点在点的右边时， 四边形是菱形， ． 在中，由勾股定理，得， ， ． ， ． ②如图2，当点在点的左边时， 四边形是菱形， ． 在中，， ，， ， ． 综上所述，秒时，；秒时，． 【小问3详解】 解：如图3，由（1）知：． ，． ， 四边形是平行四边形， ． 四边形的周长为， 当的值最小时，四边形的周长最小． 作点关于的对称点，连接交于点，则，， ． 两点之间线段最短， 当，，三点共线时，的值最小，即的值最小． ， 的最小值为， 四边形周长的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春八年级数学科素养评估测评卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（共48分，每题4分） 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 要登上高的建筑物，为了安全需使用梯子，梯子底端需至少离建筑物，则梯子的长度至少为（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 四个角都相等的四边形为矩形 B. 一组对边平行且相等的四边形为平行四边形 C. 对角线相等的平行四边形为菱形 D. 一组邻边相等的矩形为正方形 4. 若代数式有意义，则x应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 5. 一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 如图，在中，，，是的高线．若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，若，则MN的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 8. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（ ） A. 30平方里 B. 32.5平方里 C. 84平方里 D. 65平方里 9. 如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为、，则阴影部分的面积为（ ） A. 52 B. 76 C. 100 D. 124 10. 如图，在菱形中，，为对角线上一点，过点分别作于点．于点．若，则菱形的边长为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 11. 【观察】，． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】对于正整数，定义，例如：．求的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在正方形中，P是边上一动点（不与A、B重合），对角线相交于点O，过点P分别作的垂线，分别交于点E、F，交于点M、N，下列结论：①；②；③；④当P是的中点时，，其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ③④ 二、填空题（共24分，每题4分） 13. 化简：________ 14. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，C的坐标分别是，，则B点的坐标是______． 15. 如图，在四边形中，，若，则的度数为_________ ． 16. 如图，是内部的任意一点，连接，，，．若的面积为，的面积为，且，则的面积是______． 17. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________． 18. 如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处，当三角形为直角三角形时，的长为______． 三、解答题（共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿什么方向航行？ 21. 已知，，求下列各式的值： （1） （2）． 22. 已知：在平行四边形中，对角线交于点O，E、F分别是对角线上两点，且． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形． 23. 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，中点为，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长是40，对角线AC的长是16，求四边形的面积． 24. 如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，，求的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，四边形为矩形，是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． （1）若，求证：四边形是平行四边形． （2）在线段上是否存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，并求此时点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在线段上有一点，且，求四边形周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $