精品解析：四川广元市2026年春季八年级期末综合素养测评数学试题

2026年春季八年级期末综合素养测评 数学 说明：1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共三个大题26个小题． 3．考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效．选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题． 4．考试结束，将答题卡和试卷一并交回． 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一验证选项即可得到答案． 【详解】解：∵ 选项A 满足两个判定条件，是最简二次根式； 选项B： ，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； 选项C： ，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项D： ，被开方数含分母，不是最简二次根式． 2. 下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】找出每组中最长边，计算两条短边的平方和，与最长边的平方比较，若相等则能组成直角三角形，由此判断选项即可． 【详解】解：对于A选项，最长边，， ∴ 不能组成直角三角形，不符合题意； 对于B选项，最长边，，， 满足，能组成直角三角形，符合题意； 对于C选项，最长边，， 不能组成直角三角形，不符合题意； 对于D选项，最长边，， 不能组成直角三角形，不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则和性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能直接合并，A计算错误； B、，B计算错误； C、，C计算错误； D、，D计算正确． 4. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为40，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质．由菱形四边相等，对角线垂直，可得，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且其周长为40， ∴，， ∴， ∵点为边的中点， ∴． 故选：B． 5. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象经过第二、三、四象限 B. 图象与轴交于负半轴 C. 当时， D. 图象过点，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图像与性质，判断象限、交点位置和增减性，再通过解不等式判断选项正误，即可得到错误结论． 【详解】解：Ａ、对于一次函数， ∵，， ∴函数图象经过第二、三、四象限，A结论正确，不符合题意； B、 ∵一次函数与轴交点为， ∴图象与轴交于负半轴，B结论正确，不符合题意； C、若，可得不等式， 解得， 即当时， 因此C结论错误，符合题意； D、∵，随的增大而减小， ∴若，则，因此D选项正确，不符合题意． 6. 已知某校甲、乙两个篮球队人数相等，两队队员身高（）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 甲队身高数据比乙队更集中 B. 甲队身高的下四分位数是 C. 乙队身高超过的人数占 D. 乙队身高的中位数比甲队大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查箱线图的应用，涉及四分位数、中位数、数据集中程度的判断等知识点．关键是明确箱线图中各统计量的含义． 【详解】解：A选项：观察箱线图，可以看到甲队队员身高的最大值与最小值的差大于乙队， ∴乙队身高数据比甲队更集中，故A选项错误； B选项：由箱线图可知，甲队身高的下四分位数是，故B选项正确； C选项：乙队身高的上四分位数是，即的队员身高不超过， ∴超过的人数占，故C选项错误； D选项：观察箱线图，可以看到甲队队员身高的中位数大于乙队， ∴乙队身高的中位数比甲队小，故D选项错误； 故选：B． 7. 已知，则代数式的值为（ ） A. 12 B. 16 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先计算和的值，再利用完全平方公式将转化为，代入计算后求算术平方根． 【详解】∵， ∴， ， 所以， 因此． 8. 在正比例函数的图象上有两点，则该函数图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两点都在正比例函数图象上，因此坐标满足函数解析式，代入坐标列方程求出的值，得到函数解析式，再验证选项即可得到答案． 【详解】解：∵都在正比例函数的图象上， ∴将两点坐标分别代入解析式得， 把代入，得， 解得， ∴正比例函数的解析式为，即横纵坐标相等， ∴该函数图象一定经过的点是． 9. 如图（），这个图案是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空部分是一个小正方形．在图（）中连接四条线段得到如图（）的图案，若图（）中两个阴影三角形的面积相等，则大正方形与小正方形的边长之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，，，，进而可证，即得，得到，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，由题意得， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴大正方形与小正方形的边长之比为． 10. 甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离(米)与乙出发的时间x(秒)之间的函数关系如图所示，正确的个数为（ ） ①乙的速度为5米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米； ③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是； ④乙到达终点时，甲距离终点还有68米． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用乙用80秒跑完400米求速度可判断①；利用甲先走3秒和12米求出甲速度，根据乙追甲相差12米求时间=12秒再求距起点的距离可判断②；利用两人间距离列不等式5（t-12）-4(t-12)32，和乙到终点，甲距终点列不等式4 t+12400-32解不等式可判断③； 根据乙到达终点时间，求甲距终点距离可判断④即可 【详解】解：①∵乙用80秒跑完400米 ∴乙的速度为=5米/秒； 故①正确； ②∵乙出发时，甲先走12米，用3秒钟， ∴甲的速度为米/秒， ∴乙追上甲所用时间为t秒， 5t-4t=12， ∴t=12秒， ∴12×5=60米， ∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米； 故②不正确； ③甲乙两人之间的距离超过32米设时间为t秒， ∴5（t-12）-4(t-12)32， ∴t44， 当乙到达终点停止运动后， 4 t+12400-32， ∴t89， 甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是； 故③正确； ④乙到达终点时， 甲距终点距离为：400-12-4×80=400-332=68米， 甲距离终点还有68米． 故④正确； 正确的个数为3个． 故选择B． 【点睛】本题考查一次函数的图像应用问题，仔细阅读题目，认真观察图像，从图像中获取信息，掌握一次函数的图像应用，列不等式与解不等式，关键是抓住图像纵轴是表示两人之间的距离，横坐标表示乙出发时间，拐点的意义是解题关键． 二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， x的取值范围是． 12. 小明列出了一个样本数据方差的计算公式：，则公式中的＝_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查方差的概念和计算，掌握好方差的计算公式是关键． 根据方差公式的结构确定样本数据及数据个数，再利用算术平均数的计算公式求解即可． 【详解】解：由方差计算公式可知，样本数据为1，3，4，6，6，数据个数． 根据算术平均数的计算公式，可得． 故答案为：． 13. 如图，的对角线，相交于点O，点E，F分别是线段，的中点，若，的周长是，则______． 【答案】3.5 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和三角形的中位线定理，进行求解即可. 【详解】解：∵的对角线，相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∵点E，F分别是线段，的中点， ∴. 14. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，点在上，于点，于点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可知，，利用勾股定理可以求出，根据矩形的性质可知，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， 又 ， ， ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B．若点在的内部，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：点满足三个条件：在x轴上方，在y轴左方，在直线下方， 列不等式组， 解得． 16. 如图，已知中，，，在边上有两点且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】可以通过建立坐标系结合几何对称的方法来求解的最小值． 【详解】解：作， ， ， ， 由勾股定理得，， ， 以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系： ，， 设，由于，则 ， ， ， 将问题转化为：在轴上找一点，使得到和的距离之和最小（是将向左平移1个单位得到的点） 作关于轴的对称点，连接， 则与轴交点可使即为最小，最小为， ． 三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共10小题，96分．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式、二次根式的性质、二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，的平分线交于点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，若． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， 又平分， ， ， ． ，，平分， ， ∴在和中， ， ． ， 即． ， 即． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质得出，根据角平分线的定义和等角对等边得出，根据角平分线的性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，即可证明； （2）根据平行四边形的性质和平行线的性质得出，根据勾股定理求出，由（1）得，，，，根据平行四边形的性质推得，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 由（1）得，，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 故， ， 在中，． 19. 某校七、八年级各有名学生，为了调查学生对赋能课堂教学的满意度，随机抽取了七、八年级各名学生对赋能课堂教学满意程度赋分（百分制），将收集的赋分成绩按以下六组进行整理（得分用表示）：：，：，：，：，：，：， 并绘制了七年级赋分成绩频数直方图和八年级赋分成绩扇形统计图： 已知八年级样本中赋分成绩为分及以上的学生有人，组中的数据从小到大排列个如下：，，，，，，，，，．请根据以上信息，完成下列问题： （1）______，______，______； （2）八年级赋分成绩的中位数是______； （3）若赋分成绩不低于分，则认定学生对赋能课堂教学“满意”，请估计该校七、八年级对赋能课堂教学“满意”的学生一共多少人？ 【答案】（1），， （2） （3）该校七、八年级对赋能课堂教学“满意”的学生一共人 【解析】 【分析】（1）根据八年级样本中赋分成绩为分及以上的学生数及其百分比即可求出，用八年级样本中赋分成绩为分及以上的学生数除以总人数即可求出，根据总人数减去已知部分人数除以即可得到； （2）根据中位数的定义进行解答即可； （3）利用样本估计总体的方法列式计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 ， 八年级赋分成绩的中位数在组中，是，的平均数，即为； 【小问3详解】 （人）， 答：该校七、八年级对赋能课堂教学“满意”的学生一共人． 20. 如图，在中，，是边上的中线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平行线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若是的中点，连接并延长，交于点，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据尺规作一个角等于已知角的作图步骤，作，根据内错角相等，两直线平行可得的平行线； （2）先根据等腰三角形的性质得到，，再证明， 得到，进而利用平行四边形和矩形的判定可证得结论． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求（方法不唯一）： 【小问2详解】 解：如图， ∵，是边上的中线， ∴，，即， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 21. 阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 李聪同学是这样解答的： ． ．这种方法称为“构造乘积对偶法”． 问题：已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得 ，然后问题可求解； （2）由（1）及题意可列方程进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得： ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，① ，② ①②得：，即， ∴ ， 解得． 22. 图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 【答案】（1）直角三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可证明； （2）过点作，交于点，利用勾股定理求出，利用等积法求出，由点到地面的距离为即可求解． 【小问1详解】 解：为直角三角形，理由如下： 在中， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形． 【小问2详解】 解：如图所示，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴点到地面的距离为：． 23. 直线经过点，点，直线交x轴于点C，交y轴于点E，交直线于点D． （1）求直线表达式； （2）点M为y轴上一动点，的面积为5，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)先设直线解析式，再将、代入列方程组求解、，即可得表达式； (2)先令求点坐标，再联立两直线解析式求出交点；设，利用分割法表示面积得，再解绝对值方程，即可求出或． 【小问1详解】 解：设直线表达式为， 代入点，得，， 解得， ∴直线表达式为． 【小问2详解】 解：如图， 联立直线与得，， 解得， ∴， 对于直线，当时，， ∴， ∵， ∴， ， ，解得， 当点M在点E上方时，； 当点M在点E下方时，， 此时点M位于y轴负半轴； ∴或． 24. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，辆A型汽车，辆B型汽车的进价共计万元；辆A型汽车，辆B型汽车的进价共计万元． （1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划用不多于万元购进以上两种型号的新能源汽车共辆（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利元，销售辆B型汽车可获利元，问：进A型，B型汽车各几辆，全部售出后能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）每辆A型汽车的进价是万元，每辆B型汽车的进价是万元 （2）购进辆A型汽车，辆B型汽车时，能获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设每辆A型汽车的进价是万元，每辆B型汽车的进价是万元，根据辆A型汽车、辆B型汽车的进价共计万元；辆A型汽车、辆B型汽车的进价共计万元，可列出关于，的二元一次方程组，解方程组即可出结果； （2）设该公司购进辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为元，则该公司购进辆B型汽车，又因为总利润每辆A型汽车的销售利润A型汽车的购进数量每辆B型汽车的销售利润B型汽车的购进数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每辆A型汽车的进价是万元，每辆B型汽车的进价是万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元． 【小问2详解】 解：设该公司购进辆A型汽车，则该公司购进辆B型汽车，全部售出后获得的利润为元 根据题意得：25m＋，解得m≤， 利润， 即， ， 随的增大而增大， 由题意知，当时，取得最大值，最大值为（元）， 此时（辆）． 答：购进辆A型汽车，辆B型汽车时，能获得最大利润，最大利润是元． 25. 已知中，，在外作射线，作点关于的对称点，连接交于点，连接交于点． （1）如图1，若，则______________；（用表示） （2）如图2，若，猜想，，的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若，，，依题意补全图形，求的长． 【答案】（1） （2），理由如下： 如图在上截取点使， 由（1）可得， ∵点关于的对称点为点， ，， ，，， ， 为正三角形， ， ， ， ， ； （3）补全图形如下图所示， 【解析】 【分析】（1）设，结合轴对称的性质用含、的式子表示和的大小，即可用含的式子表示； （2）在上截取点使，结合第一问的结论得到，进而由轴对称的性质得到，，从而得到为等边三角形，证得，即可证得； （3）过点作的反向延长线于点，由题意可知，求出、的值，结合（1）（2）的结论证明为等腰直角三角形，用勾股定理求出的长． 【小问1详解】 解：设 ∵点关于的对称点为点， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 补全图形略， 如图过点作的反向延长线于点，则 在中，， ， ， ， ， 由（1）可知， ， 为等腰直角三角形， ， ． 26. 定义：若三角形某边上的高与该边长度相等，则称此三角形为该边的“等距三角形”． 例：如图，在中，，若，则为边的“等距三角形”． （1）如图，在中，，，，是边的“等距三角形”吗？为什么？ （2）如图，已知点，直线与轴，轴分别交于两点． ①点为直线上一点，点在轴上，若为边的“等距三角形”，求点的坐标； ②点为平面内一点，若为边的“等距三角形”，且，求点的坐标． 【答案】（1）是边的“等距三角形”，理由如下： 过点作于点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ， 在中，， ， ， ， 是边的“等距三角形”； （2）①或或；②， 【解析】 【分析】（1）过点作于点，可求，则可求为4，进而可得，题目得证； （2）分类讨论，，，每种情况根据“等距三角形”定义求解即可； （3）分类讨论M在右侧或M在左侧，分情况求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：①若， ∴当时，， ∴，， 根据题意则， ∵，， 或； ②若 设，则 由题意 由题知：， 或， 或； ③若，作 由题意， ∵， ∴此情况不成立； 综上：或或． （3）①若M在右侧， 对，令，则，令，则， ∴，， 过点Q作，且，过点A作，且，连接，则，过点H作的平行线与直线交点即为M； 过点H作轴于点G， ， ， ，， ， 过作轴，作， 同理可证，， ∴， ∴， 设的解析式为代入，， 解得 ∴的解析式为， ∵， ∴设解析式为，代入， ， ， 的解析式为， ， 解得， ； ②若M在左侧， 过点Q作，且，过点A作，且，连接，则，过点H作的平行线与直线交点即为M； 作轴，轴， 同理可得， ，， 则， ， ∴， 则， 设的解析式为代入，， 解得 则的解析式为， ∵， ∴设解析式为，代入， ， 的解析式为， ， 解得， ． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季八年级期末综合素养测评 数学 说明：1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共三个大题26个小题． 3．考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效．选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题． 4．考试结束，将答题卡和试卷一并交回． 一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为40，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 20 5. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象经过第二、三、四象限 B. 图象与轴交于负半轴 C. 当时， D. 图象过点，若，则 6. 已知某校甲、乙两个篮球队人数相等，两队队员身高（）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 甲队身高数据比乙队更集中 B. 甲队身高的下四分位数是 C. 乙队身高超过的人数占 D. 乙队身高的中位数比甲队大 7. 已知，则代数式的值为（ ） A. 12 B. 16 C. D. 4 8. 在正比例函数的图象上有两点，则该函数图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 9. 如图（），这个图案是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空部分是一个小正方形．在图（）中连接四条线段得到如图（）的图案，若图（）中两个阴影三角形的面积相等，则大正方形与小正方形的边长之比是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离(米)与乙出发的时间x(秒)之间的函数关系如图所示，正确的个数为（ ） ①乙的速度为5米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米； ③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是； ④乙到达终点时，甲距离终点还有68米． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 12. 小明列出了一个样本数据方差的计算公式：，则公式中的＝_____． 13. 如图，的对角线，相交于点O，点E，F分别是线段，的中点，若，的周长是，则______． 14. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，点在上，于点，于点，则__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B．若点在的内部，则m的取值范围是______． 16. 如图，已知中，，，在边上有两点且，则的最小值为______． 三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共10小题，96分．） 17. 计算：． 18. 如图，在中，的平分线交于点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，若． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 19. 某校七、八年级各有名学生，为了调查学生对赋能课堂教学的满意度，随机抽取了七、八年级各名学生对赋能课堂教学满意程度赋分（百分制），将收集的赋分成绩按以下六组进行整理（得分用表示）：：，：，：，：，：，：， 并绘制了七年级赋分成绩频数直方图和八年级赋分成绩扇形统计图： 已知八年级样本中赋分成绩为分及以上的学生有人，组中的数据从小到大排列个如下：，，，，，，，，，．请根据以上信息，完成下列问题： （1）______，______，______； （2）八年级赋分成绩的中位数是______； （3）若赋分成绩不低于分，则认定学生对赋能课堂教学“满意”，请估计该校七、八年级对赋能课堂教学“满意”的学生一共多少人？ 20. 如图，在中，，是边上的中线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平行线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若是的中点，连接并延长，交于点，连接．求证：四边形是矩形． 21. 阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 李聪同学是这样解答的： ． ．这种方法称为“构造乘积对偶法”． 问题：已知． （1）求的值； （2）求的值． 22. 图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 23. 直线经过点，点，直线交x轴于点C，交y轴于点E，交直线于点D． （1）求直线表达式； （2）点M为y轴上一动点，的面积为5，求点M的坐标． 24. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，辆A型汽车，辆B型汽车的进价共计万元；辆A型汽车，辆B型汽车的进价共计万元． （1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划用不多于万元购进以上两种型号的新能源汽车共辆（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利元，销售辆B型汽车可获利元，问：进A型，B型汽车各几辆，全部售出后能获得最大利润？最大利润是多少？ 25. 已知中，，在外作射线，作点关于的对称点，连接交于点，连接交于点． （1）如图1，若，则______________；（用表示） （2）如图2，若，猜想，，的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若，，，依题意补全图形，求的长． 26. 定义：若三角形某边上的高与该边长度相等，则称此三角形为该边的“等距三角形”． 例：如图，在中，，若，则为边的“等距三角形”． （1）如图，在中，，，，是边的“等距三角形”吗？为什么？ （2）如图，已知点，直线与轴，轴分别交于两点． ①点为直线上一点，点在轴上，若为边的“等距三角形”，求点的坐标； ②点为平面内一点，若为边的“等距三角形”，且，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $