卷14 反比例函数 能力提升提优检测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

卷14 反比例函数能力提升提优检测试卷 姓名：___________学号：___________得分：___________ 一、单选题（共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图，反比例函数的图象与矩形OABC的边分别交于点E、F，且AE＝BE，点A、C分别在x、y轴上，若△OEF的面积为3，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接OB．先根据反比例函数的比例系数的几何意义得出S△AOE=S△COF=，然后由三角形任意一边上的中线将三角形的面积二等分及矩形的对角线将矩形的面积二等分，得出F是BC的中点，则，最后由S△OEF=S矩形AOCB﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF=3，代入即可求得k=4． 【详解】解：如图，连接OB． ∵E、F是反比例函数的图象上的点，EA⊥x轴于A，FC⊥y轴于C， ∴S△AOE=S△COF=， ∵AE=BE， ∴S△BOE=S△AOE=，S△BOC=S△AOB=k， ∴S△BOF=S△BOC﹣S△COF=k－＝， ∴F是BC的中点， ∴， ∴S△OEF=S矩形AOCB﹣S△AOE﹣S△COF﹣S△BEF=， 解得k=4， 故选：B． 【点睛】此题考查了反比例函数的比例系数k与其图象上的点与远点所连的线段、坐标轴向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即，得出F是BC的中点是解题的关键． 2．如图所示，正方形的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图．象经过顶点和上的点E，且，过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点，则的长为（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】C 【分析】表示出点E的坐标，然后根据点A和点E都在反比例函数图象上列出关于m的方程，解方程求出m的值，再用待定系数法求出直线的解析式，然后可求出的长． 【详解】解：∵，四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵点A和点E都在反比例函数图象上， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴的长为5.4． 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，数形结合是解答本题的关键． 3．已知一次函数的图象上存在两个点，这两个点关于y轴的对称点恰好在反比例函数的图象上，则k的范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设一次函数的图象上的点坐标为，可知有两个解，即有两个不相等的实数根，再由一元二次方程根的判别式列不等式可解得答案． 【详解】解：设一次函数的图象上的点坐标为，它关于y轴的对称点坐标为， 根据题意，有两个解，即有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数，反比例函数图象上点坐标的特征，涉及一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解题意，把所求问题转化为判断一元二次方程根的情况． 4．如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB∶y＝x﹣2于点Q，连接OP，OQ，当点P在曲线C上运动，且点P在Q上方时，△POQ面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】设P（x，），则Q（x，x−2），得到PQ＝−x＋2，根据三角形面积公式得到S△POQ＝−（x−2）2＋3，根据二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：∵PQ⊥x轴， ∴设P（x，），则Q（x，x−2）， ∴PQ＝−x＋2， ∴S△POQ＝（−x＋2）•x＝−（x−2）2＋3， ∵−＜0， ∴△POQ面积有最大值，最大值是3， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 5．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数在第二象限的图象经过点B，且，则k的值 （    ） A．4 B．8 C．-4 D．-8 【答案】C 【分析】设B点坐标为（a，b），根据等腰直角三角形的性质得OA=AC，AB=AD，OC=AC，AD=BD，则OA2-AB2=8变形为AC2-AD2=4，利用平方差公式得到（AC+AD）（AC-AD）=4，所以（OC+BD）•CD=4，因为a＜0，b＞0，则有a•b=-4，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=-4． 【详解】解：设B点坐标为（a，b）， ∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形， ∴OA=AC，AB=AD，OC=AC，AD=BD， ∵OA2-AB2=8， ∴2AC2-2AD2=8，即AC2-AD2=4， ∴（AC+AD）（AC-AD）=4， ∴（OC+BD）•CD=4， ∴a•b=-4， ∴k=-4． 故选：C. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 6．如图，点是反比例函数的图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象的对称性的知识点，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得的值． 【详解】解：设圆的半径是，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得： 阴影部分的面积等于圆的面积的， ∴， 解得：． ∵点是反比例与在第三象限的一个交点，． ∴且 ∴， ∴， 则反比例函数的解析式是：． 故选D． 二、填空题（共19小题，每小题3分，共57分） 7．如图，在函数和的图象上，分别有、两点，若轴，交轴于点，且，，，则______，线段的长度＝______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义、相似三角形的判定与性质，过点作轴，过点作轴，根据，，可得，，可得，，从而求出；根据轴，可证，根据相似三角形的性质可得，设，可得，解方程求出的值，即可得到点、的横坐标分别为，，从而求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作轴，过点作轴， 设点的坐标是，点的坐标是， 则，，，， ，， ，， ，， 把点的坐标和点的坐标分别代入和， 可得：，， 可得：，， ； ， ， 轴， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ，， ，，， 设， ， 解得：或(不符合题意，舍去)， ，， ； 故答案为：；． 8．如图，在函数（x＜0）和（x＞0）的图象上，分别有A、B两点，若AB∥x轴，交y轴于点C，且OA⊥OB，S△AOC=，S△BOC=，则线段AB的长度=___． 【答案】． 【详解】∵S△AOC=，S△BOC=，∴|k1|=，|k2|=．∴k1=﹣1，k2=9．， ∴两反比例解析式为，． 设B点坐标为（，t）（t＞0）， ∵AB∥x轴，∴A点的纵坐标为t． 把y=t代入得．∴A点坐标为（，t）． ∵OA⊥OB，∴∠AOC=∠OBC．∴Rt△AOC∽Rt△OBC． ∴OC：BC=AC：BC，即t：=：t，解得∴t=． ∴A点坐标为（，），B点坐标为（3，）． ∴线段AB的长度=3﹣（）=． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质．错因分析：较难题.出错的原因是：1.没有掌握反比例函数中系数的几何意义；2.没有想到通过相似三角形对应线段成比例列关系式求长度；3.计算时出错. 9．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，若与的面积之差为5．则的值为______． 【答案】10 【分析】本题考查已知面积求值，根据和都是等腰直角三角形可得出，设，则点B的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，即可得出结果． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， 设，则点B的坐标为， ∵与的面积之差为5， ∴，即：， ∵反比例函数在第一象限的图象经过点， ∴； 故答案为：10． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于、两点，是第一象限内双曲线上一点，连接并延长交轴与点，连接，．若的面积是24，则点的坐标为________．    【答案】 【分析】根据待定系数法求得k、m的值，设设C点坐标为，根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组可得到A点坐标为（2，3），B点坐标为（-2，-3），再利用待定系数法确定直线BC的解析式为y=，直线AC的解析式为，于是利用y轴上点的坐标特征得到D点坐标为（0，+3），P点坐标为（0，+3），然后利用S△PBC=S△PBD+S△CPD得到关于a的方程，求出a的值即可得到C点坐标． 【详解】设交轴于，如图， 设点坐标为， 解方程组得或， ∴点坐标为，点坐标为， 设直线的解析式为，把、代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标为． 设直线的解析式为， 把、代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标为， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴点坐标为． 故答案为：．    【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点；若方程组无解则两者无交点．也考查了用待定系数法求一次函数的解析式． 11．如图，函数和的图像分别是和. 设点在上，轴，垂足为，交于点，轴，垂足为，交于点，则三角形的面积为______. 【答案】8 【分析】设P的坐标是（a，），推出A的坐标和B的坐标，求出∠APB=90°，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】∵点P在上， ∴|xp|×|yp|=|k|=1， ∴设P的坐标是(a, )(a为正数)， ∵PA⊥x轴， ∴A的横坐标是a， ∵A在y=−上， ∴A的坐标是(a,− )， ∵PB⊥y轴， ∴B的纵坐标是， ∵B在y=−上， ∴代入得：=−， 解得：x=−3a， ∴B的坐标是(−3a, )， ∴PA=|−(−)|=， PB=|a−(−3a)|=4a， ∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴， ∴PA⊥PB， ∴△PAB的面积是： PA×PB=××4a=8. 故答案为8. 【点睛】此题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于得出A的坐标和B的坐标. 12．函数和的图象如图所示．设点P在的第一象限内的图像上，PC⊥x轴，垂足为C，交的图象于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交的图象于点B，则三角形PAB的面积为___． 【答案】6.4 【详解】试题分析：根据题意可设P点的横坐标为x，则P的坐标为（x，），A为（x，），所以B点的纵坐标为，可求得B点的坐标为（-x，），可求得PA=，PB=，因此. 考点：反比例函数的图像与性质 13．函数y=x的图象与函数的图象在第一象限内交于点B，点C是函数在第一象限图象上的一个动点，当△OBC的面积为3时，点C的横坐标是___． 【答案】1或4 【详解】试题分析：分两种情况讨论： 当C在点B上方时，如图1所示，连接BC，OC，作CF⊥x轴，BE⊥x轴， 设C（c，）， ∵y=x与在第一象限交于B点， ∴S△BOE=2． ∵S△BOC=3，∴S四边形BCOE=S△BOE+S△BOC=5． ∴S△COF+S四边形BCFE=5， 即2+•（2﹣c）•（+2）=5，解得：c=1． 当C在B下方时，如图2所示，连接BC，OC，作CF⊥x轴，BE⊥x轴， 同理可得S△BOE+S四边形BEFC=5，即2+•（c﹣2）•（+2）=5，解得：c=4． 综上所述，C的横坐标为1或4． 14．如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，点B的坐标为，C为双曲线上一点，且在第一象限内，若的面积为6，则点C的坐标为___． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点、解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用分割法求四边形面积，学会用方程的思想思考问题． 先求出双曲线的函数解析式为，再联立方程组求出A点的坐标，过点A作轴于E，过点C作轴于F，根据，列出方程即可解决． 【详解】∵点在双曲线上， ∴， ∴双曲线的函数解析式为， 联立方程组得 ， 取， 解得． ∴． 过点A作轴于E，过点C作轴于F， ∴，， 设点C的坐标为，则，， 则， =， ∵的面积为6， ∴=6， 整理得， 解得或（舍弃）， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 _____． 【答案】 【分析】过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可； 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第一象限， ， ， ，， ， ， 双曲线经过B， 整理得：， 解得：（舍）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键． 16．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝3AB，A、B两点的坐标分别是（1，0），（0，2），C、D两点在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，则k的值等于_____． 【答案】24 【分析】设点C坐标为，根据AC与BD的中点坐标相同，得出点D的坐标，将点D的坐标代入函数解析式得出k关于a的表达式，再由BC=3AB=3，可求出a的值，继而得出k的值． 【详解】解：设点C坐标为，（a＞0），点D的坐标为（x，y）． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC与BD的中点坐标相同， ， 则x＝a+1，， 代入y＝，可得：k＝2a+2a2①； 在Rt△AOB中，AB＝， ∴BC＝3AB＝3， 故， 整理得：a4+k2﹣4ka＝41a2， 将①k＝2a+2a2，代入后化简可得：a2＝9， ∵a＞0， ∴a＝3， ∴k＝6+18＝24． 故答案为24． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，平行四边形的性质，中点的坐标及解方程的知识，解答本题有两点需要注意：①设出点C坐标，表示出点D坐标，代入反比例函数解析式；②根据BC=3AB=3，得出方程，难度较大，注意仔细运算． 17．如图，过作轴，轴，点都在直线上，若双曲线与总有公共点，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出、坐标，把的坐标代入求出，解两函数组成的方程组，根据根的判别式求出，当时，是否在、之间，即可得出答案． 【详解】解：作轴，轴，点，都在直线上， 、， 当反比例函数的图象过点时，把的坐标代入得：； 把代入得：， ， ， 反比例函数的图象与有公共点， ， 解得， 时，， 在、之间， 的范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根的判别式等知识点的应用，题目比较典型，有一定的难度． 18．如图，点A在函数（）的图象上，，过点A作轴于点B，则的周长为______．    【答案】12 【分析】设点A的坐标为，根据勾股定理建立方程，求出x的值即可． 【详解】解：设点A的坐标为， ∴ ∵，轴， ∴ ∴， 解得或（正值舍去），经检验符合题意， 当时，，的周长为； 当时，，的周长为， 故答案为：12． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解分式方程，反比例函数的性质，正确掌握勾股定理是解题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系中，过点A(4，5)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于B、C两点．若函数的图象与△ABC的边有公共点，则k的取值范围是_______. 【答案】5≤k≤20 【详解】试题解析：∵过点A(4,5)分别作x轴、y轴的平行线，交直线于两点， ∴点B的纵坐标为5，点C的横坐标为4， 将代入得 将代入得， ∴点B的坐标为点C的坐标为 ∵函数的图象与△ABC的边有公共点点 即 故答案为 点睛：题目考查一次函数和反比例函数结合问题.根据题意求出两点的坐标. 从而得到的取值范围. 20．如图，放置在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B在y轴的正半轴上，点A落在第一象限， 若， 且的面积为 ，若反比例函数 的图象经过点A则______． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数与几何综合，解直角三角形的相关计算以及勾股定理，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握解直角三角形的方法是解决问题的关键． 过点A作轴于点C，设，则，，进而得点，则，在中，，根据的面积为，得，由此得，由此可得k的值． 【详解】过点A作轴于点C，设，如下图所示： 在中，，，． ∴， 由勾股定理得：， ∴点A的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点 ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵的面积为， 即， ∴， ∴ ， 故答案为：． 21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过点和点，则不等式的解集为______________． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据反比例函数图象在一次函数图象上方的x的取值范围，即可得到不等式的解集． 【详解】解：由图象可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方， 即不等式的解集为或， 故答案为：或． 22．如图所示，已知和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图像经过点，连接，且．则的值为______． 【答案】6. 【分析】设，根据是等腰直角三角形可以得到，，而是等腰直角三角形，那么，由于，所以,由此可以表示出，即可解出，那么，，过作轴，由于，所以，可以求出是等腰直角三角形，由此可以得到，即可确定点的坐标，求出． 【详解】设 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 和都是等腰直角三角形 解得： ， 过作轴 是等腰直角三角形 反比例函数在第一象限的图像经过点 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查反比例函数与等腰直角三角形的综合，熟练掌握等腰三角形三边的比例关系，准确的画出辅助线是求解本题的关键． 23．如图，在平面直角坐标中，点、点，线段绕点顺时针方向旋转90°，点的对应点恰好落在反比例函数的图像上，则______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，证明，进而求出点坐标，即可得解． 【详解】解：过点作轴， 则：， ∵点、点， ∴， ∵线段绕点顺时针方向旋转90°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵恰好落在反比例函数的图像上， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查求反比例函数的值．通过添加辅助线，证明三角形全等，得到点的坐标，是解决本题的关键． 24．等边△AOB的边长为4，如图所示地放置在平面直角坐标系中，点B绕点A旋转30°，恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k＝_____．    【答案】4﹣8或8 【分析】分两种情形：当点B绕点A顺时针旋转30°得到AB′，AB′交OB于H．当点B绕点A逆时针旋转30°得到AB″，过点A作AM⊥y轴于M，过点B″作B″N⊥MA交MA的延长线于N．分别求出B′，B″的坐标即可． 【详解】解：当点B绕点A顺时针旋转30°得到AB′，AB′交OB于H．    ∵△AOB是等边三角形， ∴∠OAB＝60°， ∵∠BAB′＝30°， ∴∠OAB′＝∠BAB′， ∴AH⊥OB，OH＝BH＝2， ∴AH＝＝＝2， ∵AB＝AB′＝4， ∴HB′＝4﹣2， ∴B′（2，2﹣4）， ∵点B′在y＝上， ∴k＝4-8． 当点B绕点A逆时针旋转30°得到AB″，过点A作AM⊥y轴于M，过点B″作B″N⊥MA交MA的延长线于N． ∵∠OAB＝60°，∠BAB″＝30°， ∴∠OAB″＝90°， ∵∠AMO＝∠N＝90°， ∴∠AOM+∠OAM＝90°，∠OAM+∠NAB″＝90°， ∴∠AOM＝∠NAB″， ∵AO＝AB″， ∴△AMO≌△B″NA（AAS）， ∴AM=NB″＝2，， ∴MN＝AM+AN＝2+2， ∴B″（2+2，2﹣2）， ∵B″在y＝上， ∴k＝（2+2）（2﹣2）＝8， 综上所述，满足条件的k的值为4﹣8或8． 故答案为4﹣8或8． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 25．已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值为______． 【答案】1 【分析】先判断出一次函数的图象必定经过一、三象限，再根据判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，从而可以得到反比例函数的图象经过二、四象限，即，最终选取一个满足条件的值即可． 【详解】解： ， 一次函数的图象必定经过一、三象限， ， 反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限， 反比例函数（，且）的函数图象经过二、四象限， ，， ∴满足条件的k值可以为1， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图形性质，解题的关键是根据判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限． 三、解答题（共4小题，共25分） 26．（6分）如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1） （1）求反比例函数的解析式； （2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由点A的坐标结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出m的值； （2）设点B的坐标为（n，），将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，利用根与系数的关系可找出n、k的关系，由三角形的面积公式可表示出来b、n的关系，再由点A在一次函数图象上，可找出k、b的关系，联立3个等式为方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）∵点A（4，1）在反比例函数的图象上， ∴m=4×1=4， ∴反比例函数的解析式为． （2）∵点B在反比例函数的图象上， ∴设点B的坐标为（n，）． 将y=kx+b代入中，得：kx+b=， 整理得：，∴4n=，即nk=﹣1①． 令y=kx+b中x=0，则y=b， 即点C的坐标为（0，b）， ∴S△BOC=bn=3，∴bn=6②． ∵点A（4，1）在一次函数y=kx+b的图象上， ∴1=4k+b③． 联立①②③成方程组，即，解得：， ∴该一次函数的解析式为． 【点睛】一次函数与反比例函数相交问题是中考必考题，难度不大．按照先求反比例函数再求一次函数的原则，注意反比例函数k的几何意义的灵活应用． 27．（6分）如图，直线交双曲线于A、B两点，交x轴于点，，过点B作轴于点M，连接，若，，求k的值． 【答案】 【分析】连接，设，可得，且，，证明，可得，，则，证明，可得，则，从而可得答案． 【详解】解：连接，设． ∵点B在函数上， ∴，且，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，设点O到的距离为h， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是坐标与图形的面积，反比例函数的比例系数k的几何意义，理解k的几何意义再建立方程求解是解本题的关键． 28．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与轴交于点，点的坐标为．    (1)求的值及点的坐标； (2)结合图象直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)；点的坐标为 (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次（反比例）函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出、的值；（2）根据函数图象的上下位置关系，找出不等式组的解集． （1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出、的值，进而可得出一次函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标； （2）观察函数图象的上下位置关系结合点、的横坐标，即可得出不等式组的解集． 【详解】（1）将点代入中，得：， 解得：； 将点代入中，得：， 解得：， 一次函数解析式为． 当时，， 解得：， 点的坐标为． （2）观察函数图象，可知：当时，一次函数图象在轴上方且在反比例函数图象下方， 不等式组的解集为． 29．（7分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为(2，3)，点B的坐标为(n，1)． (1)求n的值，并结合图象，直接写出不等式＜kx+b的解集； (2)点E为x轴上一个动点，若S△AEB＝6，求点E的坐标． 【答案】（1）n=6，x＜0或2＜x＜6；（2）E点坐标为（8，0）或（﹣4，0）． 【分析】（1）先把A点坐标代入y=求出m得到反比例函数解析式为y=，再把B（n，1）代入y=可求出n，然后利用函数图象写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可； （2）易得直线AB的解析式为y=﹣x+4，再求出直线AB与x轴的交点坐标为（2，0），设E（x，0），利用三角形面积公式得到×|x﹣2|×（3﹣1）=6，然后解方程求出x即可得到E点坐标． 【详解】（1）把A（2，3）代入y=得m=2×3=6， ∴反比例函数解析式为y=， 把B（n，1）代入y=得n=6， 当2＜x＜6或x＜0时，＜kx+b， 即不等式＜kx+b的解集为x＜0或2＜x＜6； （2）易得直线AB的解析式为y=﹣x+4， 当x=0时，﹣x+4=0，解得x=8，则直线AB与x轴的交点坐标为（8，0） 设E（x，0）， ∴×|x﹣8|×（3﹣1）=6，解得x=14或x=2 ∴E点坐标为（14，0）或（2，0）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 卷14 反比例函数能力提升提优检测试卷 姓名：___________学号：___________得分：___________ 一、单选题（共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图，反比例函数的图象与矩形OABC的边分别交于点E、F，且AE＝BE，点A、C分别在x、y轴上，若△OEF的面积为3，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图所示，正方形的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图．象经过顶点和上的点E，且，过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点，则的长为（    ） A． B．5 C． D．6 3．已知一次函数的图象上存在两个点，这两个点关于y轴的对称点恰好在反比例函数的图象上，则k的范围是(    ) A． B． C． D． 4．如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB∶y＝x﹣2于点Q，连接OP，OQ，当点P在曲线C上运动，且点P在Q上方时，△POQ面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数在第二象限的图象经过点B，且，则k的值 （    ） A．4 B．8 C．-4 D．-8 6．如图，点是反比例函数的图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题（共19小题，每小题3分，共57分） 7．如图，在函数和的图象上，分别有、两点，若轴，交轴于点，且，，，则______，线段的长度＝______． 8．如图，在函数（x＜0）和（x＞0）的图象上，分别有A、B两点，若AB∥x轴，交y轴于点C，且OA⊥OB，S△AOC=，S△BOC=，则线段AB的长度=___． 9．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，若与的面积之差为5．则的值为______． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于、两点，是第一象限内双曲线上一点，连接并延长交轴与点，连接，．若的面积是24，则点的坐标为________．    11．如图，函数和的图像分别是和. 设点在上，轴，垂足为，交于点，轴，垂足为，交于点，则三角形的面积为______. 12．函数和的图象如图所示．设点P在的第一象限内的图像上，PC⊥x轴，垂足为C，交的图象于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交的图象于点B，则三角形PAB的面积为___． 13．函数y=x的图象与函数的图象在第一象限内交于点B，点C是函数在第一象限图象上的一个动点，当△OBC的面积为3时，点C的横坐标是___． 14．如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，点B的坐标为，C为双曲线上一点，且在第一象限内，若的面积为6，则点C的坐标为___． 15．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 _____． 16．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝3AB，A、B两点的坐标分别是（1，0），（0，2），C、D两点在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，则k的值等于_____． 17．如图，过作轴，轴，点都在直线上，若双曲线与总有公共点，则k的取值范围是______． 18．如图，点A在函数（）的图象上，，过点A作轴于点B，则的周长为______．    19．如图，在平面直角坐标系中，过点A(4，5)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于B、C两点．若函数的图象与△ABC的边有公共点，则k的取值范围是_______. 20．如图，放置在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B在y轴的正半轴上，点A落在第一象限， 若， 且的面积为 ，若反比例函数 的图象经过点A则______． 21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过点和点，则不等式的解集为______________． 22．如图所示，已知和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图像经过点，连接，且．则的值为______． 23．如图，在平面直角坐标中，点、点，线段绕点顺时针方向旋转90°，点的对应点恰好落在反比例函数的图像上，则______． 24．等边△AOB的边长为4，如图所示地放置在平面直角坐标系中，点B绕点A旋转30°，恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k＝_____．    25．已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值为______． 三、解答题（共4小题，共25分） 26．（6分）如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1） （1）求反比例函数的解析式； （2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式． 27．（6分）如图，直线交双曲线于A、B两点，交x轴于点，，过点B作轴于点M，连接，若，，求k的值． 28．（6分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与轴交于点，点的坐标为． (1)求的值及点的坐标； (2)结合图象直接写出不等式组的解集．    29．（7分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为(2，3)，点B的坐标为(n，1)． (1)求n的值，并结合图象，直接写出不等式＜kx+b的解集； (2)点E为x轴上一个动点，若S△AEB＝6，求点E的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $