第27章反比例函数提优综合检测卷（B卷） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学反比例函数单元提优检测卷，以科技前沿（机器狗速度）与生活实践（托盘平衡）为情境，覆盖定义、图像性质及综合应用，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|反比例函数定义（题1）、图像上点（题2）、象限判断（题3）|结合科技情境（题4机器狗速度与质量关系），考查图像综合分析（题5-7）| |填空题|6/24|解析式求参（题11）、面积问题（题12）|几何与函数结合（题12△ABC面积），体现数学眼光（题14根据图像估k值）| |解答题|6/66|解析式求解（题17）、图像应用（题18）、综合探究（题22）|生活实际（题21托盘平衡）与跨学科应用（题22双曲线冷却塔），培养模型意识与应用意识|

第27章反比例函数提优综合检测卷（B卷） （时间:90分钟 满分120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．（2025秋•柘城县月考）下列函数不是反比例函数的是（　　） A． B．y＝﹣2026x﹣1 C．xy＝2026 D． 2．（2025•天元区校级模拟）若点（3，﹣4）在反比例函数的图象上，则该图象也过点（　　） A．（2，6） B．（3，4） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣6，2） 3．（2025•广州）若|k|＝﹣k（k≠0），则反比例函数y的图象在（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 4．（2026•太和县一模）最近，我国发布多款最新机器狗，使机器狗的性能又上一个新的台阶．已知某款机器狗最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数，其图象如图所示，当其载重后总质量m＝80时，其最快移动速度v等于（　　） A．2.5 B．5 C．10 D．40 5．（2025春•长沙校级期中）如图，直线y＝mx与双曲线y相交于A、B两点，点A坐标为（﹣2，1），则点B坐标为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1） 6．（2025秋•盐田区期末）如图，点A是反比例函数图象上任意一点，过点A且平行于x轴的直线交反比例函数的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C，D在x轴上，则四边形ABCD的面积为（　　） A．6 B．5 C．3 D．2.5 7．（2025秋•永寿县期末）一次函数y＝mx+n与反比例函数，n为常数且均不等于0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C． D． 8．（2025春•东港区校级月考）设函数．设m≠0且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．则（　　） A．m＜0，ρ＜q B．m＞0，p＞q C．m＜﹣1，p＜q D．m＞﹣1，p＜q 9．（2025•东光县二模）如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数y（k≠0）的图象上，根据图中四点的位置，其中不在反比例函数y（k≠0）图象上的点是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 10．（2026•德州一模）已知反比例函数，点M（x1，y1）和N（x2，y2）是反比例函数图象上的两点．若对于x1＝2a，5≤x2≤6，都有|y1|＞|y2|，则a的取值范围是（　　） A．或 B．且a≠2，a≠0 C．或0＜a＜2 D．且a≠2，a≠0 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2024秋•五华区校级期末）已知点M（a，7）在反比例函数y的图象上，则a＝　 　 ． 12．（2026•白云区二模）如图，点A（3，m）和点B（﹣5，n）在同一个反比例函数的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若△ABC的面积为4，则k的值为　 　 ． 13．（2024春•姜堰区期末）如图，反比例函数与一次函数y2＝﹣x+b的图象相交于A、B两点，若A、B的横坐标分别为1、2，则不等式的解集为 　 　 ． 14．（2025•雁塔区校级模拟）如图为反比例函数的图象，则k的值可以为　 　 .（写出符合图象特征的一个值即可） 15．（2026•延边州一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高EF＝　 　 ． 16．（2026•连山区一模）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形ABCD是一个矩形，若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系，DE、CF分别是两个反比例函数图象的一部分，已知AB＝88m，BC＝20m，上口宽EF＝16m，则整个冷却塔高度为 　 　 ． 三．解答题（共6小题，共66分） 17．（8分）（2025秋•博山区校级期中）已知y与x+1成反比例，且当x＝﹣5时，y＝2． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x＝5时，求y的值． 18．（10分）（2025•邓州市一模）如图，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B，反比例函数（k≠0，x＞0）的图象分别交AO、AB于点C、D．已知点C的坐标为（2，2），BD＝1． （1）求k的值． （2）已知点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），求出点P的横坐标x的取值范围． 19．（10分）（2026•安徽模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上． （1）若x1＝1，x2＝﹣3，求y1﹣y2的值； （2）若x1＝m﹣2，x2＝m+2，y1＜y2，且点A，B在不同象限，求m的取值范围． 20．（10分）（2025春•苏州期末）点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是函数图象上不同的两个点，对于A，B两点之间函数值的平均变化率k（A，B）定义为：． （1）点C（2，3）和点D（6，1）是反比例函数图象上的两个点，则k（C，D）的值为 　 　 ； （2）点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是函数y＝﹣3x+2的图象上不同的两个点，求证k（A，B）是一个定值； （3）点E（x3，y3）和点F（x4，y4）是函数图象上不同的两个点，且x4﹣x3＝2．若k（E，F）＝﹣4，求点E的坐标． 21．（14分）（2026•兴庆区校级一模）如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如下表格． 托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 （1）观察表格，y与x之间的函数关系式为　 　 ．（不必写出自变量x的取值范围） （2）当托盘B中砝码的质量为24g时，求托盘B与点O的距离． （3）当托盘B向左移动（不能移动到点O）时，要使得仪器左右平衡，应往托盘B中添表加砝码还是减少砝码？请说明理由． 22．（14分）（2025•深圳模拟）直线与双曲线交于点A（2，m），交y轴于点． （1）求k，m的值； （2）如图1，点E是直线AB上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接OE，OD． ①当ED＝2OB时，求△OED的面积； ②如图2，在①的条件下，将△ODE沿射线BA方向平移一定距离，得到△O'D'E'，若点O'恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点D'的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章反比例函数提优综合检测卷（B卷） （时间:90分钟 满分120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．（2025秋•柘城县月考）下列函数不是反比例函数的是（　　） A． B．y＝﹣2026x﹣1 C．xy＝2026 D． 【分析】根据反比例函数的定义进行分析即可． 【解答】解：A、不是反比例函数，符合题意； B、y＝﹣2026x﹣1是反比例函数，故此选项不符合题意； C、xy＝2026，即是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如（k为常数，k≠0）或xy＝k（k为常数，k≠0）的函数为反比例函数是解题的关键． 2．（2025•天元区校级模拟）若点（3，﹣4）在反比例函数的图象上，则该图象也过点（　　） A．（2，6） B．（3，4） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣6，2） 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而得到在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为﹣12，由此即可得到答案． 【解答】解：∵点（3，﹣4）在反比例函数的图象上， ∴， ∴k＝﹣12， ∴反比例函数解析式为， ∴在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为﹣12， ∵四个选项中只有D选项满足横纵坐标的乘积为﹣12， ∴D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，正确得到在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为﹣12是解题的关键． 3．（2025•广州）若|k|＝﹣k（k≠0），则反比例函数y的图象在（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【分析】根据绝对值的性质得k＜0，再根据反比例函数的图象与k的关系即可得出答案． 【解答】解：∵|k|＝﹣k（k≠0）， ∴k＜0， ∴反比例函数y的图象在第二、四象限． 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 4．（2026•太和县一模）最近，我国发布多款最新机器狗，使机器狗的性能又上一个新的台阶．已知某款机器狗最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数，其图象如图所示，当其载重后总质量m＝80时，其最快移动速度v等于（　　） A．2.5 B．5 C．10 D．40 【分析】根据图象的信息，利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后再将m＝80代入计算即可． 【解答】解：设反比例函数解析式为，由条件可得， 解得k＝200， ∴反比例函数解析式为， ∴当m＝80时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 5．（2025春•长沙校级期中）如图，直线y＝mx与双曲线y相交于A、B两点，点A坐标为（﹣2，1），则点B坐标为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1） 【分析】根据反比例函数的图象和正比例函数的图象均关于原点对称可知，整个图形关于原点对称，故直线y＝mx与双曲线y的交点A与B关于原点对称，再根据关于原点对称的点的坐标的关系即可求解． 【解答】解：∵直线y＝mx与双曲线y的图象均关于原点对称， ∴直线y＝mx与双曲线y的交点A与B关于原点对称， ∵关于原点对称的两个点的横纵坐标觉互为相反数且点A坐标为（﹣2，1）， ∴点B坐标为（2，﹣1）， 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数图象的对称性，以及点的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键． 6．（2025秋•盐田区期末）如图，点A是反比例函数图象上任意一点，过点A且平行于x轴的直线交反比例函数的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C，D在x轴上，则四边形ABCD的面积为（　　） A．6 B．5 C．3 D．2.5 【分析】连接OA、OB，设AB交y轴于E，由于AB⊥y轴，根据反比例函数的系数k的几何意义得到，，则平行四边形ABCD的面积＝2S△OAB＝5． 【解答】解：连接OA、OB，设AB交y轴于E，如图， 由平行四边形性质可知AB∥x轴， ∴AB⊥y轴， ∴，， ∴， ∴平行四边形ABCD的面积． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，熟练掌握从反比例关系函数的图象上任意上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|是解题的关键． 7．（2025秋•永寿县期末）一次函数y＝mx+n与反比例函数，n为常数且均不等于0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数及反比例函数图象与系数的关系，对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：由A选项中的函数图象可知， 一次函数中的m＞0，n＞0， 则mn＞0， 而反比例函数的图象位于第二、四象限， 则mn＜0， 所以A选项不符合题意； 由B选项中的函数图象可知， 一次函数中的m＜0，n＜0， 则mn＞0， 而反比例函数的图象位于第二、四象限， 则mn＜0， 所以B选项不符合题意； 由C选项中的函数图象可知， 一次函数中的m＞0，n＜0， 则mn＜0， 而反比例函数的图象位于第一、三象限， 则mn＞0， 所以C选项不符合题意； 由D选项中的函数图象可知， 一次函数中的m＜0，n＞0， 则mn＜0， 反比例函数的图象位于第二、四象限， 则mn＜0， 所以D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 8．（2025春•东港区校级月考）设函数．设m≠0且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．则（　　） A．m＜0，ρ＜q B．m＞0，p＞q C．m＜﹣1，p＜q D．m＞﹣1，p＜q 【分析】根据反比例函数的性质，分m＞0和﹣1＜m＜0，m＜﹣1三种情况进行讨论，即可得出结论． 【解答】解：∵函数， ∴双曲线在一，三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q， ∴点（m，p），（m+1，q）在双曲线上， 当m＜﹣1时，m+1＜0，点（m，p），（m+1，q）都在第三象限， ∵m＜m+1， ∴p＞q， 当﹣1＜m＜0时，m＜0＜m+1＜1，点（m，p）在第三象限，（m+1，q）在第一象限； ∴p＜q， 当m＞0时，m+1＞1，点（m，p），（m+1，q）都在第一象限， ∵m＜m+1， ∴p＞q； 故符合题意是B选项； 故选：B． 【点睛】本题考查比较反比例函数值的大小．熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 9．（2025•东光县二模）如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数y（k≠0）的图象上，根据图中四点的位置，其中不在反比例函数y（k≠0）图象上的点是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【分析】根据反比例函数图象随着k的取值，分布不同的象限，结合P，Q，M，N四个点分布在不同的象限，且其中恰有三点在反比例函数y（k≠0）的图象上，从而得到结果． 【解答】解：∵反比例函数y（k≠0）， ∴当k＞0时，函数图象分布在第一，三象限， 当k＜0时，函数图象分布第二，四象限， ∵P，Q，M，N四个点，有两个点P，Q在第一象限，有一个点N在第二象限，有一个点M在第三象限， 且P，Q，M，N四个点中，恰有三点在反比例函数y（k≠0）的图象上， ∴函数图象应分布在第一，三象限， ∴不在反比例函数y（k≠0）图象上的点是点N， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 10．（2026•德州一模）已知反比例函数，点M（x1，y1）和N（x2，y2）是反比例函数图象上的两点．若对于x1＝2a，5≤x2≤6，都有|y1|＞|y2|，则a的取值范围是（　　） A．或 B．且a≠2，a≠0 C．或0＜a＜2 D．且a≠2，a≠0 【分析】依据题意，由a≠2，从而可以分a＞2、0＜a＜2和a＜0讨论，然后结合反比例函数的性质进行判断可以得解． 【解答】解：由题意，∵a≠2， ∴可分a＞2、0＜a＜2和a＜0讨论． ①当a＞2时，即a﹣2＞0， ∴y在第一象限、第三象限均是y随x的增大而减小． 又∵x1＝2a＞0，5≤x2≤6， ∴|y1|＝y1＞|y2|＝y2． ∴x1＜x2． ∴2a＜5． ∴2＜a． ②当0＜a＜2时，即a﹣2＜0， ∴y在第二象限、第四象限均是y随x的增大而增大． 又∵x1＝2a＞0，5≤x2≤6， ∴此时M、N两点在第四象限． ∴|y1|＝﹣y1＞|y2|＝﹣y2． ∴y1＜y2． ∴x1＜x2． ∴2a＜5． ∴a． 又∵0＜a＜2， ∴0＜a＜2． ③当a＜0时， ∴a﹣2＜＝2＜0， ∴y在第二象限、第四象限均是y随x的增大而增大． 又∵x1＝2a＜0，5≤x2≤6， ∴此时M在第二象限，N两点在第四象限． ∴|y1|＝y1＞|y2|＝﹣y2＞0． 又∵N（x2，y2）关于原点的对称点N'（﹣x2，＝y2）在第二象限的图象上， ∴x1＝2a＞﹣x2． 又∵5≤x2≤6， ∴﹣6≤﹣x2≤﹣5． ∴2a＞﹣5． ∴a． 又∵a＜0， ∴a＜0． 又当a＝0时，x1＝2a＝0，不合题意， ∴a，且a≠2，a≠0． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2024秋•五华区校级期末）已知点M（a，7）在反比例函数y的图象上，则a＝　3　 ． 【分析】根据题意将点M（a，7）代入y即可得出a的值． 【解答】解：∵点M（a，7）在反比例函数y的图象上， ∴7a＝21， ∴a＝3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标适合解析式． 12．（2026•白云区二模）如图，点A（3，m）和点B（﹣5，n）在同一个反比例函数的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若△ABC的面积为4，则k的值为　　 ． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为点A（3，m）和点B（﹣5，n）在同一个反比例函数图象上， 所以3m＝﹣5n． 因为△ABC的面积为4， 所以， 所以m﹣n＝1， 则3（n+1）＝﹣5n， 解得n， 将点B（﹣5，）代入y得， k＝﹣5×（）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 13．（2024春•姜堰区期末）如图，反比例函数与一次函数y2＝﹣x+b的图象相交于A、B两点，若A、B的横坐标分别为1、2，则不等式的解集为 　0＜x＜1或x＞2　 ． 【分析】根据函数图象和两个函数交点横坐标直接写出不等式解集即可． 【解答】解：根据函数图象和两个函数交点横坐标可知：不等式的解集为 0＜x＜1或x＞2． 故答案为：0＜x＜1或x＞2． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 14．（2025•雁塔区校级模拟）如图为反比例函数的图象，则k的值可以为　9（答案不唯一）　 .（写出符合图象特征的一个值即可） 【分析】根据题意可得k＞8，符合大于8的数都满足题意． 【解答】解：根据题意可得k＞4×2＝8， ∴k的值可以为9（答案不唯一）． 故答案为：9（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键． 15．（2026•延边州一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高EF＝　3　 ． 【分析】先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，再依次求出点C、E、G的坐标，最后根据线段EF的长度等于点G与点E的纵坐标之差来求解． 【解答】解：由条件可得，即双曲线解析式为． ∵BC＝1，且线段与坐标轴平行， ∴点C的横坐标为4﹣1＝3，代入得，即C（3，2）． ∵DE＝1， ∴点E的横坐标为3﹣1＝2，代入得，即E（2，3）． ∵FG＝1， ∴点G的横坐标为2﹣1＝1，代入得，即G（1，6）． ∵EF的长度等于点G与点E的纵坐标之差， ∴EF＝6﹣3＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数上点的坐标特征是解题的关键． 16．（2026•连山区一模）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图2）所示的轴对称图形，四边形ABCD是一个矩形，若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系，DE、CF分别是两个反比例函数图象的一部分，已知AB＝88m，BC＝20m，上口宽EF＝16m，则整个冷却塔高度为 　110m ． 【分析】首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把F的横坐标代入求得纵坐标即可． 【解答】解：AB＝88m，BC＝20m， 则C的坐标是（44，20）， 设， 由题意可得：k＝44×20＝880， 则， ∵上口宽EF＝16m， ∴点F的横坐为， 当x＝8时，． 答：整个冷却塔的高是110m． 故答案为：110m． 【点睛】本题考查了反比例的应用，正确进行计算是解题关键． 三．解答题（共6小题，共66分） 17．（8分）（2025秋•博山区校级期中）已知y与x+1成反比例，且当x＝﹣5时，y＝2． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x＝5时，求y的值． 【分析】（1）根据反比例函数的定义设出函数解析式，再代入已知的x、y值求出比例系数，进而得到函数关系式． （2）将x＝5代入第（1）题求出的函数关系式中，计算得出y的值． 【解答】解：（1）设（k≠0），由条件可得， 解得k＝﹣8， ∴； （2）当x＝5时，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式求解与求值，熟练掌握反比例函数的定义与代入求值法是解题的关键． 18．（10分）（2025•邓州市一模）如图，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B，反比例函数（k≠0，x＞0）的图象分别交AO、AB于点C、D．已知点C的坐标为（2，2），BD＝1． （1）求k的值． （2）已知点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），求出点P的横坐标x的取值范围． 【分析】（1）根据点C（2，2）在反比例函数的图象上，可以求得k的值； （2）再把y＝1代入函数解析式，即可得到点D的坐标，再求出点P的横坐标的取值范围． 【解答】解：（1）由条件可知， 解得k＝4； （2）∵BD＝1． ∴点D的纵坐标为1， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 解得x＝4， 即点D的坐标为（4，1）， ∵点C（2，2），点D（4，1），点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界）， ∴点P的横坐标x的取值范围是2≤x≤4． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出k的值． 19．（10分）（2026•安徽模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上． （1）若x1＝1，x2＝﹣3，求y1﹣y2的值； （2）若x1＝m﹣2，x2＝m+2，y1＜y2，且点A，B在不同象限，求m的取值范围． 【分析】（1）把x1＝1，x2＝﹣3分别代入求出y1，y2，即可求解差值； （2）易得点A在第三象限，点B在第一象限，列出不等式组求解即可． 【解答】解：（1）当x1＝1时，， 当x2＝﹣3时， ∴y1﹣y2＝3﹣（﹣1）＝4； （2）由条件可知反比例函数的图象过一，三象限， ∵y1＜y2，点A，B在不同象限， ∴点A在第三象限，点B在第一象限， ∴，解得﹣2＜m＜2， 即m的取值范围是﹣2＜m＜2． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 20．（10分）（2025春•苏州期末）点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是函数图象上不同的两个点，对于A，B两点之间函数值的平均变化率k（A，B）定义为：． （1）点C（2，3）和点D（6，1）是反比例函数图象上的两个点，则k（C，D）的值为 　　 ； （2）点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是函数y＝﹣3x+2的图象上不同的两个点，求证k（A，B）是一个定值； （3）点E（x3，y3）和点F（x4，y4）是函数图象上不同的两个点，且x4﹣x3＝2．若k（E，F）＝﹣4，求点E的坐标． 【分析】（1）根据新定义代入数据计算即可； （2）根据新定义代入数据证明是定值即可； （3）根据新定义代入数据列出方程48x3﹣5＝0，解出方程的解，即可得到点E的坐标． 【解答】解：（1）根据新定义可得：k（C，D）； 故答案为：； （2）∵点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是函数y＝﹣3x+2的图象上不同的两个点， ∴A（x1，﹣3x1+2），B（x2，﹣3x2+2）， 由平均变化率k（A，B）定义可知： k（A，B）3， 故k（A，B）是一个定值﹣3． （3）∵点E（x3，y3）和点F（x4，y4）是函数图象上不同的两个点， ∴E（x3，），F（x4，）， ∴ ∵k（E，F）＝﹣4， ∴4， ∵x4﹣x3＝2． ∴4x3（x3+2）＝5， 整理得：48x3﹣5＝0， 解得x3（舍去）或x3， ∴（，10）． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、新定义，理解新定义是关键． 21．（14分）（2026•兴庆区校级一模）如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如下表格． 托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 （1）观察表格，y与x之间的函数关系式为　　 ．（不必写出自变量x的取值范围） （2）当托盘B中砝码的质量为24g时，求托盘B与点O的距离． （3）当托盘B向左移动（不能移动到点O）时，要使得仪器左右平衡，应往托盘B中添表加砝码还是减少砝码？请说明理由． 【分析】（1）观察表格可得：x，y的乘积为定值300，故y与x之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； （2）把y＝24代入解析式求解，可得答案； （3）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘B与O点的距离不断增大，砝码的示数应该不断减小． 【解答】解：（1）10×30＝15×20＝25×12＝30×10＝300，即xy＝300， ∴y与x的函数关系式为：； 故答案为：； （2）由条件可得， 解得x＝12.5． 答：当托盘B中砝码的质量为24g时，托盘B与点O的距离是12.5cm． （3）应往托盘B中添加砝码．理由如下： ∵300＞0， ∴该函数图象在第一象限内，y的值随x值的增大而减小． ∵当托盘B向左移动（不能移动到点O）时，x逐渐减小， ∴y逐渐增大， ∴应往托盘B中添加砝码． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 22．（14分）（2025•深圳模拟）直线与双曲线交于点A（2，m），交y轴于点． （1）求k，m的值； （2）如图1，点E是直线AB上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接OE，OD． ①当ED＝2OB时，求△OED的面积； ②如图2，在①的条件下，将△ODE沿射线BA方向平移一定距离，得到△O'D'E'，若点O'恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点D'的坐标． 【分析】（1）把点B的坐标代入直线解析式可得b的值，即可求得直线解析式，进而把点A的坐标代入直线解析式可得m的值，把点A的坐标代入反比例函数解析式可得k的值； （2）①设出点E的坐标，根据点D、E的横坐标相同以及点D在反比例函数解析式上可得点D的坐标，易得DE＝2，那么可得合适的点E的横坐标，取ED为△OED的底，点E的横坐标的长度为△OED的高即可求得△OED的面积； ②易得OO′所在的直线解析式，与反比例函数联立求得点O′的横坐标，根据点O′和点D′，E′的水平距离为3可得点E′，D′的横坐标，进而可得点E′的纵坐标，减去1即可求得点D′的纵坐标． 【解答】解：（1）∵yx+b过点B（0，）， ∴b， ∴yx， ∵yx过点A（2，m）， ∴m2， ∴A（2，）， ∵y过点A（2，）， ∴k＝23； （2）①设点E的坐标为（a，a），则点D的坐标为（a，）， ∵B（0，）， ∴OB， ∵ED＝2OB， ∴ED＝1， ∴a1， a2﹣a﹣6＝0， （a﹣3）（a+2）＝0， 解得：a1＝3，a2＝﹣2， ∵点E是直线AB上A点右侧的一个动点， ∴a＝3， ∴S△OED1×3； ②由题意得：OO′∥AB， ∴直线OO′的解析式为：yx， ∴， 解得：x1，x2（不合题意，舍去）， ∴点O′的横坐标为：， ∴点D′，E′的横坐标均为：3， ∴点E′的纵坐标为：（3）2， ∴点D′的纵坐标为：2﹣11， ∴点D′的坐标为：（3，1）． 【点睛】本题综合考查反比例函数的相关知识．判断出函数上特殊点如点E，点O′的坐标是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $