精品解析：福建漳州市龙文区第三中学2026——2027学年上学期第一次教学质量检测（九年级数学）试卷

2026—2027学年上学期第一次教学质量检测 （九年级数学）试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且为整式方程进行判断． 【详解】解：选项A：展开方程，得，最高次数为4，不是一元二次方程； 选项B：方程中，若，则不是二次方程，因此不满足“一定是一元二次方程”的条件； 选项C：方程满足一元二次方程的定义，即仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程； 选项D：方程中，为分式，不是整式方程，因此不符合条件． 故选：C ． 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形指平面内，把图形绕某点旋转，旋转后的图形能与原图形重合的图形，逐一判断选项即可． 【详解】解：对各选项逐一判断： ∵平行四边形绕对角线交点旋转后能与自身重合，但没有对称轴， ∴平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，A不符合题意； ∵等边三角形沿对称轴折叠能重合，是轴对称图形，但旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形，B不符合题意； ∵等腰三角形沿对称轴折叠能重合，是轴对称图形，但旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形，C不符合题意； ∵正方形沿对边中点连线或对角线折叠都能重合，且绕对角线交点旋转后能与自身重合， ∴正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，D符合题意． 3. 下面哪个不是菱形具有的性质（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据菱形的性质逐一判断即可得出答案． 【详解】根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角， 故选：B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 4. 解下列方程，能用直接开平方法的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于形如或的一元二次方程，根据平方根的意义，直接开平方求出方程的根，这种方法叫直接开平方法． 【详解】解：A选项，，不符合或的形式，不符合题意； B选项，移项得，但，不符合题意； C选项，，不符合或的形式，不符合题意； D选项，移项得，符合的形式，符合题意． 5. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即． 6. 如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形和等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 由四边形是正方形，是正三角形，得到，，得是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 又是正三角形， ，， 是等腰三角形，， ． 故选：C． 7. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断 【详解】四边形是平行四边形， 当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选： 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得：门高尺、宽尺，门对角线的长为尺，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：门对角线的长为尺， 门高尺、宽尺， 根据勾股定理可得：． 9. 如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理，难度适中． 设，则．先根据折叠的性质和平行线的性质，得，则，然后在直角三角形中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则． 根据折叠的性质，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 在直角三角形中，根据勾股定理，得 ， 解得． 故选：C． 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】连接，证明四边形为矩形，可得；由可得，所以； 由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得； 由中的结论可得； 由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由知，所以的最小值为． 【详解】解：连接，交于点，如图， ，， ． ， 四边形为矩形． ，． 四边形为正方形， ，． 在和中， ， ． ． ． 正确； 延长，交于，交于点， ， ． 由知：， ． ． ， ． ． 即：， ． 正确； 由知：． 即：． 正确； 点为上一动点， 根据垂线段最短，当时，最小． ，， ． ． 由知：， 的最小值为， 错误． 综上所述，正确的结论为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 把一元二次方程（x-3）2=4化成一般形式为：__________ 【答案】x2-6x+5=0 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），据此即可求解． 【详解】移项得：（x-3）2-4=0，展开完全平方得：x2-6x+9-4=0，整理得：x2-6x+5=0. 【点睛】理解一元二次方程的一般形式，正确对方程进行变形是解决本题的关键． 12. 已知正方形的对角线长为6，则它的面积为_______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质．根据正方形的面积等于对角线乘积的一半即可解决问题． 【详解】解：正方形的对角线长为6， 它的面积． 故答案为：18． 13. 若，是方程的两个根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到和的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系，得，， ∴． 14. 若，，则 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】首先运用提公因式法进行因式分解，再进一步整体代入． 【详解】解：原式， 当，时， 则原式 故答案为：． 【点睛】此题考查了因式分解再代数式求解的应用，要渗透整体代入的思想． 15. 若关于x 的一元二次方程的一个根是1，则该方程的另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出m的值，进而解原方程求出另一个根即可得到答案． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程的一个根是1， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得， ∴该方程的另一个根为， 故答案为：． 16. 如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意得，E点关于直线的对称点是的中点，连接交于点P，此时有最小值，求出此时的最小值即可． 【详解】解∶根据题意得， E点关于直线的对称点是的中点，连接交与点P，此时有最小值为， ∵四边形是菱形，，点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值是3， 故答案为∶3． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， （4） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 或， ∴，． 【小问3详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问4详解】 解：， ， ， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 18. 若，是方程的两个根，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用根与系数的关系得到，，把分式进行通分，代入计算即可； （2）将原式进行整理，得到，将，代入进行计算即可． 【小问1详解】 解：在方程中，，，， ，是方程的两个根， ，， ； 【小问2详解】 解：由知：，， ． 19. 如图所示，在中，，平分，，，求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵，平分， ∴，， 又∵，， ∴，，， ∴， ∴ ∴且， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，等边对等角，正方形的判定． 先根据角平分线的性质定理得到，，进而求出，，，得到，，得到，即可证明四边形是正方形． 【详解】略 20. 如图，四边形的对角线相交于点O，，.若四边形是菱形.求证：四边形是矩形. 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形是矩形. 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，根据菱形的性质，平行四边形的判定，运用对角线相等的平行四边形是矩形证明即可. 【详解】略 21. 水墨画（中国画）是由水和墨经过浓度调配所画出的画，是中国传统绘画形式之一，某公司给如图所示的矩形水墨画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制成一个矩形工艺品进行销售．已知该工艺品的长为，宽为，若该工艺品中间的水墨画的面积为，求画框（空白部分）的宽度． 【答案】画框（空白部分）的宽度为． 【解析】 【分析】设画框（空白部分）的宽度为，根据该工艺品中间的水墨画的面积为列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设画框（空白部分）的宽度为， 由题意可得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：画框（空白部分）的宽度为． 22. 已知关于x的一元二次方程．求证：无论m为何值，方程总有两个实数根． 【答案】 证明：对于一元二次方程， ，，， ∴ ， ∵ 无论取何实数，，即， ∴ 无论为何值，方程总有两个实数根. 【解析】 【详解】略 23. 如图，已知E，F是正方形的对角线上的两点，且． （1）求证：四边形为菱形． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：连接，交于点， 四边形是正方形， ，，， ∵ ∴，即， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）6 【解析】 【分析】（1）连接交于O，证与互相垂直平分，即可由菱形的判定定理得出结论； （2）根据正方形的性质，利用勾股定理求得，从而求得 ，根据菱形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形是菱形， ， ， ， ∴， 菱形的面积． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质和菱形的判定定理，菱形的面积公式是解题的关键． 24. 如图，在平行四边形中，，点是上动点，连结． （1）若平行四边形是菱形，，试求出的度数； （2）若于，，，，求的长； （3）过点作交线段于点．过点作于，交的高于点．若，，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：连接 ，， ． ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在中，． ， ， ， 在和中， ， ． ， 又， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）证明，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）过点作于设，则，，而，再建立方程求解即可； （3）连接，证明，可得，，证明，再证明可得，，证明．可得，可得，从而可得结论． 【小问1详解】 解：在菱形中，． ， ， ； 【小问2详解】 解：过点作于， 在中，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ． 解得：， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，菱形的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期第一次教学质量检测 （九年级数学）试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 正方形 3. 下面哪个不是菱形具有的性质（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 4. 解下列方程，能用直接开平方法的是（ ） A. B. C. D. 5. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 把一元二次方程（x-3）2=4化成一般形式为：__________ 12. 已知正方形的对角线长为6，则它的面积为_______． 13. 若，是方程的两个根，则的值为_____． 14. 若，，则 ______ ． 15. 若关于x 的一元二次方程的一个根是1，则该方程的另一个根是________． 16. 如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是______． 三、解答题：本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 若，是方程的两个根，求下列各式的值： （1）； （2）． 19. 如图所示，在中，，平分，，，求证：四边形是正方形． 20. 如图，四边形的对角线相交于点O，，.若四边形是菱形.求证：四边形是矩形. 21. 水墨画（中国画）是由水和墨经过浓度调配所画出的画，是中国传统绘画形式之一，某公司给如图所示的矩形水墨画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制成一个矩形工艺品进行销售．已知该工艺品的长为，宽为，若该工艺品中间的水墨画的面积为，求画框（空白部分）的宽度． 22. 已知关于x的一元二次方程．求证：无论m为何值，方程总有两个实数根． 23. 如图，已知E，F是正方形的对角线上的两点，且． （1）求证：四边形为菱形． （2）若，，求四边形的面积． 24. 如图，在平行四边形中，，点是上动点，连结． （1）若平行四边形是菱形，，试求出的度数； （2）若于，，，，求的长； （3）过点作交线段于点．过点作于，交的高于点．若，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $