精品解析：福建省漳州市龙文区第一中学2024-2025学年九年级上学期数学8月份阶段性质量检测

2024-2025学年龙文一中九年级（上）数学8月份阶段性质量检测 一、单选题（满分40分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义， 根据定义逐项判断，即含有一个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：因为符合定义，所以A正确； 因为不是整式方程，不符合定义，所以B不正确； 因为含有两个未知数，不符合定义，所以C不正确； 因为是一元一次方程，不符合定义，所以D不正确． 故选：A． 2. 一元二次方程(x－5)2＝x－5的解是(　　) A. x＝5 B. x＝6 C. x＝0 D. x1＝5，x2＝6 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：方程变形得：（x-5）2-（x-5）=0， 分解因式得：（x-5）（x-5-1）=0， 解得：x1=5，x2=6． 故选D． 3. 将方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 4. 关于的一元二次方程的两根为，那么下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握：有两个不同的实数根时，． 根据的两根为，即有两个不相等的实数根，继而得到． 【详解】解：关于x的一元二次方程的两根为， ∴方程有两个不相等的实数根， ， 故选：D． 5. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】将代入求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的定义，熟记定义是解题的关键． 6. 一种药品经两次降价，由每盒50元调至40.5元，平均每次降价的百分率是（　　） A. 5% B. 10% C. 15% D. 20% 【答案】B 【解析】 【详解】设平均降价的百分率为x， 根据题意可得，50（1－x）2=40.5， 解得：x=0.1或1.9，x=1.9（不符合题意，舍去）， 所以x=0.1=10％. 故选B. 7. 关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ） A. 0 B. ±3 C. 3 D. －3 【答案】D 【解析】 【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得：m－3≠0且m2－9＝0， 解得：m＝－3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，把一元二次方程化为一般形式，是解题的关键． 8. 关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义，结合即可判断结果． 【详解】解：∵，当时，， ∴该方程必有一个根是， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，解答本题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值． 9. 矩形ABCD的一条对角线长为5，边AB的长是方程x2﹣6x＋8＝0的一个根，则矩形ABCD的面积为（ ） A. 12 B. 20 C. 2 D. 12或2 【答案】D 【解析】 【分析】先解方程求出AB的长，然后再根据勾股定理求出矩形的边长，最后求面积即可． 【详解】解：∵边AB的长是方程x2﹣6x＋8＝0的一个根， ∴x2﹣6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4， 当AB＝2时，利用勾股定理可得相邻的边为＝，此时矩形ABCD的面积为2×＝2； 当AB＝4时，利用勾股定理可得相邻的边为＝3，此时矩形ABCD的面积为3×4＝12； 故答案为D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解答本题的关键． 10. 关于的方程有实数解，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】由于x的方程（m-2）x2-2x+1=0有实数解，则根据其判别式即可得到关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．但此题要分m=2和m≠2两种情况． 【详解】（1）当m=2时，原方程变为-2x+1=0，此方程一定有解； （2）当m≠2时，原方程是一元二次方程， ∵有实数解， ∴△=4-4（m-2）≥0， ∴m≤3． 所以m的取值范围是m≤3． 故选：B． 【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于分两种情况进行讨论，错误的认为原方程只是一元二次方程． 二、填空题（满分24分） 11. 请写出一个关于x的一元二次方程_____． 【答案】 (答案不唯一) 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据题意写出一个一元二次方程即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程可以是： (答案不唯一) 故答案为： (答案不唯一)． 12. 一元二次方程的解是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解： ∴或， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 13. 已知α，β是方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】0 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：0． 14. △ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-8x+15=0的根，则△ABC的周长是_____． 【答案】8 【解析】 【详解】解方程x2-8x+15=0可得x=3或x=5， ∴△ABC的第三边为3或5， 但当第三边为5时，2+3=5，不满足三角形三边关系， ∴△ABC的第三边长为3， ∴△ABC的周长为2+3+3=8． 故答案为8 15. 若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】将x＝0代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得a的值． 【详解】解：根据题意，将x＝0代入方程可得a2﹣9＝0， 解得：a＝3或a＝﹣3， ∵a+3≠0，即a≠﹣3， ∴a＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 16. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2－5a，则方程(x＋2)*＝0的所有解的和为__． 【答案】1 【解析】 【分析】利用新定义得到（x+2）2-（）2-5（x+2）=0，整理得（x+2）2-5（x+2）-6=0，把方程看作关于（x+2）的一元一次方程，然后利用因式分解法解． 【详解】根据题意得（x+2）2-（）2-5（x+2）=0， 整理得（x+2）2-5（x+2）-6=0， （x+2-6）（x+2+1）=0， x+2-6=0或x+2+1=0， 所以x1=4，x2=-3， 所以方程（x+2）⊗=0的所有解的和为1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 三、解答题（满分86分） 17. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）； 【答案】（1）无解 （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）利用公式法解方程即可求解； （2）利用因式分解法解方程即可求解． 【小问1详解】 解：，，， ∵， ∴原方程无实数根，即原方程无解； 【小问2详解】 解：原方程化为，即， ∴或 ∴，． 18. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）设、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系、及根与系数的关系及解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得，由此可解得的值． （2）根与系数的关系及已知条件可得关于的一元二次方程，解得的值并根据（1）中的所得的的取值范围作出取舍即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， 解得：． 的取值范围是． 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 的值是． 19. 古算趣题：“笨伯执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭，有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服”．其大意是：笨伯拿竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门宽4尺，竖着比门高2尺．他的邻居教他沿着门的对角线斜着拿竿，笨伯一试，刚好进去．问：竹竿有多少尺？ 【答案】10尺 【解析】 【分析】设竹竿的长为尺，根据横着比门宽4尺，竖着比门高2尺，得到两条直角边长分别为尺和尺，根据沿对角线斜着拿竿，笨伯一试，刚好进去得到直角三角形斜边为尺，根据勾股定理列方程，解方程即可． 【详解】解：设竹竿的长为尺，根据题意，得 ． 解这个方程，得，． 当时，，，不符合题意，舍去， ． 答：竹竿的长为10尺． 【点睛】此题考查了勾股定理和一元二次方程的应用，读懂题意，根据勾股定理列出一元二次方程是解题的关键． 20. 如果方程的两个根是，，则，，请根据以上结论，解决下列问题： （1）若，，求方程的两根． （2）已知实数a、b满足，，求的值； 【答案】（1）， （2）或2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）根据，，得出方程，再求解即可； （2）根据、满足，，得出，是的解，求出和的值，即可求出的值． 【小问1详解】 解：当，，则方程为， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：、满足，， 、是的解， 当时，，， ； 当时，原式． 综上，的值为或2． 21. 为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为米． （1）矩形的另一边长为___________米（用含的代数式表示）； （2）矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） 不能，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴矩形的面积不能为． 【解析】 【分析】（1）根据题中条件即可求出的长； （2）先根据题意列出方程，再根据一元二次方程的判别式，即可得出答案． 【小问1详解】 解：修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门（门不用木栏）， 米， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程的判别式，熟练掌握一元二次方程的判别式是解题的关键． 22. 阅读材料，解答问题. 解方程：. 解：把视为一个整体，设，则原方程可化为． 解得：，， 或， ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解决下列问题： （1）解方程； （2）已知，求的值. 【答案】（1） ， （2）的值是6 【解析】 【分析】（1）根据题目中给出的信息，利用换元法解方程即可； （2）设，原方程可化为，解关于a的一元二次方程，最后注意，不合题意，舍去，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 设， 则原方程可化为， 整理，得， 解得，， 当时，即，解得：； 当时，即，解得； 综上所述，原方程的解为 ，； 【小问2详解】 解：设，则原方程可化为， 整理，得， 分解因式得：， 解得，， ∵ ， ∴ ∴不合题意，舍去， ∴， 即的值是6． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是理解题意，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算． 23. 石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； （3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 【答案】（1） ， （2） 每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元 （3） 不可能 【解析】 【分析】（1）根据销售量=原销售量+降价增加的销售量，单件利润=原单件利润-降价金额，列出代数式； （2）根据总利润=单件利润×销售量列一元二次方程求解； （3）同样根据总利润关系列方程，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数解，即可得出结论． 【小问1详解】 解： 已知每件降价1元，多售出2件，降价元时，多售出件 原每天售出20件， 因此每天销售量为件 ，原单件利润为元， 降价元后，单件盈利为元． 【小问2详解】 根据总利润等于单件盈利乘销售量， 列方程得   整理得  因式分解得  解得  因此每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元． 【小问3详解】 假设平均每天赢利2000元， 列方程得   整理得  判别式得  因此该方程没有实数根，不存在满足条件的降价 所以平均每天赢利2000元不可能． 24. 如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒． （1）填空：______，______；（用含t的代数式表示）； （2）当t为几秒时，的长度等于； （3）是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据路程=速度×时间，，，结合已知解答即可． （2）根据勾股定理，列式计算即可． （3）根据列式计算即可． 【小问1详解】 ∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． ∴，， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 ∵，， ， ∴， 整理，得， 解得， 当运动时间为或运动时间为时，的长度等于． 【小问3详解】 ∵，， ， ∴， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， 故当运动时间为2秒时，四边形的面积等于面积的． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中的动点问题，一元二次方程的应用，熟练掌握勾股定理，解方程是解题的关键． 25. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点M，则称点M为该一元二次方程的衍生点 （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 （2）若关于的一元二次方程为 ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②直线：y＝x+5与轴交于点A，直线过点B(1，0)，且与相交于点C(1，4)，若由①得到的点M在的内部，求的取值范围； （3）是否存在b，c，使得不论k(k≠0)为何值，关于的方程的衍生点M始终在直线的图象？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由 【答案】（1）(0，2)；（2）①(m-2，m)， ②；（3）存在， 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程，根据题意写出方程的衍生点即可； （2）①用因式分解法解含参数的一元二次方程，根据题意写出该方程的衍生点； ②计算直线与x轴的交点A，计算点M所在直线与直线AB的交点，根据点M在内部列不等关系，并解出不等式的解集即可； （3）整理直线解析式，可知其过定点，根据题意，该定点是方程的衍生点，可知方程的两个根分别为3，6，最后由根与系数的关系解题即可． 【详解】（1） ， ， 的衍生点为， 故答案为：； （2）① 解得，， 的衍生点为M； ②与x轴交于点A， ， 由①得，， 令， ， 在直线上，刚好和的边BC交于点， 令y=0，则x+2=0， ， ， ； （3）存在． 直线，过定点， 的两个根为， ， ． 【点睛】本题考查解一元二次方程——因式分解、根与系数的关系、一次函数中的直线位置关系等知识是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年龙文一中九年级（上）数学8月份阶段性质量检测 一、单选题（满分40分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程(x－5)2＝x－5的解是(　　) A. x＝5 B. x＝6 C. x＝0 D. x1＝5，x2＝6 3. 将方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程的两根为，那么下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 一种药品经两次降价，由每盒50元调至40.5元，平均每次降价的百分率是（　　） A. 5% B. 10% C. 15% D. 20% 7. 关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ） A. 0 B. ±3 C. 3 D. －3 8. 关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是（ ） A. B. C. D. 9. 矩形ABCD的一条对角线长为5，边AB的长是方程x2﹣6x＋8＝0的一个根，则矩形ABCD的面积为（ ） A. 12 B. 20 C. 2 D. 12或2 10. 关于的方程有实数解，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 二、填空题（满分24分） 11. 请写出一个关于x的一元二次方程_____． 12. 一元二次方程的解是________ 13. 已知α，β是方程的两个实数根，则的值为_______． 14. △ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-8x+15=0的根，则△ABC的周长是_____． 15. 若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为_____． 16. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2－5a，则方程(x＋2)*＝0的所有解的和为__． 三、解答题（满分86分） 17. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）； 18. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）设、是方程的两根，且，求的值． 19. 古算趣题：“笨伯执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭，有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服”．其大意是：笨伯拿竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门宽4尺，竖着比门高2尺．他的邻居教他沿着门的对角线斜着拿竿，笨伯一试，刚好进去．问：竹竿有多少尺？ 20. 如果方程的两个根是，，则，，请根据以上结论，解决下列问题： （1）若，，求方程的两根． （2）已知实数a、b满足，，求的值； 21. 为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为米． （1）矩形的另一边长为___________米（用含的代数式表示）； （2）矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 22. 阅读材料，解答问题. 解方程：. 解：把视为一个整体，设，则原方程可化为． 解得：，， 或， ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解决下列问题： （1）解方程； （2）已知，求的值. 23. 石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； （3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 24. 如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒． （1）填空：______，______；（用含t的代数式表示）； （2）当t为几秒时，的长度等于； （3）是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由． 25. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点M，则称点M为该一元二次方程的衍生点 （1）若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 （2）若关于的一元二次方程为 ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②直线：y＝x+5与轴交于点A，直线过点B(1，0)，且与相交于点C(1，4)，若由①得到的点M在的内部，求的取值范围； （3）是否存在b，c，使得不论k(k≠0)为何值，关于的方程的衍生点M始终在直线的图象？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $