精品解析：云南省昆明市第五中学2025-2026学年度九年级上学期数学期中考试卷

2025-2026学年度九年级上数学期中考试卷 本卷满分100分，考试时间120分钟 一、单选题（共30分） 1. “我爱中国”这四个汉字拼音的首字母如下，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据中心对称图形的定义进行判断即可．本题考查了中心对称图形的识别，正确理解中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：A．找不到一个点，此图形绕点旋转后能与自身重合，此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．找不到一个点，此图形绕点旋转后能与自身重合，此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．能找到一个点，此图形绕点旋转后能与自身重合，此图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D．找不到一个点，此图形绕点旋转后能与自身重合，此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 二次函数的图象是一条抛物线，若抛物线开口向上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像及性质．根据题意利用二次函数性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴，即， 故选：B． 3. 要得到二次函数的图象，需将的图象（　　） A. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 根据函数图象平移的法则解答即可． 【详解】解：根据“左加右减，上加下减”规律： 二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到二次函数的图象． 故选：B． 4. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数． 【详解】解：A．，y是的反比例函数，故此选项不合题意； B．，y是x的一次函数，故此选项不合题意； C．，不是的反比例函数，故此选项不合题意； D．，y是x的反比例函数，故此选项符合题意． 故选：D． 5. 关于的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的二次项系数不为零，最高次项的次数为，求解即可． 【详解】解：的方程是一元二次方程， ，且， 解得：， 故选：C． 6. 定义一种新运算，其中，当时，的值为（ ） A. B. 4 C. 4和 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的定义新运算，解一元二次方程，根据，由可得，，据此求出的值为多少即可． 【详解】解： ，即： 解得： 故答案为：B． 7. 某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次分裂成若干个相同数目的有益菌后母体就不复存在，设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个相同数目的有益菌．根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：由题意得， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 已知抛物线经过和两点，则n的值为（　　） A. ﹣2 B. ﹣4 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解； 【详解】解：抛物线经过和两点， 可知函数的对称轴， ， ； ， 将点代入函数解析式，可得； 故选B． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键． 9. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 10. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，则点P所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由增减性得的符号，结合点的横坐标判断纵坐标符号，确定所在象限． 【详解】解：∵反比例函数在每一个象限内随的增大而减小， ∴， ∵点在该函数图象上， ∴， ∵，， ∴， ∵点横、纵坐标均为正， ∴点在第一象限． 11. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， 由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键是正确求出点B的坐标． 12. 若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（ ） A. 1，4 B. 1， C. 2， D. 3，0 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程的两根互为相反数，然后列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴方程的两根互为相反数， ∴， 解得， ∴，． 13. 若二次函数取最大值时，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数开口向下时最大值在对称轴处的性质，结合对称轴公式求解， 【详解】解：∵二次函数中， ∴函数取最大值时的值为对称轴横坐标， 由对称轴公式直线，代入，， 得， ∵函数取最大值时， ∴． 14. 已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由原方程的已知根推导出的一个根，结合，利用根与系数的关系求另一根． 【详解】解：∵ 一元二次方程有一个根为， ∴ ， 两边同乘得：，即 ， ∴ 是方程的一个根； 设方程的另一个根为， 由根与系数的关系得：， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 15. 已知函数在上的最大值是，最小值是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由二次函数的顶点和最值确定对称轴需在区间内，结合最大值对应的自变量取值推导的范围． 【详解】解：函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，， ∵ 函数在上的最小值为， ∴ 对称轴在范围内， ∴ ； 令，得， 整理得， 解得或， ∵ 函数开口向上， ∴ 当或时，， ∵ 函数在上的最大值为， ∴ ， 综上，． 二、填空题（共8分） 16. 若反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与其比例系数之间的关系，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限；当时，图象在二、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第一、三象限， ∴， 故答案为：． 17. 已知二次函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如，这样的函数叫做二次函数，根据二次函数的定义得到，，进行求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴． 故答案为：． 18. 一元二次方程的一个解为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，把一元二次方程的解代入方程中，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：一元二次方程的一个解为， ， 解得：． 故答案为：. 19. 如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，那么_____秒后，线段将分成面积的两部分． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题关键．设运动时间为，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒， 根据题意得：，， ，，， ，， ， 线段将分成面积的两部分， 或， 即或， 整理得：或（无实数解）， 解得：，， 即线段将分成面积的两部分，运动时间为或秒． 故答案为：或． 三、解答题（共62分） 20. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【小问1详解】 解： ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， 即：，． 【小问2详解】 解： 方程整理，得． 配方，得，即． 由此可得， ，． 21. 如图，已知，，是平面直角坐标系上的三点． （1）请画出绕点O旋转得到的； （2）请画出关于点对称的图形． 【答案】（1）如答图①，即为所求． （2）如答图②，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，分别作出，，的对应点，，，再顺次连接、、即可． （2）根据旋转的性质，分别作出，，的对应点，，，再顺次连接、、即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 综合与探究 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：_____，_____；（用含的代数式表示） （2）当为何值时，？ （3）在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）当时， （3）当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的运用， （1）根据点的移动速度，行程问题的数量关系可得，，由此即可求解； （2）根据矩形的性质可得，结合（1）中的信息，可得，在中，运用勾股定理得，由此求解即可； （3）根据题意，由五边形的面积为矩形面积的，求得，由此列式求解即可． 【小问1详解】 解：，，点从，速度为，点从，速度为，设运动时间为， ∴点从的时间为，点从的时间为， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 由（1）可知，，， ∴， 在中，，且， ∴，整理得，， 解得，（舍去），， ∴当时，； 【小问3详解】 解：存在，理由如下， 已知，， ∴， ∵五边形的面积为矩形面积的， ∴，则， ∴， 整理得，， 解得或， ∴当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 23. 阅读材料：为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得，． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的根为，，，． 解答问题： （1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________达到了降次的目的，体现了_______的数学思想； （2）已知实数a，b满足，试求的值； （3）请利用以上知识解方程：． 【答案】（1）换元，转化 （2）5 （3），，， 【解析】 【分析】（1）利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想； （2）设，则原方程可化为，再解方程即可； （3） 设，则原方程化为，再解方程即可． 【小问1详解】 解：利用了换元法，体现了转化思想． 【小问2详解】 解：设，则原方程可化为， ∴， ∴，． ∵， ∴的值为5． 【小问3详解】 解：设，则原方程化为 ∴ ∴，， 当时，， ∴． ∴； 当时，， ∴， ∴． 24. 疫情结束后，实体经济复苏．某商场销售一种销售成本为40元/件的童装，若按50元/件销售，一个月可售500件，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10件． （1）求月销售利润y（单位：元）与销售单价x（单位：元/件）之间的函数解析式． （2）求当销售单价定为多少元时会获得最大利润？最大利润是多少元？ （3）商场想使月销售利润达到8000元，求销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价定为元时，利润最大，最大利润为元 （3）销售单价应定为或元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的应用； （1）根据销售利润=每千克利润×数量，即可列出表达式； （2）将（1）的解析式，配方成顶点式，即可求解． （3）把代入（1）中的表达式，求出x的值，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得： ． 答：y与x之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解： 当时，， ∴销售单价定为元时，利润最大，最大利润为元 【小问3详解】 由题意，得， 解得：，． 答：销售单价应定为或元． 25. 综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，是第一象限抛物线上的一个动点，若点的横坐标为，连接，，，． （1）求，，三点的坐标，并求直线的函数表达式； （2）当四边形的面积有最大值时，求出的值． 【答案】（1），，，直线的解析式为； （2）m的值为2； 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积等知识，运用了数形结合思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）分别令和即可求出，，三点的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）过作轴的垂线交于，设，则，根据题意表示出四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 令，得， 解得或， ∴，， 令，得， ∴； 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过作轴的垂线交于， 设，则， ∴四边形的面积 ， ∵， ∴当时，四边形的面积最大， ∴当四边形的面积最大时，的值为； 26. 已知反比例函数（为常数，且） （1）若在其图象的每一个分支上，随增大而减小，求的取值范围； （2）若点在该反比例函数的图象上，求的值； 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的增减性即可求出的取值范围； （2）用待定系数法即可求出的值． 【小问1详解】 ∵图象的每一个分支上，随增大而减小， ∴ 解得： 【小问2详解】 把代入 中， ∴， 解得：， 【点睛】此题考查了反比例函数图象的性质和待定系数法求解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 27. 方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个不相等的实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式，求解一元一次不等式即可； （2）根据根与系数的关系，求得，，代入求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得． 【小问2详解】 解：根据题意，得，． ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级上数学期中考试卷 本卷满分100分，考试时间120分钟 一、单选题（共30分） 1. “我爱中国”这四个汉字拼音的首字母如下，其中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象是一条抛物线，若抛物线开口向上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 要得到二次函数的图象，需将的图象（　　） A. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 4. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 或 6. 定义一种新运算，其中，当时，的值为（ ） A. B. 4 C. 4和 D. 3 7. 某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次分裂成若干个相同数目的有益菌后母体就不复存在，设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个相同数目的有益菌．根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线经过和两点，则n的值为（　　） A. ﹣2 B. ﹣4 C. 2 D. 4 9. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，则点P所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 12. 若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（ ） A. 1，4 B. 1， C. 2， D. 3，0 13. 若二次函数取最大值时，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 14. 已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数在上的最大值是，最小值是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8分） 16. 若反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取值范围是______． 17. 已知二次函数，则______． 18. 一元二次方程的一个解为，则_______． 19. 如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，那么_____秒后，线段将分成面积的两部分． 三、解答题（共62分） 20. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 21. 如图，已知，，是平面直角坐标系上的三点． （1）请画出绕点O旋转得到的； （2）请画出关于点对称的图形． 22. 综合与探究 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：_____，_____；（用含的代数式表示） （2）当为何值时，？ （3）在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 23. 阅读材料：为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得，． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的根为，，，． 解答问题： （1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________达到了降次的目的，体现了_______的数学思想； （2）已知实数a，b满足，试求的值； （3）请利用以上知识解方程：． 24. 疫情结束后，实体经济复苏．某商场销售一种销售成本为40元/件的童装，若按50元/件销售，一个月可售500件，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10件． （1）求月销售利润y（单位：元）与销售单价x（单位：元/件）之间的函数解析式． （2）求当销售单价定为多少元时会获得最大利润？最大利润是多少元？ （3）商场想使月销售利润达到8000元，求销售单价应定为多少元？ 25. 综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，是第一象限抛物线上的一个动点，若点的横坐标为，连接，，，． （1）求，，三点的坐标，并求直线的函数表达式； （2）当四边形的面积有最大值时，求出的值． 26. 已知反比例函数（为常数，且） （1）若在其图象的每一个分支上，随增大而减小，求的取值范围； （2）若点在该反比例函数的图象上，求的值； 27. 方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个不相等的实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $