河南省周口市项城市第二高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷B卷

2025-2026学年度高二12月月考（B卷） 数学试题 考试时间：120分钟；命题人：高二数学组 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共8小题） 1．已知直线l经过点P（1，0），且方向向量，则l的方程为（　　） A．x+2y﹣2＝0 B．2x﹣y﹣2＝0 C．x+2y﹣1＝0 D．x﹣2y﹣1＝0 2．在三棱锥O﹣ABC中，M是AB的中点，点N在棱OC上，且，则（　　） A． B． C． D． 3．等轴双曲线C过点P（3，1），则双曲线C的右焦点F2到其中一条渐近线的距离为（　　） A． B．2 C． D． 4．已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（　　）项． A．10 B．11 C．12 D．13 5．直线l：x+y+4＝0与圆M：（x﹣1）2+（y+1）2＝7的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定的 6．一动圆与圆x2+y2+6x+5＝0外切，同时与圆x2+y2﹣6x﹣91＝0内切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 7．已知曲线，直线l与曲线C交于A，B两点，且点P（2，1）是线段AB的中点，则直线l的斜率为（　　） A． B． C． D． 8．设F为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 二．（多选） 9．已知直线l1：ax﹣y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，以下结论正确的有（　　） A．无论a为何值，l1与l2都互相垂直 B．无论a为何值，l1与l2都关于直线x+y＝0对称 C．l1与l2分别经过定点（0，1）和（﹣1，0） D．存在实数a，使得l1与l2的交点在y轴上 10．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法正确的是（　　） A．MN与AD所成夹角为 B．MN⊥CC1 C．MN⊥AC D．点C到平面ABM的距离为 11．已知抛物线y2＝4x，P（x，y）是抛物线上一点，AB是经过抛物线焦点F的弦，则以下结论正确的有（　　） A．PF的最小值是1 B．当AB⊥x轴时，弦长AB最短 C．线段AB的中点到y轴的距离是 D．的最小值是4 三．填空题（共3小题） 12．若点P（3，m）在过点A（2，﹣1），B（﹣3，4）的直线上，则m＝　﹣2 　 ． 13．等差数列{an}中，a2＝8，a1+a5＝4，则该数列的公差为　﹣6 　 ． 14．已知P是椭圆上一点，Q是直线上一点，则|PQ|的最小值为　 　 ． 四．解答题（共5小题） 15．（13分）已知数列{an}的前n项和为． （1）求S2，a3； （2）求数列{an}的通项公式． 16．（15分）已知圆过点A（1，﹣1），B（﹣1，1）且圆心E在直线x+y﹣2＝0上． （1）求圆E的方程； （2）若直线l经过点Q（3，5），且与圆E相交截得的弦长为，求直线l的方程． 17．（15分）已知椭圆，a＝2，且C的离心率为． （1）求C的标准方程； （2）若A（﹣3，0），直线l：x＝ty+1（t＞0）交椭圆C于E，F两点，且△AEF的面积为，求t的值． 18．（17分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点Q（1，﹣2），斜率为1的直线l经过该抛物线的焦点F，且与抛物线相交于C，D两点． （1）求抛物线的标准方程； （2）求线段CD的长； （3）求的值． 19．（17分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥CD，CD∥EF，AB＝EF＝1，DA＝DC＝DE＝2，，点M为棱CF上一点，平面AEM与棱BC交于点N． （1）求证：ED⊥AN； （2）求证：AE∥MN； （3）若平面AEM与平面CDEF所成锐二面角的余弦值为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 部分参考答案 15．【解答】解：（1）根据题意，数列{an}的前n项和为， 令n＝2得S2＝3， 令n＝3得S3＝6，所以a3＝S3﹣S2＝6﹣3＝3． （2）根据题意，当n＝1时，， 当n≥2时，， 经检验a1＝1满足上式， 所以an＝n． 16．【解答】解：（1）设圆E的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2， 由题意得，解得， 所以圆E的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4； （2）由（1）得圆E的圆心为E（1，1），半径r＝2， 根据直线l被圆E截得的弦长为，可知E到直线l的距离． ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3， 圆心E到直线的距离为2，不符合题意． ②当直线l的斜率存在时，设l：y﹣5＝k（x﹣3），即kx﹣y+5﹣3k＝0． 由，解得k＝1或k＝7，可得l的方程为x﹣y+2＝0或7x﹣y﹣16＝0． 17．【解答】解：（1）因为椭圆，a＝2，且C的离心率为， 所以，解得：， 所以C的标准方程为：； （2）由题意设E（x1，y1），F（x2，y2）， 联立方程组，化简得（t2+2）y2+2ty﹣3＝0， 则Δ＝4t2+12（t2+2）＝16t2+24＞0， 所以， 所以， 设直线l与x轴的交点为D（1，0），且A（﹣3，0），则|AD|＝1﹣（﹣3）＝4， 所以， 又t＞0，解得：． 18.【解答】解：（1）设抛物线的标准方程为y2＝mx， 因为抛物线过点Q（1，﹣2）， 所以（﹣2）2＝m×1， 解得m＝4， 则抛物线的标准方程为y2＝4x； （2）易知抛物线的焦点F（1，0）， 所以直线l的方程为y﹣0＝1×（x﹣1）， 即y＝x﹣1， 设C（x1，y1），D（x2，y2）， 联立，消去y并整理得x2﹣6x+1＝0， 由韦达定理得x1+x2＝6，x1x2＝1； 则|CD|＝x1+x2+2＝6+2＝8； （3）由（2）点C（x1，y1） 和 D（x2，y2）到焦点F（1，0）的距离分别为|CF|＝x1+1，|CF|＝x2+1． 所以． 19．【解答】解：（1）证明：因为， 所以ED⊥AD，ED⊥DC， 又因为AD∩DC＝D，AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD， 所以ED⊥平面ABCD， 又因为AN⊂平面ABCD，所以ED⊥AN； （2）证明：因为AB∥CD，CD∥EF，AB＝EF， 所以ABFE是平行四边形，则AE∥BF， 又因为AE⊄平面BCF，BF⊂平面BCF，所以AE∥平面BCF， 又因为AE⊂平面AEM，平面AEM∩平面BCF＝MN， 所以AE∥MN； （3）以点D为原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示：设， 则， 依题意有A（2，0，0），E（0，0，2），F（0，1，2），C（0，2，0），D（0，0，0）， 则， ，，， 设平面AEM的一个法向量为， 则，则，即， 取x＝1，则，z＝1，则， 因为AD⊥平面CDEF， 所以平面CDEF的一个法向量为， 平面AEM与平面CDEF所成锐二面角为θ， 则， 解得，所以，故． 学科网（北京）股份有限公司 $