精品解析：河南郑州市第十六高级中学2026-2027学年上学期第一次月考高二数学试卷

2026—2027学年上学期第一次月考 高二年级数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 3. 经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 以下四个命题中正确的是（ ） A. 空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B. 若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底 C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点不共面 D. 若两直线，的倾斜角分别为，，斜率分别是，，当时， 8. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. 过，两点的直线方程为 C. 若，则异面直线与所成角的余弦值为 D. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 10. 下列说法正确的是（　　） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 11. 已知平面的一个法向量为，，，则（ ） A. 若与共线，则 B. 向量在向量上的投影向量为 C. 点到平面的距离为1 D. 直线与平面所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 正四面体的所有棱长都是2，分别是，的中点，则______. 13. 在空间直角坐标系中，经过点且方向向量为（）的直线方程为，已知空间中一条直线方程为，则点到直线的距离为__________． 14. 已知，则的最小值为______ 四、解答题：共5小题，77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程； （3）求一点的坐标，使得四边形为平行四边形． 16. 如图，，分别是三棱锥的棱，的中点，是线段上一点且，记，，． （1）用，，表示，，； （2）若，，，，求． 17. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 18. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角； （3）棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 19. 如图，在三棱柱中，其所有棱长都为2，是棱的中点，． （1）求证：平面平面． （2）若，点P满足． ①求直线与平面所成角的正切值； ②求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期第一次月考 高二年级数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据空间直角坐标系的定义，点关于轴对称的点的坐标为， 所以点关于轴对称的点的坐标为. 2. 已知，，，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【详解】，，均不是零向量，若不能构成空间的一个基底，则存在一组不全为0的数，使得，即 解得 3. 经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分别讨论截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将点代入求解即可. 【详解】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为， 将点代入解得，此时直线方程为，即； 当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为， 将点代入解得，此时直线方程为，即 所以满足题意的直线方程为或. 故选：B. 4. 已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，因为，且，所以. 又因为，，所以，解得，因此. 5. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断C；根据法向量垂直则面面垂直可判断D. 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，则或，故C错误； 对于D，由，得，则，故D正确. 故选：D. 6. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7. 以下四个命题中正确的是（ ） A. 空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B. 若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底 C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点不共面 D. 若两直线，的倾斜角分别为，，斜率分别是，，当时， 【答案】B 【解析】 【分析】选项ABC考查向量共面，选项D注意倾斜角范围为，对应值不是单调递增. 【详解】选项A，若所给的三个向量共面，则不在该平面内的向量无法由它们表示.. 选项B，设，整理得. 因为是基底，，，不共面，所以，，， 解得.故，，不共面，可以构成空间向量的另一组基底. 选项C，，即可由平面内的向量线性表示，故在平面内. 选项D，取，，则而，此时不成立. 8. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在上任取点，作，设， ，根据得出和的关系，从而可得关于(或的函数关系，再求出此函数的最小值即可. 【详解】 设为直线上任意一点， 过作，垂足为，可知此时到直线距离最短 设，， 则， ， ，， 即， ，即， ， ， ， 当时，取得最小值， 故直线与之间的距离是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. 过，两点的直线方程为 C. 若，则异面直线与所成角的余弦值为 D. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系，以及的取值范围，即可判断A选项；由直线的两点式方程即可判断B选项；由异面直线所成角的公式即可判断C选项；与的夹角为锐角时需且不共线，即可判断D选项． 【详解】对于A，直线的斜率，则，所以，A正确； 对于B，当或时，方程不成立，B错误； 对于C，异面直线所成夹角范围为，而，则异面直线与所成角的余弦值为，C正确； 对于D，与的夹角为锐角，则且不共线，，得，令，即，故，解得， 即当时共线，所以实数的取值范围是，D错误． 10. 下列说法正确的是（　　） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用直线平行求出参数再应用平行线间距离计算判断A，根据垂直得出参数再结合充分不必要条件定义判断B，应用直线的定点结合垂直计算求参判断C，数形结合得出有交点时的斜率范围判断D. 【详解】对于A，直线与直线平行，则，解得， 直线，即， 则与的距离为，选项A正确； 对于B，由两直线互相垂直得，，解得或， 可知“”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误； 对于C，将直线方程变形为，由得， 则直线过定点，斜率为， 当直线与垂直时，点到直线的距离最大， 因为，所以，选项C正确； 对于D，如图，， 由图可知，当或时，直线与线段有交点，故选项D正确. 故选：ACD． 11. 已知平面的一个法向量为，，，则（ ） A. 若与共线，则 B. 向量在向量上的投影向量为 C. 点到平面的距离为1 D. 直线与平面所成角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A，通过向量共线的性质设求解.B，通过投影向量求解公式求解.C，利用法向量，通过距离公式求解.D，根据线面角的向量求法可求得. 【详解】因为，所以，解得. 对于选项A，若与共线，设，则，，，解得，，，所以，正确. 对于选项B，投影向量为，正确. 对于选项C，，正确. 对于选项D，因为， 所以，错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 正四面体的所有棱长都是2，分别是，的中点，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】以向量为空间向量的基底，求出，再利用空间向量的数量积运算即得. 【详解】正四面体的所有棱长都是2，分别是，的中点， 则， ， 因此 . 故答案为： 13. 在空间直角坐标系中，经过点且方向向量为（）的直线方程为，已知空间中一条直线方程为，则点到直线的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件先确定直线的方向向量，进而根据向量模的坐标公式和勾股定理求出结果即可. 【详解】因为直线的方程为，所以直线经过点，且为一个方向向量， 又点的坐标为，所以， 故点到直线l的距离为． 14. 已知，则的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】由两点距离公式可将转化为 到，的距离和，先求得关于直线的对称点， 则即为距离和的最小值，由距离公式求即可. 【详解】， 设在直线上，点，， 则，， 则, 如图，关于直线的对称点为，则的最小值即为线段长， 设，则，解得，即， 故， 所以， 故答案为： 四、解答题：共5小题，77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程； （3）求一点的坐标，使得四边形为平行四边形． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用垂直斜率关系式得出上的高的斜率再点斜式得出直线方程； （2）根据中点得出坐标，再应用已知两点得出直线即可； （3）先设点的坐标，再应用向量相等列式计算求解. 【小问1详解】 直线的斜率为， 边上的高所在直线的斜率为， 边上的高所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 记的中点为，的坐标为， 直线的斜率为， 边上的中线所在直线的方程为． 【小问3详解】 设点的坐标为， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以，即， 所以，， 故当为时，四边形为平行四边形． 16. 如图，，分别是三棱锥的棱，的中点，是线段上一点且，记，，． （1）用，，表示，，； （2）若，，，，求． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）应用空间向量线性运算及空间向量基本定理，用，，表示，，即可； （2）由（1）得，，可求得，以及，再结合空间向量夹角公式，代入求值即可. 【小问1详解】 如图，连接，可得， ， ． 【小问2详解】 由题意，得，，， 由（1）得，，， 所以， ， 所以， 所以. 17. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，分析可知的中点在直线上，运算即可； （2）求关于直线的对称点为，进而可求反射光线所在的直线方程. 【小问1详解】 由题意可设点， 因为，则的中点在直线上， 可得，解得， 所以点B的坐标为. 【小问2详解】 设关于直线的对称点为， 则，解得，即 所以反射光线所在的直线方程为，可得. 18. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角； （3）棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：取AD中点，连接，. 是以为斜边的等腰直角三角形，，，. ，，，四边形是矩形，. ，，. ，、底面，故底面. 以O为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，，，，为中点：. ，，. 设平面法向量，则 ， 令，则，代入得，. ， ，又平面，故平面. （2）平面与平面的夹角为. （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求平面法向量，证明与法向量垂直，得到线面平行； （2）求两个平面各自法向量，套二面角公式计算； （3）参数表示，用点到平面距离公式列方程，解，求. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ， 设平面法向量，则 ，，取，，. ，， 设平面法向量， ，，取，，. . 平面与平面的夹角为. 【小问3详解】 ，设，，. 平面法向量，取平面内点，向量. 点到平面距离： ，令， 解得，所以存在点，使得点到平面的距离是. 此时点坐标为. ，. 【点睛】（1）先利用长度关系证明底面，建立空间直角坐标系，线面平行证向量与平面法向量垂直； （2）二面角用两平面法向量夹角求解； （3）动点存在性依靠参数设点，借助点面距离公式列方程，最后检验参数范围判断点是否在线段上. 19. 如图，在三棱柱中，其所有棱长都为2，是棱的中点，． （1）求证：平面平面． （2）若，点P满足． ①求直线与平面所成角的正切值； ②求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，，． 因为为的中点，为的中点，所以． 在三棱柱中，， 所以四边形是菱形，所以，所以． 因为，，，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 因为是等边三角形，为的中点，所以． 因为，，平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，，利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证明面面垂直； （2）①通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求得线面夹角的正弦值，再根据三角函数的同角关系，即可求得线面角的正切值； ②通过建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，根据二面角的向量表示，即可求得二面角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①连接，．因为，，所以是等边三角形． 又因为为的中点，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为，平面，所以，． 又由（1）知，所以，，两两互相垂直． 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 设．因为，即，所以． 因为，，所以． 易得平面的一个法向量为． 所以． 设直线与平面所成的角为，则， 则，所以． 所以直线与平面所成角的正切值为． ②因为，，，所以，． 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以． 设二面角的平面角为， 由图可知，为锐角，则， 所以二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $