精品解析：天津市咸水沽第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

天津市咸水沽第一中学2026～2027学年度第一学期第一次月考高一数学 一、单选题（共9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：集合，而，所以，故选C. 【考点】 集合的运算 【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，即可表达. 【详解】命题“，”的否定是“,”, 故选：B. 3. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以，满足充分性， 当时，，但是不成立，不满足必要性， 所以是的充分不必要条件. 4. 若、、为实数，则下列命题正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可. 【详解】对于A：当时结论不成立，所以A错误； 对于B：因为，所以，所以， 两边同除可得，B错误； 对于C：因为，两边同除可得，C错误； 对于D：因为，两边同乘可得，两边同乘可得， 所以，D正确， 故选：D 5. 某校高一年级的学生，参加科技兴趣小组的有65人，参加演讲兴趣小组的有35人，两个兴趣小组都参加的有20人，则两个兴趣小组至少参加一个的人数为（ ） A. 120 B. 100 C. 80 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据容斥原理计算． 【详解】由容斥原理知两个兴趣小组至少参加一个的人数为， 故选：C． 6. 已知实数满足，，则的大小关系是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】， 所以，当时，, 将题中两式作差得，即. 因为，所以， 所以， 选择:A 7. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或或 C. 或 D. 或或 【答案】A 【解析】 【分析】由“穿针引线法”即可求解. 【详解】， 令， 可得（二重偶次根），，，. 用“穿针引线法”， 如图： 由图可知不等式的解集为或. 8. 已知，，，，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】基本不等式乘1法，构造法解决即可. 【详解】， 当且仅当时等号成立，（应用基本不等式时注意等号成立的条件） 所以， 当且仅当，即且时，等号成立， 故最小值为， 故选：D 9. 用(A)表示非空集合中的元素个数，定义，若，，，，且，则的取值范围（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义可确定(A)，从而得到(B)或(B)，然后解方程，讨论的范围即可. 【详解】，(A)， (B)或4； ， 当时，方程只有1解， 当时，有2个解， 则，即有2个不同的解， ， 或. 故选：D 【点睛】本题主要考查集合元素个数的判断以及集合元素个数与相应方程根的个数间的关系，考查分析求解问题的能力，属于基础题. 二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分） 10. 不等式的解集为____． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法计算即可. 【详解】由得， 所以，且， 所以，且，解之得或. 故答案为：. 11. 已知全集，、均为的子集，，，则集合为________，集合的真子集的个数为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由题设有， 如图，阴影部分表示，而， 结合Venn图可知：，故集合的真子集的个数为. 12. 设和是两个集合，定义集合，如果，，那么等于________. 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，再根据集合的新定义求解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 13. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根和二次项系数的正负,利用韦达定理将用表示,再化简所求的不等式并求解. 【详解】已知不等式的解集为,所以，且方程的两根为， 根据韦达定理，，所以，. 不等式可化为，两边同时除以， 得，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 设集合，，已知且，则的取值集合为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【详解】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 15. 当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先分和进行讨论，当时根据不等式讨论分析可知：为的零点，可得，结合基本不等式求解. 【详解】由可得. 当时，由可得，因为关于的不等式恒成立，所以， 因为是开口向上的抛物线，所以不恒成立，故舍去； 当时，则有当时，；当时，. 因为在时恒成立， 所以当时，；当时，. 即是 的零点. 所以，化简可得， 所以，当且仅当， 即等号成立. 故答案为： 三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围； 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【小问1详解】 当时，； 令，即，解得，所以； 所以， ，所以. 【小问2详解】 若，则； 当时，，解得，满足； 当时，，解得，若， 则，解得. 综上，的取值范围为. 17. （1）若，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值． （3）已知两个正实数，满足，并且恒成立，求实数的范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【详解】（1）， 当且仅当即时等号成立，故的最大值为； （2）因为，所以， 故，故（舍）或， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. （3）因为，故， 而，故，故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为，故，故. 18. 已知集合，集合，其中． （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）设命题：，使得．若命题为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过解一元二次不等式求出，，再根据题意得到是的真子集，从而求解. （2）先解不等式，再通过命题是真命题， 得到或，从而求解. 【小问1详解】 不等式可化为，解得：， 即； 由不等式得：，即. 因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 故有，解得：， 即实数的取值范围为. 【小问2详解】 不等式可化为，解得：或， 若命题是真命题，则或， 即或得：或. 即实数的取值范围. 19. 已知关于的不等式． （1）若此不等式的解集为，求实数的值； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的取值范围可得对应方程的根，结合韦达定理可列方程求解； （2）对及方程的根的分布情况分类讨论，结合一元二次不等式即可求解； （3）整理原不等式后分离参数，问题转化为恒成立问题，求最值即可. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以且是方程的两根， 由韦达定理得，解得. 【小问2详解】 ①当时，不等式，即，解得，此时不等式的解集为； ②当时，关于的方程的两根分别为，. （i）当时，抛物线的开口向上，且， 此时关于的不等式的解集为或； （ii）当时，即，解集为； （iii）当时，抛物线的开口向下，且， 此时关于的不等式的解集为； （iv）当时，抛物线的开口向下，且， 此时关于的不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 整理得. ，恒成立， 因为， 所以对恒成立，所以. 令，则， 根据基本不等式可知当时，取得最大值， 所以实数的取值范围是． 20. 已知函数，． （1）若，使能成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） 或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将原不等式化简得到有解，对分类讨论即可求解； （2）将原方程化简得到一个一元二次方程，根据判别式及已知条件可求出的范围，结合韦达定理可求解； （3）换元法，令，，原方程可转化为含参一元二次方程有两个正实根的问题，列不等式组求解即可. 【小问1详解】 ，即，整理得. 因为，使成立，即关于的不等式有解. 当时，不等式，即，不符合题意； 当时，抛物线的开口向下，不等式一定有解，符合题意； 当时，抛物线的开口向上，若不等式有解，则，解得. 综上，实数的取值范围是或. 【小问2详解】 方程，即，整理得. 若关于的方程有两个不相等的实数根、， 所以，且. 由得或； 又，即，所以， 所以， 由得，所以，即的取值范围是. 【小问3详解】 令，则； 令，则，当且仅当时等号成立， 若存在使关于的方程有四个不同的实根， 即关于的方程有两个不相等的正实根，此时， 所以 由得，由得； 由得，解得； 由得， 所以原问题转化为关于的不等式有解， 由，可知有解，即，有解，解得或， 结合可得，即实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市咸水沽第一中学2026～2027学年度第一学期第一次月考高一数学 一、单选题（共9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 4. 若、、为实数，则下列命题正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 某校高一年级的学生，参加科技兴趣小组的有65人，参加演讲兴趣小组的有35人，两个兴趣小组都参加的有20人，则两个兴趣小组至少参加一个的人数为（ ） A. 120 B. 100 C. 80 D. 60 6. 已知实数满足，，则的大小关系是（     ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或或 C. 或 D. 或或 8. 已知，，，，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 6 D. 9. 用(A)表示非空集合中的元素个数，定义，若，，，，且，则的取值范围（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分） 10. 不等式的解集为____． 11. 已知全集，、均为的子集，，，则集合为________，集合的真子集的个数为________． 12. 设和是两个集合，定义集合，如果，，那么等于________. 13. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为___________． 14. 设集合，，已知且，则的取值集合为________. 15. 当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围； 17. （1）若，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值． （3）已知两个正实数，满足，并且恒成立，求实数的范围． 18. 已知集合，集合，其中． （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）设命题：，使得．若命题为真命题，求实数的取值范围． 19. 已知关于的不等式． （1）若此不等式的解集为，求实数的值； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数的取值范围． 20. 已知函数，． （1）若，使能成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $