2026-2027学年高一上学期数学期中模拟试卷（上海市适用）

2026-2027学年度高中数学期中调研 本卷满分150分，考试时间90分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（共54分） 1．（本题4分）已知集合 ，则 的所有非空真子集的个数为______． 2．（本题4分）已知集合 ，若 ，则实数 的取值集合为______． 3．（本题4分）定义符号函数 ．已知 均为非零实数，记 ，则 的所有可能取值组成的集合为______． 4．（本题4分）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是______． 5．（本题4分）函数 的定义域为______． 6．（本题4分）已知 ，则 ______（用 表示）． 7．（本题5分）已知函数 满足 ，则 的解析式为______． 8．（本题5分）已知函数 ，若对任意 ，都有 成立，则实数 的取值范围是______． 9．（本题5分）函数 （）的最小值为______． 10．（本题5分）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是______． 11．（本题5分）一般地，把不等式解集中所含整数的个数称为该解集的“整点数”．已知关于 的不等式 的解集的整点数为 2，则实数 的取值范围是______． 12．（本题5分）已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的值为______． 二、单选题（共18分） 13．（本题4分）已知 ，．若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 14．（本题4分）若命题“，”是假命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 15．（本题5分）已知正实数 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 16．（本题5分）已知定义在 上的函数 满足： 是偶函数， 是奇函数，且当 时，，则 （　　） A． B． C． D． 三、解答题（共78分） 17．（本题14分）已知 ，且 ，求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ． 18．（本题14分）求下列各式的值： (1) ； (2) 已知 ，求 的值； (3) 已知 ，，用 表示 ． 19．（本题14分）某文创工作室拟在 2026 年推出一款校园手绘明信片．经市场调研测算，该产品的年销售量（即年产量） 万套与年推广费用 万元（）满足 ，若不开展推广活动，年销售量只有 1 万套．已知生产该产品的固定投入为 10 万元，每生产 1 万套该产品需再投入 18 万元，工作室将每 1 万套产品的销售价格定为每 1 万套产品年平均成本（此处每 1 万套产品年平均成本按 万元计算）的 1.5 倍． (1) 将 2026 年该产品的利润 万元表示为年推广费用 万元的函数； (2) 该工作室 2026 年的推广费用投入多少万元时，年利润最大？最大利润是多少万元？ (3) 若受资金限制，2026 年的推广费用不超过 3 万元，则推广费用投入多少万元时年利润最大？最大利润是多少万元？ 20．（本题18分）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ． (1) 求实数 的值； (2) 判断函数 在 上的单调性，并用定义加以证明； (3) 若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 21．（本题18分）设 为正整数，．若 的非空子集 满足：对任意 （ 可以相同），都有 ，则称 为 的一个“无和集”． (1) 分别判断 与 是否为 的无和集，并说明理由； (2) 证明：若 是 的无和集，则 ； (3) 设 ，求 的无和集 的元素个数的最大值，并写出一个元素个数达到最大值的无和集． 《2026-2027学年度高中数学期中调研》参考答案 题号 13 14 15 16 答案 A A A C 1. 14 【难度】0.85 【知识点】集合的表示方法、子集的个数 【分析】先由整除关系用列举法写出集合 ，再由子集个数公式求解． 【详解】由 且 知， 是 8 的正约数， 故 ，即 ，所以 ，． 所以 的所有非空真子集的个数为 ． 【点睛】含 个元素的集合，其子集个数为 ，其中非空真子集个数为 （）． 2. 【难度】0.80 【知识点】集合元素的互异性、元素与集合的关系 【分析】对“”的三种可能分别讨论，再用互异性检验． 【详解】① 若 ，则 ，此时 ，不满足互异性，舍去； ② 若 ，则 或 ． 当 时，，符合题意； 当 时，，不满足互异性，舍去； ③ 若 ，则 或 ，由①②知均不满足互异性，舍去． 综上，，所求集合为 ． 【点睛】集合中元素具有互异性，求出参数后必须回代检验，这是本题最主要的失分点． 3. 【难度】0.65 【知识点】分类讨论思想、符号函数、集合的表示 【分析】按 中负数的个数分类，逐类计算 ． 【详解】，故可只讨论负因数个数： ① 全为正：； ② 恰有一个为负：三个符号之和为 ，两两之积中一个为正、两个为负，； ③ 恰有两个为负：三个符号之和为 ，两两之积中一个为正、两个为负，； ④ 全为负：． 所以 的所有可能取值组成的集合为 ． 【点睛】关键在于发现 ，把六个符号统一为三个符号的函数． 4. 【难度】0.60 【知识点】集合的交集、空集的概念、含参集合的讨论 【分析】先化简 ，再按 是否为空集分类，利用数轴确定端点． 【详解】由 得 ，即 ． ① 当 ，即 时，，满足 ； ② 当 时，，由 得 或 ，即 或 ． 综上，实数 的取值范围是 或 ． 【点睛】含参数的集合关系问题，务必先讨论“空集”这一特殊情形． 5. 【难度】0.88 【知识点】具体函数的定义域、对数函数的性质 【分析】由偶次根式的被开方数非负、对数的真数为正且分母不为零列不等式组． 【详解】由题意得 ，即 ， 解得 且 ， 故所求定义域为 ． 【点睛】对数型定义域要同时兼顾“真数大于零”与“对数本身不能为零（作分母时）”． 6. 【难度】0.75 【知识点】换底公式、对数的运算性质 【分析】先用换底公式把 化为以 2 为底的对数，再代入． 【详解】． 【点睛】换底公式是该类问题的通法：把陌生的底统一到已知数据的底上． 7. 【难度】0.70 【知识点】函数解析式的求法（方程组法） 【分析】用 代换原式中的 ，与原式联立消去 ． 【详解】由 　① 以 代 得 　② ① ② 得 ， 所以 ． 【点睛】当式中同时出现 与 时，用“代换—联立—消元”的方程组法． 8. 【难度】0.50 【知识点】不等式恒成立、主元思想、函数的最值 【分析】注意到 可整理为关于 的一次式，转化为求另一侧式子的最大值． 【详解】当 时， 恒成立； 当 时，由 得 ． 令 ， 因为 ，所以 （ 时取等号）， 故 ，即 ， 所以 ，即 ． 【点睛】把参数看作主元，将恒成立问题转化为“参数大于另一侧函数的最大值”． 9. 【难度】0.72 【知识点】指数函数的性质、换元法求最值 【分析】令 ，转化为二次函数在闭区间上的最值问题． 【详解】令 ，因为 ，所以 ． ， 当 （即 ）时， 取得最小值 ． 【点睛】换元后必须由 的范围求出新元 的范围，这是最易遗漏的一步． 10. 【难度】0.45 【知识点】分段函数的单调性、二次函数的单调性 【分析】分段函数在 上递减需满足：各段内部递减，且衔接处的函数值满足大小关系． 【详解】① 当 时， 递减，故 ，即 ； ② 当 时， 的对称轴为 ，递减需 ； ③ 衔接处需 ，即 ，解得 ． 综上，． 【点睛】分段函数整体单调的三要素：各段单调、衔接处不等号方向、等号能否取到． 11. 【难度】0.40 【知识点】一元二次不等式的解法、新定义的理解、分类讨论 【分析】因式分解后按两根大小分类，用数轴数清“整点数”． 【详解】原不等式即 ，记 ，则 ． ① 当 时，解集为 ，其中恰有 2 个整数必须为 ，故 ； ② 当 时，解集为 ，其中恰有 2 个整数必须为 ，故 ； ③ 当 时，解集为空集，整点数为 0，不合题意． 所以 ，即 ． 【点睛】“解集中整数个数”问题要抓住解区间的两个端点与相邻整数的位置关系，注意端点能否取到． 12. 【难度】0.68 【知识点】二次函数在闭区间上的最值、分类讨论 【分析】配方后按对称轴与区间的三种位置关系分类． 【详解】，对称轴为 ． ① 当 时， 在 上递增，，得 ，与 矛盾； ② 当 时，，得 ，取 ； ③ 当 时， 在 上递减，，得 ，与 矛盾． 综上，． 【点睛】“轴动区间定”的最值问题，分类标准是对称轴与区间的位置关系，求出结果后必须检验是否落在讨论范围内． 13. A 【难度】0.75 【知识点】充分条件与必要条件、一元二次不等式的解法、集合的包含关系 【分析】把“ 是 的必要不充分条件”翻译为两个解集之间的真包含关系，注意方向． 【详解】由 得 ；由 得 ． 设 对应的集合分别为 ，． 因为 是 的必要不充分条件，所以 ， 于是 且 ，解得 ． （此时 的长度为 1，小于 的长度 2，真包含必然成立．） 【点睛】“ 是 的必要不充分条件”意味着 且 ，即小集合 真包含于大集合 ，方向极易弄反． 14. A 【难度】0.62 【知识点】全称量词与存在量词、命题的否定、不等式恒成立 【分析】存在性命题为假，等价于其否定（全称命题）为真，再分离参数． 【详解】命题“，”为假命题， 等价于“，”为真命题． 因为 ，所以 对任意 恒成立． 函数 在 上单调递增，故 ， 所以 ． 【点睛】含量词命题的真假转化是本题的关键：特称命题假 全称命题真． 15. A 【难度】0.55 【知识点】基本不等式、条件最值、“1”的代换 【分析】由已知条件变形得到 ，再对 乘以该式构造定积． 【详解】由 且 得 ． 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号，此时 ，，符合题意． 故 的最小值为 ． 【点睛】“1 的代换”是条件最值的通法：把所求式子乘以等于 1 的表达式，展开后配成积为定值的两项． 16. C 【难度】0.42 【知识点】函数的对称性、周期性 【分析】由“ 为偶函数”得对称轴，“ 为奇函数”得对称中心，两者结合推出周期． 【详解】因为 是偶函数，所以 ，即 的图象关于直线 对称，有 ； 因为 是奇函数，所以 ，即 的图象关于点 对称，有 ． 于是 ， 即 ，从而 ， 是周期为 8 的周期函数． 又 ，所以 ． 故选 C． 【点睛】记住结论：一条对称轴 与一个对称中心 共存时，周期为 ． 17. (1) ；(2) ；(3) 【难度】0.70 【知识点】分数指数幂的运算、乘法公式的应用 【分析】由 出发，反复平方、因式分解． 【详解】(1) 将 两边平方，得 ，所以 ． (2) 因为 ，且 ， 所以 ， 从而 ， 所以 ． (3) ． 【点睛】立方差公式 在指数运算中同样适用，取 ， 即可． 18. (1) ；(2) ；(3) 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质、换底公式、指数式与对数式的互化 【分析】(1) 统一底数；(2) 用换底公式化为同底对数；(3) 把所求式都换成以 3 为底． 【详解】(1) 因为 ，，， 所以原式 ． (2) 由 得 ，所以 ；由 得 ． 所以 ． (3) ． 又 ，，代入得 ． 【点睛】所有对数运算题的共同思路：化为同底．换底公式 是桥梁． 19. (1) （）；(2) 万元，最大利润 万元；(3) 万元，最大利润 万元 【难度】0.60 【知识点】函数模型的建立、基本不等式求最值、函数的单调性 【分析】先建立利润关于推广费用的函数，再分别用基本不等式与单调性求最值． 【详解】(1) 年销售收入为 万元，生产成本为 万元，推广费用为 万元， 所以 ． 又 ，故 （）． (2) ， 当且仅当 ，即 时取等号． 所以推广费用投入 5 万元时年利润最大，最大利润为 39 万元． (3) 令 ，则 ，． 因为 在 上单调递减，所以 在 上单调递增， 故当 ，即 时 取最大值 （万元）． 【点睛】用基本不等式要注意验证“一正、二定、三相等”，等号取不到时应改用函数单调性求最值． 20. (1) ，；(2) 在 上单调递增，证明见解析；(3) 【难度】0.55 【知识点】函数的奇偶性、单调性的定义证明、抽象不等式与恒成立 【分析】(1) 由奇函数在 处有意义得 ；(2) 用定义作差；(3) 用奇偶性与单调性脱去“”，再分离参数． 【详解】(1) 因为 是 上的奇函数，所以 ，即 ，得 ． 又 ，得 ，从而 ，即 ． 此时 ，符合题意． (2) ， 在 上单调递增． 证明：任取 且 ，则 ， ， 所以 ，即 在 上单调递增． (3) 由 为奇函数，原不等式等价于 ． 又 在 上递增，所以 ，即 对任意 恒成立． 当 时， 恒成立； 当 时，，而 （ 时取等号）， 所以 ，其最大值为 ，故 ，即 ． 综上， 的取值范围是 ． 【点睛】“ 的符号脱去”依赖两个条件：奇偶性提供 号翻转，单调性提供不等号方向不变．两者缺一不可． 21. (1) 不是， 是；(2) 证明见解析；(3) 最大值为 ，例如 【难度】0.38 【知识点】集合的新定义、集合中元素的个数、构造与论证 【分析】(2) 设 为 的最大元素，构造集合 ，证明 与 不相交；(3) 用 (2) 的结论估界再构造． 【详解】(1) 对于 ，因为 且 ，不满足定义，所以 不是 的无和集； 对于 ，任取 （可相同），都有 ，即 ， 所以 是 的无和集． (2) 设 是 中的最大元素，令 ，则 ，且 ． 若存在 使 ，则 ，与 是无和集矛盾， 所以 ． 又 ，，且 共有 个元素， 所以 ，即 ，故 ． (3) 当 时，由 (2) 得 ，又 为整数，所以 ． 取 ，它含有 个元素，且任意两个元素（可相同）之和为偶数，不属于 ， 所以 是 的无和集，元素个数为 ． 故所求最大值为 ． 【点睛】本题的核心技巧是“镜像构造”：用 把 翻到数轴另一侧，利用无和条件证明两集合不相交，从而得到计数上界．这类“先估界、再构造”的思路是新定义压轴题的通用套路． 第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高中数学期中调研 本卷满分150分，考试时间90分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（共54分） 1．（本题4分）已知集合 ，则 的所有非空真子集的个数为______． 2．（本题4分）已知集合 ，若 ，则实数 的取值集合为______． 3．（本题4分）定义符号函数 ．已知 均为非零实数，记 ，则 的所有可能取值组成的集合为______． 4．（本题4分）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是______． 5．（本题4分）函数 的定义域为______． 6．（本题4分）已知 ，则 ______（用 表示）． 7．（本题5分）已知函数 满足 ，则 的解析式为______． 8．（本题5分）已知函数 ，若对任意 ，都有 成立，则实数 的取值范围是______． 9．（本题5分）函数 （）的最小值为______． 10．（本题5分）已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是______． 11．（本题5分）一般地，把不等式解集中所含整数的个数称为该解集的“整点数”．已知关于 的不等式 的解集的整点数为 2，则实数 的取值范围是______． 12．（本题5分）已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的值为______． 二、单选题（共18分） 13．（本题4分）已知 ，．若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 14．（本题4分）若命题“，”是假命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 15．（本题5分）已知正实数 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 16．（本题5分）已知定义在 上的函数 满足： 是偶函数， 是奇函数，且当 时，，则 （　　） A． B． C． D． 三、解答题（共78分） 17．（本题14分）已知 ，且 ，求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ． 18．（本题14分）求下列各式的值： (1) ； (2) 已知 ，求 的值； (3) 已知 ，，用 表示 ． 19．（本题14分）某文创工作室拟在 2026 年推出一款校园手绘明信片．经市场调研测算，该产品的年销售量（即年产量） 万套与年推广费用 万元（）满足 ，若不开展推广活动，年销售量只有 1 万套．已知生产该产品的固定投入为 10 万元，每生产 1 万套该产品需再投入 18 万元，工作室将每 1 万套产品的销售价格定为每 1 万套产品年平均成本（此处每 1 万套产品年平均成本按 万元计算）的 1.5 倍． (1) 将 2026 年该产品的利润 万元表示为年推广费用 万元的函数； (2) 该工作室 2026 年的推广费用投入多少万元时，年利润最大？最大利润是多少万元？ (3) 若受资金限制，2026 年的推广费用不超过 3 万元，则推广费用投入多少万元时年利润最大？最大利润是多少万元？ 20．（本题18分）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ． (1) 求实数 的值； (2) 判断函数 在 上的单调性，并用定义加以证明； (3) 若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 21．（本题18分）设 为正整数，．若 的非空子集 满足：对任意 （ 可以相同），都有 ，则称 为 的一个“无和集”． (1) 分别判断 与 是否为 的无和集，并说明理由； (2) 证明：若 是 的无和集，则 ； (3) 设 ，求 的无和集 的元素个数的最大值，并写出一个元素个数达到最大值的无和集． 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度高中数学期中调研答题卡 姓名 班级 准考证号 (此栏由监考教师填写) 条码粘贴处（正面朝上贴在此虚线框内） 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整。 3.请按照题号顺序在各题的答题区内作答，超出答题区域的答案无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 选择题（请用2B铅笔填涂） 13.[A][B][C][D] 14.[A][B][C☒[D] 15.[A][B][C][D] 16.[A][B][C[D] 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 9. 10. 答题卡第1页（共5页） 11. 12. 答题卡第2页（共5页） 17题、 18题、 答题卡第3页（共5页） 19题、 答题卡第4页（共5页） 20题、 21题、 答题卡第5页（共5页）