学易金卷：高一数学上学期期中模拟卷·提升卷（上海专用，沪教版必修第一册第1章～第3章：集合与逻辑+等式与不等式+幂、指数与对数）

2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1章~第3章。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．（热考）若集合，，则________． 2．用反证法证明命题：“如果，可被3整除，那么，中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为________. 3．（热考）已知全集，集合，则______. 4．若，，用含的代数式表示，则______． 5．集合用列举法表示为________． 6．设集合，，若，则________. 7．已知，化简__________． 8．若为方程的两个根，则___________． 9．（热考）已知实数满足，则的最小值为__________． 10．已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是__________． 11．（新考法）若关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为__________． 12．（新考法）设集合S，T都至少含有两个元素，且S，T同时满足：条件1：对任意，若，则；条件2：对任意，若，则．给出下列说法： ①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数； ②若S只有2个元素，则必有3个元素； ③若S只有2个元素，则可能有4个元素； ④存在含有3个元素的集合S，满足有4个元素． 其中所有正确说法的序号是______________． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 14．下列表达式正确的是（    ）． A． B．，，， C． D． 15．（新情境）《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 16．下列叙述正确的个数为（　　） ①对于任何一个集合，总有； ②，集合，则“”是“”的充要条件； ③设，关于的方程的解集是； ④在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大； A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）（1）已知，，，求的值； （2）已知，，，求的值， 18．（14分）已知全集，集合，集合， (1)求，. (2)若集合，且，求实数的范围. 19．（14分）（1）设，用反证法证明：若，则或． （2）设，比较与的值的大小． 20．（18分）已知正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时即时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值： (2)若实数满足，求证：； (3)求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 21．（新考法）（18分）给定正整数，设集合．对于，称为的第i个坐标分量．若且同时满足以下条件，则称S是的好子集：①集合S中的元素个数不少于4；②对于S中任意的三个元素，，，存在使得，，的第m个坐标分量都是1． (1)若是的好子集，直接写出，； (2)求的好子集S的元素个数的最大值； (3)当取到（2）中的最大值时，求出好子集S的具体形式． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 2、 选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13. [A] [B] [C] [D] 14. [A] [B] [C] [D] 15. [A] [B] [C] [D] 16 .[A] [B] [C] [D] 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 目 州 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 」 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 填空题（本大题共12题，第16题每题4分，第7~12题每题5分， 共54分.) 謀 杯 7 8. 9 10 ! 12. 箭 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16 1 题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。) 13.[A][B][C][D] 14.[A][B][C][D] 15.[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 幕 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题 18分，共78分.) 17.(14分) 请在各题数諧第区顾：年页超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 请在各题聂警签惑内领)超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) 请在各题目的答题区域数铧管第蜘绝责边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 请在各题目的答题数钠集箭页超共器负矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 请在各题目的数躯策顶答共超函黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1章~第3章。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．（热考）若集合，，则________． 【答案】 【详解】因为，，所以， 故答案为: . 2．用反证法证明命题：“如果，可被3整除，那么，中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为________. 【答案】，都不能被3整除. 【详解】反证法证明命题：“如果，可被3整除，那么，中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为“，都不能被3整除.” 故答案为：，都不能被3整除 3．（热考）已知全集，集合，则______. 【答案】 【详解】因为全集，集合， 所以. 故答案为：. 4．若，，用含的代数式表示，则______． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以 所以， 故答案为：． 5．集合用列举法表示为________． 【答案】/ 【详解】可化为，由，有，解得. 又由，得可能取值为，，． ，得，满足条件；，，不满足条件； ，得，满足条件．综上，集合用列举法表示为． 6．设集合，，若，则________. 【答案】3 【详解】由，则，故，解得， 则，故，即有. 7．已知，化简__________． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 8．若为方程的两个根，则___________． 【答案】4 【详解】因为为方程的两个根， 则， 则. 故答案为：4. 9．（热考）已知实数满足，则的最小值为__________． 【答案】24 【详解】由题意，，， 则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为24. 故答案为：24. 10．已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】由不等式的解集为， 得，且方程的两实根分别为和， 则，得：， 所以不等式等价于， 结合，整理可得， 又，则，因此解得：. 因为关于的不等式有且仅有个整数解， 因此，即，解得：. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 11．（新考法）若关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为__________． 【答案】 【详解】因为， 所以，此时， 因为关于的不等式对任意恒成立， 所以， 所以则的最大值为， 故答案为： 12．（新考法）设集合S，T都至少含有两个元素，且S，T同时满足：条件1：对任意，若，则；条件2：对任意，若，则．给出下列说法： ①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数； ②若S只有2个元素，则必有3个元素； ③若S只有2个元素，则可能有4个元素； ④存在含有3个元素的集合S，满足有4个元素． 其中所有正确说法的序号是______________． 【答案】①② 【详解】对于①：由条件2知，，，且，所以若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数，故①正确； 对于④：若有3个元素，不妨设，其中，则，所以，而与为两个互不相等的正数， 与为两个互不相等的负数，故集合中至少有4个元素，与有3个元素矛盾，故④错误. 对于②③：若有2个元素，由①知集合中的2个元素必为相反数，故可设.由条件1得，由于集合中至少有2个元素，故至少还有另外一个元素. 当集合只有2个元素时，即，由条件1得，则或，故. 当集合有多于2个元素时，不妨设，则，，由于，所以，又，故集合至少有3个元素，与S中只有两个元素矛盾. 综上，，故②正确，③错误. 故答案为：①②. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 14．下列表达式正确的是（    ）． A． B．，，， C． D． 【答案】B 【详解】A.为有理数，，A选项错误； B. ,由对数运算法则可知正确； C. 为整数集，，C选项错误； D．可知D选项错误. 故答案为：B 15．（新情境）《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图形可知，，， 由勾股定理可得， 在中，由可得. 故选：D. 16．下列叙述正确的个数为（　　） ①对于任何一个集合，总有； ②，集合，则“”是“”的充要条件； ③设，关于的方程的解集是； ④在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①，空集是任何集合的子集，则，①正确； 对于②，，，则， 反之，若，则，， 因此“”是“”的充要条件，②正确； 对于③，当时，方程的解集是，③错误； 对于④，设矩形的周长为，其长宽分别为，则， 矩形面积， 当且仅当时取等号，此时该矩形为正方形，④正确； 所以正确的个数为3. 故选：C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）（1）已知，，，求的值； （2）已知，，，求的值， 【详解】（1）， ， ， 所以；……（7分） （2）， ， ， 所以.……（14分） 18．（14分）已知全集，集合，集合， (1)求，. (2)若集合，且，求实数的范围. 【详解】（1）， 由可得或，即或， 所以 ， 所以，，.……（8分） （2）因为，所以， 因为，所以.……（14分） 19．（14分）（1）设，用反证法证明：若，则或． （2）设，比较与的值的大小． 【详解】（1）证明：假设且，则，与已知条件矛盾， 所以假设不成立，即或．……（6分） （2）， 当时，， 当时，， 当时，．……（14分） 20．（18分）已知正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时即时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值： (2)若实数满足，求证：； (3)求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【详解】（1）正实数满足，，， 当且仅当且时取等号，解得， 的最小值为.……（6分） (2)证明：，， ，当且仅当时等号成立， ， . ……（12分） （3），，解得， ， 根据均值不等式可得， 当且仅当时等号成立，解得， ， ，， 最大值为，此时的值为.……（18分） 21．（新考法）（18分）给定正整数，设集合．对于，称为的第i个坐标分量．若且同时满足以下条件，则称S是的好子集：①集合S中的元素个数不少于4；②对于S中任意的三个元素，，，存在使得，，的第m个坐标分量都是1． (1)若是的好子集，直接写出，； (2)求的好子集S的元素个数的最大值； (3)当取到（2）中的最大值时，求出好子集S的具体形式． 【详解】（1）因为是好子集，故中第m个坐标分量都是1， 故的第一个坐标分量是1，同理的第一个坐标分量是1， 而、与相异， 故为或.……（4分） （2）中有个元素． 若元素与同时属于集合S， 则任选集合S中的另一个元素，那么，，中的第1，2，…，n个分量均不会同时为1， 从而S不是的好子集． 因此当S是的好子集时，其元素个数．           取，则S是的好子集，且．        综上，的好子集S的元素个数的最大值为．……（11分） （3）当时，S中的元素必有某一个坐标分量的值均为1， 即，． 证明：由（2）知，，中的元素与恰有一个属于集合S， 则对于的好子集S中任意两个元素，， 都有元素 ． 若不然，假设存在S中的两个元素x，y，使得，则 ． 但元素x，y，的第k个坐标分量，，不可能同时为1， 这与S是的好子集矛盾！因此． 设S中所有元素的乘积为，则由命题知． 由于元素，故 所以z必定存在某个分量，此时S中所有元素的第i个分量均为1．……（18分） / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1章~第3章。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．（热考）若集合，，则________． 2．用反证法证明命题：“如果，可被3整除，那么，中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为________. 3．（热考）已知全集，集合，则______. 4．若，，用含的代数式表示，则______． 5．集合用列举法表示为________． 6．设集合，，若，则________. 7．已知，化简__________． 8．若为方程的两个根，则___________． 9．（热考）已知实数满足，则的最小值为__________． 10．已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是__________． 11．（新考法）若关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为__________． 12．（新考法）设集合S，T都至少含有两个元素，且S，T同时满足：条件1：对任意，若，则；条件2：对任意，若，则．给出下列说法： ①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数； ②若S只有2个元素，则必有3个元素； ③若S只有2个元素，则可能有4个元素； ④存在含有3个元素的集合S，满足有4个元素． 其中所有正确说法的序号是______________． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 14．下列表达式正确的是（    ）． A． B．，，， C． D． 15．（新情境）《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 16．下列叙述正确的个数为（　　） ①对于任何一个集合，总有； ②，集合，则“”是“”的充要条件； ③设，关于的方程的解集是； ④在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大； A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）（1）已知，，，求的值； （2）已知，，，求的值， 18．（14分）已知全集，集合，集合， (1)求，. (2)若集合，且，求实数的范围. 19．（14分）（1）设，用反证法证明：若，则或． （2）设，比较与的值的大小． 20．（18分）已知正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时即时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值： (2)若实数满足，求证：； (3)求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 21．（新考法）（18分）给定正整数，设集合．对于，称为的第i个坐标分量．若且同时满足以下条件，则称S是的好子集：①集合S中的元素个数不少于4；②对于S中任意的三个元素，，，存在使得，，的第m个坐标分量都是1． (1)若是的好子集，直接写出，； (2)求的好子集S的元素个数的最大值； (3)当取到（2）中的最大值时，求出好子集S的具体形式． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1 . 2. ，都不能被3整除. 3. 4. 5. / 6. 3 7. 8 .4 9. 24 10 . 11. 12. ①② 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 B B D C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）， ， ， 所以；……（7分） （2）， ， ， 所以.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）， 由可得或，即或， 所以 ， 所以，，.……（8分） （2）因为，所以， 因为，所以.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）证明：假设且，则，与已知条件矛盾， 所以假设不成立，即或．……（6分） （2）， 当时，， 当时，， 当时，．……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）正实数满足，，， 当且仅当且时取等号，解得， 的最小值为.……（6分） (2)证明：，， ，当且仅当时等号成立， ， . ……（12分） （3），，解得， ， 根据均值不等式可得， 当且仅当时等号成立，解得， ， ，， 最大值为，此时的值为.……（18分） 21．（新考法）（18分） 【详解】（1）因为是好子集，故中第m个坐标分量都是1， 故的第一个坐标分量是1，同理的第一个坐标分量是1， 而、与相异， 故为或.……（4分） （2）中有个元素． 若元素与同时属于集合S， 则任选集合S中的另一个元素，那么，，中的第1，2，…，n个分量均不会同时为1， 从而S不是的好子集． 因此当S是的好子集时，其元素个数．           取，则S是的好子集，且．        综上，的好子集S的元素个数的最大值为．……（11分） （3）当时，S中的元素必有某一个坐标分量的值均为1， 即，． 证明：由（2）知，，中的元素与恰有一个属于集合S， 则对于的好子集S中任意两个元素，， 都有元素 ． 若不然，假设存在S中的两个元素x，y，使得，则 ． 但元素x，y，的第k个坐标分量，，不可能同时为1， 这与S是的好子集矛盾！因此． 设S中所有元素的乘积为，则由命题知． 由于元素，故 所以z必定存在某个分量，此时S中所有元素的第i个分量均为1．……（18分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $