精品解析：重庆市巴蜀中学校2026-2027学年 八年级上学期第一次学情自测数学试题

初二数学 （全卷共三个大题 满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 中华文化博大精深，其中汉字的书写极具美感，以下汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐个判断即可． 【详解】解：A中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B中图形是轴对称图形，故本选项符合题意； C中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 2. 下列长度的三根小木棒能围成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，能围成三角形． B、，C、，D、，均不能围成三角形． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：，正确． 选项B：，错误． 选项C：，错误． 选项D：，错误． 4. 如图所示，已知，则不一定能使的条件是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】C 【解析】 【分析】已知，，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； B、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； C、添加不能判定，故此选项符合题意； D、添加平分，则， 可利用定理判定，故此选项不合题意． 5. 如图，在正方形网格中标记了两个角和，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，证明，由全等三角形的性质可得，再证明为等腰直角三角形，易得，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如下图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 B. 三条边上的高相等的三角形是等边三角形 C. 斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 D. 三角形的三条中线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形中到三边距离相等的点为角平分线交点的性质，快速定位D选项为假命题． 【详解】解：对于选项A，符合三角形外角性质，是真命题； 对于选项B，设三角形三边长为，对应边上的高为，面积为， 则，若， 则，该三角形是等边三角形，是真命题； 对于选项C，符合直角三角形全等判定，是真命题； 对于选项D，三角形三条中线交于一点正确，但是到三边距离相等的是角平分线的交点，故是假命题． 7. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对分解因式，结合已知条件整体代入化简求值． 【详解】解：由， ∵， ∴ ． 8. 如图，已知长方形纸带，点、分别在边、上，将纸带先沿直线折叠，点、分别落在、的位置，再将纸带沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴， 纸带先沿直线折叠，点、分别落在、的位置， ∴， 纸带沿折叠一次，使点落在线段上点的位置， ∴， ， ∴， ∴． 9. 如图，在中，是的角平分线，过点作交于点，交于点．若，，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形外角的性质得，再根据角平分线定义得，然后根据可得，进而说明，接下来根据相似三角形的性质求出，最后根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵平分， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ． 在和中，， 即， 解得． 10. 已知整式：，为自然数，，，，，均为两个连续正奇数的平方差，其中，且．下列说法：①为的整数倍；②当时，满足条件的整式有6个；③当时，令，，，其中，且，为正整数，若为一个常数，且关于的多项式是一个完全平方式，则的所有可能取值的和为； 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先推导两个连续正奇数的平方差的性质，再逐一分析三个说法的正确性． 【详解】解：设两个连续正奇数为和（为正整数）， 则它们的平方差为，故所有均为的正整数倍． ①由上述推导，是两个连续正奇数的平方差，必为的整数倍，故①正确； ②当时，，且，均为的正整数倍． 设，（为正整数，），则，即． 满足条件的有：，共组，对应个整式，故②正确； ③当时，，已知，故，且，均为的倍数． 设（为正整数，因），则，由得。 因是的倍数，除以余，故除以余，即为奇数，可取，对应． 时，，舍去； 时，，舍去； 时，，结合且是的倍数，得． 此时即，又，解得，． 多项式为完全平方式，则． 时，，结合且是的倍数，得或． 时，，，解得，，则． 时，，，解得，，则． 所有的和为，故③错误． 综上，正确的有个． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用单项式乘多项式法则展开计算即可． 【详解】解：将单项式分别乘以多项式的每一项， 再合并结果，得． 12. 如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），以桌面为x轴，镜面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻烛焰点的坐标是，则此时对应的虚像的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出坐标即可． 【详解】解：由题意得：点与点关于y轴对称，点的坐标是， ∴的坐标为． 13. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，作交于点，若，，则的长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】证明求出，再证求出，即可求出结论． 【详解】解：∵在中，，平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 14. 若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为，则等腰三角形的顶角为_______度． 【答案】 【解析】 【分析】分顶角为锐角和钝角两种情况讨论，结合三角形内角和定理计算，舍去矛盾情况即可得到结果． 【详解】解：设等腰三角形中，，是腰上的高，即，由题可知与底边的夹角，分两种情况讨论： 1． 若顶角为锐角，此时垂足在边上， ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 是钝角，与假设矛盾，故该情况不成立． 2． 若顶角为钝角，此时垂足在的延长线上， ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 符合假设，成立． 综上，等腰三角形的顶角为度． 15. 若等式恒成立，则______． 【答案】 【解析】 【分析】等式恒成立，将等式右侧展开后对比对应项系数，得到和的值，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵等式恒成立，对应项系数相等， ∴， ∵， ∴． 16. 如图，在中，、边上的垂直平分线、交于点，连接，点为的中点，连接．若的周长为30，，，则四边形的面积为______． 【答案】80 【解析】 【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，，结合的周长为30，可解得；证明，同理可得，由全等三角形的性质可得；证明为等腰三角形，进而可得，然后根据四边形的面积，进一步求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵、分别为、边上的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为30，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，同理可得， ∴， ∵，且点为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形的面积 ． 17. 如图，是等边三角形，、分别为、上两点且，连接，交于点，连接，若，，则_________． 【答案】8 【解析】 【分析】先证明得到，则可得，延长至H，使得，连接，，则是等边三角形，进而可得，，证明得到，，证明，，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，，即， 又， ∴， ∴， ∴， 延长至H，使得，连接，，如图， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则． 18. 如图，在等腰中，，，点为底边的中点，点在三角形内部且满足，连接、，在上方有一点，满足，，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先利用等腰三角形内角性质求出，再求出；作点，点与关于对称，连接和，证明；分和两种情况，时算出，结合，用内角和得到；时通过证明，并利用全等三角形的性质即可得到． 【详解】解：，， ． ， ． 如图，延长至，使得，连接，， 点为的中点， ． 在和中， ， ， ，． ，， ， 在和中， ， ∴， ∴， 是以为腰的等腰三角形， 分、两种情况讨论． 情况一：如图，若，则， ， ． ，，， ∴，， ，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ，是中点，由等腰三角形三线合一，平分， ∴， 在中，由三角形内角和得：， ∴； 情况二：若，则， 如图，连接， ∵， ∴， ，， ， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即点P，N，C三点共线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，为或． 三、解答题：（本大题7个小题，第19题20分，第20题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先将所有单项式的系数相乘确定符号和系数值，再把同底数幂分别按照同底数幂乘法法则合并指数，最后将剩余字母连同其指数保留得到结果． （2）利用多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可． （3）调整因式内项的顺序构造出平方差公式的标准形式，套用平方差公式展开后化简得到结果． （4）把看作整体作为平方差公式的相同项，和作为互为相反数的项，先用平方差公式计算，再对得到的完全平方式展开化简． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 20. 在学习线段垂直平分线和尺规作图后，为带领同学们深挖几何背后的道理，老师设计了一项趣味探究任务：在中，点为边上一点，连接． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若为的角平分线，试说明． 请根据下列解题思路完成填空： 为线段的垂直平分线， ， 为的角平分线， ①， 在和中， ， ③， EF为线段BD的垂直平分线， ④， ． 【答案】（1） （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】由角平分线、线段垂直平分线的性质，得到线段相等关系，再通过角边角全等判定完成三角形全等证明，最终通过等量代换得到要证明的结论． 【小问1详解】 解：作图略． 【小问2详解】 解：由角平分线的性质得到①；再通过角边角全等判定完成三角形全等证明，故②，③；由线段垂直平分线的性质得到④；最终通过等量代换得到要证明的结论． 21. 先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】化简为，值为 【解析】 【分析】先把分子按多项式乘法展开、合并同类项，再除以 完成化简；条件式 用配方法化为两个完全平方式的和，由非负性求出 、 的值，求原式的值． 【详解】解：原式 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，， ∴ ，． 当 ， 时， 原式 ． 22. 列方程（组）或不等式解决下列问题： 2026外滩大会于9月9日至12日在上海黄浦世博园区举行，大会以“共创新经济”为主题，吸引全球超300家科技企业参展，国际参与度创历届新高．某科技公司展示了A、B两款机器人，且两台A款机器人的售价比一台B款机器人的售价多5万元，4台A款机器人和5台B款机器人共59万元． （1）A、B两款机器人每台售价分别是多少万元？ （2）因玩具消费市场热度高涨，多款产品持续热销，某玩具公司决定向该科技公司采购A、B两款机器人共30台，对现有生产线进行自动化升级改造．在该玩具公司生产线，一台A款机器人投入使用后，产能可达到300件/小时；一台B款机器人投入使用后，产能可达到350件/小时．若该生产线实行24小时连续生产模式，A、B两款机器人同时作业，整条生产线日产量不低于24万件，则最少要采购多少台B款机器人？ 【答案】（1）A款机器人每台的售价为6万元，B款机器人每台的售价为7万元 （2）最少要采购20台B款机器人． 【解析】 【分析】（1）分别设A款机器人每台的售价为万元，B款机器人每台的售价为万元，构造二元一次方程组求解即可； （2）设采购台B款机器人，构造不等式表示整条生产线日产量的不等关系求解即可 【小问1详解】 解：设A款机器人每台的售价为万元，B款机器人每台的售价为万元， 则， 解得 答：A款机器人每台的售价为6万元，B款机器人每台的售价为7万元． 【小问2详解】 解：设采购台B款机器人， 由题得： 解得： 的最小值为20． 答：最少要采购20台B款机器人． 23. 如图，在中，，，的三个顶点分别落在、、上，且，，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：，， 是等边三角形 在中， 在中， 又 在和中 （2）13.8 【解析】 【分析】（1）由，，判定为等边三角形．利用各点所在直线上的角关系，结合在中得，进而，则由角度互余关系证明，再通过线段关系证明． （2）设，在中由得．由（1）结论，则．在中，故．又，列方程求解． ## 知识点 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 设， 在中，， ， 在中，，， ， ， ， ． 24. 【综合实践】 【问题背景】学校即将举行“国庆数学素养作业”展示活动，探究小组对学校的平面布局测绘后发现：知行楼、至善楼、正心楼恰好构成一个等边，已知米，主干道是的中线． 【初步体验】 （1）如图1，励艾亭为道路的中点，小巴同学打算从正心楼出发，先到主干道上某处放置标志筒，再去励艾亭休息，当步行路线最短时，的度数为 ． 【综合应用】如图2，图书馆在道路上，连接，若米，小路平分，小蜀同学从图书馆出发，先到小路上的某处摆放展板，再回到小路上的某处张贴海报． （2）请在图中作出步行路线最短时点的位置； （3）小蜀步行路线的最短路程为 ． 【迁移拓展】 （4）如图3，电子屏是道路上靠近的一点，连接，米，的面积为，若要用警戒线在内部围出一个区域进行“国庆数学素养作业”展示，要求点在上，点在上，点在上．请求出展示区域周长的最小值（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2） （3）80米 （4）的周长最小值为 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质和其中线定理得出，，过点C作关于的对称点，连接，交于点F，连接，此时得到，当点B，F，E三点共线时，最短，利用三角形内角和定理及等腰三角形的性质即可得解； （2）过点G作的垂线，交于点，与边交于点，由平分，可得点G和点关于对称，过点作的垂线，垂足为H，该垂线与的交点即为所求的点K，此时为最短路径； （3）由（2）所作图可知，延长交于点，证明，，得出点H与点关于对称，，利用解含30度直角三角形即可求得最终结果； （4）作点N关于、的对称点、，利用翻折的性质证得为等边三角形，则，当点、、P、M四点共线时，，当时，有最小值，利用三角形面积公式即可得解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形，是的中线， ∴，， 如图，过点C作关于的对称点，连接，交于点F，连接， ∴，即点B与点重合， ∴， ∴， 当点B，F，E三点共线时，最短， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长交于点， 由轴对称的性质可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点H与点关于对称， ∴， ∵米， ∴米，米， ∵是等边的中线， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴米． 【小问4详解】 解：如图，作点N关于、的对称点、， 由翻折可知，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 当点、、P、M四点共线时，， ∵的面积为，米， 当时，有最小值， ∴， ∴， 即的周长最小值为． 25. 如图，在中，，点为所在平面内一点，连接、、． （1）如图1，点在线段上，若，，求的度数； （2）如图2，点为外一点，线段与交于点，，，点在线段上，连接，若，用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； （3）如图3，，平分，以线段为边，在线段左侧构造等边，连接，点在线段上，，连接，当取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1）． （2），证明如下： 在线段上取点，连接，使平分． 设 ，则 ；设 ． ∵ ， ∴ ． ∵ 点 在 上，点 在 上， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ．① ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ．② 在 中， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ．③ 在线段 上取点 ，连接 ，使 平分 ， 则 ； ∵ 点 在 上， ∴ ． ∵ ，（由①）， ∴ ．④ 在 与 中， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ．⑤ ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． （3）． 【解析】 【分析】（1）由 得 ，由 得 ，结合 列方程求 ； （2）设 、，由 得 ，由 得 ，即 ；由 得 ；在 中算出 ，得 ；再在 上取 使 平分 ，用“ASA”证 得 ，最后证 ，即得 ； （3）由 得 为等边三角形；由 、、 用“SAS”证 ，得 ，即 平分 ；由 知点 关于直线 的对称点是点 ，把 化为 ，取最小值时 、、 共线；再用角平分线的性质与面积比定出 ，最后用“同高的三角形面积比等于底之比”求面积比． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 点 在线段 上，， ∴ ， ∴ ， 解得 ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵ ，， ∴ 是等边三角形，，． ∵ 平分 ， ∴ ． ∵ 是等边三角形，且点 在 的左侧， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 在 与 中， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 平分 ，即点 在 的平分线上． ∵ ，且 平分 ， ∴ 点 关于直线 的对称点是点 ， ∴ ， ∴ ，当 、、 三点共线时取最小值， ∴ 当 取最小值时， 是 与 的交点． ∵ ，， ∴ ． ∵ 点 在 的平分线 上， ∴ 点 到 、 的距离相等， ∴ ； ∵ 这两个三角形在 边上的高相同， ∴ ， ∴ ． ∵ 点 在线段 上， ∴ ，， ∴ ． 【点睛】本题考查等腰三角形与等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质以及轴对称，解题关键是设 、 把各角统一表示，在 上取 使 平分 ，用“ASA”把 转移到 ；第三问先用“SAS”把 转移到 ，发现 正是 的平分线，从而点 关于 的对称点就是点 ，把 化为 ，再用“两点之间线段最短”定出点 的位置，最后用角平分线的性质与共底的面积比求得结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 （全卷共三个大题 满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 中华文化博大精深，其中汉字的书写极具美感，以下汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三根小木棒能围成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，已知，则不一定能使的条件是（ ） A. B. C. D. 平分 5. 如图，在正方形网格中标记了两个角和，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 B. 三条边上的高相等的三角形是等边三角形 C. 斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 D. 三角形的三条中线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 7. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知长方形纸带，点、分别在边、上，将纸带先沿直线折叠，点、分别落在、的位置，再将纸带沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，是的角平分线，过点作交于点，交于点．若，，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 10. 已知整式：，为自然数，，，，，均为两个连续正奇数的平方差，其中，且．下列说法：①为的整数倍；②当时，满足条件的整式有6个；③当时，令，，，其中，且，为正整数，若为一个常数，且关于的多项式是一个完全平方式，则的所有可能取值的和为； 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_______． 12. 如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），以桌面为x轴，镜面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻烛焰点的坐标是，则此时对应的虚像的坐标为_________． 13. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，作交于点，若，，则的长为________． 14. 若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为，则等腰三角形的顶角为_______度． 15. 若等式恒成立，则______． 16. 如图，在中，、边上的垂直平分线、交于点，连接，点为的中点，连接．若的周长为30，，，则四边形的面积为______． 17. 如图，是等边三角形，、分别为、上两点且，连接，交于点，连接，若，，则_________． 18. 如图，在等腰中，，，点为底边的中点，点在三角形内部且满足，连接、，在上方有一点，满足，，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数为________． 三、解答题：（本大题7个小题，第19题20分，第20题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 20. 在学习线段垂直平分线和尺规作图后，为带领同学们深挖几何背后的道理，老师设计了一项趣味探究任务：在中，点为边上一点，连接． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若为的角平分线，试说明． 请根据下列解题思路完成填空： 为线段的垂直平分线， ， 为的角平分线， ①， 在和中， ， ③， EF为线段BD的垂直平分线， ④， ． 21. 先化简，再求值：，其中x，y满足． 22. 列方程（组）或不等式解决下列问题： 2026外滩大会于9月9日至12日在上海黄浦世博园区举行，大会以“共创新经济”为主题，吸引全球超300家科技企业参展，国际参与度创历届新高．某科技公司展示了A、B两款机器人，且两台A款机器人的售价比一台B款机器人的售价多5万元，4台A款机器人和5台B款机器人共59万元． （1）A、B两款机器人每台售价分别是多少万元？ （2）因玩具消费市场热度高涨，多款产品持续热销，某玩具公司决定向该科技公司采购A、B两款机器人共30台，对现有生产线进行自动化升级改造．在该玩具公司生产线，一台A款机器人投入使用后，产能可达到300件/小时；一台B款机器人投入使用后，产能可达到350件/小时．若该生产线实行24小时连续生产模式，A、B两款机器人同时作业，整条生产线日产量不低于24万件，则最少要采购多少台B款机器人？ 23. 如图，在中，，，的三个顶点分别落在、、上，且，，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 【综合实践】 【问题背景】学校即将举行“国庆数学素养作业”展示活动，探究小组对学校的平面布局测绘后发现：知行楼、至善楼、正心楼恰好构成一个等边，已知米，主干道是的中线． 【初步体验】 （1）如图1，励艾亭为道路的中点，小巴同学打算从正心楼出发，先到主干道上某处放置标志筒，再去励艾亭休息，当步行路线最短时，的度数为 ． 【综合应用】如图2，图书馆在道路上，连接，若米，小路平分，小蜀同学从图书馆出发，先到小路上的某处摆放展板，再回到小路上的某处张贴海报． （2）请在图中作出步行路线最短时点的位置； （3）小蜀步行路线的最短路程为 ． 【迁移拓展】 （4）如图3，电子屏是道路上靠近的一点，连接，米，的面积为，若要用警戒线在内部围出一个区域进行“国庆数学素养作业”展示，要求点在上，点在上，点在上．请求出展示区域周长的最小值（用含的代数式表示）． 25. 如图，在中，，点为所在平面内一点，连接、、． （1）如图1，点在线段上，若，，求的度数； （2）如图2，点为外一点，线段与交于点，，，点在线段上，连接，若，用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； （3）如图3，，平分，以线段为边，在线段左侧构造等边，连接，点在线段上，，连接，当取得最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $