精品解析：陕西省西安市长安区第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

长安第一中学26-27学年上学期第一次月考 高二数学试题 一、单选题（8小题，每小题5分，合计40分） 1. 圆：与圆：公切线的条数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知圆被直线平分，则m的值是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 直线：被圆：截得的弦长为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数，，，满足，，，则的最大值为（ ） A. B. 14 C. D. 12 5. 若过圆：内不同于圆心的点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点P构成的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 地铁已成为市民必不可少的交通工具，某地铁线路A，B，C三站点自左向右位于同一条直线上，某市民要步行去地铁站乘地铁前往C站，已知该市民在圆锥曲线E左侧时去A站到达C站更快，反之则去B站更快，若地铁平均速度是该市民的3倍，且A，B两站等候时间期望相同，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 8. 在三棱锥中，，点B，C到棱所在直线的距离均为1，点H为棱上一点，满足平面，且，则棱的长度不可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（每小题6分，共计3小题，合计18分） 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的渐近线上一点（在轴上方），直线与圆相切，且与的左、右两支分别交于两点，若，则（   ） A. 以为直径的圆与圆相切 B. 的离心率 C. 线段的中点在直线上 D. 的面积为 10. 已知的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，当点的横坐标为时，直线的斜率等于，则（ ） A. B. 是定值 C. 任意一个顶点的横坐标的绝对值都小于 D. 可能是直角三角形 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，若曲线是由曲线和共同构成的，则下列结论不正确的是（ ） A. 曲线围成的图形面积为 B. 若点在曲线上，则的取值范围是 C. 若圆能覆盖曲线，则的最小值为 D. 若曲线E与直线有公共点，则m的取值范围为 三、填空题（3小题，每小题5分，合计15分） 12. 若对任意，圆与椭圆至多有3个公共点，则的取值范围为________． 13. 已知点在抛物线上，点，点在圆上，当取得最小值时，________． 14. 如果两个椭圆的长轴长之比等于短轴长之比，那么称这两个椭圆为相似椭圆，并将长轴长之比称为相似比.已知两个相似椭圆：和：（）的相似比为，为上一动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，，直线的斜率和直线的斜率均存在且均不为，则直线的斜率与直线的斜率之积为___________. 四、解答题（15题13分，16-17题15分，18-19题17分，合计77分） 15. 已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上 （1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）设点，求的最小值； （3）若一个正方形的两个顶点，在抛物线上，另两个顶点，在直线上，求正方形的面积． 16. 已知直线与抛物线相交于A，B两点，且． （1）求证：直线AB必过一定点； （2）求面积的最小值． 17. 已知抛物线的焦点为．过的直线交于两点，其中在轴上方，在轴下方．过分别作的切线，两切线交于点． （1）证明：点在一条定直线上，且． （2）记的外接圆为．设为第一象限内一点．若恰存在一条符合条件的直线，使相应的圆经过点，求点的轨迹． 18. 已知点，，，动点满足直线和的斜率乘积为． （1）求动点的轨迹方程； （2）直线与动点的轨迹交于，两点，其中直线的斜率大于0，且直线、的斜率之和为0，． （ⅰ）求点的坐标； （ⅱ）求的面积． 19. 已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点. （1）求圆的标准方程； （2）是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； （3）若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长安第一中学26-27学年上学期第一次月考 高二数学试题 一、单选题（8小题，每小题5分，合计40分） 1. 圆：与圆：公切线的条数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】由圆：，所以圆心，半径， 又由圆：得，所以圆心，半径， 所以，， 所以， 所以圆与圆外切，所以圆与圆有3条公切线， 2. 已知圆被直线平分，则m的值是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆被直线平分，即直线一定过圆心即可求出. 【详解】圆的圆心坐标为， 又圆被直线平分， 该直线一定过圆心，即，解得. 3. 直线：被圆：截得的弦长为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由圆：，则圆心，半径为， 则圆心到直线：的距离为， 由题意得，，解得. 4. 已知实数，，，满足，，，则的最大值为（ ） A. B. 14 C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】设，则在定圆上且，将所求绝对值式子转化为两点到直线距离之和的倍，又中点C在半径为的圆上，求出点到直线距离最大值进而求出结果. 【详解】设，由可知点在以原点为圆心，半径为的圆上， 又，所以，即， 设点到直线的距离分别为，则， 所以， 取的中点，则点到直线的距离， 又，即点在以原点为圆心，半径为的圆上，设点到直线的距离为， 则点到直线的距离的最大值为，即， 因为，所以，所以， 所以， 即的最大值为. 5. 若过圆：内不同于圆心的点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点P构成的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的性质分析过点的弦长情况，确定点的位置，最后计算符合条件的点构成的区域的面积. 【详解】圆方程可化为，圆心坐标，半径. 易知过点的弦中，直径是最长的弦，长度为. 不妨设过点所作的弦为，则，其中为圆心到弦的距离， 要使弦最短，则最大. 易知，当与弦垂直时取等号，所以当与弦垂直时，最大，弦最短. 根据圆的对称性，可知这7条长度为正整数的弦的长度分别是3,4,5,6,5,4,3， 要使长度为3的弦有两条，则最短弦的长不大于3；要使长度为2的弦不存在，则最短弦的长大于2， 因此过点的最短弦的长为内， 不妨设最短弦的长为，则时，， 则，所以. 所以点落在以为圆心，和分别为半径的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为. 6. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线定义表示出，结合等腰三角形性质求出，然后利用圆的几何性质及余弦定理建立等式，又利用三点共线，建立等式，联立求解得出离心率. 【详解】由题意知，双曲线半焦距为，， 设， 则，所以， 又，所以， 所以， 因为，所以是等腰三角形， 过作于点， 所以， 在中，， 因为三点共线，所以即为， 即， 因为点在以为直径的圆上， 所以，即， 在中，， 在中，由余弦定理得， ， 所以， 化简整理得，①， 在中，由余弦定理得， ， 因为三点共线， 所以，即， 所以， 化简整理得，②， 联立①②得，， 因为，所以， 将代入①式得，， 所以双曲线离心率为. 7. 地铁已成为市民必不可少的交通工具，某地铁线路A，B，C三站点自左向右位于同一条直线上，某市民要步行去地铁站乘地铁前往C站，已知该市民在圆锥曲线E左侧时去A站到达C站更快，反之则去B站更快，若地铁平均速度是该市民的3倍，且A，B两站等候时间期望相同，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得当该市民位于点时，去站和去站到达站的时间相等，列式可得，结合双曲线定义判断求解. 【详解】设为圆锥曲线上任意一点，由题意可知当该市民位于点时，去站和去站到达站的时间相等， 设该市民的步行速度为，则地铁的平均速度为， 设两站间的距离为，即， 所以该市民从点去站到达站的时间为：， 该市民从点去站到达站的时间为：，其中为等候时间， 由，， 所以，即， 化简整理得，即， 所以点的轨迹是以点为焦点的双曲线，设， 所以，即双曲线的离心率. 8. 在三棱锥中，，点B，C到棱所在直线的距离均为1，点H为棱上一点，满足平面，且，则棱的长度不可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意确定点B，C在以所在直线为轴、底面半径为1的圆柱的侧面上；再推出，求出，确定平面与圆柱的交线是以为长轴、圆柱的底面直径2为短轴的椭圆，由此可知线段为该椭圆的焦点弦，即可求得答案. 【详解】如图，在三棱锥中，，点B，C到棱所在直线的距离均为1， 故点B，C在以所在直线为轴、底面半径为1的圆柱的侧面上； 又点H为棱上一点，满足平面，且，平面， 则，则，， 故且在平面与圆柱的交线上， 设直线与圆柱侧面的交点为，如图，， 同理，则， 结合圆锥曲线性质可知平面与圆柱的交线是以为长轴、圆柱的底面直径2为短轴的椭圆， ，则H恰为该椭圆的焦点，因此线段为该椭圆的焦点弦，（不含长轴，否则共面）， 当时，，故， 结合选项可知棱的长度不可能为4. 二、多选题（每小题6分，共计3小题，合计18分） 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的渐近线上一点（在轴上方），直线与圆相切，且与的左、右两支分别交于两点，若，则（   ） A. 以为直径的圆与圆相切 B. 的离心率 C. 线段的中点在直线上 D. 的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】设的中点为，则，即可判断A；设直线与圆的切点为，直线为双曲线的另一条渐近线，根据双曲线的对称性可得，结合离心率的概念计算即可判断B；根据点差法计算可得，求出直线的斜率即可判断C；设，则，根据双曲线的定义可得，结合计算即可判断D. 【详解】对于选项A，设的中点为，则， 以为直径的圆与圆的圆心距为两圆的半径之和， 故以为直径的圆与圆相切，故A正确； 对于选项B，因为点是双曲线的渐近线上的一点，， 所以，设直线与圆的切点为， 则，故直线的斜率为. 即直线为双曲线的另一条渐近线，由双曲线的对称性知， ，即. 所以双曲线的离心率为，故B错误； 对于选项C，设的中点为，设， 则，直线的斜率为， 且，两式相减得. 整理得，即， 又因为直线的斜率为，所以直线的斜率为. 所以的中点在直线上，故C错误； 对于选项D，设，因为， 所以，由双曲线的定义得. 因为，代入得，化简整理得， 即，即. 解得，又， 所以的面积为，故D正确. 10. 已知的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，当点的横坐标为时，直线的斜率等于，则（ ） A. B. 是定值 C. 任意一个顶点的横坐标的绝对值都小于 D. 可能是直角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，由重心坐标公式得，，结合直线斜率求出，可判断A，利用抛物线的定义求得，判断B，求出三点横坐标后判断C，再求出三点纵坐标，计算边长的平方，判断D. 【详解】A，设，焦点为，， 因为焦点是的重心，所以，， 所以，，又，，， 所以，所以，A正确； B，由抛物线的定义分别等于三点到准线的距离，而准线方程为， 所以， 所以为定值，B正确； C，由得，即， 又，则， 所以，即， 将其看作关于的一元二次方程， 因为存在，则，解得， 同理，， 当时，，， 此时重合，不能构成三角形，故， 同理，， 综上，任意一个顶点的横坐标的绝对值都小于.故C正确. D，不妨设，即， ，， 则， 因为，， 所以， 由C可知，即， 则，无实数解， 所以不可能是直角三角形.故D错误. 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，若曲线是由曲线和共同构成的，则下列结论不正确的是（ ） A. 曲线围成的图形面积为 B. 若点在曲线上，则的取值范围是 C. 若圆能覆盖曲线，则的最小值为 D. 若曲线E与直线有公共点，则m的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对条件作变换得到是由4个半圆组成，作曲线的图形.对于A，由图可知面积为正方形和个半圆的面积和；对于B，由图可得的取值范围；对于C，由图可得覆盖住曲线的圆的半径；对于D，利用直线与上、下半圆的相切时计算出的值即可得的取值范围. 【详解】∵，，∴，即或. 当时，有，即， 是圆心为，半径为1的半圆． 同理可得曲线的其他部分分别是圆心为，半径为1的半圆， 圆心为，半径为1的半圆，圆心为，半径为1的半圆. 作出曲线如图所示，图中虚线部分是边长为2的正方形． 对于选项A，曲线围成图形的面积为，故A错误； 对于选项B，由图及上述分析可知的取值范围是，故B错误； 对于选项C，覆盖住曲线的圆的半径的最小值显然是2，故C正确； 对于选项D，根据曲线的对称性可知， 当直线与半圆相切时，， 解得（舍去）或． 当直线与半圆相切时，， 解得或（舍去）． 结合曲线的对称性，故要使曲线与直线有公共点， 则，故D错误. 三、填空题（3小题，每小题5分，合计15分） 12. 若对任意，圆与椭圆至多有3个公共点，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】联立方程组，可知方程组①至多有3组实数解，换元令，可得，，根据二次函数性质结合椭圆有界性分析求解即可. 【详解】由题意可得方程组①，消去可得， 可知对任意，方程组①至多有3组实数解， 因为，令，可得， 令，可知的图象开口向上，对称轴为， 由椭圆方程可知：，且，， 当，即，时，则在内单调递增， 可知在内至多有1个零点，所以方程组①至多有2组实数解，符合题意； 当，即，时，则， 因为在内单调递增，则， 根据的任意性可知：对任意，均存在，使得， 此时在内有2个零点，方程组①有4组解，不合题意； 综上所述：的取值范围为. 13. 已知点在抛物线上，点，点在圆上，当取得最小值时，________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作垂直准线，交准线于点，利用圆的几何性质以及抛物线的定义可得，当且仅当、、三点共线且点在点、点之间时取等号，且、、三点共线时两个等号成立，求出直线的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，进而可求得的值. 【详解】由题可得显然在抛物线内部，圆的圆心为，半径为， 圆心恰为抛物线的焦点， 过点作垂直准线，交准线于点， 所以， 当且仅当、、三点共线且点在点、点之间时取等号， 又，当且仅当、、三点共线时取等号， 此时直线的方程为，联立，可得，即点， 所以，，所以. 14. 如果两个椭圆的长轴长之比等于短轴长之比，那么称这两个椭圆为相似椭圆，并将长轴长之比称为相似比.已知两个相似椭圆：和：（）的相似比为，为上一动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，，直线的斜率和直线的斜率均存在且均不为，则直线的斜率与直线的斜率之积为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】通过相似椭圆的定义与椭圆方程求出：，再设出直线的方程，与椭圆联立，根据相切得到，同理得到，可知，是方程的两根，根据韦达定理即可求出. 【详解】由题意可知，，解得，，则， 设，则，化简得， 设直线的方程为，即， 代入整理得， 则， 整理得， 设直线的斜率为，同理得， 所以，是方程的两根， . 四、解答题（15题13分，16-17题15分，18-19题17分，合计77分） 15. 已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上 （1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）设点，求的最小值； （3）若一个正方形的两个顶点，在抛物线上，另两个顶点，在直线上，求正方形的面积． 【答案】（1）焦点，准线 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由结合抛物线的定义求解即可. （2）设，则，得，这是关于的二次函数，对称轴，分与讨论最小值， （3）由在上，斜率为，故，设，与抛物线联立求弦长；由与距离，令求，再计算面积. 【小问1详解】 已知抛物线，则，所以， 焦点坐标为准线方程为 【小问2详解】 设在抛物线上，则，且，点， 则， 这是关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 当时，对称轴，函数在上单调递增， 最小值在处取得，即； 当时，对称轴，最小值在处取得， 此时所以 综上，； 【小问3详解】 已知正方形中，在抛物线上，在直线上， 由得：，斜率为，所以的斜率为， 正方形中，因此的斜率也为， 设直线的方程为 与抛物线联立：， 设交点，，则, 所以， 又与平行，在直线上，两平行线之间的距离为， 正方形中与是对边，所以边长等于这个距离，即， 于是，两边乘以，得 平方得 所以， 当时，直线为，与抛物线交于，， 此时边长面积 当时，直线为，与抛物线交于，， 此时边长面积 所以正方形的面积为或. 16. 已知直线与抛物线相交于A，B两点，且． （1）求证：直线AB必过一定点； （2）求面积的最小值． 【答案】（1）证明：设直线AB方程：，，， 由消去x并整理得， ∴，，由得 解得或（舍去）．∴直线AB过定点． （2）4 【解析】 【分析】（1）设直线AB方程：，与抛物线的方程联立，根据韦达定理，由垂直的向量表示，可得关于的方程，求解可得的值，从而得到直线所过定点； （2）由（1）可得面积， 根据韦达定理，并结合二次函数的最值求法可得面积的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， ∴当时，的面积取得最小值为4． 17. 已知抛物线的焦点为．过的直线交于两点，其中在轴上方，在轴下方．过分别作的切线，两切线交于点． （1）证明：点在一条定直线上，且． （2）记的外接圆为．设为第一象限内一点．若恰存在一条符合条件的直线，使相应的圆经过点，求点的轨迹． 【答案】（1）证明：因为，设过点的直线的解析式为，，， 联立 得 由韦达定理得，， 则(=，. 设抛物线过点的切线为，过点的切线为， 联立 得，且， 因为点在抛物线上，所以， 代入得， 解得 则， 同理， 联立 得， 即点坐标为， 所以，点在定直线上. 当时， 因为过点的直线的解析式为，所以，即直线的斜率， 又， 所以， 即； 当时， 直线，， 则， 即， 综上所述. （2）点P的轨迹是以为圆心，为半径，在x轴上方的半圆. 【解析】 【分析】(1)先假设过点的直线的解析式，将其与抛物线联立，由韦达定理得到,两点坐标的关系，再分别设这两点的切线方程，与抛物线联立通过得到斜率，再将两切线方程联立得到点坐标，即可得出点在定直线上，通过即可得出. (2)证明，则外接圆圆心为中点，利用待定系数法求出圆的方程，再将点代入圆的方程，通过得到点的轨迹方程. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以外接圆的圆心为斜边的中点， 则的坐标为. 直径 ， 则半径， 圆的方程为： . 设在第一象限， 由题可知， 化简得： 即： 恰有一个实数意味着该二次方程有唯一解， 由于，故判别式，即， 化简得，即或， 因为点在第一象限，所以不符题意，舍去， 所以，即，得， 又因为点在第一象限，所以，， 即点的轨迹方程为， 所以点P的轨迹是以为圆心，为半径，在x轴上方的半圆. 18. 已知点，，，动点满足直线和的斜率乘积为． （1）求动点的轨迹方程； （2）直线与动点的轨迹交于，两点，其中直线的斜率大于0，且直线、的斜率之和为0，． （ⅰ）求点的坐标； （ⅱ）求的面积． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设点，可得，化简可得动点的轨迹方程； （2）（ⅰ）设直线的倾斜角为，，直线、与轴交于点，由题意得，且，从而可得直线：，与椭圆方程联立可解得点的坐标； （ⅱ）同上求出点的坐标，即可得，再求面积. 【小问1详解】 设，由题意有， 化简得：，即，， 故所求动点的轨迹方程为； 【小问2详解】 设直线的倾斜角为，， 直线、与轴交于点， 由题意得，则， 所以，又，所以，得， 故，， 因为，所以直线：，即， （ⅰ）联立，得， 化简得，解得或（舍去）， 故； （ⅱ）直线：，即， 联立，得， 化简得，解得或（舍去）， 故， 所以， ， 因为，所以， 故的面积是. 19. 已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点. （1）求圆的标准方程； （2）是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； （3）若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知，，设，则， 由题意知，直线的方程为. 令，得，所以. 由，得直线的方程为. 令，得，所以. 所以 ，所以为定值. （3）证明：设直线的方程为，，，已知，联立 得，，即.所以，.所以.所以.所以. 整理得，所以或. 当时，直线的方程为，恒过点，不符合题意； 当时，直线的方程为，恒过点，符合题意. 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）先求出圆的半径，再根据圆的标准方程直接写出答案； （2）设，先求出两点的坐标，再求出直线和的方程，得到的坐标，对进行变形求解即可； （3）设直线的方程为，，，联立 根据韦达定理得出，，再由 建立方程，得到的关系，证明直线过定点即可. 【小问1详解】 由已知得圆的半径 . 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $