精品解析：陕西西安市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次质量检测数学试题

西安第一中学2028届上学期第一次质量检测高二数学试题 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2．答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上． 4．考试结束后，监考人将答题卡收回，考生自己保管试卷． 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为是两条不同的直线，是三个不同的平面， 所以逐一分析各个选项如下： 对于选项A：若，则或与相交，故A错误； 对于选项B：若，则的位置关系有平行、相交或异面，故B错误； 对于选项C：若，由面面平行的性质定理可知，故C正确； 对于选项D：若，则的位置关系有平行或异面，故D错误． 2. 已知空间向量，，若三点共线，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三点共线等价于对应向量共线的性质，结合共线向量的数乘关系列方程求解参数. 【详解】因为A、B、C三点共线，所以向量与共线，根据共线向量基本定理，存在实数，使得，即， 得，解得. 3. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，即， 又，，∴， ∴． 4. 在直三棱柱中，分别是棱的中点，且.若，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直三棱柱顶点建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标，由空间向量的数量积求得线线所成角的余弦值. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面， 所以且， 所以如图，以为顶点建立空间直角坐标系， 设， 所以， 所以， 所以， 设与所成角为，则. 5. 已知在平行六面体中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算和数量积，将已知条件转化为向量关系.设，，，根据已知模长和夹角求出，进而判断的大小. 【详解】设，，，则，，. 又，，如下图： 所以，. 在平行六面体中，. 由，得， 即，得. 所以，即. 在平行四边形中，，因此. 6. 已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线之间的距离的定义，结合图形分析可知平行直线，间的距离的最大值为. 【详解】如图，平行直线，间的距离是直线上的点与直线上的点之间的距离的最小值， 所以当直线，与直线垂直时，平行直线，间的距离最大，即， . 所以这两条直线之间的距离的最大值为. 7. 已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线垂直斜率间的关系得出实数的值. 【详解】直线可化为，即斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率存在且等于，即. 8. 已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的斜率，利用数形结合思想，分情况讨论出直线的特殊情况，求解判断即可. 【详解】直线的斜率为. 直线：可变形为，则直线恒过点，， 直线的斜率为. 当直线与平行时，. 结合图象可知，若直线与线段的延长线相交，则，即. 二、多选题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 9. 已知圆：，过点作两条互相垂直的直线和分别交圆于和点，又过分别作圆的切线交于，则下列说法正确的是（     ） A. 若为，且，则这样的弦共有条 B. 若为，则动点在直线上 C. 若为，则四边形面积的最大值为 D. 若为，则凸四边形面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由弦长公式计算得，由对称性，求出这样的弦的条数；对于B，设，求出切点弦所在直线的方程，将点代入直线，得到，说明在直线上；对于C，求出圆心到的距离分别为，求出，，，，从而得到四边形面积的最大值；对于D，如图所示，由作的垂线，连接，记，，，求出，，，，，进而求出的最大值． 【详解】对于A，因为，所以在圆的内部， 过的弦中最长弦为直径，则最长弦长为， 最短弦为过且垂直于的弦，，， 则最短弦长为， 又，可得， 由对称性，这样的弦共条，A错误； 对于B，设，，， 设过点与圆：的切线斜率存在，设为， 由切线的性质可知， 所以切线方程为，即， 因为在切线上，所以；同理， 因为两点均满足，两点确定一条直线， 所以切点弦所在直线的方程为， 该直线过，则满足， 所以在直线上，B正确； 对于C，因为圆：，所以圆心坐标，半径， 设圆心到的距离分别为， 因为，则 ， 所以，， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以四边形面积的最大值为，C正确； 对于D，如图所示，由作的垂线，连接， 记，，， 则，，，，， 故 ，当且仅当时，等号成立． 10. 已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】由题意可得直线的斜率， 设直线方程为， 因为直线与圆相切，所以， 所以直线的方程为或. 11. 在正方体中，，，分别是，的中点，下列说法正确的是（） A. 直线平面 B. 直线与所成角的正弦值为 C. 过、、三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D. 过、、、四点的球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：先建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再计算直线的方向向量与法向量的点积，点积为0说明二者垂直；结合不在平面内，即可证得线面平行. 选项B：遵循异面直线所成角的向量计算公式，先获取两直线的方向向量，用向量点积公式求出夹角的余弦值（取绝对值），再通过同角三角函数的平方关系，计算得到所成角的正弦值. 选项C：延展平面，找到其与棱的交点，确定截面为四边形；分别计算四条边的长度并求和，与选项给出的周长对比，可判断该选项错误. 选项D：利用外接球球心的性质——到各点距离相等求解，先由对称点、和、分别确定球心所在的两个中垂面，缩小球心坐标的未知量；再根据球心到、距离相等列方程，解出球心坐标，计算半径平方后代入球的表面积公式即可验证. 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为， 则， 是AD中点，故；是中点，故. 选项A：平面的向量：，， 设平面的法向量，则， ，令，则，所以， ，，故. 又因为不在平面内，因此平面，A正确. 选项B：由坐标得，. 异面直线所成角满足：， 因此，B选项正确. 选项C：在底面内，延长直线，交的延长线于点. 由是中点，且，可得，相似比为. 因此，结合正方体棱长， 可算出，即在延长线上，且. 在侧面内，连接，交于点，则就是平面与棱的交点. 由，可得，相似比为. 已知是中点，，因此，得. 所以平面与交于. 截面为四边形，，，，， 周长为，C错误. 选项D：过的球的球心在中垂面上，且在DE中垂面上， 设球心. 由到和距离相等：解得， 半径平方. 表面积，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 12. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为___________．当时，长度为___________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用等体积法计算得三棱锥的体积；建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示求出点坐标，进而求出长度. 【详解】在棱长为1的正方体中，是棱上的动点， ，因此棱锥的体积； 以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，于是， 由，得，解得，因此， 所以长度为. 13. 已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且， 所以，解得. 14. 已知圆：，点，其中.过点作圆的两条切线，切点分别为，. 若，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由圆外一点的切点弦方程得直线，计算弦长及到距离，表示出三角形面积；代入已知值后简化求解. 【详解】圆，外点，根据切点弦方程公式，得的方程为. 与交于，，点到的距离为. 的面积， 代入，得，两边平方得. 令，则，展开得 ，即. 二次式判别式，故，即，（负根舍去）. 因此 . 四、解答题(本题共5小题，15题10分，16-17题13分，18-19题14分，共64分) 15. 在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． （1）求的最小值； （2）问经过三点的圆是否经过定点（与无关）？请证明你的结论． 【答案】（1） （2）圆M恒过点，证明如下： 方法一： 设经过三点的圆为圆， 易知的垂直平分线为， 的垂直平分线为， 联立，解得，即， 圆M的半径， 所以圆M的方程为， 即 所以当，，等式恒成立， 故圆M恒过点． 方法二： 设经过三点的圆M为， 又因为，， 解之得：，，， 故所求圆的方程为， 即 所以当，，等式恒成立， 故圆恒过点． 【解析】 【分析】（1）设，，结合韦达定理及向量数量积的坐标表示得到再结合二次函数即可求最值； （2）法一：通过垂直平分线得到圆心坐标，半径，进而得到圆的方程，即可判断定点，法二：通过圆的一般方程，由待定系数法求得圆的方程，即可判断定点. 【小问1详解】 因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以，得 设，，则有，， 二次函数与y轴交于点C，得， 所以，， 所以 设， 由二次函数的性质知，当时，取得最小值， 即的最小值为． 【小问2详解】 圆恒过点，证明略. 16. 已知直线：，圆：，点 （1）求过点且与轴，圆都相切的圆的方程； （2）点为直线上的动点，点，为圆上的两点，且直线将圆分成了面积相等的两部分，求的最小值 【答案】（1）圆的方程为或； （2）. 【解析】 【分析】(1)设圆的方程为，由条件列方程求可得圆方程； (2)由条件可得直线过点，根据数量积的性质化简，结合圆的性质求其最小值. 【小问1详解】 设圆的方程为， 因为圆过点，所以①， 因为圆与轴相切，所以②， 方程可化为， 所以圆的圆心为，半径为3， 当圆与圆内切时，所以③， 由①②③可得，，或， 当圆与圆外切时，所以④， 由①②④可得，方程组无解， 所以圆的方程为或， 【小问2详解】 因为直线将圆分成了面积相等的两部分， 所以直线过圆心，又点，为圆上的两点， 所以点为线段的中点，由题可知， 所以， 所以， 所以当最小，最大时，的值最小， 又点到直线的距离为， 所以，又由圆的性质可得， 所以， 所以的最小值为. 17. 如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点． （1）证明：平面； （2）设，，．求到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接，因为四边形为矩形， 所以点为的中点，又点为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）借助线面平行判定定理即可得证； （2）法一：可建立适当空间直角坐标系，求出及平面的法向量后，利用空间中点到平面距离公式计算即可得；法二：借助等体积法，利用计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由题意，可以点为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，可取， 由（1）知平面， 到平面的距离为到平面的距离， 又，则在法向量上的投影长度为， 故到平面的距离为. 法二：由（1）知平面， 到平面的距离为到平面的距离， 在中，，， 由平面，平面，故， 由底面为矩形，则，又，、平面， 故平面，又平面，故， 则， ∴，则， 故， 由，， 设到平面的距离为， ∴，解得， 故 PB 到平面 AEC 的距离为． 18. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，其中，，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）连接交于点，因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，则平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，求证即可求证； （2）以为原点建系，计算平面的法向量为，计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 由，得，令，得， 所以， 则直线与平面夹角的正弦值为． 19. 已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和． （1）求证：； （2）当时，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为?若存在，求出点位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）在菱形中，，​，故​，为中点，， 由余弦定理得： ， 故， 即，得，， 翻折后，仍成立， 又，平面， 故平面​， 又平面，因此. （2）存在，为中点 【解析】 【分析】（1）首先根据余弦定理计算出，进而利用勾股定理证明，然后根据线面垂直的判定定理证明平面​，最后根据线面垂直的性质即可证明. （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，首先根据，求出点的坐标，然后根据在线段上，设，得，最后根据线面角的向量公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在，为的中点，过程如下： 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 得各点坐标： ，，，， 设，由得， 由​，得， 代入，解得，故， 在线段上，设，得，则， 平面中，，设平面的一个法向量为， 由得，取 得，， 设直线与平面夹角为，则， 代入计算： ，化简得，解得（舍去，超出范围）. 因此存在点，为的中点满足条件. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安第一中学2028届上学期第一次质量检测高二数学试题 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2．答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上． 4．考试结束后，监考人将答题卡收回，考生自己保管试卷． 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 已知空间向量，，若三点共线，则（ ） A. B. 4 C. D. 3. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 4. 在直三棱柱中，分别是棱的中点，且.若，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知在平行六面体中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 9. 已知圆：，过点作两条互相垂直的直线和分别交圆于和点，又过分别作圆的切线交于，则下列说法正确的是（     ） A. 若为，且，则这样的弦共有条 B. 若为，则动点在直线上 C. 若为，则四边形面积的最大值为 D. 若为，则凸四边形面积的最大值为 10. 已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 11. 在正方体中，，，分别是，的中点，下列说法正确的是（） A. 直线平面 B. 直线与所成角的正弦值为 C. 过、、三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D. 过、、、四点的球的表面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 12. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为___________．当时，长度为___________ 13. 已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 14. 已知圆：，点，其中.过点作圆的两条切线，切点分别为，. 若，则__________. 四、解答题(本题共5小题，15题10分，16-17题13分，18-19题14分，共64分) 15. 在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． （1）求的最小值； （2）问经过三点的圆是否经过定点（与无关）？请证明你的结论． 16. 已知直线：，圆：，点 （1）求过点且与轴，圆都相切的圆的方程； （2）点为直线上的动点，点，为圆上的两点，且直线将圆分成了面积相等的两部分，求的最小值 17. 如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点． （1）证明：平面； （2）设，，．求到平面的距离． 18. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，其中，，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值. 19. 已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和． （1）求证：； （2）当时，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为?若存在，求出点位置；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $