精品解析：河南开封市尉氏县第一高级中学2026-2027学年第一学期高二年级第一次月考数学试卷

2026-2027学年第一学期高二年级（数学）试卷 （时间：150分钟 分值 ：120分） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 对任意实数，直线一定经过点（    ） A. B. C. D. 2. 下列可使非零向量，，构成空间的一个基底的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，，，，，二面角的大小为，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点不与重合，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知平面的一个法向量为，，，则（ ） A. 若与共线，则 B. 向量在向量上的投影向量为 C. 点到平面的距离为1 D. 直线与平面所成角的余弦值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线经过两点，那么直线的斜率的取值范围为 B. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 C. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 11. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 13. 在四棱锥中，平面，底面为矩形，，点在线段上运动，则点到距离的最小值为______. 14. 已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，.则异面直线与所成的角的余弦值为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知空间中三点，，，设，. （1）求与的值； （2）已知向量与互相垂直，求k的值. 16. 在直三棱柱中，，，是棱的中点. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别在棱上，且. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥外接球的表面积. 18. 如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． （1）求证：平面； （2）记直线与平面所成角为．若，求的长． 19. 已知三棱柱中，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，在线段上是否存在一点（异于点，），使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高二年级（数学）试卷 （时间：150分钟 分值 ：120分） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 对任意实数，直线一定经过点（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程化为，令，即可求解. 【详解】因为，令，解得，， 所以直线都经过平面内一个定点． 2. 下列可使非零向量，，构成空间的一个基底的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间基底的定义及空间向量共面定量一一判断即可. 【详解】由空间基底的定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底. 对于A：因为，所以非零向量、、共面，故不能作为一组基底，故A错误； 对于B：因为，所以、、， 所以非零向量、、不共面，可构成空间的一组基底，故B正确； 对于C：令、、，满足， 但是，所以、、共面，故不能作为一组基底，故C错误； 对于D：因为，所以，所以、、共面，故不能作为一组基底，故D错误； 故选：B 3. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示即可. 【详解】由题意，得 . 4. 在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点位于平面内,可得,依次检验选项即可. 【详解】设点位于平面内,则,因为平面的一个法向量，， 所以, 即若点位于平面内,满足， 对于A，若，代入，不为，故A不正确； 对于B，若，代入，故B正确； 对于C，若，代入，不为，故C不正确； 对于D，若，代入，不为，故D不正确； 5. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由题意先求出时的的值，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设，可得，解得或. 当时，：，：，此时，当时，：，：，此时， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 若是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出向量在基底下的表达式，并整理成向量在基底下的表达形式，由对应系数相等，可解得系数. 【详解】由题意可得，设， 即有， 则有，解得即， 即向量在基底下的斜坐标为． 故选：A. 7. 如图，在三棱锥中，，，，，二面角的大小为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本运算，用表示出来，平方即得答案. 【详解】， 平方得：， 因为，，所以， 所以， 故. 故选：C 8. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点不与重合，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线方程求出坐标，再依据两直线垂直得出，进而利用基本不等式即可. 【详解】由以及得，， 因，则两条直线垂直， 则， 则 ， 等号成立时， 故的最小值是. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知平面的一个法向量为，，，则（ ） A. 若与共线，则 B. 向量在向量上的投影向量为 C. 点到平面的距离为1 D. 直线与平面所成角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A，通过向量共线的性质设求解.B，通过投影向量求解公式求解.C，利用法向量，通过距离公式求解.D，根据线面角的向量求法可求得. 【详解】因为，所以，解得. 对于选项A，若与共线，设，则，，，解得，，，所以，正确. 对于选项B，投影向量为，正确. 对于选项C，，正确. 对于选项D，因为， 所以，错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线经过两点，那么直线的斜率的取值范围为 B. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 C. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，求得，即可判断；对于B，由题意可得，求出的范围，即可判断；对于C，求得直线的斜率为，从而可得其倾斜角为，即可判断；对于D，由题意可得，求出其倾斜角的取值范围，即可判断. 【详解】对于A，， 故直线的斜率的取值范围为，故A错误； 对于B，因为直线的斜率为，， 即，， 即，所以，故B正确； 对于C，由题意可得，直线的斜率为， 又倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，故C错误； 对于D，直线的斜率为， 由于，所以， 因此， 设直线的倾斜角为， 则有， 由于， 所以， 即倾斜角的取值范围是，故D正确． 11. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于B：根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于C：由题意可得，进而可得倾斜角的范围；对于D：根据图形结合斜率公式分析求解. 【详解】对于选项A：当时，直线与直线斜率分别为1，， 斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立； 若“直线与直线互相垂直”， 则，故或， 所以得不到，即必要性不成立，故A错误； 对于选项B：由直线平行得，解得， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确； 对于选项C：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故C错误； 对于选项D：如图所示： 可得，，结合图象知，故D正确； 故选：BD. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 【答案】或 【解析】 【详解】设直线，截距分别为和， 因为截距互为相反数，所以. 若，，又过点，所以，直线为. 若，解得，，所以，直线为. 13. 在四棱锥中，平面，底面为矩形，，点在线段上运动，则点到距离的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】在线段上作一点，线段上作一点，使得四边形是矩形，由相关性质可将点到直线距离最小值转化为点到点距离最小，最后计算可得. 【详解】因为点在线段上运动，设，， 在线段上作一点，使得， 在线段上作一点，使得如图所示， 由三角形性质可知，在中，，且， 因为底面是矩形，所以，所以且， 所以四边形是平行四边形， 因为平面，平面， 所以，因为， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以四边形是矩形， 所以点到点的距离即为点到线段的距离 因为，所以当为中点时，最小， 即， 所以点在线段上运动，点到距离最小为. 故答案为：. 14. 已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，.则异面直线与所成的角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可表示出，根据向量数量积的定义和运算律可求得，利用向量数量积的定义和运算律可求得，由向量夹角运算求得，由此可得所求余弦值. 【详解】因为， 所以 ， 所以，又， 所以，所以， 所以 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知空间中三点，，，设，. （1）求与的值； （2）已知向量与互相垂直，求k的值. 【答案】（1）， （2）5 【解析】 【分析】（1）由向量夹角公式即可求解； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 所以，， . 【小问2详解】 ， 因为向量与互相垂直， 所以， 解得．所以的值是5. 16. 在直三棱柱中，，，是棱的中点. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离； （2）利用向量法求平面与平面的夹角的余弦，进而可得解． 【小问1详解】 根据题意以为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 所以即 令，则，所以， 点到平面的距离. 【小问2详解】 设平面的法向量， 所以即 令，则，所以， 设平面与平面夹角为， ， 所以. 即平面与平面夹角的正弦值为 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别在棱上，且. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥外接球的表面积. 【答案】（1） ∵底面，平面，平面， ∴，在矩形中， ∴以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则， 则 得证： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在四棱锥中，证明三条直线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标，由向量的数量积得证线线垂直； （2）设得到点，然后得到，由得到对应向量的数量积建立方程后解得.然后设平面法向量，利用向量的数量积求得平面法向量，然后由向量的数量积求得两个平面的夹角的余弦值； （3）设三棱锥的外接球球心坐标为，半径为，建立方程组解得球的半径，然后求得表面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 则，. 设，则，∴ ，∴ ，∴. 设平面的法向量为， 则，取，得， ∴平面的一个法向量为. 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， ∵，∴， ∴平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设三棱锥的外接球球心坐标为，半径为， 则，解得， ∴三棱锥外接球的表面积为 18. 如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． （1）求证：平面； （2）记直线与平面所成角为．若，求的长． 【答案】（1）证明：因为平面平面，平面，平面平面，， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的性质与判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出平面的法向量，求出线面角，建立关于的方程，解之即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作于点，则， 在中，，所以，得. 过点作轴平面，建立如图空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 所以， 解得，即. 19. 已知三棱柱中，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，在线段上是否存在一点（异于点，），使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：三棱柱中，四边形为平行四边形， 由知，四边形为菱形． 连接，则，又且，平面， 平面， 平面，则． 又，即，而，平面， 平面，而平面， 平面平面． （2）在线段上存在点，满足，使平面与平面夹角的余弦值为． 【解析】 【分析】（1）先证明平面，推出，即可证明平面，结合面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，可求平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，在平面上过且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，， ，，，． 设在线段上存在一点（异于点，），满足， 使平面与平面夹角的余弦值为，则， ， ． 设平面的法向量为， 由，取，则，， 得， 平面的一个法向量为． 由，解得或． 因为，则， 故在线段上存在点，满足，使平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $