精品解析：河南省开封市通许县兴华学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学试卷 （120分钟 150分） 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效. 4．本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在三棱锥中，点在棱上，且，点是棱的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的是（　　） A. 若 ，，则 B. 对空间任意两个向量 ， 的充要条件是存在实数 使 C. 若对空间任意一点，有 且 ，则 四点共面 D. 若向量 共面，则存在实数 使 4. 已知两直线和的交点为，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，平面，是正三角形，，，F是棱上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于直线，下列说法错误的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线经过点 C. 直线与直线垂直 D. 直线在轴上的截距为 10. 已知平面 的法向量分别为 ，直线 的方向向量为 ，则下列结论正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 且 ，则 C. 若 ，则 与 一定平行 D. 若 ，则 11. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）． A. 圆C的圆心坐标为 B. 直线l与圆C相交 C. 圆与圆C相切 D. 圆C上存在4个点到直线l的距离为1 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。 12. 已知直线，直线，若，则___________． 13. 一个圆柱的体积和底面周长均为，若该圆柱能够被整体放入一个球内，则该球的最小体积为___________. 14. 已知直线与椭圆（）交于A，B两点，若在E上存在一点C使得是以为斜边的直角三角形，则E的离心率的最小值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，且. （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 已知空间中三点,设,. （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 17. 如图，正三棱柱 的底面 是边长为 2 的正三角形，侧棱 ， 为 的中点， 为 的中点． （1）建立适当的空间直角坐标系，写出的坐标，并用中点坐标公式求点的坐标； （2）求直线与底面所成角的大小； （3）求平面和平面所成角的余弦值． 18. 已知点和，圆以为直径. （1）求圆的方程； （2）已知圆，求圆与圆的公共弦长. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，，，，是棱的中点，是棱上异于端点的一点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的正弦值； （3）若直线与平面所成角的大小为，求线段的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 （120分钟 150分） 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效. 4．本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点求斜率，再根据斜率与倾斜角关系计算即可. 【详解】直线过点，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 在三棱锥中，点在棱上，且，点是棱的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知. 3. 下列命题中正确的是（　　） A. 若 ，，则 B. 对空间任意两个向量 ， 的充要条件是存在实数 使 C. 若对空间任意一点，有 且 ，则 四点共面 D. 若向量 共面，则存在实数 使 【答案】C 【解析】 【分析】先根据空间向量共线、向量共面、四点共面相关定理及其成立的前提条件，再依次对A、B、C、D四个命题逐个辨析，通过举反例否定错误选项，对C选项做向量式变形推导证明，最后确定正确答案即可. 【详解】选项A：当时，零向量与任意向量平行，但与不一定平行，∴A错误； 选项B：定理前提：，若，不存在实数使， 缺少条件，不是对任意两向量成立，∴B错误； 选项C：∵，， ∴， ， ， 共面，且有公共点，故四点共面，∴C正确； 选项D：定理前提：不共线，若共线（如），不一定存在满足，∴D错误； 4. 已知两直线和的交点为，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得，所以， 故以点为圆心，半径长为1的圆的方程是. 5. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以向量为基底向量，表示出，由向量模的公式求解即可. 【详解】 ， ，， . 故选：A. 6. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为r，则其母线长为2r，高为， 所以该圆锥的表面积为， 设球O的半径为R，则球O的表面积为， 由题意知，所以， 圆锥的体积，球O的体积， 所以. 7. 已知直线恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线过定点分析可知，且三点共线，可知弦的中点的轨迹是以为圆心，半径的圆，根据点到直线的距离公式可得，结合圆的性质分析求解即可. 【详解】直线，即为， 令，解得， 即直线恒过定点， 圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆内， 直线与圆相交， 又因为，可知三点共线， 设弦的中点为，则， 且，， 则，即， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆（点除外）， 设点到直线的距离分别为， 则，且点到直线的距离分别为， 可得， 设点到直线的距离分别为， 则，，， 可得， 所以的最大值为. 故选：C. 8. 如图，在三棱锥中，平面，是正三角形，，，F是棱上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以D为坐标原点，，所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解 【详解】以D为坐标原点，，所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示， 易知，，，， ，， 设，则， 已知， 因为，， 所以， 可得，即， 所以，所以， 则， ∴异面直线与所成角的余弦值为． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于直线，下列说法错误的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线经过点 C. 直线与直线垂直 D. 直线在轴上的截距为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线与坐标轴的交点，即可判断BD，根据斜率即可判断A,根据两直线的斜率关系，结合垂直的性质即可求解C. 【详解】对于直线， 直线过，所以BD说法正确， 直线的斜率为，倾斜角为，A说法错误. 直线的斜率为，由于，故两直线不垂直，C说法错误. 故选：AC 10. 已知平面 的法向量分别为 ，直线 的方向向量为 ，则下列结论正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 且 ，则 C. 若 ，则 与 一定平行 D. 若 ，则 【答案】AB 【解析】 【详解】对于选项A：因为分别是平面的法向量，若，则，即两平面的法向量互相垂直，所以平面，故A正确. 对于选项B：若直线且，根据面面垂直的判定定理(如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直)，可得，故B正确. 对于选项C：若，说明两平面的法向量平行，则平面与平面可能平行，也可能重合，故C错误. 对于选项D：若，说明直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线平行于平面()或直线在平面内()，故D错误. 11. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）． A. 圆C的圆心坐标为 B. 直线l与圆C相交 C. 圆与圆C相切 D. 圆C上存在4个点到直线l的距离为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将圆方程化为标准式可判断选项正误；对于B，比较圆心到直线距离与圆半径大小可判断选项正误；对于C，比较两个圆心之间的距离与两圆半径之和与半径之差大小可判断选项正误；对于D，利用到直线的距离为1的直线与圆的位置关系可判断选项正误. 【详解】因为，所以， 圆C的圆心坐标为，故A正确； 圆心C到直线的距离为， 所以直线l与圆C相交，故B正确； 圆与圆C两圆心距离， 两圆半径之和为，半径之差为， 因为，故两圆相交，故C错误； 因为圆心C到直线的距离为，所以， 圆C上存在4个点到直线l的距离为1，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。 12. 已知直线，直线，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由两条直线平行列式计算即可. 【详解】若，则，解得， 检验，当时，，， 此时成立，符合题意，故. 故答案为：. 13. 一个圆柱的体积和底面周长均为，若该圆柱能够被整体放入一个球内，则该球的最小体积为___________. 【答案】 【解析】 【详解】底面周长， ， 当圆柱与球外接时，球体积最小， 圆柱外接球球心在圆柱上下底面圆心连线中点， 轴截面是矩形长，宽， 矩形对角线就是球的直径， ，， 球体积. 14. 已知直线与椭圆（）交于A，B两点，若在E上存在一点C使得是以为斜边的直角三角形，则E的离心率的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先转化为以AB为直径的圆与椭圆的交点找到点C的坐标，再利用椭圆上的点的坐标取值范围求解. 【详解】将直线 代入椭圆方程 ， ，因此，，， 因为是以为斜边的直角三角形，所以,即点C在以AB为直径的圆上， AB 的中点（圆心）是，故半径 圆的方程： 因为点 在椭圆上，联立 由椭圆方程解出 ，代入圆的方程：， 所以，即，因为是方程的一个解， 所以，解得（舍去），（对应点 C 的纵坐标）， 椭圆上点的纵坐标范围为 ，只需满足：， 解得， 椭圆离心率 ， 由于 随 增大而增大，故当 时， 取得最小值：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，且. （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解. 【小问1详解】 由题可知， 因为，所以，即，所以，解得. 【小问2详解】 由题可知，则，， 又，所以， 所以，解得. 16. 已知空间中三点,设,. （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）写出后，运用向量夹角公式计算即可； （2）若两个向量夹角为锐角，则两者的数量积大于0，并且要注意排除共线的情况. 【小问1详解】 解：(1)因为, 所以. . 所以, 所以与的夹角余弦值为. 【小问2详解】 , 因为与的夹角为锐角，故两者不共线，且数量积大于0. 当与共线时，有,得, 故当时，与不共线. ,得,解得 综上，. 17. 如图，正三棱柱 的底面 是边长为 2 的正三角形，侧棱 ， 为 的中点， 为 的中点． （1）建立适当的空间直角坐标系，写出的坐标，并用中点坐标公式求点的坐标； （2）求直线与底面所成角的大小； （3）求平面和平面所成角的余弦值． 【答案】（1）以的中点为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系. ，，，，，； ，. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以的中点为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标. （2）求得直线的方向向量和平面的法向量，然后用向量法求得所成角的正弦值，继而得到线面角的大小. （3）分别求出平面和平面的法向量，然后用向量法求得夹角的余弦值. 【小问1详解】 以的中点为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系. ，，，，，； ，. 【小问2详解】 易得平面的法向量为，. 记直线与平面所成的角为， 则. 又，，即直线与平面所成的角为. 【小问3详解】 ，，， 记平面的法向量为， 则，令，则. . 同理可求得平面的一个法向量为. 记平面角 和平面所成角为， 则. 所以平面角 和平面所成角的余弦值为. 18. 已知点和，圆以为直径. （1）求圆的方程； （2）已知圆，求圆与圆的公共弦长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）直接两点直径式方程即可得到答案； （2）两圆作差得到公共弦所在直线方程，再利用弦长公式即可得到答案. 【小问1详解】 因为圆以为直径，则圆的方程为， 即. 【小问2详解】 将两圆方程作差得， ，其圆心， 则圆心到直线的距离为， 则两圆的公共弦长为. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，，，，是棱的中点，是棱上异于端点的一点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的正弦值； （3）若直线与平面所成角的大小为，求线段的长. 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为为的中点，所以且， 又因为，且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可得证； （2）取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，由，求得，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，得到，求得平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为且，所以，且， 所以四边形是平行四边形，可得，又因为，所以， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， 因为，可得是的中点，可得， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的正弦值为. 【小问3详解】 解：设，其中， 因为，可得， 所以， 又因为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为直线与平面所成的角为，可得， 即，解得， 又因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $