精品解析：四川达州市通川区达州新世纪学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

四川省达州市新世纪学校2026-2027学年九年级上学期10月月考数学试题 满分：150分时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 2. 已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，，，则d是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（　　） A. 平行四边形的对角相等 B. 正方形的对称轴有四条 C. 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D. 菱形的对角线相等且互相平分 4. 已知，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 8 6. 如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 8 7. 如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点，分别是边的中点，连接，若，，则的长为(　　) A. 3 B. C. 2 D. 10. 如图正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 把一元二次方程化成一般形式：________． 12. 如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，则___________秒后的面积为． 13. 如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，分别交于点E、F，则的长为______． 14. 法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形的各边中点会得到平行四边形，与原四边形的对角线关系密切，因此该平行四边形也被称为瓦里尼翁平行四边形．如图，四边形的两条对角线、互相垂直，、、、是四边形各边的中点．如果，，那么瓦里尼翁平行四边形的面积为________． 15. 如图，在矩形中，，，点E、F分别在上，若，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16. 用适当的方法解下列方程 （1）（配方法） （2）（公式法） （3） （4） 17. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 18. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 19. 如图，在中，平分，点E是线段的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）判断四边形的形状并说明理由． 20. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得504元的利润且为尽快减少库存，每件应降价多少元？ 21. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长． 22. 在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． （1）当为何值时，的长度等于？ （2）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 23. 定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： （1）“快乐方程”的“快乐数”为______； （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． （3）对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 24. 在菱形中，点在对角线上，点、分别在边和上，连接，，且． （1）如图，求证：． （2）如图，延长交延长线于点，连接交于点，若为中点．求证：． （3）如图，在（2）的条件下，若，，，求四边形的面积． 25. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当，时，求的长； （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市新世纪学校2026-2027学年九年级上学期10月月考数学试题 满分：150分时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，其一般形式为，其中，a、b、c为常数；根据一元二次方程的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、是分式方程，不符合题意． 故选：C． 2. 已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，，，则d是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按成比例线段的给定字母顺序列比例式，代入已知长度计算的值． 【详解】解：∵线段，，，为成比例线段， ∴． ∵，，， ∴． 3. 下列说法错误的是（　　） A. 平行四边形的对角相等 B. 正方形的对称轴有四条 C. 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D. 菱形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵平行四边形的对角相等，∴A选项说法正确，不符合题意； ∵正方形沿对边中点连线、两条对角线对折都能重合，共有条对称轴，∴B选项说法正确，不符合题意； ∵矩形绕对角线交点旋转能与自身重合，沿对边中点连线对折能重合，因此矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，∴C选项说法正确，不符合题意； ∵菱形的对角线互相垂直平分，并不一定相等，∴D选项说法错误，符合题意． 4. 已知，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可根据已知条件得到a和b的关系，再通过代入或比例变形判断各选项是否成立． 【详解】解：∵，， ∴， 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：代入得左边，仅当时等式成立，不是恒成立，C错误； 选项D：将等式交叉相乘得 ， 展开得， 化简得，与已知条件一致，等式恒成立，D正确． 5. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，通过根与系数的关系求出和的值，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴ ∴ ， 故选：A 6. 如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 7. 如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边之比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边之比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐一判断选项即可． 【详解】解：， ， 选项，添加，无法判定，故符合题意； 选项，添加，可用两边及其夹角法判定，故不符合题意； 选项，添加，可用两角法判定，故不符合题意； 选项，添加，可用两角法判定，故不符合题意． 8. 秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选D． 9. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点，分别是边的中点，连接，若，，则的长为(　　) A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题综合考查了菱形的性质、中位线定理、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等．根据中位线定理可得，由菱形的面积可得，进而可求出，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点，分别是边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 故选：D． 10. 如图正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②点B到直线的距离为；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】证明，则，进一步即可得到，即可判断①；过B作，交的延长线于F，则，得，，由，可得，即可判断②；连接，由全等三角形的性质可得到，，根据，即可判断③；求出，则，得到，即可判断④． 【详解】解：∵正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故①正确； 过B作，交的延长线于F，则， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即点B到直线的距离为1， 故②不正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴， 故③正确； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确， 综上可知，①③④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识，添加适当的辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 把一元二次方程化成一般形式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式的结构是解题关键． 通过去括号、移项和合并同类项将方程化为一般形式． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，则___________秒后的面积为． 【答案】1或5 【解析】 【分析】设运动x秒钟后的面积为，根据列出方程并解方程即可得到答案． 【详解】解：设运动x秒钟后的面积为，则， ， 解得． 故运动1秒或5秒后的面积为． 13. 如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，分别交于点E、F，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，，直线为线段的垂直平分线，由勾股定理得，进而可得，证明，可得，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，直线为线段的垂直平分线， ，，， ， ， ， ，， ， ， 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图基本作图、勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 14. 法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形的各边中点会得到平行四边形，与原四边形的对角线关系密切，因此该平行四边形也被称为瓦里尼翁平行四边形．如图，四边形的两条对角线、互相垂直，、、、是四边形各边的中点．如果，，那么瓦里尼翁平行四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形中位线性质得到，，，，然后结合证明四边形是矩形，进而求解即可． 【详解】解：∵、、、是四边形各边的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴瓦里尼翁平行四边形的面积为． 15. 如图，在矩形中，，，点E、F分别在上，若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点M，连接，在上截取，设，则，再利用矩形的性质和已知条件证明，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：取的中点M，连接，在上截取，设， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16. 用适当的方法解下列方程 （1）（配方法） （2）（公式法） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3） （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，； 【小问2详解】 解：， ，，，， ∴， 解得，； 【小问3详解】 解：整理得， ∴， 开方得， 解得； 【小问4详解】 解：整理得， 因式分解得，即， ∴或， 解得，． 17. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1）k； （2）k=3 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0， 解得k 【小问2详解】 ∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得k=3． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 18. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 19. 如图，在中，平分，点E是线段的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）判断四边形的形状并说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴； 在和中， ， ∴； （2）解：四边形是矩形，理由如下： ∵在中，平分， ∴， ∴； 由（1）得， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，由线段中点的定义可得，即可证得结论； （2）由三线合一定理得到，可得，结合全等三角形的性质可得，由已知可得，可得四边形是平行四边形，结合矩形的判定即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得504元的利润且为尽快减少库存，每件应降价多少元？ 【答案】（1）该商品连续两次下降的百分率为 （2）每件商品应降价3元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键； （1）设每次降价的百分率为，根据该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，列一元二次方程，求解即可； （2）设每件商品应降价元，根据每天要想获得504元的利润，列一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 设每次降价的百分率为， 根据题意，得， 解得， (不合题意，舍去)， 答：该商品连续两次下降的百分率为； 【小问2详解】 设每件商品应降价元， 根据题意，得 解得或， ∵为尽快减少库存， 答：每件商品应降价3元． 21. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长． 【答案】（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE=DE ∵AFBC， ∴∠AFE=∠DCE， 在△AEF和△DEB中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF=CD， ∵D是BC的中点， ∴CD=BD， ∴AF=BD， ∴四边形ADBF是平行四边形， ∵∠BAC=90°， ∵D是BC的中点， ∴AD=BD=BC， ∴四边形ADBF是菱形； （2）10 【解析】 【分析】（1）证△AEF≌△DEC（AAS），得△AEF≌△DEC（AAS），再证四边形ADBF是平行四边形，然后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得证AD=BD=BC，即可由菱形判定定理得出结论； （2）连接DF交AB于O，由菱形面积公式S菱形ADBF==40，求得OD长，再由菱形性质得OA=OB，证得OD是三角形的中位线，由中位线性质求解可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接DF交AB于O，如图 由（1）知：四边形ADBF是菱形， ∴AB⊥DF，OA=AB=×8=4， S菱形ADBF==40， ∴=40， ∴DF=10， ∴OD=5， ∵四边形ADBF是菱形， ∴O是AB的中点, ∵D是BC的中点， ∴OD是△BAC的中位线， ∴AC=2OD=2×5=10． 答：AC的长为10． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 22. 在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． （1）当为何值时，的长度等于？ （2）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）解：不存在的值，使得五边形的面积等于．理由如下： 由题意可得：矩形的面积是：，， ∵使得五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 整理得， ， 方程没有实数根， 不存在的值，使得五边形的面积等于． 【解析】 【分析】（1）由题意得,，则，再由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【小问1详解】 解：由题意得：,，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），； 当秒时，的长度等于； 【小问2详解】 略 23. 定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： （1）“快乐方程”的“快乐数”为______； （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． （3）对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 【答案】（1） （2）， （3）所有可能的快乐数为和 【解析】 【分析】（1）根据“快乐数”的定义求解； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）首先表示出 ，得到，然后利用根与系数的关系得到，，表示出 ，得到，根据题意求出或4，进而求解即可． 【小问1详解】 解：方程的“快乐数”为 ； 【小问2详解】 解：方程， ∴， ∵， ∴， 又∵方程是“快乐方程”，且m为整数， ∴方程的根为整数， ∴为完全平方数， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， ∴， ∴其“快乐数”数是； 【小问3详解】 解：根据题意得， ， ∴， ∵方程的两根为，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵是“快乐方程”， ∴，是整数， ∴是整数， ∵n为正整数， ∴n为完全平方数， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴或4， ∴ 或． 24. 在菱形中，点在对角线上，点、分别在边和上，连接，，且． （1）如图，求证：． （2）如图，延长交延长线于点，连接交于点，若为中点．求证：． （3）如图，在（2）的条件下，若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：在菱形中， ， ， ， ． ， ， ． （2）证明：在菱形中， ， ， 为中点， ． ， ． ， ， ． ， ，． ， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质证明即可； （2）利用菱形的性质证明即可； （3）取中点，连接，连接交于点，由及菱形的性质可得，和均为等腰直角三角形，；证明四边形为平行四边形，得E为中点；再证明，则得；在中，由勾股定理求得，即可求得四边形的面积． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 解：如图，取中点，连接，连接交于点， ，， ， 由（1）知， ∴， ， 由（1），， ，， ∴和均为等腰直角三角形，． ，， ∴四边形为平行四边形， ， 为中点， ，，， ，， ， ， 在中，，， ， ，，， ． 25. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当，时，求的长； （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】（1）证明：将绕点旋转得到，点的对应点落在边上， ，，， ， ． （2） （3）①证明：设旋转角为，则，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， ． ② 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质得到对应边相等，，，旋转角相等，再根据相似三角形的判定定理（两边成比例且夹角相等）证明； （2）先利用勾股定理求得斜边的长，过作，根据的正切值得到，然后在中利用勾股定理，求出的长，进而求得、的长，最后由，列出对应边比例关系，代入即可解得的长； （3）①根据旋转角度关系，得到，利用平行线的性质得到，又因为，，通过角度等量代换，推出，从而证明，所以，又因为，所以； ②设，，根据平行关系得到四边形是平行四边形，从而可以分别表示出，，由①可以推出，根据勾股定理，，所以和的正弦值为，再通过推出，进而求得，通过证明点，，，四点共圆得到，从而证明，列出对应边的比例关系，最后设，，，，分别表示出的长，列出二元一次方程组，解得的长计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ． 过作， ， ． 在中，， 即， 解得或（舍去） ， 在中，， ， ， ，即， ． 【小问3详解】 ①略 ②解：， 设，， ，， 四边形是平行四边形， ，，， 由①得，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 即， ， ， ，即， ， 由①可得，，， ， 点，，，四点共圆， ， ，， ， ， 设，，， 则①， 根据旋转可得， ② 联立①②可得，． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $