期中复习专题2——综合运算与推理证明- 2026-2027学年人教版八年级数学上册

期中复习专题2一一综合运算与推理证明 (人教版八年级上册：期中核心综合考点) 目录 一、专题定位 二、核心考点梳理 .2 三、必考、常考题型 2 题型1：三角形内角与外角综合计算 2 题型2：利用八字形、飞镖模型进行角度推导 .6 题型3：利用SSS、SAS、ASA、AAS判定三角形全等基础证明 13 题型4：利用HL判定直角三角形全等证明. …17 题型5：角平分线性质定理与判定定理综合证明 22 题型6：证明三角形全等之后进一步推导线段相等、角度相等 .29 题型7：等腰三角形“三线合一”、“等边对等角”求值证明. .35 题型8：线段垂直平分线性质综合求三角形周长、求角度39 题型9：等边三角形、含30°角的直角三角形边长计算… ..44 题型10：将军饮马模型求最短路径及线段和最小值 49 题型11：三角形中线等分面积转化求面积 56 题型12：全等三角形与等腰三角形综合证明. 60 题型13：等腰三角形与方程思想.… ..64 题型14：坐标系内轴对称作图结合线段长度计算. 68 一、专题定位 本专题整合第十三章三角形、第十四章全等三角形、第十五章轴对称三章核心中档重 难点，聚焦角度推导、规范几何证明、线段计算、轴对称应用四大核心能力，是八上期中 分值占比最高、提分关键的核心板块。区别于基础概念识记，本专题侧重定理性质的综合 运用、证明步骤的规范书写、分类讨论数学思想的落地，针对性解决学生导角出错、全等 证明逻辑混乱、步骤写不全、等腰三角形漏解等高频失分问题。适配期中第二轮专题复 习、课堂专项讲练、课后拔高训练、中档题型组卷测评，全面覆盖期中选择、填空、解答 高频中档考题。 二、 核心考点梳理 章节 考点 三角形外角性质综合导角；八字形、飞镖模型基础导角；多边形内角和已 三角形 知条件反求边数：三角形中线等分面积；利用方程思想求解三角形内角度 数 全等三角形五种判定方法的综合选用；公共边、公共角、对顶角等隐含条 全等三角形 件挖掘；全等之后线段相等、角相等的等量转化；角平分线性质与判定的 综合证明；尺规作图与全等证明结合；直角三角形HL判定的规范书写 线段垂直平分线性质综合求边长、求角度；等腰三角形边角分类讨论（未 指明腰与底、顶角与底角时的多解)；等边三角形性质与判定综合应用： 轴对称 含30°角的直角三角形边长计算；坐标系中轴对称与线段长度结合计算； 将军饮马模型求线段和最小值 三、必考、常考题型 题型1：三角形内角与外角综合计算 1.(26-27八年级上·福建龙岩阶段检测)如图，已知点D为△ABC的边BC延长线上 一点，DF⊥AB于点F,并交AC于点E,其中∠A=∠D=40°，求∠B和∠ACD的度 数. B 【答案】∠B=50°，∠ACD=90° 【分析】由直角三角形的两个锐角互余得出∠B=90°-∠D=50°，由三角形外角的定义可得出 ∠ACD=∠A+∠B=40°+50°=90° 解：DF⊥AB, ∠BFD=90°， ∠B=90°-∠D=50°， ∠ACD是△ABC的外角， ∠ACD=∠A+∠B=40°+50°=90° 2.(26-27八年级上·陕西榆林阶段检测)如图，BE是△ABC的外角∠ABD的平分 线，BE交CA的延长线于点E,∠C=30°，∠E=35°，则LBAC的度数为() A.95° B,100° C.105° D.110 【答案】B 【分析】根据三角形的外角的性质可得∠DBE=∠C+∠E=65°，则由角平分线的定义得到 ∠ABD=2∠DBE=130°，进而可由三角形外角的性质求解即可. 解：，∠C=30°，∠E=35°. .∠DBE=∠C+∠E=65° ,BE是△ABC的外角∠ABD的平分线， .∠ABD=2∠DBE=130°， .∠BAC=∠ABD-∠C=100° 3.(26-27八年级上辽宁鞍山阶段检测)已知非直角三角形ABC中，∠A=60°，高 BD与CE所在直线交于点H,则LBHC的度数是 【答案】60°或120° 【分析】分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，结合高的定义得到直角，再利用 内角和定理计算∠BHC的度数. 解：由题意得，BD、CE是△ABC的高，因此∠ADB=∠AEC=9O°： ①当△ABC为锐角三角形时，如图所示： B E D ,∠A=60°，∠ADH=90°， .∠EBH=180°-90°-60°=30°. ,∠BEH=90°， .∠BHC=∠BEH+∠EBH=120°， ②当△ABC为钝角三角形时，如图所示： E B :BD是高，在△ABD中，∠BAD+∠ABD=90°，∠A=60°， ∴.∠ABD=30°， ∴.∠EBH=∠ABD=30°. ,CE是高，∠BEH=90°， ∴.在△BEH中，∠BHC=180°-90°-30°=60°： 综上，∠BHC的度数是60°或120°. 4.(26-27八年级上·吉林长春阶段检测)如图，在△ABC中，AD、AF分别是△ABC 的中线和高，BE是△ABD的角平分线， (1)若LBED=60°，∠BAD=40°，求∠BAF的度数. (2)在(1)的条件下，若△ABC的面积为40，BD=5,则AF的长为 E B D 【答案】(1)50°；(2)8 【分析】(1)先利用三角形的外角性质计算出∠ABE=20°，再利用角平分线定义得到 ∠ABC=2∠ABE=40°，然后根据高的定义和互余两角的性质求出∠BAF的度数： (2)先根据题意得到BD=CD=5,BC=10,然后利用三角形面积公式求AF的长. (1)解：∠BED=∠ABE+∠BAE, .∠ABE=60°-40°=20°， :BE平分∠ABC, .∠ABC=2∠ABE=40° :AF是高， .∠AFB=90°， .∠BAF=90°-∠ABF=90°-40°=50°. (2)解：AD是△ABC的中线，BD=5, :.BD=CD=5 ∴.BC=5+5=10 1 S.Ac=BC.AF=40, 2 ∴.AF=8 题型2：利用八字形、飞镖模型进行角度推导 1.(25-26七年级下·湖南衡阳期末)如图1，已知线段AB、CD相交于点O,连接 AC、BD,则我们把形如这样的图形称为“8字型”· (1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D; (2)如图2所示，∠1=130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 (3)如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,且与CD,AB分别 相交于点，M,N,若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数. M 图1 图2 图3 【答案】(1)证明：，∠A+∠C=180°-∠A0C,∠B+∠D=180°-∠BOD ,∠AOC=∠BOD. .∠A+∠C=∠B+∠D: (2)260°： (3)∠P=110° 【分析】(1)根据三角形的内角和即可得到结论： (2)由三角形外角性质得LDME=∠A+∠E,∠3=∠DME+∠D,则∠A+∠E+∠D=∠3， 由三角形外角性质得∠2=∠3+∠F,则∠3+∠F=2=1=130°，所以 ∠A+∠E+∠D+∠F=130°，又由三角形外角性质得∠B+∠C=A=130°，则 ∠A+∠E+∠D+∠F=130°，即可求解： (3)根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP,再根据三角形内角和定理得 到LCAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,两等式相加得到2∠P=∠C+∠B, 即∠P=)(∠C+∠B,然后把∠C=120,∠B=100代入计算即可： 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，熟练掌握知识点的应用 是解题的关键 解：(1)略 (2)如图2， B、 E 图2 ,∠DME=∠A+∠E,∠3=∠DME+∠D. ∴.∠A+∠E+∠D=∠3， ∠2=∠3+∠F，∠1=130°， .∠3+∠F=∠2=∠1=130°， .∠A+∠E+∠D+∠F=130°， :∠B+∠C=∠1=130°， ∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°， 故答案为：260°： (3)解：以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,以N为交点“8字 型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP, ∴.2LP+LBAP+LCDP=∠B+LC+∠CAP+∠BDP, :APDP分别平分∠CAB和∠BDC, ∴.∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP, ∴.2∠P=∠B+∠C, :∠B=100°，∠C=120°， ∠P=(∠B+∠C)=710°+120)=110°. .∠BCD=∠1I+∠2+∠BAD. :∠BAD>0°， .∠BCD比∠I+∠2还要大一个∠BAD的度数， .∠1+∠2<∠C 3.(26-27八年级上湖北荆州阶段检测)如图，AD,BC相交于点O,连接AB, CD.若∠A=55°，∠B=30°，∠C=60°，则∠D的度数为 B D 【答案】25°/25度 【分析】首先根据三角形外角的性质求出∠BOD=∠A+∠B=85°，再利用三角形外角的性质可 得∠D=∠BOD-∠C=25° 解：∠A=55°，∠B=30°， ∴.∠BOD=∠A+∠B=55°+30°=85° 又：∠B0D=∠C+∠D,∠C=60°， ∴.∠D=∠B0D-∠C=85°-60°=25° 4.(25-26七年级下·吉林长春阶段检测)请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图1，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可 证∠ADB=∠A+∠B+∠C.在探究∠A,∠B,∠C,∠ADB之间的关系时，小明同学提供 如下两种方法 C A 24 D D 113 A F B 图1 图2 图3 方法一：如图2，连接AB,则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°， 又.在△ABD中，∠I+∠2+∠ADB=180°， .∴.∠ADB=∠3+∠4+∠C, 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C. 方法二：如图3，连接CD并延长至F, .∠I和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角， ∴.∠1=∠_+∠_. ∠3=∠_+∠- .∠ADB=∠I+∠3 .∴.∠ADB=∠.+∠+∠+∠ .∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C. 解答下列问题. (1)根据“方法二”中辅助线的添加方式，补全方法二的证明过程； (2)如图1，当∠A=30°，∠B=40°，∠ADB=120°时，直接写出∠C=_°. (3)应用：如图4，∠ABC=100°，∠DEF=130°，直接写出∠A+∠C+∠D+∠F=-· A E0130° 100° B D 图4 【答案】(1)2；CAD:4;CBD:CAD:2;4;CBD:(2)50;(3)230° 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，新定义的运用，三角形的外 角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键。 ()根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，列式，结合角的等量代换和运 算，即可作答， (2)把∠A=30°，∠B=40°，∠ADB=120°代入∠ADB=∠A+∠B+∠C,进行计算即可作答. (3)连接AD,结合图1的结论，列式计算，整理式子，即可作答， 解：(1)略 (2)解：，∠ADB=∠A+∠B+∠C ∴把∠A=30°，∠B=40°，∠ADB=120°代入， 得120°=30°+40°+∠C 解得∠C=50°， (3)解：连接AD,如图所示： F E 130° 5 100° 6 3 C D 由方法一，在四边形ABCD中，得100°=∠3+∠5+∠6： 在四边形ADEF中，得130°=∠2+∠4+∠1： .∠A=∠4+∠5，∠B=∠1，∠C=∠6，∠D=∠2+∠3， .100°+130°=∠3+∠5+∠6+∠2+∠4+∠1=∠A+∠C+∠D+∠F 即∠A+∠C+∠D+∠F=230° 题型3：利用SSS、SAS、ASA、AAS判定三角形全等基础证明 1.(26-27八年级上·全国课后作业)根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给 出的两个三角形全等？ (1)如图①，线段AD与BC相交于点O,AO=D0,BO=C0.△ABO和△DCO. (2)如图②，AC=AD,BC=BD.△ABC和△ABD. (3)如图③，线段AC与BD相交于点O,∠A=∠C,∠B=∠D.△AB0和△CD0. (4)如图④，∠CAB=∠DBA,∠I=∠2.△ABC和△BAD. ② 4 【答案】(1)能：(2)能：(3)不能：(4)能 【分析】(1)利用SAS即可证明两个三角形全等： (2)利用SSS即可证明两个三角形全等： (3)两个三角形没有一组边对应相等，故不能判定两个三角形全等： (4)利用ASA即可证明两个三角形全等. (1)解：能，证明如下： 在△ABO和△DCO中， AO=DO ∠AOB=∠DOC, BO=CO :.△ABO≌aDCO(SAS): (2)解：能，证明如下： 在△ABC和△ABD中， AC=AD BC=BD AB=AB :.△ABC2aABD(SSS): (3)解：不能，理由如下： :在△ABO和△CDO中，只有∠A=∠C,∠B=∠D,没有一组边对应相等， ∴，不能判定△AB0与△CD0全等： (4)解：能，证明如下： 在△ABC和△BAD中， [∠CAB=∠DBA AB=BA ∠1=∠2 .△ABC≌aBAD(ASA) 2.(26-27八年级上江苏宿迁阶段检测)如图已知AB⊥AC,CD⊥BD,增加以下一 个条件，仍不能判定△ABC与△DCB全等的是() D B A.∠ABE=∠DCE B.AC=BD C.AB=DC D.∠ABC=∠DCB 【答案】A 【分析】先确定已知条件：因为AB L AC,CD⊥BD,所以∠A=∠D=90°，且两个三角形有 公共边BC=CB,两个三角形均为直角三角形.逐一分析每个选项给出的条件，结合直角三角 形全等判定定理(HL、AAS、ASA、SAS),判断是否能满足全等判定的要求. 找出不符合全等判定条件的选项即可. 解：AB LAC,CD⊥BD, .∠A=∠D=90°， 且两个三角形△ABC和△DCB有公共斜边BC=CB, 逐一分析选项： 选项A:∠ABE=∠DCE, 只能证明△ABE和△DCE的三个内角对应相等，没有对应边相等， △ABC和△DCB中：∠A=∠D=90°，BC公共，∠ABE=∠DCE, 无法推出∠ABC=∠DCB或者一组直角边相等， 不能判定△ABC≌△DCB 选项B:AC=BD, 两个直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等， 符合直角三角形全等的HL判定定理， 可证RtAABC≌RtADCB 选项C:AB=DC, 同理，斜边和另一条直角边对应相等， 符合HL判定， 可证两个三角形全等， 选项D:∠ABC=∠DCB, 结合已知的∠A=∠D=90°、公共边BC=CB, 符合AAS全等判定， 可证△ABC≌△DCB 3.(25-26七年级下·广东佛山期末)如图，一块三角形模具不慎被打碎为三块.若 只带其中一块去商店配一块与原来一样的三角形模具，应带一（填序号 ①②③)· ② ③ 【答案】① 【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形即可得出答案， 解：由图形可知，只带①的一块碎片到商店去合适，①有完整的两角与夹边，由“ASA”可 以作出与原三角形全等的三角形： ②没有完整的边或角，③只有一个完整的角，由全等三角形的判定方法，②和③都不可以作出 与原三角形全等的三角形 4.(24-25八年级上贵州铜仁期末)如图，点E、F在直线AC上，现有以下6个条 件：①AE=CF;②AD=BC;③LA=LC;④BE=DF:⑤BE∥DF;⑥AD‖BC, (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的 判定定理来判断 △ADF≌△CBE(注意：边用“S”,角用“A”表示) (2)请用(1)中的判定定理选条件 (填序号) (3)请你用(1)中的判定(2)中的条件写出证明△ADF≌△CBE的证明过程】 B 【答案】(1)SAS(答案不唯一)：(2)①②③（答案不唯一）：(3)证明：：AE=CF ∴.AE+EF=CF+EF, 即AF=CE, 在△ADF和△CBE中， AD=BC ∠A=∠C AF=CE :.△ADF≌aCBE(SAS). 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键. (1)根据全等三角形的判定条件，求解即可： (2)根据全等三角形的判定条件，求解即可： (3)先推导出AF=CE,再根据SAS证明△ADF≌△CBE即可. (I)解：我准备用我们日前学的全等三角形判定中的SAS判定定理来判断△ADF≌△CBE, 故答案为：SAS(答案不唯一)， (2)解：根据SAS判定定理来判断△ADF≌△CBE,需要选条件①②③. 故答案为：①②③（答案不唯一）. (3)略 题型4：利用HL判定直角三角形全等证明 1.(25-26七年级下·江苏苏州期末)如图，已知Rt△ABC≌R△DBE,其中 ∠C=∠DEB=90°，DE的延长线与AC相交于点F,连接BF. (I)求证：△BCF≌aBEF: (2)若EF=1,DE=4,求AF的长. D E 【答案】(1)证明：∠DEB=90°， ∴.∠BEF=90° ·Rt△ABC≌Rt△DBE」 :BC=BE, 在Rt△BCF和Rt△BEF中， BF=BF BC=BE' .RtaBCFSRtABEF(HL): (2)3 【分析】(I)根据Rt△ABC≌Rt△DBE,得BC=BE,即可证明△BCF≌aBEF, (2)根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得AF的长. 解：(1)略 (2)解：Rt△ABC≌Rt△DBE, :DE=AC. DE=4, .AC=4 :RtaBCF≌RtABEF, :.CF=EF, EF=1, .CF=1 ∴.AF=AC-CF=4-1=3 2.(26-27八年级上河北沧州·阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标 是(0,2.5)，点C的坐标是(4,4)，点B在x轴正半轴上，且AC=BC,∠OBC为锐角， 则四边形AOBC的面积为() A A.12 B.16 C.18 D.20 【答案】B 【分析】过点C作CD⊥y轴，CE⊥x轴，说明Rt△ACD≌Rt△BCE,从而AD=BE,根据点A 坐标可求梯形AOEC与△BCE面积，即可求解. 解：过点C作CDLy轴，CE⊥x轴，垂足分别为D,E, Dh. A E B衣 则∠ADC=∠BEC=90°， :点C的坐标是(4,4)， ∴.CD=CE=4,OD=OE=4, 在RtAACD和RtABCE中， AC=BC CD=CE .∴RtAACDS≌RtABCE(HL) :AD=BE, 点4的坐标是(0,2.5)， .0A=2.5, .AD=4-2.5=1.5 .BE=AD=1.5. .5nwwSaex2)x4+x5x416 3.(25-26八年级下·全国·暑假作业)木工师傅常用角尺平分一个角，如图①所示. 学生小明可用三角尺平分一个角，如图②所示.他们在∠AOB两边上分别取出 OM=ON,前者使角尺两边相同刻度分别与M,N重合，角尺顶点为P;后者分 别过M,N作OA,OB的垂线，交点为P,则射线OP平分∠AOB,均可由 △OMP≌△ONP得知，其依据分别是 图① 图② 【答案】 SSS H 【分析】本题考查了全等三角形两种不同判定方式，都实现了角的平分 解：如图①所示，由角尺两边相同刻度分别与M,N重合，可知MP=NP, 故在△OMP和△ONP中， OM=ON 由 OP=OP ,得 MP=NP AOMP≌aONP(SSS) 如图②所示，由所作垂线可知∠OMP=∠ONP=90°， 故在RtAOMP和RtAONP中， OM=ON 由OP=OP，得aOMP≌aONP(HL) 4.(25-26八年级下·贵州贵阳期中)如图，是两个长度相同的梯子BC与EF靠在一 面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度AC与右边梯子水平方向的长度DF相 等 (I)△ABC与△DEF全等吗？请说明理由. (2)若DF=3m,DE=6m,AD=2.6m,求线段BF的长度. B D 【答案】(1)全等，理由如下： 由题意可知，AC=DF,BC=EF,∠BAC=∠EDF=90°， ∴在Rt△ABC和Rt△DEF中， AC=DF BC=EF· :.RtABCSRIADEF (HL): (2)11.6m 【分析】(1)由两个直角三角形全等的判定定理HL判定即可： (2)由全等的性质得到AB长，数形结合表示出BF=BA+AD+DF求解即可. 1)解：略： (2)解：由(I)知RIAABCS≌RLADEF(HL), .AB=DE =6m, .DF =3m.AD=2.6m, :线段BF=BA+AD+DF=6+2.6+3=I1.6(m)」 题型5：角平分线性质定理与判定定理综合证明 1.(26-27八年级上江苏苏州阶段检测)如图，已知△ABC的外角∠BAD、∠ABE的 平分线AP、BP相交于点P. (1)求证：点P在∠C的平分线上. (2)直接写出∠APB与∠C的数量关系. B D 【答案】(I)证明：过点P分别作PM⊥CA于点M,PN LAB于点N,PF⊥CE于点F, D E AP平分∠BAD,PM⊥CA,PN⊥AB, :PM=PN. :BP平分∠ABE,PF⊥BE,PN⊥AB :.PF=PN. :PM=PF, ·点P在∠C的平分线上 (2)∠C+2∠APB=180° 【分析】(I)过点P分别作PM⊥CA于点M,PN⊥AB于点N,PF⊥CE于点F,根据角 平分线的性质定理可知PM=PN,PF=PN,故PM=PF,再根据角平分线的判定定理即可 证明； (2)由角平分线的性质证明∠APM=∠APN,∠BPF=∠BPN,故∠MPF=2∠APB,再由四 边形的内角和即可解答. 解：(1)略： (2)解：PM⊥CA,PF⊥CE, :.∠PMC=∠PFC=90°」 ∴.∠PMC+∠PFC=180° ∴.∠C+∠MPF=180°， :AP平分∠BAD, .∠MAP=∠NAP PM⊥CA,PN⊥AB. ∴.∠AMP=∠ANP=90°， .∠APM=∠APN 同理∠BPN=∠BPF, ∠APN+∠BPN=∠APM+∠BPF= -∠MPF APB-MPF. .∠MPF=2∠APB. .∠C+2∠APB=180° 2.(26-27八年级上内蒙古呼和浩特·期中)如图，在△ABC中，AB=9,AC=3, BC=7,点D在边BC上，点D到边AB,AC的距离相等，且AE=AC,则△BDE的 周长等于() A.10 B.13 C.16 D.19 【答案】B 【分析】先根据角平分线的判定得出∠CAD=∠EAD,根据SAS证明△ACD≌△AED,得出 CD=DE,然后根据三角形的周长公式求解即可. 解：：点D到边AB,AC的距离相等， .∠CAD=∠EAD. 又AC=AE,AD=AD, .△ACD≌△AED(SAS), ..CD=DE, ..AB=9,AC=3.BC=7,AC=AE, ∴.BE=AB-AE=6, ,△BDE的周长等于DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=I3. 3.(26-27八年级上辽宁营口阶段检测)如图，△ABC中，AB=5,AC=4,以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E,再分别以点D、E为圆 心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F,连接AF并延长交BC于点G, GH⊥AC于H,GH=2,则△ABC的面积为 B G 【答案】9 【分析】根据尺规作图痕迹判断AG为∠BAC的角平分线，利用角平分线的性质得出点G到 AB的距离等于GH,将△ABC的面积转化为△ABG与△ACG的面积之和进行计算. 解：如图，过点G作GM⊥AB于点M, E B G 由作图痕迹可知，AG是∠BAC的角平分线， AG平分∠BAC,GM⊥AB,GH⊥AC, ∴.GM=GH GH=2, ∴.GM=2 8m=8+5m74B.Gw+分4CGx5x2+x42=9 4.(26-27八年级上山东日照·阶段检测)已知AB=AC,AE=AF, ∠BAC=∠EAF=90°，BF、CE交于点M,连接AM. (1)求证：BF=CE, (2)求∠AMC的度数. 【答案】(1)证明：∠BAC=∠EAF=90°， :.∠BAC+∠FAC=∠EAF+∠FAC, .∴∠EAC=∠FAB AE=AF 在和 中∠EAC=∠FAB △EAC△FAB AC=AB .△EAC2AFAB(SAS), :.BF=CE: (2)解：∠AMC=135°， 理由如下： △EAC2△FAB(SAS), ∴.∠ACE=∠ABF :∠BAC=90° .∠ACB+∠ABC=90° ∴.∠ACB+∠ABF+∠MBC=90°. .∠ACB+∠ACE+∠MBC=90°， .∠MCB+∠MBC=90°， .∠BME=∠MCB+∠MBC=90°，∠BMC=180°-∠MCB-∠MBC=180°-90°=90° 如下图所示，过点A作AN⊥EC,AG⊥BF, :△EAC≌△FAB(SAS). ∴.SEMc=S.FAB,EC=BF, .EC.AN=TBF-AG, 2 .AN=AG ∴.MA平分∠BME, ÷∠AMB=I∠BME=450. 2 ∴.∠AMC=∠AMB+∠BMC=45°+90°=135° 【分析】(1)利用SMS可证△EAC≌aFAB(SAS),根据全等三角形对应边相等可证结论成 立 (2)根据全等三角形的性质可证∠BME=∠BMC=90°，过点A作AN⊥EC,AG⊥BF,根 据三角形的面积公式可证AW=AG,根据到角两边距离相等的点在角平分线上，可证MA平分 ∠BME,从而可以求出∠AMB=45°，再根据角之间的关系求出结果. 解：(1)略 (2)解：：△EAC≌aFAB(SAS), ∠ACE=∠ABF, :∠BAC=90°， ∠ACB+∠ABC=90°， ∴.∠ACB+∠ABF+∠MBC=90° .∠ACB+∠ACE+∠MBC=90°， ∴.∠MCB+∠MBC=90° ∴.∠BME=∠MCB+∠MBC=90°.∠BMC=180°-∠MCB-∠MBC=180°-90°=90° 如下图所示，过点A作AN⊥EC,AG⊥BF, B :AEAC≌△FAB(SAS). ∴.SEMC=S.FAB,EC=BF, 2ECAN=BrAG, 。 .AN=AG .MA平分∠BME, ZAMB=ZBME =45 ∴.∠AMC=∠AMB+∠BMC=45°+90°=135° 题型6：证明三角形全等之后进一步推导线段相等、角度相等 1.(26-27八年级上江苏苏州阶段检测)如图，在△ABC中，点P是BC垂直平分线 上一点，过点P作PD⊥AB,交BA的延长线于点D,PE⊥AC于点E,且PD=PE. (I)求证：BD=CE: (2)若AB=3,AC=7,求AD的长. E B 【答案】(1)证明：：点P在BC的垂直平分线上， ∴PB=PC :PD⊥AB,PE⊥AC ∴.∠BDP=∠CEP=90° 在RtAPBD和Rt△PCE中， PB=PC PD=PE' :RtAPBDSRtAPCE(HL), .BD=CE (2)2 【分析】(I)由垂直平分线的性质得到PB=PC,结合PD=PE,利用HL证得 Rt△PBD≌Rt△PCE,从而得到BD=CE: (2)先利用HL证明RtAPADS≌RtAPAE,得到AD=AE,设AD=x,则AE=x,BD=3+x ,CE=7-x,利用BD=CE建立方程求解即可. 解：(1)略 (2)解：如图，连接PA. B O 在Rt△PAD和RtAPAE中， 「PA=PA PD=PE .RtPADSRtAPAE(HL). .AD=AE 设AD=x,则AE=x, 已知AB=3,AC=7, :BD=AB+AD=3+x, CE=AC-AE=7-x. 由(1)得BD=CE, 3+x=7-x, 解得x=2 .AD的长为2. 2.(2026山西朔州模拟预测)如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD,垂足为 F.若∠ABC=30°，∠C=50°，则∠CDE的度数为() 9 A.45° B.40° C.55 D.50° 【答案】D 【分析】由题意易得∠BAC=180°-∠ABC-∠C=100°， BD=∠EBD-)∠ABC=I5,LAFB=∠EFB=90°，然后可得AABF≌AEBF(ASA △ABD≌△EBD(SAS),进而根据全等三角形的性质进行求解即可. 解：：∠ABC=30°，∠C=50°， .∠BAC=180°-∠ABC-∠C=100°， :BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD, :.∠ABD=∠EBD=)∠ABC=15,∠AFB=∠EFB=90°、 .∠ADB=180°-∠BAC-∠ABD=65°， ..BF =BF, :.△ABF≌aEBF(ASA), .AB=EB, BD=BD, △ABD≌AEBD(SAS). ∴.∠EDB=∠ADB=65°， ∴.∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=50° 3.(25-26八年级上·上海普陀阶段检测)在△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC交 AC边于点D,BC=AB+AD,则∠ABC= 【答案】45 【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及角度计 算.已知AB=AC,，说明△ABC是等腰三角形，底角相等；由BC=AB+AD,可能通过截取 线段（在BC上取一点E,使BE=AB,连接DE)构造全等三角形来转化等量关系，得到等 腰△DEC,进而结合三角形内角和定理求解. 解：设∠ABC=x, ..AB=AC. :.∠ABC=∠C=x, 在BC上取一点E,使BE=AB,连接DE, A D B E C :BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD, .BD=BD, ∴.△MBD≌EBD(SAS), .AD=DE,∠A=∠DEB, .BC=AB+AD=BE+AD,BC=BE+EC. .AD DE=EC. .∠EDC=∠C=x, ∠DEB=∠C+∠EDC, .∠A=2∠C=2x, .x+2x+x=180°， x=45°， .∠ABC=45°， 故答案为：45. 4.(26-27八年级上四川自贡·阶段检测)如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD,垂 足为E,CF⊥AD,交AD的延长线于点F,G是DA延长线上一点，连接BG. (1)求证：DE=DF: (2)若BG=CA,DE=4,求AG的长. G E B 【答案】(I)证明：：AD是△ABC的中线， .BD =CD, 又：BE⊥AD,CF⊥AD, .∠BED=∠F=90°. 又，∠BDE=∠CDF, △BDE≌aCDF(AAS), ∴DE=DF (2)AG=8 【分析】(1)由中线得到BD=CD,结合垂直条件得到直角，再利用对顶角相等，通过AAS 证明△BDE≌aCDF,根据全等三角形对应边相等证得DE=DF. (2)由(I)得到BE=CF,结合已知BG=CA,利用HL证明RtABEGS≌RtACFA,得到 GE=AF,进行线段等量代换，求出AG的长度。 解：(1)略 (2)解：由(1)知：aBDE≌aCDF, .DE=DF,BE=CF. 由(I)知：∠BED=∠F=90°， ∴.∠BEG=∠F=90°， 又BG=AC, .RtABEGRtACFA (HL), ..GE=AF. .GE-AE AF-AE, 即AG=EF=DE+DF=4+4=8. 题型7：等腰三角形“三线合一”、“等边对等角”求值证明 1.(26-27八年级上·江苏扬州：阶段检测)已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底 边BC上的高，DEI AB,且DE交AC于点E, (I)求证：△ADE是等腰三角形： (2)若AB=10,求DE的长. ● B D 【答案】(1)证明：~AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高， .∠BAD=∠CAD DE∥AB, ∠EDA=∠BAD. ∴.∠EDA=∠CAD, ∴.AE=DE, :∴△ADE是等腰三角形. (2)5 【分析】(1)根据等腰三角形的性质和平行线的性质证明即可： (2)根据等腰三角形的判定和性质解答即可 解：(1)略 (2)解：△ABC是等腰三角形， .∠B=∠C, DE∥AB, .∠EDC=∠B ∴.∠EDC=∠C, :DE=EC, DE=AE, ∴.DE=AE=EC= 2 2 AB=10 1 1 .DE=。AB=。×10=5 2 2 2.(26-27八年级上江苏南通阶段检测)如图，在等腰△ABC中，∠A=50°，分别以 点A、点B为圆心，大于2AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N,连接MN, 直线MN与AC交于点D,连接BD,则∠DBC的度数是() A.15° B.20° C.25° D.30° 【答案】A 【分析】由等腰三角形性质求出∠ABC=65°，再根据MN是AB的垂直平分线得出BD=AD ,求出∠A=∠ABD=50°，即可求出结论. 解：在等腰△ABC中，∠A=50°， ∠ABC=∠C-1s0r,s0-65, 2 由题意得：MN是AB的垂直平分线， ∴BD=AD, ∴.∠A=∠ABD=50°， ∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15° 3.(26-27八年级上江苏连云港阶段检测)如图，在△ABC中，∠A=0°， AB=AC=6,D为边BC的中点，点E,F分别在边AB,AC上，AE=CF,则四边 形AEDF的面积为 【答案】9 【分析】连接AD,由等腰直角三角形的性质可得AD=BD=CD，,∠BAD=∠C=45°， S.-乞X6x6=18,由“SMS”可证AADB2ACDF,可得SM=S,e即可求解. 解：如图，连接AD, :∠BAD=90°，AB=AC=6,D为边BC的中点， 六AD=BD=CD:∠BAD=∠C=450,S4c=2×6x6=18, 在△ADE和△CDF中， AD=CD ∠BAD=LC, AE=CF ·.△ADE≌aCDF(SAS), S.4DE=SACDF 1 ∴.S四边形ABDr=SADc=)S.ABC=9 2 4.(26-27八年级上江西·阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边 上一点，BD=BC,ED⊥AB于点D,CD交BE于点F. (I)求证：BE垂直平分CD: (2)若BE=5,BC=4,CE=3,直接写出CD的长 B 【答案】(1)证明：：ED⊥AB,∠ACB=90°， .∠BDE=90°=∠ACB BE=BE,BD=BC. ∴.RtABCE≌RtABDE(HL). .∠DBF=∠CBF. .CF=DF,BF⊥CD ·.BF垂直平分CD, 即BE垂直平分CD: 4 2)5 【分析】(I)利用“HL”证明Rt△BCE≌Rt△BDE,再结合等腰三角形三线合一的性质推出 CF=DF,BF⊥CD,进而证明BE垂直平分CD: (2)利用等面积法求出CF,进而即可求出CD的长. 解：(1)略 (2)解：BF⊥CD .CF⊥BE, S.RCE= ×45CF 2-2· 解得CP= 5 CF=DF, CD=2x12-24 55· 题型8：线段垂直平分线性质综合求三角形周长、求角度 1.(25-26八年级下陕西西安期中)如图，在△ABC中，直线I是BC边的垂直平分 线，分别交AB,BC于点D,E,连接CD. (I)若AC=6,AB=13,求△ACD的周长： (2)如图，已知点F在线段DE上，且点F在边AB的垂直平分线上，连接BF, CF,试判断点F是否在边AC的垂直平分线上，并说明理由. B 【答案】(1)19：(2)点F在边AC的垂直平分线上，理由如下： 连接AF, E 点F在边AB的垂直平分线上， ∴AF=BF 点F在线段DE上，DE垂直平分BC, ..BF=CF. ∴.AF=CF ∴.点F在AC的垂直平分线上. 【分析】(1)根据垂直平分线的性质可知BD=CD,则△ACD的周长可转化为AC+AB,即 可解答； (2)连接AF,根据垂直平分线的性质和判定即可证明. (1)解：直线I垂直平分BC,交AB于点D, .CD=BD, ∴.AD+CD=AD+BD=AB .AD+CD+AC=AB+AC=13+6=19 即△ACD的周长为19 (2)略. 2.(26-27八年级上湖南长沙阶段检测)如图，等腰△ABC的腰长为8，底边BC的 长为5，腰AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则△BEC的周长 为() E A.13 B.12 C.11 D.16 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE,所以△BEC的周长可表示为 AE+CE+BC=AC+BC,即可求解. 解：DE垂直平分AB, .AE=BE, ∴.△BEC的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13, 3.(25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测)如图，在△ABC中，AF平分∠BAC,AC 的垂直平分线DE交BC于点E,交AC于点D,∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C= 【答案】24 【分析】根据垂直平分线的性质和等边对等角，可得：∠C=∠EAC,根据角平分线的定义可 知∠BAC=38°+2∠C,根据三角形的内角和定理可以求出∠C的度数. 解：~DE是AC的垂直平分线， :.EA=EC, .∠C=∠EAC, :∠FAE=19°， ∴.∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠C AF平分∠BAC, ∴.∠BAC=2∠FAC=38°+2∠C, :∠B=70° .∠B+∠BAC+∠C=70°+38°+2∠C+∠C=180°， ∴.∠C=24° 4.(25-26七年级下江西吉安期末)如图，在△ABC中，点D,E分别在AC,BC 边上，连接AE,BD交于点F,且BD垂直平分AE,连接DE. (1)若∠ABC=30°，∠C=50°，求∠CDE的度数： (2)若aABC的周长为30，△DEC的周长为10，求AB的长. G B 【答案】(1)∠CDE=50°；(2)AB=10 【分析】(I)过点D作DH∥BC,根据垂直平分线的性质得出AB=BE，,AD=DE,即可证 明△ABD≌△EBD(SSS)),得出∠ABD=∠EBD=15°，∠ADB=∠EDB,根据平行线的性质得 出∠ADH=50°，∠BDH=15°，∠ADB=∠EDB=65°，根据平角的定义即可求出∠CDE的度 数 (2)根据△DEC的周长为I0,结合AD=DE得出AC+CE=10,根据△ABC的周长为30得出 AB+BE=20,根据AB=BE即可得出答案. (1)解：如图，过点D作DH∥BC, B BD垂直平分AE, .AB=BE,AD=DE, AB=BE 在 与 中， AD=DE △ABD△EBD BD=BD .△ABD≌△EBD(SSS) ∠ABC=30°， :ABD=∠BBD-ABc=I5,∠ADB=∠BDB 2 .DH∥BC,∠C=50° .∠ADH=∠C=50°，∠BDH=∠EBD=15°， ∴.∠ADB=∠EDB=∠ADH+∠BDH=50°+15°=65°， .∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=180°-65°-65°=50° (2)解：：aDEC的周长为10，AD=DE, .CD+DE+CE=CD+AD+CE=AC+CE=10. .△ABC的周长为30， ∴.AB+BC+AC=30,即AB+BE+CE+AC=30, .AB+BE=30-10=20. AB=BE, AB=10 题型9：等边三角形、含30°角的直角三角形边长计算 1.(26-27八年级上湖南长沙阶段检测)已知，如图，△ABC为等边三角形， AE=CD,AD、BE相交于点P,BO⊥AD于O. (1)求证：BE=AD; (2)求∠BP9的度数： (3)若P№=3，PE=1,求AD的长. D D 【答案】(1)证明：：△ABC为等边三角形， .AB=CA,∠BAE=∠C=60°， 在△AEB与△CDA中， AB=CA ∠BAE=∠ACD AE=CD .△AEB≌△CDA(SAS), :BE AD: (2)60° 3)7 【分析】(I)根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得 △AEB≌△CDA(SAS)即可得到结论： (2)利用(1)中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得∠BP卫=60°： (3)利用(2)的结果求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到 2PO=BP=6,则易求BE=BP+PE=7. 解：(1)略 ()解：由(1)知，△AEB≌△CDA,则∠ABE=∠CAD, .'∠BAD+∠ABP=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°， .∠BP9=∠BAD+∠ABP=60°： (3)解：由(2)知∠BP2=60°， BQ⊥AD .∠PB0=30°， :PO=BP=3, 2 .BP=6 ∴.BE=BP+PE=7, .AD=BE=7 2.(25-26八年级下·陕西汉中期末)如图，等边△ABC的边长为8，点D在边AC 上，AD=2,过点D作DEIAB交BC于点E,连接AE,点F在EC上，连接AF, AF=AE,则EF的长为() B A.4 B.3 C.2 D.3 【答案】A 【分析】根据△ABC是等边三角形得AB=AC=BC=8,∠C=∠B=60°，则CD=6,证明 △DEC是等边三角形得CE=CD=6,则BE=2,再证明△ACF≌△ABE(AAS),得 CF=BE=2,由此可得EF=CE-CF=4. 解：：等边△ABC的边长为8， .AB=AC=BC=8,∠C=∠B=60°， :点D在边AC上，AD=2, .CD=AC-AD=8-2=6, DE∥AB, ∠DEC=∠B=60°， .∠DEC=∠C=60° ∴.△DEC是等边三角形， .'CE=CD=6. .BE=BC-CE=8-6=2, AF=AE, ∴.∠AEF=∠AFE, .∠AFC+∠AFE=180°，∠AEB+∠AEF=180°， .∠AFC=∠AEB. 在△ACF和△ABE中， ∠AFC=∠AEB ∠C=∠B AF=AE .△ACF≌aABE(AAS), ..CF=BE=2, .EF=CE-CF=6-2=4 3.(26-27八年级上江苏苏州阶段检测)如图，在等边△ABC中，F是AB的中点， FE⊥AC于E,如果△ABC的边长是8，则AE=一· B 【答案】2 【分】根搭等边三角形的性质及环14C:可推出∠AE=30心：狗4E=4F=B=2. 4 解：：△ABC是等边三角形， .∠A=60° ,EF⊥AC, ∴.∠AFE=30°， AE=)A=4B=2 4 4.(26-27八年级上四川绵阳·阶段检测)如图，在等边三角形ABC中，点E在AC 上，点D在BC的延长线上，且AE=EC=CD,连接DE并延长交AB于点F. (I)求证：DF⊥AB; (2)若EF=2,求DF的长. E B D 【答案】(1)证明：“等边△ABC, .∠B=∠ACB=∠BAC=60°， .EC=CD, ∴.∠D=∠CED, .'∠ACB=∠D+∠CED=2∠D 2D=4cB=30. .∠D+∠B=90° .∠DFB=180°-（∠D+∠B)=90°， .DF⊥AB (2)6 【分析】(1)根据等边三角形的性质，三角形外角性质，，三角形内角和，垂直定义证明即 可： (2)利用等边三角形的性质，直角三角形的性质解答即可. 解：(1)证明：略 (2)解：如图，连接BE, 等边△ABC, ∴.BA=BC,∠ABC=60°， .EC=EA, 1 ∴.BE⊥AC,∠ABE=∠CBE=∠ABC=30° 2 E ∴.∠D=∠CBE. .BE=DE, DF⊥AB,EF=2, .∴.BE=2EF=4, .BE DE=4, ∴.DF=EF+DE=6, 题型10：将军饮马模型求最短路径及线段和最小值 1.(25-26七年级下·上海期末)如图，已知∠A0B,点P在∠AOB的内部. (1)利用无刻度的直尺和圆规，按下列要求完成作图（保留痕迹，写出结论，不 写作法)： ①作点P关于直线OB的对称点P、以及点P关于直线OA的对称点B: ②连接OR OB RB,得到△OP. (2)在(1)的情况下，如果∠A0B=30,OP=6.在射线0A、OB上分别取动点 M、N,试求aPMN周长的最小值，并说明点M、N在什么位置时取到最小值. A ●p B 【答案】(1)如图，△OPB即为所求： (2)6:点M,N分别为线段B与直线OA,OB的交点. 【分析】(1)先分别过点P作直线OB,OA的垂线，然后再截取出B,B的位置即可： (2)连接OP,MB,N,证明△OB是等边三角形，则PB=O=6,故△PMN的周长 =PM+MN+PN=BM+MN+N≥PB=6,故当点B,M,N,?共线时，△PMN的周长取得 最小值为6 (1)解：略； (2)解：连接OP,MP,NR, B 由对称可得，OB=OP=OR=6,∠ROA=∠POA,∠ROB=∠POB,PM=BM,PN=RN, .∠AOB=30°， ∴.∠POA+∠POB=30°， ∠ROA+∠POA+∠POB+∠POB=60° .∠P0E=60°， “.△OP是等边三角形， PB=0B=6, ∴.△PMN的周长=PM+MN+PN=BM+MN+PN≥PE=6, 当点B,M,N,共线时，△PMN的周长取得最小值为6. 此时点M,N分别为线段B与直线OA,OB的交点. 2.(25-26七年级下·山东菏泽期末)如图，在△ABC中，AC=BC,AB=8,CD=5, CD⊥AB于点D,EF垂直平分BC交BC于点E,交AB于点F,点P是线段EF上一个 动点，则△PDB的周长的最小值是() D A.8 B.9 C.10 D.12 【答案】B 【分析】连接PC,根据等腰三角形三线合一性质求出BD的长，根据垂直平分线的性质得出 PB=PC,将△PDB的周长转化为PC+PD+BD,利用两点之间线段最短可知当CPD三 点共线时周长最小，最小值为CD+BD, 解：如图，连接PC, E D :AC=BC,CD⊥AB,AB=8, :BD=5AB=4, :EF垂直平分BC, ∴PB=PC ∴aPDB的周长=PB+PD+BD=PC+PD+BD, :两点之间线段最短， ∴当CPD三点共线时，PC+PD的值最小，最小值为CD的长， aPDB周长的最小值=CD+BD=5+4=9, 3.(25-26八年级下四川达州期中)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD=4, AD是∠BAC的平分线.若P,O分别是AD和AC上的动点，则PC+P№的最小值是 4 【答案】5 【分析】根据垂线段最短可知当BM⊥AC时P℃+P№最小，利用面积法求解即可. 解：：AB=AC，AD是∠BAC的平分线， ∴·直线AD是△ABC的对称轴，点C关于直线AD的对称点是点B, 连接PB,过点B作BM⊥AC,于点M ..PC=PB :.PC+PQ=PB+PO. .PB+PQ≥BM ∴，最小值为BM的长， AB=AC,AD是∠BAC的平分线， .AD⊥BC :Se=号BCAD=方4C-BM, 6x4 ×5×BQ, 2 ÷BM=24 · 24 :PC+PQ的最小值为5. 4.(25-26八年级上全国期末)综合探究 【问题背景】直线I同旁有两个定点A,B,在直线I上存在点P,使得PA+PB的值 最小. 【解法探究】如图1，作点A关于直线I的对称点A',连接AB,则AB与直线I的 交点即为P,且PA+PB的最小值为AB. (I)【深入研究】如图2，在等边△ABC中，E是AB上的点，AD是∠BAC的平分 线，P是AD上的点.若AD=12,求PE+PB的最小值. (2)【应用拓展】如图3，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30°的夹角， 牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地. 已知OA=10km,请在图中设计一条路线，使马所走的路径最短，并求出整个过程 所行的路程. 草地 B M A N 小河 B D 图1 图2 图3 【答案】(1)12；(2)如图3，连接OA,分别作出点A关于OM,ONW的对称点B,C,连 接BC分别交OM,ON于点D,E,连接AD,AE,则线段AD,DE,AE之和即为所求的 最短路径； 草地 B M 小河 图3 路程为l0km 【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质，根据轴对称性质求解等 知识点，解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段， (1)如图2，连接CE,由题意可知点B关于直线AD的对称点为C,可得 PE+PB=PE+PC之CE,当E,P,C三点共线且CE⊥AB时取得最小值，结合等边三角形性 质可求得最小值： (2)如图3，连接OA,分别作出点A关于OM,ON的对称点B,C,连接BC分别交OM, ON于点D,E,连接AD、AE,则线段AD,DE,AE之和即为所求最短路径，结合题意易 证△OBC为等边三角形，从而求解. (1)解：如图2，连接CE,PC, :等边△ABC中，AD是∠BAC的平分线， .AD⊥BC,AD平分线段BC, ∴，AD是线段BC的垂直平分线， .点B关于直线AD的对称点为C,PC=PB, ∴.PE+PB=PE+PC≥CE, 当E,P,C三点共线时，PE+PB取得最小值为CE, 当CE⊥AB时，CE取得最小值， :△ABC是等边三角形， .CE=AD=12, ∴，PE+PB的最小值为12； D B D 图2 (2)解：如图3，连接OA,分别作出点A关于OM,ON的对称点B,C,连接BC分别交 OM,ON于点D,B,连接AD,AE,则线段AD,DE,AE之和即为所求的最短路径： 由对称的性质，得OB=OC=OA=10km, ∠BOD=∠AOD,∠COE=∠AOE.BD=AD,EC=EA, .AD+DE+EA=BD+DE+EC=BC. :草地边缘OM与小河河岸ON在点0处形成30°的夹角， .∠MON=∠AOD+∠AOE=30° ∴.∠BOC=∠BOD+∠AOD+∠COE+∠AOE=60°， ∴△OBC为等边三角形， ∴.BC=OB=10km, .'AD+DE+EA=10km. ∴.整个过程所行的路程为1Okm. 题型11：三角形中线等分面积转化求面积 1.(26-27八年级上·安徽芜湖阶段检测)如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中 点，连接BE,CE. (I)求证：△ACD与△ABD的面积相等 (2)图中与△ACE面积相等的三角形是： E B D 【答案】(1)证明：如图，过点A作AH⊥BC,垂足为H. 111111 B D H 1.CD.AH. 根据三角形的面积公式可得S。mBD:AH,Sam2 :AD是△ABC的中线， :BD=CD, .S.AD=SACD. (2)△ABE,△BED,△CED 【分析】(1)根据面积公式即可求解： (2)根据等底等高的三角形即可求解. 解：(1)略 (2)解：，E是AD的中点， ∴同(1)可知S4r=ScD,SABE=SD, S.AMD=S.ACD SACE =SACED =SABE =SABED ∴.与△ACE面积相等的三角形是：△ABE,ABED,aCED 2.(26-27八年级上湖北荆州：阶段检测)如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中 点，若△ACE的面积是3cm,则△ABD的面积是() E B D A.3cm2 B.4cm2 C.5cm2 D.6cm2 【答案】D 【分析】根据三角形的中线等分三角形的面积求解. 解：：AD是△ABC的中线，E是AD的中点， 'SMACE=SADCE =3cm',SAABD SAACD ∴.S△MBn=S△Mcn=3+3=6cm2 3.(26-27八年级上湖北荆州·阶段检测)如图，D是△ABC的边BC上任意一点， BE,CE,BF分别是△ABD,△ACD,△BCE的中线，若△BEF的面积为4，则△ABC 的面积为 【答案】16 【分析】根据三角形的中线平分面积进行计算即可. 解：“BE,CE,BF分别为△ABD,△ACD,△BCE的中线， ∴.S。ABD=2SMBE=2S,BDE,SACn=2SACs=2SacE, .SARC=SABD+S4CD=2S.BDE+2S CDE =2S.8CE :BF是△BCE的中线， S.RCE =2SBE ∴.SABC=4 S.BEF, ,△BEF的面积为4， SARC =4S.BEF =16. 4.(26-27八年级上河北沧州阶段检测)如图，AF、AD分别为△ABC的边BC上的 高线和中线，BG为AC边上的高线，已知AF=6,BD=10,BG=5. (1)求△ADC的面积： (2)求AC的长. G 【答案】(1)30：(2)24 【分析】(1)先根据中线的定义得到DC的长度，然后根据三角形面积公式解答即可： (2)先根据中线的性质可知S。c=2SMCD’ 后根据三角形面积公式SAc三，×ACX 据此即可求得AC的长， (1)解：AD是△ABC的边BC上的中线，AF=6,BD=I0, ∴.BD=DC=10 ADC的面积为Sc= -2xCDXAF-1 ×10×6=30. 2 (2)解：由题意得SMARC=2S△4Cn=60, 1 :SMRC=5×AC×BG=60 2 BG=5 ..AC=60x2 =24 5 题型12：全等三角形与等腰三角形综合证明 1.(26-27八年级上山东日照阶段检测)如图，∠I=∠2，∠A=∠B,AE=BE,点 D在边AC上，AE与BD交于点O. (1)求证：△AEC≌△BED； (2)若∠2=42°，求∠BDA的度数. 【答案】(1)证明：，∠1=∠2， ∴.∠I+∠AED=∠2+∠AED, ∴.∠AEC=∠BED, 又∠A=∠B,AE=BE, ·.△AEC≌△BED(ASA): (2)42° 【分析】(1)先证明∠AEC=∠BED,再利用ASA即可证明△AEC≌△BED; (2)由全等三角形的性质得到ED=EC,∠EDB=∠C,则由等边对等角可得∠EDC=∠C, 再由平角的定义和三角形内角和定理求解即可. 解：(1)略 (2)解：由(1)得△AEC≌△BED, ED=EC,∠EDB=∠C, :∠BDC=∠C=∠BDB=1804_180,2_180,42-69, 2 2 2 .∠BDA=180°-∠EDB-∠EDC=42° 2.(26-27八年级上·浙江金华阶段检测)如图，△ABC≌△ADE,D在BC上，连接 CE,则以下结论：①AD平分∠BDE;②LCDE=∠BAD:③∠DAC=∠DEC;④ AD=DC.其中正确的个数有() A.①②④ B.②③④ C.①②③ D.①②③④ 【答案】C 【分析】由全等三角形的性质得到AB=AD,∠B=∠ADE,∠BAC=∠DAE,AC=AE,再由 等边对等角可得∠B=∠ADB,∠ACE=∠AEC,据此结合三角形内角和定理和三角形外角的 性质逐一判断即可. 解：，△ABC≌△ADE, ∴.AB=AD,∠B=∠ADE,∠BAC=∠DAE,AC=AE, ∴.∠B=∠ADB,∠ACE=∠AEC, ∴.∠ADB=∠ADE, ∴.AD平分∠BDE,故①正确： ∠BAD+∠B+∠ADE=180°，∠CDE+∠ADE+∠ADB=180°， ∴.∠CDE=∠BAD,故②正确： .,∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD. .∠BAD=∠CAE, ,∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°， ∠ACE=∠AEC=∠B=∠ADB=∠ADE: 设AC,DE交于点O, B D :'∠AOE=∠CAD+∠ADE=∠ACE+∠DEC, ∴.∠DAC=∠DEC,故③正确： 根据现有条件无法得到AD=DC,故④错误： 综上所述，正确的有①②③. 3.(26-27八年级上·江苏扬州阶段检测)如图，在△ABC中，AD平分 ∠BAC,AB=3,CD=6,AC=9,则∠B与∠ADB的数量关系是 B D 【答案】∠B=2∠ADB 解：在AC上取点E,使得AE=AB=3, B D E ,AD平分∠BAC, .∠BAD=∠EAD, 在△AED和△ABD中， AE=AB ∠BAD=∠EAD, AD=AD .△AED≌aABD(SAS), .∠AED=∠B,∠ADE=∠ADB, ∴.∠BDE=2∠ADB, AC=9, .CE=AC-AE=6=CD. .∠CDE=∠CED, .∠BDE=∠AED, .∠B=2∠ADB. 4.(26-27七年级上·山东淄博阶段检测)如图，∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边 上，∠I=∠2，AE和BD相交于点O. (I)求证：△AEC≌△BED: (2)若∠1=40°，求∠BDE的度数. B 【答案】(1)证明：：AE和BD相交于点O, ∴.∠AOD=∠BOE 在△AOD和△BOE中，∠A=∠B, ∴.∠BE0=∠2. 又：∠1=∠2， .∠1=∠BE0, ∴.∠AEC=∠BED ∠A=∠B 在 和 中， AE=BE △AEC ABED ∠AEC=∠BED .AAECSABED(ASA). (2)70° 【分析】(1)先根据三角形内角和定理证明∠BE0=∠2，从而证明∠I=∠BE0,根据ASA 证明△AEC≌△BED即可： (2)根据△AEC≌△BED,得出EC=ED,∠C=∠BDE,根据等腰三角形的性质求出 ∠C=∠EDC=70°，即可得出答案. 解：(1)略 (2)解：·AAEC≌△BED ∴.EC=ED,∠C=∠BDE. 在△EDC中， EC=ED.∠1=40°. ∴.∠C=∠EDC=70° .∠BDE=∠C=70° 题型13：等腰三角形与方程思想 1.(25-26八年级上浙江金华·阶段检测)用一条长为15cm的细绳围成一个等腰三 角形. (1)如果底边长是腰长的一半，求腰长； (2)等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分为6cm, 求等腰三角形的底边长. 【答案】(1)腰长为6cm;(2)底边长为3cm或7cm. 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，明确题意，利用分类讨论的数学思想 解答是解答本题的关键， ()根据题意和底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长： (2)设腰长为2acm,分①当2a+a=15-6时，②当2a+a=6时，两种情况讨论，然后得出 底边长度。 (1)解：设底边为xcm,则腰为2xcm, 由题意得x+2x+2x=15, 解得x=3, ,腰长为6cm; (2)解：设腰长为2acm, ①当2a+a=15-6时，得a=3, 腰长2a=6cm, 底边长为15-6-6=3(cm), 6,6,3能构成三角形： ②当2a+a=6时，得a=2, 腰长2a=4cm, :.底边长为15-4-4=7(cm), 4,4,7能构成三角形： 综上所述：底边长为3cm或7cm. 2.(25-26七年级下山东泰安阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB 上，且CD=BC=AD,则∠A的度数为() B A.30° B.36° C.45o D.70° 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质推出∠BDC=∠B,∠A=∠ACD,∠B=∠ACB,利用外角的 性质求出∠BDC=∠B=2∠A,通过等量代换求出∠ACB=2∠A,最后根据三角形的内角和求 出∠A的度数. 解：·CD=BC=AD .∠A=∠ACD,∠BDC=∠B '∠BDC=∠A+∠ACD ∴.∠BDC=∠B=2∠A .AB=AC. ∠B=∠ACB=∠BDC. .∠ACB=∠ACD+∠BCD,∠BDC=∠B=2∠A,∠A=∠ACD, ∠ACD=∠BCD=∠A, .∠ACB=2∠A :∠A+∠ABC+∠ACB=180°， .∴.∠A+2∠A+2∠A=180° .∠A=36° 3.(26-27八年级上·青海期中)如图，在△ABC中，AB=AC,BD=BC, ∠ABD=∠BAD,则∠C的度数为一· B C 【答案】72°172度 【分析】设∠ABD=∠BAD=2x,由等边对等角和三角形内角和定理可得 ∠BDC=∠C=90°-x,再由三角形外角的性质可得∠BDC=∠ABD+∠BAD=4x,据此建立 方程求解即可 解：设∠ABD=∠BAD=2x, AB=AC, ∠ABC=∠C=180-,BMD-90°-x, .BD=BC, .∠BDC=∠C=90°-x, 又∠BDC=∠ABD+∠BAD=4x, .90°-x=4x, .x=18°， .90°-x=72°， .∠C=72°. 4.(25-26八年级上·辽宁葫芦岛阶段检测)如图等腰△ABC一腰上的中线BD把这个 三角形的周长分成l2cm和9cm,求等腰三角形的各边长. 【答案】等腰三角形的各边长为8cm、8cm、5cm或6cm、6cm、9cm 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及二元一次方程组的应用；设腰长和底边长分别为x、 y,分腰长加腰长的一半是12和9两种情况讨论求解。 解：设三角形腰长为x,底边长为y, x+x=12 x+x=9 2 2 则利方程组为 1 或 1 y+。x=9 y+5x=12 2 2 x=8 x=6 解得 y5或1 y=9: 答：这个等腰三角形的各边长分别为8cm、8cm、5cm或6cm、6cm、9cm. 题型14：坐标系内轴对称作图结合线段长度计算 1.(26-27八年级上陕西宝鸡阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的 三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2,4). (1)画出△ABC关于y轴对称的△4BG (2)写出点4A的坐标： (3)求△4BC的面积. 6 3 3 -5-4-3-2-10 2345x 【答案】(1)△4BG如图所示： YA (2)4(-2,4):(3)2 【分析】(1)根据对称规律：关于'轴对称，横坐标变号，纵坐标不变，即可画出△4BC: (2)根据对称规律，直接写出坐标即可： (3)利用“割补法”，将△ABC放入一个矩形中，减去周围三个直角三角形的面积，即可求 出△ABG的面积. 【详解】(1)略 (2)解：由(1)中的图形可得，4（-2,4) ③解：A48C的面积为：2x4X1x21x4子X1x38-1-2号7 2.(26-27八年级上江西阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，4(4，)， B(-L,-),C(-3,2),直线m(直线m上所有点的横坐标均为-1)· (1)在图中作出△ABC关于直线m对称的△4BG,并求出△4BG的面积； (2)线段AB交x轴于D点，直接写出点D关于直线m对称点D的坐标 (3)线段AC上有一点M(x,),直接写出点M关于直线m对称点M的坐标 3 A黄 -5-4-3_10 主345 2 3 m -5 【答案】(1)解：所作△4BG如图所示： 4 3 C 2 A 5-4-3612345x BB m (2) (3)(-2-x,y) 【分析】(1)分别作出△ABC关于直线m的对称点，再顺次连接即可： (2)由图知A(4,),B(-山，-)，再利用坐标中点公式求出点D的坐标，最后结合轴对称性质 求解，即可解题： (3)根据轴对称的性质求解即可. 解：(1)略 (2)解：由图知A(4,1),B(-1,-1), D的壁标为("2) :点D关于直线m对称点八的坐标为贰20片 (3)解：线段AC上有一点M(x,y),-1+(-1)-x=-2-x, “点M关于直线m对称点M1的坐标为(-2-x,y). 3.(25-26八年级下广西来宾期末)如图，已知△ABC的顶点A的坐标为(4,4)， 顶点B的坐标为(-1,3). (1)请你根据题目条件，建立平面直角坐标系： (2)作出△ABC关于y轴的图像△4BG,并写出A,B,C的坐标. A 【答案】(1)上上上上1 (2) 为所求作， -5-4-3-2-1QL12345x △ABC B3 -5-4-3-2-10L12345x 2 -4 -5H A(4,4)B(1,3)C(2,2) (1)解：略. (2)解：略. 4.(26-27八年级上湖南长沙~阶段检测)如图△ABC的顶点坐标分别为A(2,3), B(1,1),C(3,2). (1)将△ABC向左平移3个单位长度，画出平移后的△4B,G; (2)画出△ABC关于x轴对称的△4，BC2: (3)在x轴上求作一点P,使得PA+PB的值最小，并直接写出此时点P的坐标. B 【答案】(1)如图，△4BG即为所求：(2)如图，△4，B,C2即为所求：(3)如图，点P即 为所求；由图可知， B OB 12 P(-1,0) 【分析】(1)根据平移规则画出△4BC即可： (2)根据轴对称的性质，画出△4，B,C2即可： (3)连接，B交x轴于点P,根据对称性可知，PA+PB=PA,+PB,进而得到当点P在线段 A,B上时，PA+PB的值最小，写出此时P点坐标即可 解：(1)略 (2)略 (3)略 期中复习专题2——综合运算与推理证明 （人教版八年级上册：期中核心综合考点） 目录 一、专题定位 1 二、 核心考点梳理 2 三、必考、常考题型 2 题型1：三角形内角与外角综合计算 2 题型2：利用八字形、飞镖模型进行角度推导 3 题型3：利用 SSS、SAS、ASA、AAS 判定三角形全等基础证明 6 题型4：利用 HL 判定直角三角形全等证明 8 题型5：角平分线性质定理与判定定理综合证明 9 题型6：证明三角形全等之后进一步推导线段相等、角度相等 11 题型7：等腰三角形“三线合一”、“等边对等 角”求值证明 12 题型8：线段垂直平分线性质综合求三角形周长、求角度 13 题型9：等边三角形、含 30° 角的直角三角形边长计算 15 题型10：将军饮马模型求最短路径及线段和最小值 16 题型11：三角形中线等分面积转化求面积 18 题型12：全等三角形与等腰三角形综合证明 19 题型13：等腰三角形与方程思想 21 题型14：坐标系内轴对称作图结合线段长度计算 22 一、专题定位 本专题整合第十三章三角形、第十四章全等三角形、第十五章轴对称三章核心中档重难点，聚焦角度推导、规范几何证明、线段计算、轴对称应用四大核心能力，是八上期中分值占比最高、提分关键的核心板块。区别于基础概念识记，本专题侧重定理性质的综合运用、证明步骤的规范书写、分类讨论数学思想的落地，针对性解决学生导角出错、全等证明逻辑混乱、步骤写不全、等腰三角形漏解等高频失分问题。适配期中第二轮专题复习、课堂专项讲练、课后拔高训练、中档题型组卷测评，全面覆盖期中选择、填空、解答高频中档考题。 2、 核心考点梳理 章节 考点 三角形 三角形外角性质综合导角；八字形、飞镖模型基础导角；多边形内角和已知条件反求边数；三角形中线等分面积；利用方程思想求解三角形内角度数 全等三角形 全等三角形五种判定方法的综合选用；公共边、公共角、对顶角等隐含条件挖掘；全等之后线段相等、角相等的等量转化；角平分线性质与判定的综合证明；尺规作图与全等证明结合；直角三角形 HL 判定的规范书写 轴对称 线段垂直平分线性质综合求边长、求角度；等腰三角形边角分类讨论（未指明腰与底、顶角与底角时的多解）；等边三角形性质与判定综合应用；含 30° 角的直角三角形边长计算；坐标系中轴对称与线段长度结合计算；将军饮马模型求线段和最小值 三、必考、常考题型 题型1：三角形内角与外角综合计算 1.（26-27八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，已知点为的边延长线上一点，于点，并交于点，其中，求和的度数． 2.（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，是的外角的平分线，交的延长线于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3.（26-27八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）已知非直角三角形中，，高与所在直线交于点，则的度数是______． 4.（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，、分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若，，求的度数． （2）在（1）的条件下，若的面积为，，则的长为________． 题型2：利用八字形、飞镖模型进行角度推导 1.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． （1）求证：； （2）如图所示，，则的度数为______； （3）如图，若和的平分线和相交于点，且与，分别相交于点，，，若，，求的度数． 2.（26-27八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 3.（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，，相交于点，连接，．若，，，则的度数为________． 4.（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图1，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证．在探究之间的关系时，小明同学提供如下两种方法． 方法一∶如图2，连接，则在中，， 即 ， 又∵在中，， ∴， 即． 方法二∶如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， ∴ ． ． ∵ ∴ ． ∴． 解答下列问题． （1）根据“方法二”中辅助线的添加方式，补全方法二的证明过程； （2）如图1，当时，直接写出 °． （3）应用：如图4，，直接写出 ． 题型3：利用 SSS、SAS、ASA、AAS 判定三角形全等基础证明 1.（26-27八年级上·全国·课后作业）根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的两个三角形全等？ （1）如图①，线段与相交于点．和． （2）如图②，．和． （3）如图③，线段与相交于点．和． （4）如图④，．和． 2.（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图已知，增加以下一个条件，仍不能判定与全等的是（     ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，一块三角形模具不慎被打碎为三块．若只带其中一块去商店配一块与原来一样的三角形模具，应带________（填序号①②③）． 4.（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， （1）你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） （2）请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） （3）请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 题型4：利用 HL 判定直角三角形全等证明 1.（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． （1）求证：； （2）若， ，求的长． 2.（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点B在x轴正半轴上，且，为锐角，则四边形的面积为（     ） A．12 B．16 C．18 D．20 3.（25-26八年级下·全国·暑假作业）木工师傅常用角尺平分一个角，如图①所示．学生小明可用三角尺平分一个角，如图②所示．他们在两边上分别取出，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是________、________． 4.（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，是两个长度相同的梯子与靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度与右边梯子水平方向的长度相等． （1）与全等吗？请说明理由． （2）若，，，求线段的长度． 题型5：角平分线性质定理与判定定理综合证明 1.（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知的外角、的平分线、相交于点P． （1）求证：点P在的平分线上． （2）直接写出与的数量关系． 2.（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，，，，点D在边上，点D 到边，的距离相等，且，则的周长等于（     ） A．10 B．13 C．16 D．19 3.（26-27八年级上·辽宁营口·阶段检测）如图，中，，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于和，再分别以点、为圆心，大于二分之一为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，于，，则的面积为_________． 4.（26-27八年级上·山东日照·阶段检测）已知，，，、交于点，连接． （1）求证：， （2）求的度数． 题型6：证明三角形全等之后进一步推导线段相等、角度相等 1.（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，点是垂直平分线上一点，过点作，交的延长线于点，于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 2.（2026·山西朔州·模拟预测）如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）在中，，平分交边于点，，则____________°． 4.（26-27八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． （1）求证∶； （2）若，，求的长． 题型7：等腰三角形“三线合一”、“等边对等 角”求值证明 1.（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知：如图，是等腰三角形的底边上的高，，且交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 2.（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在等腰中，，分别以点A、点B为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接，直线与交于点D，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3.（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，，，D为边的中点，点E，F分别在边，上，，则四边形的面积为______． 4.（26-27八年级上·江西·阶段检测）如图，在中，，D是边上一点，，于点D，交于点F． （1）求证：垂直平分； （2）若，，，直接写出的长________． 题型8：线段垂直平分线性质综合求三角形周长、求角度 1.（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，直线l是边的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接． （1）若，，求的周长； （2）如图，已知点F在线段上，且点F在边的垂直平分线上，连接，，试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 2.（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，等腰的腰长为8，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（     ） A．13 B．12 C．11 D．16 3.（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点，，，则______． 4.（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． （1）若，，求的度数； （2）若的周长为，的周长为，求的长． 题型9：等边三角形、含 30° 角的直角三角形边长计算 1.（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知，如图，为等边三角形，，、相交于点，于． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，，求的长． 2.（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，等边的边长为，点在边上，，过点作交于点，连接，点在上，连接，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3.（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在等边中，F是的中点，于E，如果的边长是8，则_______． 4.（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，连接并延长交于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 题型10：将军饮马模型求最短路径及线段和最小值 1.（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知，点在的内部． （1）利用无刻度的直尺和圆规，按下列要求完成作图（保留痕迹，写出结论，不写作法）： ①作点关于直线的对称点、以及点关于直线的对称点； ②连接，得到． （2）在（1）的情况下，如果．在射线上分别取动点M、N，试求周长的最小值，并说明点M、N在什么位置时取到最小值． 2.（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，于点D，垂直平分交于点E，交于点F，点P是线段上一个动点，则的周长的最小值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 3.（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是______． 4.（25-26八年级上·全国·期末）综合探究 【问题背景】直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小． 【解法探究】如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． （1）【深入研究】如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点．若，求的最小值． （2）【应用拓展】如图3，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使马所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 题型11：三角形中线等分面积转化求面积 1.（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，是的中线，E是的中点，连接，． （1）求证：与的面积相等． （2）图中与面积相等的三角形是：_________． 2.（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，是的中线，是的中点，若的面积是，则的面积是（     ） A． B． C． D． 3.（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，D是的边上任意一点，，，分别是，，的中线，若的面积为4，则的面积为______． 4.（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，、分别为的边上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． （1）求的面积； （2）求的长． 题型12：全等三角形与等腰三角形综合证明 1.（26-27八年级上·山东日照·阶段检测）如图，，，，点在边上，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 2.（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，，在上，连接，则以下结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数有（     ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 3.（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，平分，，则与的数量关系是________ 4.（26-27七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，，，点D在边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 题型13：等腰三角形与方程思想 1.（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果底边长是腰长的一半，求腰长； （2）等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分为，求等腰三角形的底边长． 2.（25-26七年级下·山东泰安·阶段检测）如图，在中，，点D在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3.（26-27八年级上·青海·期中）如图，在中，，，，则的度数为______． 4.（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图等腰一腰上的中线把这个三角形的周长分成和，求等腰三角形的各边长． 题型14：坐标系内轴对称作图结合线段长度计算 1．（26-27八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的 （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 2．（26-27八年级上·江西·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，，直线m（直线m上所有点的横坐标均为）． （1）在图中作出关于直线m对称的，并求出的面积； （2）线段交x轴于D点，直接写出点D关于直线m对称点的坐标________； （3）线段上有一点，直接写出点M关于直线m对称点的坐标________． 3．（25-26八年级下·广西来宾·期末）如图，已知的顶点的坐标为，顶点的坐标为． （1）请你根据题目条件，建立平面直角坐标系； （2）作出关于轴的图像，并写出，，的坐标． 4．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图的顶点坐标分别为，，． （1）将向左平移3个单位长度，画出平移后的； （2）画出关于x轴对称的； （3）在x轴上求作一点P，使得的值最小，并直接写出此时点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $