专题06 数列（期中真题汇编，广东专用）高三数学上学期

专题06 数列 5大高频考点概览 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 数列的通项公式与求和 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 考点05 数列新定义 考点01 等差数列 1．（2026·广东深圳理工附·质量监测）数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 令，可求得，计算可求得的最小值. 【详解】 令，因为，所以解得， 所以数列的前3项为负，从第4项起为正， 所以的最小值为. 故选：D. 2．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据等差数列的定义求解即可. 【详解】 设的公差为，则，， 故. 故选：B. 3．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比，则的前5项和（       ） A. 100 B. 80 C. 50 D. 30 【答案】D 【分析】 设等差数列的公差为，依题意得到关于的方程组，求出，再由等差数列求和公式计算可得. 【详解】 设等差数列的公差为，因为且成等比， 所以 ，即 ，解得 或 （舍去）， 所以. 故选：D 4．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）已知等差数列的前项和为，若，则（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【分析】 由等差数列的性质得，再根据即可求解． 【详解】 由为等差数列， ， ． 故选：A． 5．（高三上·广东汕头金山中学·期中）已知当时，函数取到最大值，且是等差数列的第5项，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题可得，结合同角三角之间的关系得出，，再利用等差数列的性质以及两角和差的正切公式即可计算. 【详解】 由辅助角公式可知的最大值为，故， 因，则， 即，得， 则， 则， 因是等差数列的第5项，则， 则. 故选：A 6．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）已知等差数列 的前项和分别为，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用等差数列的前项和公式求解即可得. 【详解】 由题设，条件可化为， 设，， 则， ， 则. 故选：A. 7．（2026·广东深圳理工附·质量监测）记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则　　　　　　　　　　　. 【答案】4. 【分析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果. 【详解】因，所以，即， 所以． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案． 8．（2026·广东深圳第二实验学校·三模）已知为等差数列，为其前项和，若，，则　　　　　. 【答案】121 【分析】 利用等差数列的通项公式列方程解出，再代入到等差数列前项和公式计算即可. 【详解】 依题意得： ， 解得： ， 由等差数列的前项和公式得： . 故答案为： 考点02 等比数列 1．（2026·广东深圳第二实验学校·三模）已知实数成等比数列，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设公比，利用等比数列的性质及等比中项得到方程，求出. 【详解】 设等比数列的公比为，则，且，解得. 故选：C 2．（25-26学年高三上·广东惠州·期中）如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形的，依此方法一直继续下去.则前6个正方形面积和为（     ） A.  B.  C.  D. 8 【答案】C 【分析】 根据正方形的性质，结合等比数列的定义、性质、前项和公式进行求解即可. 【详解】 因为正方形的边长为， 所以正方形的对角线为， 所以第二个正方形的边长为， 所以第二个正方形的对角线为， 所以第三个正方形的边长为， 所以这些正方形的边长为为首项，为公比的等比数列， 所以这些正方形的面积为为首项，为公比的等比数列 因此前6个正方形面积和为， 故选：C 3．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）在等比数列中，是方程的两根，则等于（       ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】C 【分析】 根据韦达定理可得，由等比数列下标和性质可求得结果. 【详解】 是方程的两根，， ，，或. 故选：C. 4．（25-26学年高三上·广东华侨中学·期中）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项. 【详解】 等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上， 而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上， 如图所示当时，如下图所示， 当公差时，如下图所示， 如图可知当时，，，，. 故选：D 【点睛】 关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项. 5．（2026·广东揭阳普宁勤建学校·三调）（多选）若数列的首项，且，则（       ） A. 数列为等比数列 B.  C. 数列为递增数列 D. 存在三个不相等正整数，使得 【答案】AC 【分析】 通过取倒数变形判断数列类型，推导通项公式，分析数列单调性，假设存在性验证等式是否成立，逐一验证各选项. 【详解】 选项A，由，取倒数得，变形得. 首项，故是以为首项、为公比的等比数列，A正确. 选项B，由的通项得，故，即. 选项B中表达式为，与推导结果不符，B错误. 选项C，，因随增大而递增，随增大而递减， 故随增大而递增，数列为递增数列，C正确. 选项D，假设存在不相等正整数，使得， 由C选项分析可知，数列为递增数列， 则对于任意不相等的正整数，有， 而，则， 所以等式无法成立，故不存在这样的，D错误. 故答案为：AC 6．（25-26学年高三上·广东深圳红山中学·期中）已知正项等比数列中，，则　　　　　　　　　　. 【答案】16 【分析】 根据给定条件，列式求出数列公比，进而求出目标值. 【详解】 由正项等比数列的公比为， 则，即，则有， 所以. 故答案为：16 7．（2026·广东揭阳普宁勤建学校·三调）在正项等比数列中，若，，则　　　　　　. 【答案】1024 【分析】 利用等比数列通项公式即可求出公比，再求首项，最后可得通项，从而可求解. 【详解】 由题意知，， 因为正项等比数列，所以， 由，可得， 所以，即. 故答案为： 8．（2026·广东深圳宝安中学·联考）已知等比数列的前项和为，下表给出了部分数据： 则数列的公比　　　　　　. 【答案】 【分析】 由表知，，，求得，进而求出． 【详解】 由表格可得：的前项和为，满足，，， 则，，所以. 故答案为： 9．（25-26学年高三上·广东汕头·期中）各项不为零的等差数列中，有，数列是等比数列，且，则　　　　　　　　　　　　． 【答案】16 【分析】 根据等差性质，求出，再根据等比性质求出，最后得出答案即可. 【详解】 由得：， 而等差数列各项不为零，故， 由数列是等比数列可知，， 而，故. 故答案为：16. 考点03 数列的通项公式与求和 1．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）已知数列满足，，则数列前2025项和为（     ） A. 1013 B. -1011 C. 1014 D. -1012 【答案】C 【分析】 由题意可知，当为偶数时，，利用并项求和法可求得结果. 【详解】 由题意可知，当为偶数时，， 因此，数列前项和为. 故选：C. 2．（2026·广东揭阳普宁勤建学校·三调）记数列的前项和为，若，则的值不可能为（       ） A. 96 B. 98 C. 100 D. 102 【答案】D 【分析】 根据和的关系分析及特例求解判断即可. 【详解】 当时，，设， 当时，，则， 即，所以， 时取等，故D错误； 若，，且，，， 此时； 若，，且，，， 此时. 故A，B，C正确. 故选：D. 3．（2026·广东深圳第二实验学校·三模）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上． （1）求数列的通项公式； （2）若函数，令，求数列的前2020项和． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】 （1）由题意可得，然后利用 可求出数列的通项公式； （2）由题意可得，然后利用倒序相加法可求得结果 【详解】 （1）∵点均在函数的图象上， ∴． 当时，； 当时，，适合上式，∴． （2）∵，∴． 又由（1）知，∴． ∴，① 又，② ①+② ，， ∴． 4．（25-26学年高三上·广东惠州·期中）已知正项数列满足且， （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求（表示不超过的最大整数）. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据常数列的性质进行求解即可； （2）利用放缩法，结合等比数列前项和公式、题中定义进行求解即可. (1) 小问详解： 由，得，可知数列是常数列， 所以，所以，所以； (2) 小问详解： 由（1）可得，则， 显然， 由于， 故，且， 故，. 5．（25-26学年高三上·广东深圳红山中学·期中）已知等差数列的公差，前项和为，若. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据等差数列通项公式得到关于、的方程组，解得即可； （2）首先表示出，从而得到，再由错位相减法求和即可. (1) 小问详解： 因为，，又， 所以 ，解得 ， 所以； (2) 小问详解： 因为，即，所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 所以. 6．（2026·广东揭阳普宁勤建学校·三调）已知为数列的前n项和，且． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求的表达式及最大值． 【答案】（1）     （2），最大值为11      【分析】 （1）根据与的关系结合题设可得，，得到数列是首项为1，公比为3的等比数列，进而求解即可； （2）先求出，再利用分组求和求出，再分析数列的前几项结合指数函数与一次函数的增长性，即可求解. (1) 小问详解： 由题知，① 当时，，所以，即； 当时，，② ①② ，得，即， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，故． (2) 小问详解： 由（1）得， 所以． 计算的前几项：，，，，，…， 由比增长快，可知当时，， 所以的最大值为． 7．（25-26学年高三上·广东清远第一中学·期中）设为数列的前项和，已知，且为等差数列. （1）求的通项公式； （2）若 ，求的前项和. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据等差数列定义可得，利用与之间关系可证得数列通的项公式； （2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. (2) 小问详解： 由（1）知 则 所以数列的前项和为. 8．（高三上·广东汕头金山中学·期中）记为正项数列的前项和，已知 （1）求数列的通项公式； （2）设数列 ，求数列的前项和. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）应用计算得出数列为等差数列，再结合等差数列通项公式求解； （2）应用分组求和结合裂项相消及等差数列求和公式计算求解. (1) 小问详解： ，当时，, 当时， 两式相减得，得， 因为，所以， ， 为等差数列，； (2) 小问详解： 9．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）已知数列满足．记． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） 由， 可得， 因为， 所以表示以1为首项，2为公比的等比数列；     （2）.      【分析】 （1）利用递推公式化简计算及等比数列的定义证明即可； （2）结合（1）的结论结合错位相减法计算即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）得，，可得， 记， 则， ， 两式相减，可得， 即， 所以. 10．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）若表示不大于的最大整数，曲线在点处的切线经过点，则　　　　　　　　　　　，数列的前项和　　　　　　　　　　　. 【答案】① 42    ② 【分析】 根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求出切线方程，结合题意可得，根据的定义求出，再根据等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】 因为，， 曲线在点处的切线方程为， 又因为切线过点， 所以，可得， 所以， 所以， . 故答案为：42；. 11．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）把多项式（其中）的展开式中的一次项的系数记为，数列的前项和记作. （1）写出数列的前2项；并求其通项公式； （2）求. 【答案】（1），，．     （2）      【分析】 （1）先求出展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求得，然后写出数列的前2项即可； （2）利用错位相减法即可求出. (1) 小问详解： 二项式展开式的通项为， 分别令可得项分别为，， 所以的展开式中含的项为， 所以的系数为． 所以，. (2) 小问详解： ， 则， ， 两式相减得 ， 则. 12．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）已知，当时，，则的通项公式为　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 由题意设，展开后对照已知列方程组求出，再结合等比数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】 由于当时，①， 故设，即② ， 由① ，② 对照可得， ，解得 ， 即， 又，则是以3为首项，为公比的等比数列， 故，则 故答案为： 13．（2026·广东深圳宝安中学·联考）已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足， （1）求数列的通项公式； （2）记为数列在区间中最大的项，求数列的前项和． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由题可得，然后利用等比数列的基本量运算即得； （2）根据条件可得，进而可得，然后利用分组求和法即得. (1) 小问详解： 设的公比为，则，又， 当时，，当时，， 两式相减可得，，所以， 所以或(舍去)， 所以，即， 所以等比数列的通项公式为； (2) 小问详解： 由，，可得， 所以，又， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 所以. 即. 14．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）设数列的前项和为，，，数列满足，点在直线上，. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）要求数列，的通项公式，先要根据已知条件判断，数列是否为等差（比数列，由，，不难得到数列为等比数列，而由数列满足，点，在直线上，，易得数列是一个等差数列．求出对应的基本量，代入即可求出数列，的通项公式． （2）由（1）中结论，我们易得，即数列的通项公式可以分解为一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，则可以用错位相消法，求数列的前项和． 【详解】 解：（1）由可得， 两式相减得，. 又，所以. 故是首项为1，公比为3的等比数列. 所以. 由点在直线上，所以. 则数列是首项为1，公差为2的等差数列. 则. （2）因为， 所以. 则， 两式相减得： ∴ 【点睛】 解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前项和公式，然后代入进行运算，属于中档题． 15．（25-26学年高三上·广东华侨中学·期中）已知数列满足．现将数列和的公共项由小到大组成新数列，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据数列和的通项公式找出它们的公共项，进而确定新数列的前几项，从而得到的值. 【详解】 数列的奇数项满足， 数列的项形式为，    观察发现，当且仅当为奇数，此时可表示为，    因此，新数列的通项公式为， 计算得. 故答案为：. 16．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）已知正项数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据已知条件求出，再通过与的关系推出数列，进而求出其通项公式. （2）将数列裂项，根据裂项相消法求其前项和. (1) 小问详解： 当时，，解得. 当时，，. 两式相减得:. 整理得到:. . 数列是首项为1，公差为2的等差数列. . (2) 小问详解： 由（1）得. 则 . 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 1．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）已知正项数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，若数列满足，且数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用数列前和与项的关系可求得，再根据等差数列的通项公式即可求解； （2）由已知，利用裂项相消法求得，分离参数得，构造函数，再根据其单调性，求出，从而确定的范围. (1) 小问详解： ∵，当时，， 两式相减得：，整理得，                       ∵，∴，当时，， ∴（舍）或，                                                                                    ∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则； (2) 小问详解： 由（1）知，，           ∴，     由，令， 则时，                所以，即随着增大，减小， 所以． 2．（25-26学年高三上·广东华侨中学·期中）设为数列的前n项和，且. （1）求； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）给n赋值可求得及；利用与的关系将n换为n+1，作差可得，由等差中项的定义证得等差数列，即可利用等差数列的定义求解.. （2）将分离，构造新数列，利用的正负找到最大项，可得所求结果. (1) 小问详解： ，，得 . ，则， 两式相减得， 即   ①   ② ②①得， 即，故数列为等差数列. 因此公差为，则 (2) 小问详解： 由（I）可得 ， 由得对任意正整数恒成立，， 令， ， 当时，，当时，， ，   . 3．（2026·广东东莞·联考）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列. （1）求数列的通项公式； （2）求的最小值； （3）若数列满足，对于，证明：. 【答案】（1）；     （2）0；     （3） 由（2）知，当时，，令，则， 则， 因此， 令， 于是， 两式相减得， 因此，所以.      【分析】 （1）根据给定条件，可得，再利用累加法计算即得. （2）利用导数说明函数的单调性，进而求出最小值. （3）由（2）令即可得到，从而得到，再利用错位相减法计算可得. (1) 小问详解： 依题意，，则有， 当时， ， 又也满足，所以. (2) 小问详解： 函数的定义域为， 求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，因此， 所以函数的最小值为0. (3) 小问详解： 略 【点睛】 关键点点睛：本题第三问关键是结合（2）的结论，令得到，从而得到. 4．（25-26学年高三上·广东惠州·期中）设数列的前项和为，，且.若对任意的正整数，都有成立，则满足等式的所有正整数的和为　　　　　. 【答案】2 【分析】 先由与的关系结合求出，再由得到，联立两式可得，进而求出，，设，，分析的单调性，进而求解即可. 【详解】 由，，时，， 两式相减可得：，即， 又时，，解得，满足， 则数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以. 对任意正整数，都有成立， 得① ， 则② ， ②①得：，，故， 又，，所以. 由，显然时不成立； 时， ， 则，即， 设，， 则， 因为函数开口向下，对称轴为， 则函数在上单调递减， 所以时，， 则，即， 所以在上单调递减，而， 则满足等式的正整数的取值只有，其和为2. 故答案为：2. 5．（25-26学年高三上·广东汕头·期中）已知等比数列 的前 项和为，，且，，成等差数列. （1）求 ； （2）设 ，是数列 的前 项和，求； （3）设，是 的前 项的积，求证: 时，. 【答案】（1）     （2）     （3） 由题意知，则， 故， 则欲证，即证，即证， 设，，则， 当时，，则在上单调递减，故， 所以，. 当时，； 当时，，则， 即， 故 时，.      【分析】 （1）利用推导公比，结合即可得通项. （2）将数列拆分为偶数项的等差数列和奇数项的等比数列，分组求和后合并即可. （3）将化简后取对数，构造函数证明，进而通过放缩求和，证明不等式即可. (1) 小问详解： 由题意得，即，即得，则， 则等比数列的公比，又，故. (2) 小问详解： 由（1）得，则 ， 则 . 故. (3) 小问详解： 略 考点05 数列新定义 1．（2026·广东深圳理工附·质量监测）设正整数（为常数），数列各项均为正数，且任意两项均不相等，设集合，对有限集，记为中的元素个数. （1）若，，，，，求； （2）证明： （3）若，且，证明：存在集合，使得，，，，中的元素按照某种次序排列后成等比数列，中的元素按照某种次序排列后也成等比数列，且这两个数列的公比相同. 【答案】（1）5     （2） 证明：不妨假设， 一方面，从中任选两数有中选法，所以， 另一方面，因为，所以S中至少有个元素， 又因为，即，至少还有个元素， 所以； 综上：.     （3） 证明：记， 则由（2）知，，结合知， ，而，，，，所以， ，而，，，，，， 所以， ，其中，而，，，， 所以，所以任意都有， 上式又等价于， 故可取为奇数，且，为偶数，且， 满足，，，. 其中元素从小到大排列均构成公比为的等比数列.故命题得证.      【分析】 （1）由新定义即可求解； （2）由组合数可证，不妨假设，结合，可证； （3）由条件确定，推证，取可取为奇数，且，为偶数，且，即可求证； (1) 小问详解： 由题可知，，，，，. 所以，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 关键点点睛：第三问：确定，得到，说明任意都有. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列 5大高频考点概览 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 数列的通项公式与求和 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 考点05 数列新定义 考点01 等差数列 1．（2026·广东深圳理工附·质量监测）数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比，则的前5项和（       ） A. 100 B. 80 C. 50 D. 30 4．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）已知等差数列的前项和为，若，则（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5．（高三上·广东汕头金山中学·期中）已知当时，函数取到最大值，且是等差数列的第5项，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）已知等差数列 的前项和分别为，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（2026·广东深圳理工附·质量监测）记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则　　　　　　　　　　　. 8．（2026·广东深圳第二实验学校·三模）已知为等差数列，为其前项和，若，，则　　　　　. 考点02 等比数列 1．（2026·广东深圳第二实验学校·三模）已知实数成等比数列，则（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·广东惠州·期中）如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形的，依此方法一直继续下去.则前6个正方形面积和为（     ） A.  B.  C.  D. 8 3．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）在等比数列中，是方程的两根，则等于（       ） A.  B.  C. 或 D.  4．（25-26学年高三上·广东华侨中学·期中）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（2026·广东揭阳普宁勤建学校·三调）（多选）若数列的首项，且，则（       ） A. 数列为等比数列 B.  C. 数列为递增数列 D. 存在三个不相等正整数，使得 6．（25-26学年高三上·广东深圳红山中学·期中）已知正项等比数列中，，则　　　　　　　　　　. 7．（2026·广东揭阳普宁勤建学校·三调）在正项等比数列中，若，，则　　　　　　. 8．（2026·广东深圳宝安中学·联考）已知等比数列的前项和为，下表给出了部分数据： 则数列的公比　　　　　　. 9．（25-26学年高三上·广东汕头·期中）各项不为零的等差数列中，有，数列是等比数列，且，则　　　　　　　　　　　　． 考点03 数列的通项公式与求和 1．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）已知数列满足，，则数列前2025项和为（     ） A. 1013 B. -1011 C. 1014 D. -1012 2．（2026·广东揭阳普宁勤建学校·三调）记数列的前项和为，若，则的值不可能为（       ） A. 96 B. 98 C. 100 D. 102 3．（2026·广东深圳第二实验学校·三模）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上． （1）求数列的通项公式； （2）若函数，令，求数列的前2020项和． 4．（25-26学年高三上·广东惠州·期中）已知正项数列满足且， （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求（表示不超过的最大整数）. 5．（25-26学年高三上·广东深圳红山中学·期中）已知等差数列的公差，前项和为，若. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 6．（2026·广东揭阳普宁勤建学校·三调）已知为数列的前n项和，且． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求的表达式及最大值． 7．（25-26学年高三上·广东清远第一中学·期中）设为数列的前项和，已知，且为等差数列. （1）求的通项公式； （2）若 ，求的前项和. 8．（高三上·广东汕头金山中学·期中）记为正项数列的前项和，已知 （1）求数列的通项公式； （2）设数列 ，求数列的前项和. 9．（25-26学年高三上·广东广州实验外语学校·期中）已知数列满足．记． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 10．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）若表示不大于的最大整数，曲线在点处的切线经过点，则　　　　　　　　　　　，数列的前项和　　　　　　　　　　　. 11．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）把多项式（其中）的展开式中的一次项的系数记为，数列的前项和记作. （1）写出数列的前2项；并求其通项公式； （2）求. 12．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）已知，当时，，则的通项公式为　　　　　　　　　　　 13．（2026·广东深圳宝安中学·联考）已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足， （1）求数列的通项公式； （2）记为数列在区间中最大的项，求数列的前项和． 14．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）设数列的前项和为，，，数列满足，点在直线上，. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 15．（25-26学年高三上·广东华侨中学·期中）已知数列满足．现将数列和的公共项由小到大组成新数列，则　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）已知正项数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 1．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）已知正项数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，若数列满足，且数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围． 2．（25-26学年高三上·广东华侨中学·期中）设为数列的前n项和，且. （1）求； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 3．（2026·广东东莞·联考）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列. （1）求数列的通项公式； （2）求的最小值； （3）若数列满足，对于，证明：. 4．（25-26学年高三上·广东惠州·期中）设数列的前项和为，，且.若对任意的正整数，都有成立，则满足等式的所有正整数的和为　　　　　. 5．（25-26学年高三上·广东汕头·期中）已知等比数列 的前 项和为，，且，，成等差数列. （1）求 ； （2）设 ，是数列 的前 项和，求； （3）设，是 的前 项的积，求证: 时，. 考点05 数列新定义 1．（2026·广东深圳理工附·质量监测）设正整数（为常数），数列各项均为正数，且任意两项均不相等，设集合，对有限集，记为中的元素个数. （1）若，，，，，求； （2）证明： （3）若，且，证明：存在集合，使得，，，，中的元素按照某种次序排列后成等比数列，中的元素按照某种次序排列后也成等比数列，且这两个数列的公比相同. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 数列的通项公式与求和 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 考点05 数列新定义 考点01 等差数列 1．D 2．B 3．D 4．A 5．A 6．A 7．【答案】4. 【分析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果. 【详解】因，所以，即， 所以． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案． 8．【答案】121 【分析】 利用等差数列的通项公式列方程解出，再代入到等差数列前项和公式计算即可. 【详解】 依题意得： ， 解得： ， 由等差数列的前项和公式得： . 故答案为： 考点02 等比数列 1．C 2．C 3．C 4．D 5．AC 6．【答案】16 【分析】 根据给定条件，列式求出数列公比，进而求出目标值. 【详解】 由正项等比数列的公比为， 则，即，则有， 所以. 故答案为：16 7．【答案】1024 【分析】 利用等比数列通项公式即可求出公比，再求首项，最后可得通项，从而可求解. 【详解】 由题意知，， 因为正项等比数列，所以， 由，可得， 所以，即. 故答案为： 8．【答案】 【分析】 由表知，，，求得，进而求出． 【详解】 由表格可得：的前项和为，满足，，， 则，，所以. 故答案为： 9．【答案】16 【分析】 根据等差性质，求出，再根据等比性质求出，最后得出答案即可. 【详解】 由得：， 而等差数列各项不为零，故， 由数列是等比数列可知，， 而，故. 故答案为：16. 考点03 数列的通项公式与求和 1．C 2．D 3．【答案】（1） ；（2） ． 【分析】 （1）由题意可得，然后利用 可求出数列的通项公式； （2）由题意可得，然后利用倒序相加法可求得结果 【详解】 （1）∵点均在函数的图象上， ∴． 当时，； 当时，，适合上式，∴． （2）∵，∴． 又由（1）知，∴． ∴，① 又，② ①+② ，， ∴． 4．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据常数列的性质进行求解即可； （2）利用放缩法，结合等比数列前项和公式、题中定义进行求解即可. (1) 小问详解： 由，得，可知数列是常数列， 所以，所以，所以； (2) 小问详解： 由（1）可得，则， 显然， 由于， 故，且， 故，. 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据等差数列通项公式得到关于、的方程组，解得即可； （2）首先表示出，从而得到，再由错位相减法求和即可. (1) 小问详解： 因为，，又， 所以 ，解得 ， 所以； (2) 小问详解： 因为，即，所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 所以. 6．【答案】（1）     （2），最大值为11      【分析】 （1）根据与的关系结合题设可得，，得到数列是首项为1，公比为3的等比数列，进而求解即可； （2）先求出，再利用分组求和求出，再分析数列的前几项结合指数函数与一次函数的增长性，即可求解. (1) 小问详解： 由题知，① 当时，，所以，即； 当时，，② ①② ，得，即， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，故． (2) 小问详解： 由（1）得， 所以． 计算的前几项：，，，，，…， 由比增长快，可知当时，， 所以的最大值为． 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据等差数列定义可得，利用与之间关系可证得数列通的项公式； （2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. (2) 小问详解： 由（1）知 则 所以数列的前项和为. 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）应用计算得出数列为等差数列，再结合等差数列通项公式求解； （2）应用分组求和结合裂项相消及等差数列求和公式计算求解. (1) 小问详解： ，当时，, 当时， 两式相减得，得， 因为，所以， ， 为等差数列，； (2) 小问详解： 9．【答案】（1） 由， 可得， 因为， 所以表示以1为首项，2为公比的等比数列；     （2）.      【分析】 （1）利用递推公式化简计算及等比数列的定义证明即可； （2）结合（1）的结论结合错位相减法计算即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）得，，可得， 记， 则， ， 两式相减，可得， 即， 所以. 10．【答案】① 42    ② 【分析】 根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求出切线方程，结合题意可得，根据的定义求出，再根据等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】 因为，， 曲线在点处的切线方程为， 又因为切线过点， 所以，可得， 所以， 所以， . 故答案为：42；. 11．【答案】（1），，．     （2）      【分析】 （1）先求出展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求得，然后写出数列的前2项即可； （2）利用错位相减法即可求出. (1) 小问详解： 二项式展开式的通项为， 分别令可得项分别为，， 所以的展开式中含的项为， 所以的系数为． 所以，. (2) 小问详解： ， 则， ， 两式相减得 ， 则. 12．【答案】 【分析】 由题意设，展开后对照已知列方程组求出，再结合等比数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】 由于当时，①， 故设，即② ， 由① ，② 对照可得， ，解得 ， 即， 又，则是以3为首项，为公比的等比数列， 故，则 故答案为： 13．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）由题可得，然后利用等比数列的基本量运算即得； （2）根据条件可得，进而可得，然后利用分组求和法即得. (1) 小问详解： 设的公比为，则，又， 当时，，当时，， 两式相减可得，，所以， 所以或(舍去)， 所以，即， 所以等比数列的通项公式为； (2) 小问详解： 由，，可得， 所以，又， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 所以. 即. 14．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）要求数列，的通项公式，先要根据已知条件判断，数列是否为等差（比数列，由，，不难得到数列为等比数列，而由数列满足，点，在直线上，，易得数列是一个等差数列．求出对应的基本量，代入即可求出数列，的通项公式． （2）由（1）中结论，我们易得，即数列的通项公式可以分解为一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，则可以用错位相消法，求数列的前项和． 【详解】 解：（1）由可得， 两式相减得，. 又，所以. 故是首项为1，公比为3的等比数列. 所以. 由点在直线上，所以. 则数列是首项为1，公差为2的等差数列. 则. （2）因为， 所以. 则， 两式相减得： ∴ 【点睛】 解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前项和公式，然后代入进行运算，属于中档题． 15．【答案】 【分析】 根据数列和的通项公式找出它们的公共项，进而确定新数列的前几项，从而得到的值. 【详解】 数列的奇数项满足， 数列的项形式为，    观察发现，当且仅当为奇数，此时可表示为，    因此，新数列的通项公式为， 计算得. 故答案为：. 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据已知条件求出，再通过与的关系推出数列，进而求出其通项公式. （2）将数列裂项，根据裂项相消法求其前项和. (1) 小问详解： 当时，，解得. 当时，，. 两式相减得:. 整理得到:. . 数列是首项为1，公差为2的等差数列. . (2) 小问详解： 由（1）得. 则 . 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 1．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用数列前和与项的关系可求得，再根据等差数列的通项公式即可求解； （2）由已知，利用裂项相消法求得，分离参数得，构造函数，再根据其单调性，求出，从而确定的范围. (1) 小问详解： ∵，当时，， 两式相减得：，整理得，                       ∵，∴，当时，， ∴（舍）或，                                                                                    ∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则； (2) 小问详解： 由（1）知，，           ∴，     由，令， 则时，                所以，即随着增大，减小， 所以． 2．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）给n赋值可求得及；利用与的关系将n换为n+1，作差可得，由等差中项的定义证得等差数列，即可利用等差数列的定义求解.. （2）将分离，构造新数列，利用的正负找到最大项，可得所求结果. (1) 小问详解： ，，得 . ，则， 两式相减得， 即   ①   ② ②①得， 即，故数列为等差数列. 因此公差为，则 (2) 小问详解： 由（I）可得 ， 由得对任意正整数恒成立，， 令， ， 当时，，当时，， ，   . 3．【答案】（1）；     （2）0；     （3） 由（2）知，当时，，令，则， 则， 因此， 令， 于是， 两式相减得， 因此，所以.      【分析】 （1）根据给定条件，可得，再利用累加法计算即得. （2）利用导数说明函数的单调性，进而求出最小值. （3）由（2）令即可得到，从而得到，再利用错位相减法计算可得. (1) 小问详解： 依题意，，则有， 当时， ， 又也满足，所以. (2) 小问详解： 函数的定义域为， 求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，因此， 所以函数的最小值为0. (3) 小问详解： 略 【点睛】 关键点点睛：本题第三问关键是结合（2）的结论，令得到，从而得到. 4．【答案】2 【分析】 先由与的关系结合求出，再由得到，联立两式可得，进而求出，，设，，分析的单调性，进而求解即可. 【详解】 由，，时，， 两式相减可得：，即， 又时，，解得，满足， 则数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以. 对任意正整数，都有成立， 得① ， 则② ， ②①得：，，故， 又，，所以. 由，显然时不成立； 时， ， 则，即， 设，， 则， 因为函数开口向下，对称轴为， 则函数在上单调递减， 所以时，， 则，即， 所以在上单调递减，而， 则满足等式的正整数的取值只有，其和为2. 故答案为：2. 5．【答案】（1）     （2）     （3） 由题意知，则， 故， 则欲证，即证，即证， 设，，则， 当时，，则在上单调递减，故， 所以，. 当时，； 当时，，则， 即， 故 时，.      【分析】 （1）利用推导公比，结合即可得通项. （2）将数列拆分为偶数项的等差数列和奇数项的等比数列，分组求和后合并即可. （3）将化简后取对数，构造函数证明，进而通过放缩求和，证明不等式即可. (1) 小问详解： 由题意得，即，即得，则， 则等比数列的公比，又，故. (2) 小问详解： 由（1）得，则 ， 则 . 故. (3) 小问详解： 略 考点05 数列新定义 1．【答案】（1）5     （2） 证明：不妨假设， 一方面，从中任选两数有中选法，所以， 另一方面，因为，所以S中至少有个元素， 又因为，即，至少还有个元素， 所以； 综上：.     （3） 证明：记， 则由（2）知，，结合知， ，而，，，，所以， ，而，，，，，， 所以， ，其中，而，，，， 所以，所以任意都有， 上式又等价于， 故可取为奇数，且，为偶数，且， 满足，，，. 其中元素从小到大排列均构成公比为的等比数列.故命题得证.      【分析】 （1）由新定义即可求解； （2）由组合数可证，不妨假设，结合，可证； （3）由条件确定，推证，取可取为奇数，且，为偶数，且，即可求证； (1) 小问详解： 由题可知，，，，，. 所以，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 关键点点睛：第三问：确定，得到，说明任意都有. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $