14.2 全等三角形的判断 同步训练（六）开放性问题 2026-2027学年人教版数学八年级上册

14.2 全等三角形的判断　同步训练（六） 主题：开放性问题（条件的开放与结论的开放）　　（人教版数学八年级上册） 适用年级：八年级（上册）　　满分 100 分　　时间 60 分钟 班级：______　姓名：______　考号：______　得分：______ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在 和 中，已知 ，。要使 ，甲同学添加 ，乙同学添加 ，丙同学添加 。则（　　） A. 甲、乙添加的条件都能判定全等，丙不能 B. 甲、丙添加的条件都能判定全等，乙不能 C. 乙、丙添加的条件都能判定全等，甲不能 D. 三人添加的条件都能判定全等 2. 在判断 与 是否全等时，甲同学量得三组边分别对应相等，乙同学量得两组角和一组边分别对应相等。则（　　） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 3. 在 和 中，已知 ，，再添加一个条件使 ，则不同的添加方法共有（　　） A. 1 种 B. 2 种 C. 3 种 D. 4 种 4. 在 和 中，已知 ，要使 ，可添加的条件是（　　） A. B. C. D. 以上都可以 5. 若 ， 的周长为 20，，，则 的值为（　　） A. 6 B. 8 C. 14 D. 20 6. 在 和 中，，，，则（　　） A. ，依据 ASA B. ，依据 AAS C. 不一定全等 D. 一定不全等 7. 下列说法正确的是（　　） A. 任意添加一个条件就能使两个三角形全等 B. 要使两个三角形全等，至少需要三组对应相等的元素 C. 两个三角形只要有三组元素对应相等就一定全等 D. 添加的条件越多越好 8. 若 ，则下列结论：① 的周长等于 的周长；② 的面积等于 的面积；③ 中的最大角等于 中的最大角；④ 的任意一边都等于 的某一边。其中正确的有（　　） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 9. 在 和 中，给出六个条件：①；②；③；④；⑤；⑥。从中任选三个作为条件，能使 的选法共有（　　） A. 9 种 B. 11 种 C. 13 种 D. 15 种 10. 在 和 中，若 （点 的对应点是 ，点 的对应点是 ），，，，则 的长和 的度数分别为（　　） A. 5， B. 7， C. 7， D. 5， 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 11. 在 和 中，已知 ，，请再添加一个条件，使 （写出一个即可）：            。 12. 在 和 中，已知 ，，请再添加一个条件，使 （写出一个即可）：            。 13. 如图，在 和 中，已知 ，，请添加一个条件，使 （写出一个即可）：            。 14. 在两个直角三角形中，，若斜边 ，要使这两个直角三角形全等，除了添加"一组直角边对应相等"外，还可以添加            （写出一种即可）。 三、解答题（本大题共4小题，共58分） 15.（12分）如图，在 和 中，已知 ，。 （1）甲同学添加 ，乙同学添加 ，丙同学添加 。三名同学添加的条件是否都能使 ？请分别说明理由； （2）除（1）中的三种外，你还能添加一个条件使 吗？请再写出一种，并说明理由。 16.（14分）如图，，其中 ，，，。 （1）直接写出 的长和 的度数； （2）除（1）外，你还能得出哪些结论？请再写出两个，并说明理由； （3）通过解决本题，你发现"全等三角形"可以帮助我们做哪些事？请写出一条。 17.（16分）如图，已知 。 （1）请用尺规作出一个与 全等的三角形（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）说明你这样作的依据； （3）你还可以用其他方法作出与 全等的三角形吗？请再写出一种方法（不要求作图）。 18.（16分）如图，在四边形 中，，， 是对角线。 （1）求证：； （2）你还能得出哪些结论？请写出两个，并选其中一个加以证明。 参考答案与评分标准（卷六） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.（3分）A　【考点】开放条件的判断。 【步骤】已有 、。甲添加 ： 是 与 的夹角， 是 与 的夹角，SAS，能判定；乙添加 ：则 ， 是 与 的夹边，ASA，能判定；丙添加 ： 不是 与 的夹角，属 SSA，不能判定。 2.（3分）C　【考点】判定方法的开放性。 【步骤】三组边分别对应相等由 SSS 可判定；两组角和一组边对应相等时，不论这条边是夹边（ASA）还是对边（AAS）都能判定全等。两人的方法都对。 3.（3分）B　【考点】开放条件的计数。 【步骤】已有 、。添加 可用 SSS；添加 可用 SAS（ 正是 与 的夹角）；添加 或 都属"两边及一边对角"（SSA），不能判定。共 2 种。 4.（3分）A　【考点】开放条件的选择。 【步骤】已知 。添加 时，（）正是 与 （ 与 ）的夹角，SAS，能判定；添加 属"两边及一边对角"，添加 只是三角对应相等，均不能判定。 5.（3分）C　【考点】全等性质与计算的结合。 【步骤】，，所以 。 6.（3分）A　【考点】ASA 的识别。 【步骤】、，且 是 与 的夹边， 是 与 的夹边，，两角及其夹边对应相等，依据 ASA。 【易错点】、 是两角的夹边而不是对边，故不是 AAS。 7.（3分）B　【考点】全等所需元素的个数。 【步骤】五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）都需要三组对应相等的元素；A、C、D 的说法都不对（三组元素若只是三角对应相等，并不能判定全等）。 8.（3分）D　【考点】全等三角形的性质（开放列举）。 【步骤】全等三角形的对应边相等、对应角相等，所以周长相等、面积相等，最大角与最大角对应相等，一条边都等于另一条对应边。①—④都正确。 9.（3分）C　【考点】开放条件的组合计数。 【步骤】从 6 个条件中任选 3 个共 20 种。能判定的有 13 种：三边对应相等 1 种（SSS）；两边及其夹角对应相等 3 种（SAS）；两角及其夹边对应相等 3 种（ASA）；两角及其中一角的对边对应相等 6 种（AAS）。不能判定的有 7 种（三角对应相等 1 种；两边及其中一边的对角对应相等 6 种）。 10.（3分）B　【考点】对应关系的应用。 【步骤】 中 、，所以 ，。 二、填空题（每小题3分，共12分） 11.（3分）（或 ，答案不唯一）　【考点】开放条件（SAS、ASA）。 【步骤】已知 、。添加 时 是夹角，SAS；添加 时可得 ， 为夹边，ASA。 12.（3分）（或 、，答案不唯一）　【考点】两角对应相等时条件的开放性。 【步骤】两角对应相等则第三角也对应相等，此时任意一组对应边相等都能判定全等（夹边用 ASA，对边用 AAS）。 13.（3分）（答案不唯一）　【考点】开放条件与图形结合。 【步骤】已知 、。添加 时 是 与 的夹角，SAS；不能添加 （SSA），也不能只添加 （只有角，没有边）。 14.（3分）（或 ，答案不唯一）　【考点】直角三角形开放条件。 【步骤】斜边对应相等时，再添加一组锐角对应相等，则另一组锐角也相等（两锐角互余），斜边是直角的对边，构成"两角及一边"对应相等，AAS，可判定全等。 三、解答题（共58分） 15.（12分）【考点】开放条件的判断与再创造。 【步骤】（1）甲能： 是 与 的夹角， 是 与 的夹角，、、，SAS；乙能：由 得 ， 是 与 的夹边，ASA；丙不能： 时， 不是 与 的夹角（夹角是 ），属 SSA。（6分） （2）能。例如添加 ：由 、 得 ， 是 、 的对边，AAS，可判定全等。（6分） 16.（14分）【考点】开放结论的列举。 【步骤】（1），。（4分） （2）还能得出：；；；；两个三角形的周长相等（或面积相等）等。写出两个即可，理由都是"全等三角形的对应边（对应角）相等"。（6分） （3）发现：借助于全等，可以由三角形的一部分信息推出另一部分信息（对应边、对应角分别相等）。（4分） 17.（16分）【考点】尺规作全等三角形（开放）。 【步骤】（1）作图：先画一条线段 等于 ，再分别以 、 为圆心，以 、 的长为半径画弧，两弧交于一点 ，连接 、， 即为所求。（6分，有基本作图痕迹即可） （2）依据 SSS：三边分别相等的两个三角形全等。（4分） （3）还可以：①先作一个角等于 ，在角的两边上分别截取 、，连接 （SAS）；②先作一条边 ，再在 、 处作出分别等于 、 的角，两条边的交点即为 （ASA）。（6分，写出一种即可） 18.（16分）【考点】SSS 与开放结论。 【步骤】（1）在 和 中，$\left\{\begin{array}{l} AB=CD\;(\text{已知}) \\ BC=DA\;(\text{已知}) \\ AC=CA\;(\text{公共边}) \end{array}\right.$，所以 （SSS）。（8分） （2）还能得出：；；；由 可得 ；由 可得 等。写出两个即可。（8分，结论每个 2 分、证明 4 分；如证 ：由（1）全等三角形的对应角相等直接得到；如证 ：由（1）得 ，内错角相等，两直线平行） 附录：双向细目表（教师用） 题号 题型 分值 考查知识点 认知要求 难度 预计时间 1—10 选择题 30 开放条件的判断与计数；开放结论的列举；全等三角形的性质；元素组合的计数；对应关系的应用 了解 — 运用 易 6 / 中 2 / 难 2 15 分钟 11—14 填空题 12 开放条件（一题多解）；两角对应相等时条件的开放性；直角三角形的开放条件 理解 — 掌握 易 2 / 中 2 / 难 0 10 分钟 15—18 解答题 58 开放条件的判断与再添加；开放结论的列举；尺规作全等三角形（ SSS 、 SAS 、 ASA ）； SSS 与开放结论的证明 掌握 — 运用 易 0 / 中 2 / 难 2 25—30 分钟 难度预估：易约 44%，中约 39%，难约 17%，全卷难度系数约 0.71。本卷以开放性问题为主，需要学生自己设计方案、列举结论，整体难度略高于常规配置。 学科网（北京）股份有限公司 $