14.2 全等三角形的判断 同步训练（五）直角三角形与HL·网格中的全等 2026-2027学年人教版数学八年级上册

14.2 全等三角形的判断　同步训练（五） 主题：直角三角形与 HL、网格中的全等　　（人教版数学八年级上册） 适用年级：八年级（上册）　　满分 100 分　　时间 60 分钟 命题人：______　审题人：______　使用日期：______ 班级：______　姓名：______　考号：______　得分：______ 注意事项 1．"HL"是直角三角形特有的判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。使用前必须先确认两个三角形都是直角三角形，且相等的边是"斜边"与"直角边"各一组。 2．在正方形网格中，横向、纵向的线段可以通过数格子直接得到长度；两条线段"横向格子数、纵向格子数"分别相同时，它们的长度相等。 3．网格中若出现直角（顶点在格点上），可优先考虑 SAS；若已知斜边和一条直角边对应相等，则用 HL。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 斜边对应相等的两个直角三角形全等 B. 一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 C. 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等 D. 面积相等的两个直角三角形全等 2. 如图，在边长为 1 的正方形网格中，Rt 和 Rt 的顶点都在格点上，。通过数格子可知两条直角边分别对应相等，则（　　） A. ，依据 SAS B. ，依据 HL C. 不一定全等 D. 一定不全等 3. 如图，网格中两个直角三角形的顶点都在格点上。小明认为它们不全等，理由是"两条直角边的位置不同"。他的说法（　　） A. 对，因为两条直角边没有对应相等 B. 不对，两个三角形全等，依据 SAS C. 不对，两个三角形全等，依据 HL D. 无法判断 4. 在 Rt 和 Rt 中，，若斜边 ，再添加一个条件，仍不能判定这两个直角三角形全等的是（　　） A. B. C. D. 两个三角形的面积相等 5. 如图，网格中两个直角三角形的顶点都在格点上（小正方形的边长为 1），图中标注了斜边和一条直角边的长，则这两个直角三角形（　　） A. 一定全等，依据 HL B. 不一定全等 C. 一定不全等 D. 无法判断 6. 如图，网格中 和 的顶点都在格点上。小明通过数格子发现： 与 、 与 、 与 的"横向格子数、纵向格子数"分别相同，于是小明判定 。他用的判定依据是（　　） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 7. 关于"HL"，下列说法错误的是（　　） A. HL 只适用于两个直角三角形 B. 用 HL 判定时，必须确认"斜边"和"一条直角边"分别对应相等 C. 两个直角三角形只有一组锐角对应相等，也一定能判定全等 D. HL 是直角三角形特有的判定方法 8. 在 Rt 和 Rt 中，，要使 Rt Rt，需要添加的条件是（　　） A. 斜边 B. 直角边 C. 斜边 ，且直角边 D. 9. 一个直角三角形的两个锐角分别为 和 ，另一个三角形与它全等，则另一个三角形的两个锐角分别为（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 无法确定 10. 下列说法正确的是（　　） A. 两个直角三角形有两组锐角对应相等，它们就全等 B. 两个直角三角形有一组锐角和一组对应边相等，它们就全等 C. 面积相等的两个直角三角形全等 D. 周长相等的两个直角三角形全等 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 11. 如图，在边长为 1 的正方形网格中，Rt 的顶点都在格点上，。通过数格子可得两条直角边的长分别为            和            ；若另一个直角三角形的两条直角边的长也为这两个数（夹角为直角），则这两个三角形全等的依据是            。 12. 工人师傅用"HL"的原理检查两个直角工件是否全等，他需要量出这两个工件的            和            分别对应相等。 13. 在两个直角三角形中，，若斜边 ，且 ，则这两个直角三角形            （填"全等"或"不一定全等"），依据是            。 14. 在 Rt 中，，，则             ；若 Rt Rt，则             。 三、解答题（本大题共4小题，共58分） 15.（12分）如图，在边长为 1 的正方形网格中，Rt 和 Rt 的顶点都在格点上，。 （1）通过数格子，分别写出 和 两条直角边的长； （2）判断 与 是否全等，并说明理由； （3）若再量得两个三角形的斜边长相等，你又能添加哪一种判定方法？ 16.（14分）如图，在 Rt 和 Rt 中，，，。 （1）求证：； （2）若 ，求 的度数； （3）若 ，求 的长。 17.（16分）如图，在边长为 1 的正方形网格中，Rt 的顶点都在格点上，，图中标注了斜边的长。 （1）通过数格子，写出这个直角三角形两条直角边的长； （2）工人师傅要做一个与 全等的三角形钢片。若他量得另一块钢料的两条直角边也为这两个数（夹角为直角），能判定两块材料全等吗？依据是什么？ （3）若工人师傅只知道两个三角形的斜边都为 5、一条直角边都为 3，能判定全等吗？依据是什么？ 18.（16分）如图，，，垂足分别为 、，点 在 上，，。 （1）求证：； （2）求证：； （3）若 ，求 的度数。 参考答案与评分标准（卷五） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.（3分）C　【考点】HL 的内容。 【步骤】斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（HL）；A、B 各只有一个条件，D 面积相等，均不能判定两个直角三角形全等。 2.（3分）A　【考点】网格中数边与 SAS。 【步骤】数格子可得两个三角形的两条直角边分别对应相等，又 ，两边及其夹角对应相等，依据 SAS。 【易错点】本题没有给出斜边对应相等的条件，不能用 HL；HL 必须已知斜边和一条直角边分别相等。 3.（3分）B　【考点】直角边"位置交换"后仍全等。 【步骤】数格子可知两个三角形的两条直角边分别为 2、3 和 3、2，只是摆放的位置不同，仍然分别对应相等（，），夹角都是直角，依据 SAS 可判定全等。 4.（3分）D　【考点】直角三角形的条件辨析。 【步骤】A、B 加上斜边对应相等符合 HL；C：由 、 可得 ，斜边 、 是直角的对边，属 AAS，能判定；D 面积相等不能判定全等。 5.（3分）A　【考点】HL 在网格中的应用。 【步骤】两个直角三角形的斜边都为 5，一条直角边都为 3，斜边和一条直角边分别对应相等，依据 HL 可判定全等。 6.（3分）A　【考点】网格中数边与 SSS。 【步骤】两条线段"横向格子数、纵向格子数"分别相同，说明它们长度相等。题中三组对应边分别相等，依据 SSS。 7.（3分）C　【考点】HL 的适用条件。 【步骤】只有一组锐角对应相等，还缺少"一组对应边相等"的条件，不能判定两个直角三角形全等；A、B、D 的说法都正确。 8.（3分）C　【考点】HL 的条件必须成对出现。 【步骤】HL 要求"斜边"和"一条直角边"各一组同时对应相等；A、B 各只有一个条件，D 只有一个角，都不足以判定。 9.（3分）A　【考点】全等三角形的对应角。 【步骤】全等三角形的对应角相等，所以另一个三角形的两个锐角也是 和 。 10.（3分）B　【考点】直角三角形中"一角一边"的充分性。 【步骤】一组锐角对应相等时，另一组锐角也相等（两锐角互余），此时任意一组对应边相等都能判定全等——相等的边是夹边时用 ASA，是边的对边时用 AAS；A 只有角没有边，C、D 均不能判定全等。 二、填空题（每小题3分，共12分） 11.（3分）3；4；SAS　【考点】网格中数直角边与 SAS。 【步骤】数格子得两条直角边分别为 3 和 4，它们的夹角为直角，两边及其夹角对应相等，依据 SAS。 12.（3分）斜边；一条直角边　【考点】HL 的测量要素。 【步骤】HL 要求斜边和一条直角边分别对应相等，两个条件缺一不可。 13.（3分）全等；AAS　【考点】斜边与锐角对应相等的直角三角形。 【步骤】，，故 。斜边 是 的对边， 是 的对边， 为"其中一角的对边"对应相等，依据 AAS。 14.（3分）；　【考点】直角三角形的角度计算与对应角。 【步骤】；由 Rt Rt 得 。 三、解答题（共58分） 15.（12分）【考点】网格中数边与 SAS 判定。 【步骤】（1） 的两条直角边分别为 3 和 4； 的两条直角边分别为 4 和 3（顺序不同，长度相同）。（4分） （2）全等。理由：，两条直角边分别对应相等（，），两边及其夹角对应相等，所以 （SAS）。（4分） （3）还可添加"HL"（斜边和一条直角边分别对应相等）。（4分） 16.（14分）【考点】HL 的证明与应用。 【步骤】（1）在 Rt 和 Rt 中，$\left\{\begin{array}{l} AB=DE\;(\text{已知}) \\ AC=DF\;(\text{已知}) \end{array}\right.$，所以 Rt Rt（HL）。（6分） （2），由全等得 。（4分） （3）由全等得 。（4分） 17.（16分）【考点】网格中直角三角形的边长读取与两种判定方法。 【步骤】（1）通过数格子，两条直角边的长分别为 3 和 4。（4分） （2）能。理由：两条直角边分别对应相等（，），且它们的夹角都是直角，两边及其夹角对应相等，依据 SAS 可判定全等。（6分） （3）能。理由：斜边对应相等（都为 5），一条直角边对应相等（都为 3），斜边和一条直角边分别对应相等，依据 HL 可判定全等。（6分） 18.（16分）【考点】垂直背景下的 SAS 与对应边。 【步骤】（1）因为 ，，所以 。在 和 中，$\left\{\begin{array}{l} AB=CD\;(\text{已知}) \\ \angle ABC=\angle CDE\;(\text{已证}) \\ BC=DE\;(\text{已知}) \end{array}\right.$，所以 （SAS）。（8分） （2）因为 ，所以 （全等三角形对应边相等）。（4分） （3）由 得 ，。在 中，，所以 。（4分） 【易错点】第（3）问中 的对应角是 而不是 ，写全等式时注意顶点顺序： 中 、、。 附录：双向细目表（教师用） 题号 题型 分值 考查知识点 认知要求 难度 预计时间 1—10 选择题 30 直角三角形的全等判定（ HL ）；网格中数边与判定（ SAS 、 SSS ）； HL 的条件与辨析；全等三角形的对应角 了解 — 掌握 易 8 / 中 1 / 难 1 15 分钟 11—14 填空题 12 网格中直角边的读取与 SAS ； HL 的测量要素；斜边与锐角对应相等的 AAS ；直角三角形的角度计算 理解 — 掌握 易 2 / 中 2 / 难 0 10 分钟 15—18 解答题 58 网格中 SAS 判定与 HL 的添加； HL 的证明与应用；网格三角形的边长读取与两种判定；垂直背景下的 SAS 与对应边 掌握 — 运用 易 0 / 中 3 / 难 1 25—30 分钟 难度预估：易约 56%，中约 33%，难约 11%，全卷难度系数约 0.73。本卷围绕直角三角形与 HL 展开，网格题只要求"数格子"得到边长，不涉及勾股计算。 学科网（北京）股份有限公司 $