单元素养测评卷(三)A[第三章 圆锥曲线的方程]-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 高中数学第三章解析几何单元素养测评卷，全面覆盖圆锥曲线定义、方程及位置关系，题型梯度合理，注重数学思维与应用，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|抛物线准线、双曲线离心率、椭圆方程|第6题关联初中反比例函数，体现知识迁移；第8题结合椭圆与直线最值，培养数学思维| |填空题|3/15|椭圆内点范围、双曲线渐近线、椭圆光学性质|第14题融入光学性质，发展几何直观与创新意识| |解答题|5/77|曲线方程求解、直线与圆锥曲线位置关系、轨迹问题|15题综合三种曲线方程，19题结合中点与角度证明，提升逻辑推理与数学表达能力|

单元素养测评卷(三)A 1.D　[解析] 由抛物线的方程为y2=2x,得其焦点坐标为,则其准线方程为x=-.故选D. 2.D　[解析] 因为双曲线的中心在原点,顶点在x轴上,所以双曲线的焦点在x轴上,又因为双曲线的一个焦点在直线3x-4y+12=0上,令y=0,得x=-4,所以c=4,则a2=b2=c2=8,所以等轴双曲线的方程为x2-y2=8.故选D. 3.B　[解析] 若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m-1>5-m>0,解得3<m<5,所以p的充要条件是3<m<5.结合四个选项可知,p的充分不必要条件可以是4<m<5,故选B. 4.B　[解析] 由可得(1-9m)x2-12mx-4m-1=0.当1-9m=0时,m=,此时方程为一次方程,有一个解,不符合题意;当1-9m≠0时,m≠,由Δ=144m2+4(1-9m)(4m+1)<0,即144m2-144m2-20m+4<0,解得m>.故选B. 5.D　[解析] 设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1①,+=1②,由②-①得+=0,所以以点M(1,2)为中点的弦所在直线的斜率k==-=-=-.故选D. 6.D　[解析] y==1+,故该双曲线是由反比例函数y=的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的,又双曲线y=的两条渐近线方程为x=0和y=0,所以双曲线y=的两条渐近线方程为x=-1和y=1.因为双曲线y=的两条渐近线互相垂直,所以该双曲线为等轴双曲线,所以其离心率e===.故选D. 7.C　[解析] 依题意得p=2,∴F(0,1),设A(2t,t2)(t>0),则B(2t,-1).∵=2,∴D为BF的中点,∴D(t,0),则kAD==t,又点(0,-3)在直线AD上,∴t=,可得t=,∴kAD=,故直线AD的倾斜角为60°.故选C. 8.C　[解析] 根据题意知,椭圆的右焦点为F(1,0),设左焦点为F'(-1,0),连接PF',根据椭圆的定义可知|PF|+|PF'|=4,所以|PF|=4-|PF'|,则|PA|-|PF|=|PA|-(4-|PF'|)=|PA|+|PF'|-4,所以当|PA|+|PF'|最小时,|PA|-|PF|最小,|PA|+|PF'|的最小值为定点F'(-1,0)到直线x-y-10=0的距离.根据点到直线的距离公式可得点F'(-1,0)到直线x-y-10=0的距离为=,所以(|PA|-|PF|)min=-4=.故选C. 9.BC　[解析] 椭圆M:+=1的长半轴长a=2,短半轴长b=,半焦距c=,椭圆N:+=1的长半轴长a'=3,短半轴长b'=,半焦距c'=.对于A,椭圆M的离心率e=,椭圆N的离心率e'=,A错误;对于B,椭圆M与N的焦距都为2,B正确;对于C,椭圆M与N的长轴长不相等,C正确;对于D,椭圆M的短轴长不是N的短轴长的两倍,D错误.故选BC. 10.ABD　[解析] 设点P(x,y)(x≠±1),则k1=kAP=,k2=kBP=.当k1·k2=-2时,·=-2,即=-2,即y2=-2(x2-1),即+x2=1(x≠±1),故P点的轨迹为除去A,B两点的椭圆,A正确;当k1·k2=2时,·=2,即=2,即y2=2(x2-1),即x2-=1(x≠±1),故P点的轨迹为除去A,B两点的双曲线,B正确;当=2时,===2,即x-1=2(x+1),可得x=-3,∵k2≠0,∴y≠0,∴P点的轨迹是一条直线不含点(-3,0),C错误;当k1-k2=2时,-=2,即y=-x2+1(x≠±1),故P点的轨迹为除去A,B两点的抛物线,D正确.故选ABD. 11.ABD　[解析] 由题可得F(1,0),则kMF=-,因为MF⊥AB,所以kAB=2,则m=,A正确.设A(x1,y1),B(x2,y2),由F(1,0)知=1,即p=2,所以抛物线C的方程是y2=4x,由得y2-4my-4=0,Δ=16m2+16>0,则y1+y2=4m,y1y2=-4,则|AB|==4(1+m2),所以当m=0时,|AB|取得最小值,即当l与x轴垂直时,|AB|取得最小值,且最小值为4,B正确.由=3,可得y1=-3y2,又y1+y2=4m,y1y2=-4,所以m2=,则|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=,C不正确.=(-1-x1,1-y1),=(-1-x2,1-y2),由·=0,可得(1+x1)(1+x2)+(1-y1)(1-y2)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=0,则-4(m2+1)+4m(2m-1)+5=0,解得m=,则|AB|=4m2+4=5,D正确.故选ABD. 12.(-,)　[解析] ∵点A(m,1)在椭圆+=1的内部,∴+<1,整理得m2<2,解得-<m<. 13.y=±x　[解析] 由双曲线C:-=1(a>0,b>0),可得左焦点F(-c,0),右顶点B(a,0),其中一条渐近线的方程为y=x,即bx-ay=0,则顶点B(a,0)到渐近线bx-ay=0的距离d1==,焦点F(-c,0)到渐近线bx-ay=0的距离d2==b,由题可得b=2×,即c=2a.因为b2=c2-a2=3a2,即b=a,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x. 14.4-2　[解析] 因为椭圆C:+=1,所以a=4,c2=16-4=12,则c=2.设椭圆的右焦点为F2,连接PF2,延长F1M,F2P交于点N,由题意可知∠F1PM=∠NPM,又因为PM⊥F1N,所以M为F1N的中点,且|PF1|=|PN|,所以|F2N|=|PN|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a=8,又因为原点O为F1F2的中点,所以|OM|=|F2N|=×8=4,故点M的轨迹为以O为原点,r=4为半径的圆.易知点F1到圆心O的距离为|OF1|=c=2,所以|MF1|的最小值为r-|OF1|=4-2. 15.解:(1)由双曲线的渐近线方程为y=±x,可设双曲线方程为-y2=λ(λ≠0). 因为A(2,-3)在双曲线上,所以-(-3)2=λ,解得λ=-8, 所以双曲线的标准方程为-=1. (2)由题意知2c=8,=0.8,解得a=5,c=4,所以b==3, 所以椭圆的标准方程为+=1或+=1. (3)由题可设所求抛物线方程为y2=mx(m≠0),得(-2,1)代入,得m=-, 故抛物线的标准方程为y2=-x. 16.解:(1)设点T(x0,y0),由题可知|TF|=y0+1,由抛物线的定义知|TF|=y0+, 所以y0+=y0+1,所以p=2,则抛物线C的方程为x2=4y. (2)易知l的斜率一定存在,设l的方程为y=kx+6,A(x1,y1),B(x2,y2). 由消去y得x2-4kx-24=0, 则Δ=16k2+96>0,且x1+x2=4k,x1x2=-24,所以|AB|=====4, 由|AB|=24,化简整理得k4+7k2-30=0,解得k2=-10(舍去)或k2=3, 所以k=±,即l的方程为±x-y+6=0. 17.解:(1)设C的焦距为2c(c>0),则2c=6,得c=3. 因为椭圆上的点到两焦点的距离之和为2a,且椭圆上一点与两焦点构成的三角形的周长为16,所以2a+2c=16,可得a=5,所以b2=a2-c2=16, 所以椭圆C的标准方程为+=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减可得=-,即=-. 由点为线段AB的中点,得x1+x2=,y1+y2=, 则直线l的斜率k==-×=-×=-, 所以直线l的方程为y-=-,即4x+5y-2=0. 18.解:(1)设P(x,y),则H(0,y),所以=(-x,0),=(-2-x,-y),=(2-x,-y), 因为5=·,所以5x2=x2-4+y2,整理得轨迹C的方程为-x2=1. (2)由消去y并整理得(m2-4)x2+2mx-3=0, 所以m2-4≠0,且Δ=4m2-4(m2-4)×(-3)>0,所以m≠±2且m2>3, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-. 若以AB为直径的圆过点Q(0,-3),则QA⊥QB,所以·=0, 即x1x2+(y1+3)(y2+3)=0,所以(m2+1)x1x2+4m(x1+x2)+16=0, 所以(m2+1)+4m+16=0, 化简得5m2-67=0,解得m=±,满足m2>3,所以m=±. 19.解:(1)由题意得2c=2,解得c=1,且=1,得b2=3,则a2=4, 所以椭圆C的方程为+=1. (2)①证明:易得∠MAQ+∠MQA=∠PMA,又∠PMA=2∠PQA,所以∠PQA=∠MAQ,所以|MA|=|MQ|=|PQ|,所以∠PAQ为直角,得证. ②设P(x1,y1),Q(x2,y2),由消去y整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,则Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,可得m2<4k2+3, 则x1+x2=-,x1x2=,所以kPAkQA=·===-1,整理可得7m2-6m-3=0,解得m=-或m=, 又m=时,直线l过点A,不符合题意,所以m=-. 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(三)A  第三章 (时间:120分钟　分值:150分)　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.抛物线x=y2的准线方程为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=- B.x=- C.y=- D.x=- 2.[2026·东莞高级中学高二月考] 中心在原点,顶点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是 (　　) A.y2-x2=4 B.x2-y2=4 C.y2-x2=8 D.x2-y2=8 3.已知p:方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则p的充分不必要条件可以是 (　　) A.3<m<5 B.4<m<5 C.1<m<5 D.m>1 4.已知双曲线C:x2-my2=1与直线y=3x+2无交点,则m的取值范围为 (　　) A. B. C.(0,5) D.(5,+∞) 5.在椭圆+=1中,以点M(1,2)为中点的弦所在直线的斜率为 (　　) A. B. C. D.- 6.由双曲线-=1(a>0,b>0)的两渐近线所成的角可求其离心率的大小,初中学习的反比例函数的图象也是双曲线,据此可求得双曲线y=的离心率为 (　　) A. B.2 C. D. 7.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F到准线l的距离为2,位于第一象限的点A在抛物线C上,过点A作l的垂线,垂足为点B,若=2,且点(0,-3)在直线AD上,则直线AD的倾斜角为(　　) A.30° B.40° C.60° D.75° 8.[2026·山东枣庄高二期中] 设F是椭圆+=1的右焦点,P是椭圆上的动点,A是直线x-y-10=0上的动点,则|PA|-|PF|的最小值为 (　　) A. B.3 C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.[2026·广西河池高二联考] 已知椭圆M:+=1,N:+=1,则 (　　) A.M与N的离心率相等 B.M与N的焦距相等 C.M与N的长轴长不相等 D.M的短轴长是N的短轴长的两倍 10.[2026·武汉高二期中] 已知A(-1,0),B(1,0),直线AP,BP相交于点P,直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,则 (　　) A.当k1·k2=-2时,P点的轨迹为除去A,B两点的椭圆 B.当k1·k2=2时,P点的轨迹为除去A,B两点的双曲线 C.当=2时,P点的轨迹为一条直线 D.当k1-k2=2时,P点的轨迹为除去A,B两点的抛物线 11.[2026·福建南平高二期中] 已知直线l:x=my+1过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与C交于A,B两点,点M(-1,1),则下列结论正确的是 (　　) A.若MF⊥AB,则m= B.|AB|的最小值为4 C.若=3,则|AB|= D.若·=0,则|AB|=5 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若点A(m,1)在椭圆+=1的内部,则实数m的取值范围是　　　　.  13.[2026·北京人大附中高二月考] 双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,右顶点为B,点F到渐近线的距离是点B到渐近线距离的2倍,则双曲线C的渐近线方程为　　　　.  14.“若点P为椭圆上的一点,F1,F2为椭圆的两个焦点,则椭圆在点P处的切线平分∠F1PF2的外角”,这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆C:+=1,点P是椭圆上的点,椭圆在点P处的切线为直线l,过左焦点F1作l的垂线,垂足为M,则|MF1|的最小值为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)求满足下列条件的曲线的标准方程. (1)渐近线方程为y=±x,且经过点A(2,-3)的双曲线方程; (2)焦距为8,离心率为0.8的椭圆方程; (3)顶点在原点,关于x轴对称且过点(-2,1)的抛物线方程. 16.(15分)[2026·重庆铁路中学高二月考] 已知O为坐标原点,F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,T是C上异于O的一点,且点T到F的距离比到x轴的距离大1. (1)求抛物线C的方程; (2)若经过点(0,6)的直线l与抛物线C相交于A,B两点,且|AB|=24,求l的方程. 17.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为6,椭圆上一点与两焦点构成的三角形的周长为16. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若直线l与C交于A,B两点,且线段AB的中点坐标为,求直线l的方程. 18.(17分)已知两点M(-2,0),N(2,0),动点P在y轴上的射影是H,且5=·. (1)求动点P的轨迹C的方程. (2)设直线l:y=mx+1与C相交于A,B两点,当m为何值时,以线段AB为直径的圆经过点Q(0,-3)? 19.(17分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,且椭圆C经过点A(0,). (1)求椭圆C的方程. (2)若直线l:y=kx+m与C相交于不同于A的P,Q两点,PQ的中点为M,当∠PMA=2∠PQA时: ①求证:∠PAQ为直角; ②求m的值. 学科网（北京）股份有限公司 $