第三章 圆锥曲线的方程重难点检测卷 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如果椭圆上一点P与焦点的距离等于3，那么点P与另一个焦点的距离是（   ） A．5 B．13 C．1 D．3 2．已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A． B．1 C． D． 3．焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（    ） A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为 D．离心率 4．已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 5．已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 6．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（    ） A． B． C． D．4 7．已知双曲线的左、右顶点分别为，点是上异于的一点，若直线，的斜率之积为的离心率的倍，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的焦点为，点在上，是上的动点，为直线上一定点，到的距离为，若取得最小值时点与重合，则（   ） A． B． C．12 D．24 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．已知椭圆的离心率为，焦点为则（    ） A．的短轴长为 B．上存在点，使得 C．若点在椭圆上，则的取值范围为 D．与曲线重合 10．已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线实轴长为3 B．双曲线虚轴长为 C．双曲线离心率为2 D．双曲线的两渐近线夹角的正切值为 11．已知的顶点均在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点．若，则（    ） A． B．的周长小于36 C．的三个顶点到轴的距离之和为9 D．上一动点到直线的距离的最小值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．与椭圆方程有相同焦点，且过点的椭圆方程为________． 13．若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是序号是______. ①的焦点到渐近线的距离为4；②的离心率为； ③上的点到距离的最小值为2；④过的最短的弦长为. 14．如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10 cm，口径26 cm，底径10 cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为_____cm. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．已知椭圆E：（）的左、右焦点分别为，，且，两点在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程； (2)若点，，证明：点M在椭圆上，并求的周长. 16．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过、两点． (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 17．（1）求满足下列条件的双曲线的标准方程： ①双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为4； ②双曲线与双曲线有共同的渐近线，并且经过点． （2）求满足下列条件的椭圆的标准方程：经过两点，． 18．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为. （1）求抛物线的标准方程. （2）已知点，点在抛物线上. ①若点在第一象限内，且，求点的坐标. ②求的最小值. 19．如图，是抛物线型拱桥，当水面在时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米. (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？（计算结果保留至小数点后一位，参考数据：） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如果椭圆上一点P与焦点的距离等于3，那么点P与另一个焦点的距离是（   ） A．5 B．13 C．1 D．3 【答案】A 【分析】由椭圆的定义，则即可求解. 【详解】由椭圆方程得，由椭圆的定义得， 则 故选：A 2．已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查椭圆的定义和性质，以及三角形面积公式的应用，解题的关键在于利用椭圆的定义求出的周长，再结合三角形面积公式建立等式求解点的纵坐标. 【详解】由题知，， 所以. 设的内切圆半径为，因为（根据面积相等列出方程）， 所以，得. 故选：B 3．焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（    ） A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为 D．离心率 【答案】D 【详解】设椭圆的方程为， 因为椭圆过点，，代入得，解得，， 所以椭圆的长轴长为，椭圆的短轴长为，故A和B错误； 因为，所以，所以椭圆的焦距为，故C错误； 椭圆的离心率，故D正确. 4．已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 【答案】A 【分析】将椭圆化为标准方程，进而分类讨论椭圆焦点位置，再结合离心率求解． 【详解】原方程整理得 ， 且， 当焦点在轴上，则，，满足，即. 由离心率，得，解得，符合条件. 当焦点在轴上，则，，满足，即. 同理，解得，符合条件. 5．已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】因为双曲线， 所以，故，即， 由双曲线的定义知，， 所以或， 当时，,不合题意，舍去. 故. 故选：A 6．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据双曲线的对称性及定义，求出、长度，由直角三角形求解可得解. 【详解】如图， 因为双曲线，所以， 由双曲线的对称性知， 所以， 由双曲线定义可得， 所以，又， 所以，即， 所以, 故， 故选：A 7．已知双曲线的左、右顶点分别为，点是上异于的一点，若直线，的斜率之积为的离心率的倍，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知，设，根据斜率关系得，再结合题意得，解得即可得答案. 【详解】由题知，设， 点是上异于的一点，故，即 因为， 所以， 因为直线，的斜率之积为的离心率的倍，离心率， 所以， 令，则， 即，解得或（舍），故，即， 所以的渐近线方程为. 故选：B 8．已知抛物线的焦点为，点在上，是上的动点，为直线上一定点，到的距离为，若取得最小值时点与重合，则（   ） A． B． C．12 D．24 【答案】B 【分析】由抛物线的定义将的最小值转化为，由此可知取得最小值时三点共线，由两点式写出直线，再将点代入直线，则可求出答案. 【详解】将点代入，解得， 所以抛物线，焦点，准线， 由抛物线的定义可知：， 所以，当且仅当三点共线时，等号成立. 又取得最小值时点与重合， 所以三点共线， 直线 将点代入：， 解得. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．已知椭圆的离心率为，焦点为则（    ） A．的短轴长为 B．上存在点，使得 C．若点在椭圆上，则的取值范围为 D．与曲线重合 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的离心率求出可判断A；设，利用坐标表示出，求出其范围可判断BC；根据两点间的距离公式的几何意义，结合椭圆定义可判断D. 【详解】对于A，由题知，解得，所以，所以的短轴长为，A正确； 对于BC，由A可知，， 设椭圆上一点，则， 又，即， 所以， 因为，所以，得，故C错误， 由，则椭圆上存在点，使得，故B正确； 对于D，由的几何意义可知： 动点到定点的距离之和等于， 表示以为焦点，的椭圆，故D正确. 10．已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线实轴长为3 B．双曲线虚轴长为 C．双曲线离心率为2 D．双曲线的两渐近线夹角的正切值为 【答案】BC 【详解】由双曲线：，得，则， 即， 则双曲线实轴长为，虚轴长为，离心率为，故A错误，BC正确； 而双曲线的两渐近线方程为， 则两渐近线的倾斜角分别为， 所以两渐近线的夹角为，则夹角的正切值为，故D错误. 11．已知的顶点均在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点．若，则（    ） A． B．的周长小于36 C．的三个顶点到轴的距离之和为9 D．上一动点到直线的距离的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据抛物线的定义性质，重心坐标公式，平行线间的距离公式逐项求解即可. 【详解】 抛物线的焦点， 设,由抛物线定义可知：,已知， 即， 又因为的重心为抛物线的焦点，即代入 得或，因为所以，故A对 抛物线. 因为的重心为抛物线的焦点，所以(三角形两边之和大于第三边)， 即的周长，故B对. 的三个顶点到轴的距离之和，故C对. 设与直线平行，与抛物线相切的直线方程为， 联立得，， 所以直线，两条平行线间的距离：， 即动点到直线的距离的最小值为，故D错. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．与椭圆方程有相同焦点，且过点的椭圆方程为________． 【答案】 【详解】由题意可设所求椭圆的标准方程为， ∵椭圆过点， ∴将，代入方程得， 解得或（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 13．若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是序号是______. ①的焦点到渐近线的距离为4；②的离心率为； ③上的点到距离的最小值为2；④过的最短的弦长为. 【答案】①③ 【分析】根据题意，可知，再根据求得，从而得出双曲线的右焦点为，渐近线方程为，根据点到直线的距离公式即可求出焦点到渐近线的距离，即可判断A选项；直接求出离心率可知B选项错误；当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小，即可判断C选项；过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，可得出过的最短的弦长，即可判断D选项. 【详解】由题意知，即， 因为，所以，解得， 所以右焦点为，双曲线的渐近线方程为， 对于①：到渐近线的距离为，故①正确； 对于②：因为，所以双曲线的离心率为，故②错误； 对于③：当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小为，故③正确； 对于④：过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，此时为过点的最短弦为，故④错误. 故选：①③. 14．如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10 cm，口径26 cm，底径10 cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为_____cm. 【答案】 【分析】先建立平面直角坐标系，再得出点的坐标，列式计算求解. 【详解】以该碗轴截面的对称轴为y轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 如图，设该抛物线的方程为（x，y的单位均为cm），点A纵坐标为h， 则， 于是， 所以，即得cm，即该抛物线的焦点到准线的距离为cm. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．已知椭圆E：（）的左、右焦点分别为，，且，两点在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程； (2)若点，，证明：点M在椭圆上，并求的周长. 【答案】(1) (2) 由点，得， 显然点满足椭圆方程，所以点M在椭圆E上，如下图： 由椭圆方程可知，， 所以的周长为. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即得. （2）将点的坐标代入椭圆方程计算得证；再利用两点间距离公式即可求解. 【详解】（1）因为椭圆E经过，两点， 所以由椭圆的结构特征可知，，椭圆焦点在x轴上， 所以椭圆E的方程为. （2）略 16．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过、两点． (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可设双曲线的标准方程为，把已知点的坐标代入即可求出，从而得解. （2）由题意先求出双曲线的焦点坐标即求出，然后根据双曲线的定义求出，由平方关系即可求出，从而得解. 【详解】（1）不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 若双曲线经过、两点， 则由题意有，解得，显然有， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. （2）由题意椭圆的半焦距， 所以满足题意的双曲线的焦点坐标为， 所以不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 而双曲线上的点在第二象限， 所以由双曲线的定义有 ， 解得，又，所以， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. 17．（1）求满足下列条件的双曲线的标准方程： ①双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为4； ②双曲线与双曲线有共同的渐近线，并且经过点． （2）求满足下列条件的椭圆的标准方程：经过两点，． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据渐近线得到，根据距离得到，进而得到答案．②设双曲线方程为，，代入点坐标，计算得到答案； （2）设出椭圆的标准方程，代入点的坐标，即可求得椭圆的标准方程． 【详解】（1）①已知双曲线的焦点在轴上， 所以可设的标准方程为， 又的渐近线方程为，所以，即， 由的两顶点之间的距离为4，得，所以，． 故双曲线的标准方程为； ②因为与双曲线 有共同的渐近线， 所以可设为：，， 因为过点，则，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）设椭圆方程为，则 经过两点，， ，，， 椭圆方程为． 18．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为. （1）求抛物线的标准方程. （2）已知点，点在抛物线上. ①若点在第一象限内，且，求点的坐标. ②求的最小值. 【答案】（1）；（2）①；②. 【分析】（1）由抛物线定义：抛物线上点到焦点距离等于点到其准线的距离有，即可求p，写出抛物线方程. （2）令，利用两点距离公式得，结合已知求的坐标，利用点在抛物线上，结合二次函数最值求的最小值. 【详解】（1）由题意，可设抛物线：，焦点，则，解得， ∴抛物线的标准方程为， （2）令， ①由已知条件得， 将代入上式，并变形得，，解得(舍去)或， 当时，，只有，满足条件， ∴点的坐标为. ②，其中， ， 当时，， 【点睛】关键点点睛： （1）由抛物线定义，由待定系数法求p，写出抛物线方程. （2）由点在抛物线上，结合两点坐标的距离公式，求点坐标以及距离的最小值. 19．如图，是抛物线型拱桥，当水面在时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米. (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？（计算结果保留至小数点后一位，参考数据：） 【答案】(1)8米 (2)13.9米. 【分析】（1）合理建立直角坐标系，设出抛物线方程，根据题意求出参数，令即可求出水面宽度； （2）当时，求出拱顶与船顶的最近距离，加上船在水面以上的高度即令，从而求出水面的宽度. 【详解】（1）如图建立平面直角坐标系，设抛物线型拱桥的方程为（） 由题意，可知抛物线经过点，代入抛物线方程可得，即得， 所以抛物线方程为. 当拱顶离水面2米时，即，代入抛物线方程可得，即水面宽为8米. （2）由于船体宽12米，则当船体恰好能通过时，令米， 代入抛物线方程中，则，解得米， 即拱顶与船顶的最近距离为4.5米. 又因船在水面上部分高为1.5米，故拱顶离水面6米. 在抛物线方程中，令，则， 故，所以水面宽度至少应为13.9米. 学科网（北京）股份有限公司 $