精品解析：上海市南洋模范中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

高二年级数学 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分） 1. 直线上存在两点在平面上，用集合语言表示的关系_________． 【答案】 【解析】 【分析】由平面的基本性质得解. 【详解】由平面的基本性质，当直线上存在两点在平面上时，. 故答案为： 2. 在正六棱柱的所有棱中，与直线异面的棱共有____________条． 【答案】 8 【解析】 【分析】根据异面直线的定义，将所有与直线异面的棱列举出来即可 【详解】与直线异面的棱有，故共有8条. 3. 如图所示，均与平面平行，分别在上，且．则四边形的形状为______． 【答案】矩形 【解析】 【分析】由线面平行的性质定理可证明，，进而，同理可证，再由，即可得到答案. 【详解】因为平面，平面平面，平面，所以． 同理，所以． 同理，所以四边形为平行四边形． 又因为，所以， 所以平行四边形为矩形． 故答案为：矩形 4. 在长方体中，，，，则直线与平面所成角的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】由线面角的定义确定直线与平面所成角为，进而可求解. 【详解】 在长方体中，平面， 则在平面内的射影为，故直线与平面所成角为， ，​， 又平面，平面，所以​， 在中：  故直线​与平面​所成角为. 5. 已知l，m为直线，为平面，给出下列三个论断：①②③.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______________________________. 【答案】若，，则 【解析】 【分析】将三个论断两两作为条件、剩余一个作为结论构造命题，结合空间线面垂直、线面平行的判定与性质判断命题真假. 【详解】命题：以②、③为条件，①为结论； 证明：根据线面垂直的性质，若，则垂直于平面内的所有直线； 又，则的方向与平面内某条直线的方向相同，因此，该命题正确， 命题：以①、③为条件，②为结论； 该命题错误，反例：当时，仍有且，但在平面内，不满足，故无法推出该结论， 命题：以①、②为条件，③为结论； 该命题错误，反例：设，为平面内与垂直的直线，则且，但不垂直于平面，无法推出结论. 6. 是正方形，P为平面外一点，且平面，则平面、平面、平面、平面、平面这五个平面中，互相垂直的平面有______对． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，证得面面垂直，即求解. 【详解】由平面，且平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 又由平面，且平面，所以， 在正方形中，可得， 因为且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 同理可证：平面，且平面，所以平面平面， 由平面，且平面，所以， 在正方形中，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 综上可得，互相垂直的平面有5对. 7. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点，则异面直线与所成角的正弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】注意到，则异面直线与所成角为（或其补角），然后由题意及勾股定理可得，，，然后由余弦定理可得答案. 【详解】连接交于，在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点， 因此有，因此异面直线与所成角为（或其补角）， 因为四边形是正方形，所以， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，因此有， 在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线， 因此有， 由余弦定理可知：， 因此. 故答案为：. 8. 如图，在棱长为4的正方体中．点是棱的中点，动点在面内，包括边界），若平面，则线段长度的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】通过构造面面平行的方法，判断出点的轨迹，从而求得的取值范围. 【详解】设分别是的中点，连接. 根据正方体的性质可知， 由于平面，平面， 所以平面， 又因，可得，则得， 由于平面，平面，所以平面， 由于平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面， 而平面，平面，平面平面， 故点的轨迹即线段. ， 三角形是等腰三角形，底边上的高为， 所以的取值范围是. 故答案为： 9. 如图所示，将绘有函数部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】过分别作轴、轴的垂线相交于点，利用余弦定理求，然后由勾股定理求出，根据图象过点即可得解. 【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴、轴的垂线相交于点，    连接，则， 由余弦定理得， 由上可知，轴垂直于，又平面， 所以轴垂直于平面，又轴，所以平面， 因为平面，所以， 因为的周期，所以， 由勾股定理得，解得， 由图知，的图象过点，且在递减区间内， 所以，即， 因为，点在递减区间内，所以. 故答案为： 10. 在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设的中点为，在底面的投影为，则就是与底面所成角，再解三角形求正弦值即可． 【详解】设的中点为，在底面的投影为，如图， 由对称性可知在上， 就是与底面所成角， 又 ，， 又是等腰直角三角形，， ，， ． 11. 如图，正方体的棱长为1，点是棱的中点，点是棱上的动点（含端点），过点，，的平面截正方体所得截面记为，给出下面四个结论： ①存在，使得为菱形，的面积为； ②当是的中点时，为等腰梯形，的面积是； ③过直线，有且只有一个平面与任意垂直； ④存在，使得直线与所成的角为. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】点与点重合时可判断①，是的中点时作出截面，判断形状后求面积即可判断②，找出一个平面证明与截面垂直且唯一可判断③，求出直线与所成的角的范围即可判断④. 【详解】对命题①，如图，取点与点重合时，由平行平面性质及勾股定理可知 所得截面为菱形，其中，点为的中点，因正方体的棱长为1， 故此菱形对角线，，故此菱形面积，故命题①正确； 对命题②，当是的中点时，连结并延长，与的延长线交于点. 由平行截比易得，因点为中点，易得，，三点共线， 故在三角形中由中位线性质可知，且，故截面为上下底分别为，，腰为的等腰梯形， 故此等腰梯形的高，故此梯形面积为，故命题②错误； 对命题③，设截面（面）法向量，过点作以法向量为方向向量的动直线. 则动直线，因空间中过一点作已知直线的垂线有无数条，且这些直线共面， 故点，动直线共面，设此平面为平面，故平面为过点的直线的唯一垂面，因面， 即在截面内，故平面为过点的截面的垂面，当点与点重合，则动直线即为 故面，故平面即为满足本题要求的唯一平面，取的中点，的中点， 可证四边形为平行四边形，因点为中点，故在正方形内由全等三角形方法可知 ，因面，且面，故. 因，，且和为面内的相交直线，故面，因面，即在截面内， 故截面面，故面为满足要求的过的唯一垂面，故命题③正确； 对命题④，因正方体的棱底面，故当点与重合时，截面即为底面， 此时直线与所成的角为，当点在棱上与点重合时，此时直线与所成的角为， 因点为中点，故，，故在直角三角形中，. 根据最小角定理，直线与平面所成的角是直线与平面内所有直线所成角中的最小角， 故，因，故， 由直线与所成的角的取值范围为，故存在，使得直线与所成的角为，故命题④正确. 故答案为：①③④ 12. 在棱长为2的正方体中，从点A发出的光线经侧面内部（不含边界）一点S反射后投射到侧面内部（不含边界），则满足条件的点S所组成区域的面积是____________. 【答案】 【解析】 【分析】设点关于的对称点为，设平面，则的面积即为所求，计算梯形面积即可. 【详解】设点关于的对称点为， 以为顶点，以为底面，作四棱锥， 设平面，则的面积即为所求. 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因为为中点，所以， 则梯形的面积为 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分） 13. 以下说法正确的是（ ） A. 空间异面直线的夹角取值范围是 B. 直线与平面的夹角的取值范围是 C. 二面角的取值范围是 D. 向量与向量夹角的取值范围是 【答案】D 【解析】 【详解】对于选项A. 空间异面直线的夹角取值范围是，故A错误； 对于选项B. 直线与平面的夹角的取值范围是，故B错误； 对于选项C. 二面角的取值范围是，故C错误； 对于选项D. 向量与向量夹角的取值范围是，故D正确. 14. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将点在上的位置参数化，利用平行于平面，把表示为平面内两个不共线向量的线性组合，再比较、、的系数． 【详解】设，其中． 取，，，则，，． 由直线平面，且平面存在，向量、不共线，故存在实数、，使． 由于为平行四边形，与不共线； 又不在底面所在平面内，所以、、线性无关． 比较三者的系数，得，，． 由得，再由得，代入得，所以． 因此． 15. 如图，在正方体中，M是的中点．若点P满足：平面与平面交于直线l，且平面，则点可以位于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交延长线于点，则直线l为过点平行于的直线，即可确定平面，可得解. 【详解】根据题意，延长交延长线于点， 因为平面与平面交于直线l，且平面， 则直线l为过点平行于的直线， 又因为，则，所以与共面，即平面， 所以点P可以位于，而点、和都不在平面上，故C正确. 16. 如图，正方体的棱长为1，点P是上底面内的一个动点．设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，若，则下图中阴影部分表示P点轨迹的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作与点，过点作与点，根据二面角的平面角的定义，求得和，进而得到和，根据题意，转化为，在正方形中，只需点到的距离比到的距离小，即可求解. 【详解】过点作于点，过点作于点， 可得平面，且平面， 因为平面，可得， 又因为平面与平面的夹角为，所以，同理可得， 因为， 所以，所以，同理可得， 所以只需在正方形内，使得，即， 如图（2）所示，取正方形各边的中点，连接， 只需在正方形中，点到的距离比到的距离小， 所以点落在选项A中的阴影区域内. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，长方体中，，，，点P为的中点.. （1）求证：直线∥平面PAC； （2）求异面直线PO与AB所成角的大小. 【答案】（1）证明： 由题意可知：分别为的中点，则∥， 且平面PAC，平面PAC，所以直线∥平面PAC. （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）分析可知异面直线PO与AB所成角的大小即为（或其补角），结合长度关系运算求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 连接， 由（1）可知∥， 则异面直线PO与AB所成角的大小即为（或其补角）， 由题意可知：， 则，即，可得， 所以异面直线PO与AB所成角的大小为. 18. 在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点． （1）证明：； （2）求与面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：已知是直四棱柱， 则平面， 平面， ． ∵四边形是菱形， ， 又平面， 平面， 平面， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据直棱柱和菱形对角线垂直，易证平面，即可得到线线垂直； （2）由（1）知平面，可得为与面所成的角，利用余弦定理以及勾股定理求出相应三角形的边长，即可求出的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，平面， 为与面所成的角， 已知，， 由余弦定理可得， 所以，则． 在中，， 所以， 在中，， 在中，， 所以在中，， 则与面所成角的余弦值为． 19. 某山坡所在平面与水平面相交于坡脚，山坡的倾斜度（山坡面与水平面所成二面角的度数）是，斜坡上有一直道，其中位于坡脚上，直道与坡脚所成的角为． （1）若有人沿直道向上行走了200米，求此时其竖直高度升高了多少米？ （2）为解决山腰处居民的饮水问题，现有甲、乙两种方案． 方案甲：一次性投资12万元打深水井，取用水面与坡脚等高的暗河中的水； 方案乙：沿铺设自来水管道，每100米为一个计费段，最后不足100米的部分按一个计费段计算．第一个计费段费用为1万元，此后每个计费段的费用均为前一个计费段的2倍． 设点高出坡脚所在水平面的高度为米，．若仅从一次性建设费用考虑，经测算方案甲比方案乙更经济，求的取值范围． 【答案】（1）米 （2）​ 【解析】 【分析】（1）在坡面内作垂线，再作竖直线段，利用两个直角三角形求道路长度与竖直高度的关系． （2）由（1）得到与的关系，再按不足100米进一段定义计费段数，与方案甲的费用比较． 【小问1详解】 在山坡面内过作，垂足为，则，且， 所以； 过作水平面的垂线，垂足为． 因为垂直于水平面，PQ在水平面内所以， 又，且与相交于点，故垂直于平面， 在平面内，从而． 因此，是坡面与水平面所成二面角的平面角，即； 又，所以． 因此，沿直道每向上行走1米，竖直高度升高米， 向上行走200米时，竖直高度升高米． 【小问2详解】 由（1）的关系知，，故米． 设方案乙需要个计费段，为正整数． 由于末段不足100米也按一段计费，是满足的最小正整数， 故； 方案乙各计费段的费用（单位：万元）依次为， 总费用为万元． 方案甲比方案乙更经济，故，即； 因为为正整数且，所以； 由计费段数的定义，当且仅当米，代入，得； 再结合题设，得． 20. 已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，． （1）证明：平面平面； （2）若，， （ⅰ）求的长； （ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接交于，连接． 因为四边形是正方形，所以． 在和中， ，，． 是的中点，． 因为四边形是正方形，且是其对角线交点， ，，且平面， 平面， 又平面，∴平面平面． （2） （ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接．根据正方形的性质可证得， 从而有，进而得到平面，最后证得平面平面； （2）（ⅰ）先由余弦定理得到的长，再使用勾股定理求出的长，最后在和中，由余弦定理求出的长； （ⅱ）由勾股定理逆定理可知，结合（1）可得平面平面，可得到线面垂直，进而得到，再利用线线平行证得平面，同理可得平面，可知平面与平面的交线为，又，那么为平面与平面夹角，通过解三角形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）已知，，， 结合余弦定理可得， 又， 由（1）知， 则在中，． 在和中，根据余弦定理可得： ， 在正方形中，，， 则，解得． （ⅱ）因为，，， 所以，故， 由（1）可得平面平面， 又平面平面，平面， 可得平面， 因为平面，可得， 因为,平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 设平面平面，由平面，平面， 可得， 同理可得， 又因为，所以， 故为平面与平面所成的锐二面角为， 所以. 21. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中. （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度. 【答案】（1）2； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据离散曲率的定义分别计算各个顶点处的离散曲率，再利用三角形内角和计算即可； （2）利用线面垂直的性质和判定证得，即，根据离散曲率的定义计算得，根据点面距离的定义作出点到平面的距离线段，根据边角关系求解即可； （3）法一：根据定义作出线面角，设，则，利用余弦定理计算得，利用构造关于的方程，求解即可； 法二：如图建立空间直角坐标系，利用向量法计算线面角的正弦值，即可得解. 【小问1详解】 由离散曲率的定义得： ， ， 因为，同理可得其他三个三角形内角和为， 所以； 【小问2详解】 由平面平面，得， 又平面，则平面， 由平面，得，即， 又，即， 解得， 过点作于点，由平面平面，得， 又平面，则平面，因此点到平面的距离为线段的长. 在中，， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 方法一：过点作交于点，连接， 由平面，得平面，则为直线与平面所成的角， 依题意，， 设， 则， ， 在中，根据余弦定理，， 由，得， 因此，整理得，即， 解得或，因为，所以. 方法二：由（2）知，平面平面，过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得：， 所以，， 设，则， 设与平面所成的角为，因为，所以， 取平面的法向量， 则， 整理得，即，解得：或（舍）， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分） 1. 直线上存在两点在平面上，用集合语言表示的关系_________． 2. 在正六棱柱的所有棱中，与直线异面的棱共有____________条． 3. 如图所示，均与平面平行，分别在上，且．则四边形的形状为______． 4. 在长方体中，，，，则直线与平面所成角的大小为______． 5. 已知l，m为直线，为平面，给出下列三个论断：①②③.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______________________________. 6. 是正方形，P为平面外一点，且平面，则平面、平面、平面、平面、平面这五个平面中，互相垂直的平面有______对． 7. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点，则异面直线与所成角的正弦值为__________. 8. 如图，在棱长为4的正方体中．点是棱的中点，动点在面内，包括边界），若平面，则线段长度的取值范围是_____． 9. 如图所示，将绘有函数部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则__________． 10. 在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______． 11. 如图，正方体的棱长为1，点是棱的中点，点是棱上的动点（含端点），过点，，的平面截正方体所得截面记为，给出下面四个结论： ①存在，使得为菱形，的面积为； ②当是的中点时，为等腰梯形，的面积是； ③过直线，有且只有一个平面与任意垂直； ④存在，使得直线与所成的角为. 其中所有正确结论的序号是__________. 12. 在棱长为2的正方体中，从点A发出的光线经侧面内部（不含边界）一点S反射后投射到侧面内部（不含边界），则满足条件的点S所组成区域的面积是____________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分） 13. 以下说法正确的是（ ） A. 空间异面直线的夹角取值范围是 B. 直线与平面的夹角的取值范围是 C. 二面角的取值范围是 D. 向量与向量夹角的取值范围是 14. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，平面，则（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在正方体中，M是的中点．若点P满足：平面与平面交于直线l，且平面，则点可以位于（ ） A. B. C. D. 16. 如图，正方体的棱长为1，点P是上底面内的一个动点．设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，若，则下图中阴影部分表示P点轨迹的是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，长方体中，，，，点P为的中点.. （1）求证：直线∥平面PAC； （2）求异面直线PO与AB所成角的大小. 18. 在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点． （1）证明：； （2）求与面所成角的余弦值． 19. 某山坡所在平面与水平面相交于坡脚，山坡的倾斜度（山坡面与水平面所成二面角的度数）是，斜坡上有一直道，其中位于坡脚上，直道与坡脚所成的角为． （1）若有人沿直道向上行走了200米，求此时其竖直高度升高了多少米？ （2）为解决山腰处居民的饮水问题，现有甲、乙两种方案． 方案甲：一次性投资12万元打深水井，取用水面与坡脚等高的暗河中的水； 方案乙：沿铺设自来水管道，每100米为一个计费段，最后不足100米的部分按一个计费段计算．第一个计费段费用为1万元，此后每个计费段的费用均为前一个计费段的2倍． 设点高出坡脚所在水平面的高度为米，．若仅从一次性建设费用考虑，经测算方案甲比方案乙更经济，求的取值范围． 20. 已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，． （1）证明：平面平面； （2）若，， （ⅰ）求的长； （ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 21. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中. （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $