第26章 二次函数 期中复习 满分压轴讲义 优等生讲义 (知识梳理+典例+练习) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第26章 二次函数 期中复习 满分压轴讲义 2026-2027 人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解二次函数的概念，能根据定义判断函数是否为二次函数并确定参数取值 · 掌握二次函数的图象和性质，能由图象判断a、b、c的符号及函数增减性 · 理解二次函数与一元二次方程的关系，会用判别式判断抛物线与x轴交点个数 · 能建立二次函数模型解决实际问题（利润最大化、面积最大化、拱桥问题等） · 体会数形结合思想，提升综合运用函数知识解决压轴题的能力 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的概念 一般地，形如 y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的函数叫做二次函数 a是二次项系数，决定抛物线的开口方向和大小；b是一次项系数；c是常数项 判断一个函数是否为二次函数，关键看化简后是否满足二次项系数a≠0 自变量x的取值范围是全体实数 概念辨析例题：若函数 y＝(m－2)x^|m|＋3x＋1 是关于x的二次函数，则m的值为多少？ 解析：根据二次函数定义，二次项系数不为0且最高次数为2。由|m|＝2得m＝±2，又m－2≠0，故m＝－2。 ☆ 2.二次函数的图象和性质 二次函数的图象是一条抛物线，顶点式 y＝a(x－h)²＋k 的顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x＝h a＞0时开口向上，顶点是最低点；a＜0时开口向下，顶点是最高点 对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大（a＞0时） |a|越大，抛物线开口越窄；|a|越小，开口越宽 概念辨析例题：已知二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②b＞a＋c；③4a＋2b＋c＜0；④3a＞－c；⑤a＋b≥m(am＋b)。其中正确的是哪些？ 解析：由开口向上得a＞0；对称轴x＝－＝1得b＝－2a＜0；与y轴交于负半轴得c＜0，故abc＞0，①错误。当x＝－1时y＝a－b＋c＞0，即b＜a＋c，②错误。当x＝2时y＝4a＋2b＋c，由对称性知x＝2与x＝0函数值相等，即y＝c＜0，故4a＋2b＋c＜0，③正确。由b＝－2a代入a－b＋c＞0得3a＋c＞0，即3a＞－c，④正确。当x＝1时函数取最小值a＋b＋c，故a＋b＋c≤am²＋bm＋c，即a＋b≥m(am＋b)，⑤正确。 ☆ 3.二次函数与一元二次方程 二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象与x轴的交点的横坐标，就是一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0 的根 判别式Δ＝b²－4ac：Δ＞0时抛物线与x轴有两个交点；Δ＝0时有一个交点（顶点在x轴上）；Δ＜0时无交点 利用二次函数图象可以求一元二次方程的近似根 抛物线与x轴两交点间的距离为 |x₁－x₂|＝ 概念辨析例题：已知二次函数 y＝x²－2(m－1)x＋m²－2m－2，求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点。 解析：计算判别式Δ＝[－2(m－1)]²－4×1×(m²－2m－2)＝4(m－1)²－4(m²－2m－2)＝4m²－8m＋4－4m²＋8m＋8＝12＞0。因Δ＝12＞0恒成立，故不论m取何实数，抛物线与x轴必有两个交点。 ☆ 4.实际问题与二次函数 建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：审题→设变量→列函数关系式→确定自变量取值范围→求最值→检验作答 利润最大化问题：利润＝单件利润×销售量，注意自变量取值范围受实际条件限制 面积最大化问题：用围栏或墙围矩形时，注意墙的长度限制对自变量取值范围的影响 抛物线形拱桥、喷水池等问题：建立坐标系，用待定系数法求解析式后求解 概念辨析例题：某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时每天可售出50件。售价每上涨1元，每天少售出2件。求售价定为多少时每天利润最大？ 解析：设售价上涨x元，则售价为(25＋x)元，每天销售量为(50－2x)件。利润W＝(25＋x－15)(50－2x)＝(10＋x)(50－2x)＝－2x²＋30x＋500＝－2(x－7.5)²＋612.5。因x为整数且0≤x≤25，当x＝7或8时W最大。x＝7时售价32元，利润＝(17)(36)＝612元；x＝8时售价33元，利润＝(18)(34)＝612元。验证得售价30元时利润450元为参考值。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数定义 y＝ax²＋bx＋c（a≠0） a≠0是判断关键，化简后再判断 顶点坐标 (－，) 顶点式 y＝a(x－h)²＋k 顶点为(h，k) 对称轴 直线x＝－ a、b同号时对称轴在y轴左侧，异号在右侧 开口方向 a＞0向上，a＜0向下 |a|越大开口越窄 与x轴交点 Δ＝b²－4ac Δ＞0两交点，Δ＝0一交点，Δ＜0无交点 最值 顶点处取得最值 实际问题需考虑自变量取值范围 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念（第1-7题） · 判断二次函数：先化简，再看最高次项是否为2次且二次项系数不为0 · 求参数值：根据定义列方程（次数＝2，系数≠0），解后检验 1．（2026秋•岷县月考）已知函数，若它是二次函数，则m值为　2　 ． 【考点】二次函数的定义． 【分析】利用二次函数的定义得出m的值． 【解答】解：当函数y＝m是二次函数， ∴m2﹣2m+2＝2，m≠0， 解得：m＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键． 2．（2025秋•淮南校级期末）若是y关于x的二次函数，则m的值为 　﹣3　 ． 【考点】二次函数的定义． 【分析】根据二次函数的意义列式求解． 【解答】解：由题意得：m2﹣7＝2且m﹣3≠0， 解得：m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了二次函数的定义，理解函数定义是解题的关键． 3．（2026春•西山区校级期末）若函数是关于x的二次函数，则m的值为　1　 ． 【考点】二次函数的定义． 【分析】根据二次函数的定义得到m2+m＝2，m+2≠0，即可求出m的值． 【解答】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴m2+m＝2， 解得：m＝1或m＝﹣2， ∵m+2≠0， ∴m≠﹣2， ∴m＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，掌握二次函数的定义是解题关键． 4．（2024秋•东城区校级期末）若y＝（m﹣2）x|m|+3x+1是关于x的二次函数，则m的值为　﹣2　 ． 【考点】二次函数的定义． 【分析】根据二次函数的定义，可得|m|＝2且m﹣2≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵y＝（m﹣2）x|m|+3x+1是关于x的二次函数， ∴m﹣2≠0且|m|＝2， ∴m≠2且m＝±2， ∴m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了二次函数的定义，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 5．（2025秋•枞阳县期中）当m＝　2　 时，函数y＝（m+2）为二次函数． 【考点】二次函数的定义． 【分析】利用二次函数的定义列等式，求m的值． 【解答】解：根据题意得：m2﹣2＝2且m+2≠0， ∴m＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义． 6．（2025秋•宣城月考）若y＝（m+1）是二次函数，则m的值为 　7　 ． 【考点】二次函数的定义． 【分析】利用二次函数的概念可得据此求解即可． 【解答】解：由题意可得， ∴， 解得m＝7， 故答案为：7． 【点评】此题考查二次函数的一般形式、一元二次方程的解法，即y＝ax2+bx+c（a≠0），即未知数的最高次幂是2次，且二次项系数不为零． 7．（2025秋•高新区校级月考）已知是y关于x的二次函数，求m的值． 【考点】二次函数的定义． 【分析】根据x的指数m2﹣2＝2，且系数2﹣m≠0求解即可． 【解答】解：根据题意得：m2﹣2＝2，2﹣m≠0， ∴m＝﹣2． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握一般地，形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数是关键． 【考点2】二次函数的图象和性质（第8-33题） · 由图象判断a、b、c符号：开口方向定a，对称轴位置定b，与y轴交点定c · 比较函数值大小：利用对称性转化到对称轴同侧，再根据增减性判断 · 图象平移：左加右减、上加下减，针对顶点式 y＝a(x－h)²＋k 操作 8．（2026秋•南开区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，给出下列结论： ①abc＜0； ②b＞a+c； ③4a+2b+c＜0； ④3a＞﹣c； ⑤a+b≥m（am+b）． 其中正确的是（　　） A．①②⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．①②④ 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数，以及x＝﹣1，x＝2对应y值的正负判断即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以①正确，符合题意； 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴b＞a+c，故②正确，符合题意； ∵抛物线y＝ax2+bx+c对称轴为直线x＝1， ∴x＝2与x＝0关于对称轴对称， ∵x＝0时，y＝c＞0， ∴x＝2时y＝4a+2b+c＞0，故③错误，不符合题意； 把b＝﹣2a代入b＞a+c得：﹣2a＞a+c， ∴3a＜﹣c，故④错误，不符合题意； 当x＝1时函数取得最大值为a+b+c， 对于任意实数m有a+b+c≥am2+bm+c， ∴a+b≥am2+bm＝m（am+b），故⑤正确，符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键． 9．（2026秋•郊区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的个数为（　　） ①abc＞0； ②a+b+c＞0； ③2a+b＜0； ④当x＜﹣1时，y随x的增大而减小． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】根据抛物线开口向下可得a＜0，结合对称轴在y轴右侧得出b＞0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得c＞0，再根据有理数乘法法则判断①；根据x＝1，y＞0判断②；根据对称轴方程判断③；根据二次函数的增减性判断④． 【解答】解：①∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴a，b异号，即b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①错误； ②由函数图象知，当x＝1时，y＝a+b+c＞0， 故②正确； ③∵对称轴为直线x1，a＜0， ∴b＞﹣2a， ∴2a+b＞0， 故③错误； ④∵a＜0，12， ∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大， 故④错误． 综上所述，正确的结论是②，共1个． 故选：A． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的性质，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换． 10．（2026秋•滨海新区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1．以下四个结论中，正确的是（　　） A．abc＞0 B．4a+2b+c＜0 C．a+b＞m（am+b） D．（a+c）2＜b2 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】由抛物线的开口方向以及与y轴的交点位置可判断A选项；根据抛物线上x＝2的点在第一象限可判断B选项；由x＝1时y的值最大，可判断C选项；根据抛物线上x＝﹣1时y的值和x＝1时的点在第一象限可判断D选项． 【解答】解：由图象可知：a＜0，c＞0， ∵， ∴b＞0， ∴abc＜0， 故A错误，不符合题意； x＝0时，y＞0， ∴由对称知，当x＝2时，函数值大于0， 即y＝4a+2b+c＞0， 故B错误，不符合题意； ∵当x＝1时，y的值最大，此时y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴a+b+c≥am2+bm+c， 故a+b≥am2+bm， 即a+b≥m（am+b）， 故C错误，不符合题意； 由图象知，当x＝﹣1时，y＜0，当x＝1时，y＞0， ∴a﹣b+c＜0，a+b+c＞0， ∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0， ∴（a+c）2＜b2， 故D正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 11．（2026秋•鹿城区校级月考）二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过（﹣2，﹣1），（﹣1，﹣n2+2n﹣3），则点（a，b）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】将两点代入二次函数解析式，得到a与b的关系，再通过配方判断a的符号，进而确定b的符号，即可判断点所在象限． 【解答】解：二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过（﹣2，﹣1），（﹣1，﹣n2+2n﹣3）， 将点（﹣2，﹣1）代入y＝ax2+bx﹣1，得﹣1＝4a﹣2b﹣1， 化简得b＝2a． 将点（﹣1，﹣n2+2n﹣3）代入y＝ax2+bx﹣1，得﹣n2+2n﹣3＝a﹣b﹣1， 把b＝2a代入上式，得﹣n2+2n﹣3＝﹣a﹣1， 整理得a＝n2﹣2n+2， 配方得a＝（n﹣1）2+1． ∵（n﹣1）2≥0， ∴a≥1＞0， ∴b＝2a＞0， ∴点（a，b）在第一象限． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，正确记忆相关知识点是解题关键． 12．（2026•安徽模拟）设函数，，直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（　　） A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1 【考点】二次函数的性质；二次函数的图象． 【分析】根据题意分别画出y1，y2的图象，继而根据图象即可求解． 【解答】解：由题意可得： A．若1＜a1＜a2，如图所示， 则c1＞c2 B．若a1＜1＜a2，如图所示， 则c1＞c2， 故B选项不合题意， C．若a1＜a2＜1，如图所示， ∴c1＜c2，故C选项正确，D选项不正确； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键． 13．（2025秋•青海期末）已知点（﹣1，y1），（4，y2），（﹣3，y3）都在函数y＝x2+1上，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据函数图象上的点的坐标满足函数关系，分别求出y1、y2、y3，然后解答即可． 【解答】解：∵点（﹣1，y1），（4，y2），（﹣3，y3）都在函数y＝x2+1上， ∴，，， ∴y1＜y3＜y2． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记函数图象上的点的坐标满足函数关系式并准确求出三个函数值是解题的关键． 14．（2026秋•上海校级月考）如图，在抛物线y＝x2的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第2026个正方形的边长是　　 ． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质． 【分析】根据正方形对角线在y轴上及顶点在抛物线上，确定直线OA1，B1A2等的表达式，联立抛物线方程求出A1，A2等点的坐标，计算边长并总结规律即可求解． 【解答】解：由条件可知∠A1OB1＝45°， ∴直线OA1的表达式为y＝x， 联立， 解得或， ∴A1（1，1）， ∴第1个正方形的边长， ∴，即B1（0，2）， ∵四边形B1A2B2C2是正方形， ∴B1A2∥OA1， ∴直线B1A2的表达式为y＝x+2， 联立， 解得或， ∴A2（2，4）， ∴第2个正方形的边长， ∴，即B2（0，6）， 同理可得直线B2A3的表达式为y＝x+6， 联立， 解得或， ∴A3（3，9）， ∴第3个正方形的边长， ……， ∴第n个正方形的边长为， ∴第2026个正方形的边长是． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的性质、图形的变化规律，熟练掌握以上知识点是关键． 15．（2026秋•萧山区月考）设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y的图象上，若m＜n，求x0的取值范围　0＜x0＜1　 ． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】先求对称轴，确定（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，分两种情况：①当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，②当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，可得结论． 【解答】解：∵对称轴为直线x， ∴（1，n）与（0，n）关于对称轴对称， 当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小， 由m＜n，得0＜x0， 当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大， 由m＜n，得x0＜1， ∴x0的取值范围是0＜x0＜1． 故答案为：0＜x0＜1． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． 16．（2026秋•滨海新区校级月考）对于二次函数y＝mx2﹣（m+2）x+3有下列说法： ①如果m＝2，则y有最小值3； ②如果当x＝1时的函数值与x＝2016时的函数值相等，则当x＝2017时的函数值为3； ③如果m＞0，当x≤1时y随x的增大而减小，则0＜m≤2； ④无论m取何非零实数，抛物线总过两个定点（1，1）、（0，3）． 其中正确的说法是　②③④　 ．（把你认为正确的结论的序号都填上） 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值． 【分析】①化成顶点式即可解答； ②根据坐标的对称性，求出m的值，得到函数解析式，将x＝2017代入解析式即可． ③找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性； ④将y＝mx2﹣（m+2）x+3化为y＝m（x2﹣x）﹣2x+3，令x2﹣x＝0，可得x＝0或1，从而可以判断得解； 【解答】解：①如果m＝2，则二次函数为y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1， ∴y有最小值1，故①错误； ②∵当x＝1时的函数值与x＝2016时的函数值相等， ∴对称轴为直线， ∴， ∴原函数可化为， ∴当x＝2017时，y＝3，故②正确； ③∵如果m＞0，当x≤1时y随x的增大而减小， ∴函数的对称轴为直线， ∴在直线x＝1的右侧（包括与直线x＝1重合），解得m≤2， ∴0＜m≤2，故③正确； ④由题意，∵y＝mx2﹣（m+2）x+3＝m（x2﹣x）﹣2x+3， ∴令x2﹣x＝0，可得x＝0或1， ∴当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝1， ∴无论m取何非零实数，抛物线总过两个定点（1，1）、（0，3），故④正确． 故答案为：②③④． 【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 17．（2026秋•江阳区校级月考）在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3中，当1＜x≤4时，y的取值范围是　﹣1≤y≤3　 ． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据二次函数的性质可以解答本题． 【解答】解：由已知，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3）， ∵当x＝4时，y＝﹣1， ∴当1＜x≤4时，y的取值范围是﹣1≤y≤3． 故答案为：﹣1≤y≤3． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 18．（2026秋•思明区校级月考）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2），为抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）上的两点，当t﹣1＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+4时，都有y1＜y2，t的范围为t　 ． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据已知条件判断出点A（x1，y1）、B（x2，y2）在对称轴同侧或在对称轴异侧，即点A（x1，y1）、B（x2，y2）的中点在对称轴左侧，利用中点比较法即可求得答案． 【解答】解：∵t﹣1＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+4， ∴x1＜x2， ∴， 由抛物线表达式可得对称轴为直线x＝1，开口向下， ∵对于x1＜x2，都有y1＜y2， ∴点A（x1，y1）、B（x2，y2）在对称轴同侧或在对称轴异侧， 即点A（x1，y1）、B（x2，y2）的中点在对称轴左边即可， 故只需使成立即可， 解得t， 故答案为：t． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 19．（2026•环翠区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为不等于0的常数）在﹣3≤x≤1时有最大值16，则a的值为　﹣16或2　 ． 【考点】二次函数的最值． 【分析】先把解析式化为顶点式得到对称轴，再分a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值16讨论求解即可． 【解答】解：∵二次函数解析式为y＝ax2+4ax+3a＝a（x+2）2﹣a， ∴该二次函数对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣a）， 当a＜0时，函数在x＝﹣2处有最大值， ∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值16， ∴﹣a＝16， ∴a＝﹣16； 当a＞0时，则离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值16， ∴当x＝1时，y＝16， ∴a+4a+3a＝16， ∴a＝2； 综上所述，a＝﹣16或a＝2． 故答案为：﹣16或2． 【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是关键． 20．（2026•朝阳区校级模拟）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数y＝ax2+c（a＞0）上的两点，若x1＞x2且x1+x2＞0，则y1　＞　 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】先确定抛物线y＝ax2+c（a＞0）的开口方向和对称轴，再根据已知条件判断点A和点B到对称轴的距离大小，根据二次函数的性质比较y1和y2的大小． 【解答】解：由条件可知抛物线开口向上，对称轴为y轴（即直线x＝0），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，因此比较|x1|与|x2|的大小， ∵x1＞x2，x1+x2＞0， ∴x1＞﹣x2， 当x2≥0时，x1＞x2≥0，可得|x1|﹣|x2|＝x1﹣x2＞0，即|x1|＞|x2|； 当x2＜0时，|x2|＝﹣x2，可得|x1|﹣|x2|＝x1﹣（﹣x2）＝x1+x2＞0，即|x1|＞|x2|， 综上可得|x1|＞|x2|，即点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，故y1＞y2． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 21．（2026秋•思明区校级月考）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝mx2﹣2m2x﹣1上的任意两点，若对于0＜x1＜1，m+1＜x2＜m+2，都不存在y1＝y2的情形，则m的取值范围是m＜0或0＜m≤1或m≥3　 ． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题． 【解答】解：∵抛物线y＝mx2﹣2m2x﹣1，m≠0， ∴对称轴为直线x＝m， y1＝y2等价于两点关于对称轴对称，满足x1+x2＝2m， ∵题目要求0＜x1＜1，m+1＜x2＜m+2，不存在y1＝y2， 也就是方程组没有解，区间（m+1，m+2）和（2m﹣1，2m）无交集． ∴分两种情况讨论：①m+2≤2m﹣1，解得m≥3； ②2m≤m+1，解得m≤1，且m≠0． 综上，m的取值范围：m＜0或0＜m≤1或m≥3． 故答案为：m＜0或0＜m≤1或m≥3． 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 22．（2026秋•思明区校级月考）抛物线y＝（x﹣1）2﹣3的对称轴是 　直线x＝1　 ，顶点坐标是 　（1，﹣3）　 ． 【考点】二次函数的性质． 【分析】根据y＝（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是（h，k）即可求解． 【解答】解：y＝（x﹣1）2﹣3的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，﹣3）． 故答案为：直线x＝1，（1，﹣3）． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，y＝（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是（h，k）． 23．（2026秋•前进区校级月考）如图点A（﹣2，1）、B（4，m）在y＝ax2的图象上．直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB． （1）a＝　　 ，m＝　4　 ； （2）直线AB的函数表达式y　 ； （3）求△AOB的面积． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式． 【分析】（1）将点A（﹣2，1）代入y＝ax2求得a，将B（4，m）代入y＝ax2求出m； （2）运用待定系数法求出直线AB的解析式即可； （3）求出OC的长，根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC求解即可． 【解答】解：（1）∵点A（﹣2，1）在y＝ax2的图象上， ∴4a＝1， ∴a， ∵点B（4，m）在yx2的图象上， ∴m42＝4， 故答案为：；4； （2）设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∵A（﹣2，1），B（4，4）， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为y， 故答案为：y； （3）在y中，令x＝0，则y＝2， ∴C的坐标为（0，2）， ∴OC＝2， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC6． 【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，熟练求解直线的解析式是解题的关键． 24．（2026秋•思明区校级月考）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4． （1）补全表格，在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象； x … … y … … （2）当﹣3＜x＜0时，结合函数图象，直接写出y的取值范围　﹣4≤y＜0　 ． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象． 【分析】（1）先列表，然后利用描点法画二次函数图象即可； （2）直接观察图象，即可得出结论． 【解答】解：（1）补全表格如下： 图象如图： （2）当﹣3＜x＜0时，结合函数图象，y的取值范围﹣4≤y＜0． 故答案为：﹣4≤y＜0． 【点评】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是关键． 25．（2026秋•铁东区校级月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标是抛物线y＝﹣x2+4x的顶点横坐标的2倍． （1）求b的值． （2）已知点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+4x上，点B（x1+m，y1+t）在抛物线y＝﹣x2+bx上． ①若x1＝2，t＝6m，求m的值； ②若x1＝m+2，且3≤x1≤6，求t的最大值． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）由题意得，，从而解得b＝2； （2）①由x1＝2，t＝6m，可得，即可得到B（2+m，4+6m），代入y＝﹣x2+8x即可求得m的值； ②若x1＝m+2，且3≤x1≤6，则1≤m≤4，，即可得到B（2m+2，﹣m2+4+t），代入y＝﹣x2+8x，从而求得，结合1≤m≤4，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标是抛物线y＝﹣x2+4x的顶点横坐标的2倍， ∴， ∴b＝8； （2）①由题意，∵x1＝2，t＝6m， ∴， ∴B（2+m，4+6m）， ∴4+6m＝﹣（2+m）2+8（2+m）， ∴m＝2 或 m＝﹣4； ②由题意，∵x1＝m+2，且3≤x1≤6， ∴1≤m≤4，则， ∴B（2m+2，﹣m2+4+t）， ∴﹣m2+4+t＝﹣（2m+2）2+8（2m+2）， ∴， ∵1≤m≤4， ∴m时，t有最大值． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意正确表示A、B的坐标是解题的关键． 26．（2026秋•萧山区月考）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）过A（1，m），B（3，m）两点，其中m是常数． （1）求该抛物线的对称轴． （2）当a＜0时，抛物线对应的二次函数的最大值为﹣2a﹣1． （i）求二次函数的表达式． （ⅱ）若P（x1，n），Q（x2，n）是抛物线上两个不同的点，n≠0，求证：． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值． 【分析】（1）利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴； （2）（ⅰ）利用对称轴方程得到b＝﹣4a，则y＝ax2﹣4ax﹣3＝a（x﹣2）2﹣4a﹣3，根据题意得﹣4a﹣3＝﹣2a﹣1，然后求出a得到抛物线解析式； （ⅱ）利用P（x1，n），Q（x2，n）关于直线x＝2对称得到x2＝4﹣x1，所以，再把P点坐标代入抛物线解析式得n4x1﹣3＝﹣（x1﹣1）（x2﹣3），所以，从而得到结论． 【解答】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）过A（1，m），B（3，m）两点， ∴点A和点B为抛物线上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， （2）（ⅰ）解：∵2， ∴b＝﹣4a， ∴y＝ax2﹣4ax﹣3＝a（x﹣2）2﹣4a﹣3， ∵a＜0， ∴x＝2时，y有最大值﹣4a﹣3， ∴﹣4a﹣3＝﹣2a﹣1， 解得a＝﹣1， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3； （ⅱ）证明：∵P（x1，n），Q（x2，n）是抛物线上两个不同的点， ∴P（x1，n），Q（x2，n）关于直线x＝2对称， ∴2， ∴x2＝4﹣x1， ∴， 把P（x1，n）代入y＝﹣x2+4x﹣3得n4x1﹣3＝﹣（x1﹣1）（x2﹣3）， ∴， ∴． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 27．（2026秋•闵行区校级月考）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）． （1）求二次函数的表达式； （2）用配方法把该二次函数的表达式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）根据图象过A（0，1）、B（1，﹣5）列出方程组，求出b、c的值，即可得出抛物线的解析式； （2）利用配方法解答即可． 【解答】解：（1）∵y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式是y＝﹣2x2﹣4x+1； （2）y＝﹣2x2﹣4x+1 ＝﹣2（x2+2x） ＝﹣2（x+1）2+3， 所以抛物线顶点坐标是（﹣1，3）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 28．（2026秋•上海校级月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上有三点A（﹣3，2），B（1，2）和C（0，﹣1）． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线与x轴交于M和N两点，试求MN的长． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）令y＝0，求出方程的解，再相减即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣1； （2）设抛物线与x轴交于M和N两点，则： 当y＝0时，x2+2x﹣1＝0， 解得，， ∴． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，正确进行计算是解题关键． 29．（2026秋•济南校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，顶点坐标为（1，n），图象与y轴交点的纵坐标是2，与x轴的一个交点在（2，0）和（3，0）之间（不含端点），则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0有一个根在﹣1和0之间；③方程ax2+bx+c0一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＜2；⑤n．其中正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】图象法求一元二次方程的近似根；根的判别式；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点． 【分析】由图象可得出a＜0，c＝2，由对称轴可得出﹣b＝2a，进而可判断①，由抛物线的对称性可判断②，方程等于抛物线ax2+bx+c与直线的交点，由图象可得出，进而可判断③，由②可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，代入﹣b＝2a，c＝2即可判断④，先得出n＝﹣a+2，根据当x＝3时，y＜0，得出关于a的取值范围，进而可得出n的取值范围． 【解答】解：由图象可知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向下， ∴a＜0，c＝2， ∵顶点坐标为（1，n）， ∴对称轴为直线， ∴﹣b＝2a， ∴2a+b＝0，故①正确，符合题意； ∵对称轴为直线x＝1，且一个交点x1满足在2＜x1＜3， ∴1﹣x2＝x1﹣1，x2＝2﹣x1， ∵2＜x1＜3， ∴﹣1＜x2＜0，故②正确，符合题意； 方程的根等于抛物线ax2+bx+c与直线的交点横坐标， 由图象可知：， ∴直线在顶点下方， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线ax2+bx+c与直线必有两个交点， 则方程一定有两个不相等的实数根，故③正确，符合题意； ∵﹣b＝2a，即b＝﹣2a， ∴b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a， ∵a＜0， ∴﹣3a＞0， 由②可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴a﹣b+c＜0即a﹣b+2＜0， ∴a﹣b＜﹣2， ∴b﹣a＞2，故④错误，不符合题意； ∵n＝a+b+c，b＝﹣2a，c＝2， ∴n＝a﹣2a+2＝﹣a+2， 由函数图象可知：当x＝3时，y＜0， 即9a+3b+2＜0， ∴9a﹣6a+2＜0， 解得：， 则， ∴， 即，故⑤正确，符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 30．（2026秋•天津校级月考）已知点M（m﹣2，n）在二次函数的图象上（如图所示），当x＝m时，y＜0，则下列说法正确的是（　　） A．n＜0 B． C． D． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】由题意抛物线的对称轴为直线x＝1，根据图象与x轴的交点位置，得出﹣2＜m﹣2＜0，再根据二次函数的性质解决问题． 【解答】解：由题意，点M（m﹣2，n）在二次函数的图象（如图所示）上， 设抛物线于与x轴的两交点横坐标为x1、x2， ∵抛物线的对称轴， ∴根据函数图象可知，0＜x1＜1＜x2＜2， ∵x＝m时，y＜0， ∴x1＜m＜x2， ∴﹣2＜m﹣2＜0， ∵x＝0时，， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小， ∴x＝m﹣2 时，函数值， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数与x轴的交点，解题的关键是确定﹣2＜m﹣2＜0，要学会灵活运用所学知识解决问题． 31．（2026秋•西城区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，x与y的部分对应值如下表： x ﹣2 0 t y m ﹣1 n 当m＞3时，有下列5个结论：①b＜0；②；③若t＞4，则m＜n；④抛物线y＝ax2+bx+c+1与x轴的交点横坐标分别为0和﹣2；⑤关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2与3之间．其中一定正确的结论有　①②③⑤　 ． 【考点】图象法求一元二次方程的近似根；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点． 【分析】先利用抛物线的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点为（0，﹣1），x＝﹣2时，m＞3可判断a＞0，由对称轴方程得到b＝﹣2a＜0，则可对①进行判断；由于当x＝﹣2时，m＝8a﹣1＞3，则a，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性和增减性，则可对③进行判断；利用y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax经过点（0，0），（2，0），可对④进行判断；由于x＝2时，y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝4a﹣4a﹣1＝﹣1＜0，x＝3时，y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2ax﹣1＝9a﹣6a﹣1＝3a﹣1＞0，则可对⑤进行判断． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点为（0，﹣1），x＝﹣2时，函数值m＞3， ∴抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∵1， ∴b＝﹣2a＜0，所以①正确； ∵x＝0时，y＝﹣1， ∴c＝﹣1， ∵当x＝﹣2时，m＝4a﹣2b+c＝8a﹣1＞3， ∴a，所以②正确； ∵抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大， ∵（﹣2，m）关于对称轴的对称点为（4，m），抛物线过点（t，n），t＞4， ∴m＜n，所以③正确； ∵y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2）， ∴此抛物线经过点（0，0），（2，0）， ∴抛物线y＝ax2+bx+c+1与x轴的交点横坐标分别为0和2，所以④错误； ∵x＝2时，y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝4a﹣4a﹣1＝﹣1＜0， x＝3时，y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝9a﹣6a﹣1＝3a﹣1， ∵a， ∴3a﹣1＞0 ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2与3之间，所以⑤正确． 故答案为：①②③⑤． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 32．（2026秋•鄞州区月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a＞0）经过（1，0），（0，2）两点．下列五个结论： ①抛物线不经过第三象限； ②将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则m＝1； ③b＜﹣2； ④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的整数根，则满足条件的整数a的值只有一个； ⑤对于函数y＝ax2+bx+c，若a，则当x＜1时，y随x的增大而减小． 其中正确的是　①③④⑤　 （填写序号）． 【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换． 【分析】先代入已知点得到系数关系c＝2，b＝﹣a﹣2，再逐一判断每个结论的正误．对于①，容易判断当x＜0时，y＞0，因此抛物线不经过第三象限；对于②，解方程可得抛物线与x轴的交点为（1，0）和，故存在两种平移方案；对于③，由a＞0与b＝﹣a﹣2即可判断；对于④，结合②的结论可得是不等于1的正整数，因此a＝1；对于⑤，代入可得，结合二次函数的性质即可判断． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（0，2），（1，0）， ∴代入坐标得c＝2，a+b+c＝0， 整理得b＝﹣a﹣2， ∴y＝ax2﹣（a+2）x+2， 对于①：当x＜0时， ∵a＞0， ∴﹣（a+2）x＞0，ax2＞0， ∴y＝ax2﹣（a+2）x+2＞0， ∴抛物线不经过第三象限，故①正确，符合题意； 对于②：将y＝0代入y＝ax2﹣（a+2）x+2，得， ax2﹣（a+2）x+2＝0， 因式分解，得（ax﹣2）（x﹣1）＝0， 解得x＝1或， ∴抛物线与x轴的交点为（1，0）和， ∴向左平移m（m＞0）个单位后，交点变为（1﹣m，0）和， ∵平移后过原点， ∴m＝1或，因此m不一定等于1，故②错误，不符合题意； 对于③：∵a＞0， ∴b＝﹣a﹣2＜﹣2，故③正确，符合题意； 对于④：由②可得，方程ax2+bx+c＝0的根为x＝1和， ∵方程有两个不相等的整数根，且a为正整数， ∴为不等于1的正整数，即a为2的正因数，且a≠2， ∴a＝1，故④正确，符合题意； 对于⑤：∵， ∴， ∴该抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小，故⑤正确，符合题意； 故答案为：①③④⑤． 【点评】本题考查，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，抛物线与x轴的交点，根的判别式，二次函数的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 33．（2025秋•沂南县期末）如图，利用总长为48m的篱笆和一面墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为80m2的花圃，求AB的长度； （2）如果要使围成的花圃面积最大，则最大面积是多少？ 【考点】二次函数的应用_最大面积． 【分析】（1）设AB的长度为xm，则BC＝（48﹣4x）m，根据题意列出方程解答即可求解； （2）设花圃面积为Sm2，则S＝x（48﹣4x）＝﹣4（x﹣6）2+144，又根据墙的最大可用长度为10m可得9.5≤x＜12，再根据二次函数的性质解答即可求解； 【解答】解：（1）设AB的长度为xm，则BC＝（48﹣4x）m， 由题意得，x（48﹣4x）＝80， 解得x1＝2，x2＝10， 当x＝10时，BC＝48﹣4×10＝8＜10，符合题意； 当x＝2时，BC＝48﹣4×2＝40＞10，不符合题意； 答：如果要围成面积为80m2的花圃，则AB的长度为10m； （2）设花圃面积为Sm2，则S＝x（48﹣4x）＝﹣4x2+48x＝﹣4（x﹣6）2+144， ∵墙的最大可用长度为10m， ∴0＜48﹣4x≤10， ∴9.5≤x＜12， ∵﹣4＜0， ∴当x＞6时，S随x的增大而减小， ∴当x＝9.5时，花圃面积最大，最大面积S＝﹣4×（9.5﹣6）2+144＝95m2， 答：如果要使围成的花圃面积最大，则最大面积是95m2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【考点3】二次函数与一元二次方程（第34-45题） · 判别式法：Δ＞0两交点，Δ＝0一交点，Δ＜0无交点 · 根与系数关系：x₁＋x₂＝－，x₁·x₂＝ · 抛物线与x轴交点距离：|x₁－x₂|＝ 34．（2026秋•江阳区校级月考）如图，抛物线y＝x2﹣3x﹣2与过点B（4，﹣2）的直线l有唯一的公共点，且点A（a，﹣5）在直线l上，则符合条件的a的值是（　　） A．或4或10 B．1或或4 C．4或1 D．1或 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】设出直线l的函数解析式，再根据直线与抛物线有唯一公共点得出方程，利用根的判别式确定直线l的函数解析式，据此可解决问题． 【解答】解：设直线l的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将点B坐标代入得，4k+b＝﹣2， 则b＝﹣4k﹣2， 所以直线l的函数解析式可表示为y＝kx﹣4k﹣2， 因为直线l与抛物线有唯一公共点， 所以x2﹣3x﹣2＝kx﹣4k﹣2， 即x2﹣（k+3）x+4k＝0， 则Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×4k＝0， 解得k＝1或9， 当k＝1时，直线l的函数解析式为y＝x﹣6， 将点A坐标代入得，a﹣6＝﹣5， ∴a＝1， 当k＝9时，直线l的函数解析式为y＝9x﹣38， 将点A坐标代入得，9a﹣38＝﹣5， 解得a， 当过点B（4，﹣2）的直线l为x＝4时， 此时直线l与抛物线也有唯一交点，则a＝4， 综上所述，a的值为1或或4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，熟知一次函数及二次函数的性质是解题的关键． 35．（2026秋•滨海新区校级月考）已知关于x的二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），且该函数有最大值8． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设抛物线上一点P使得三角形PAB面积为12，求点P的坐标． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值． 【分析】（1）先根据图象经过点的坐标求出对称轴，从而求出顶点坐标，然后设二次函数解析式为：y＝a（x﹣1）2+8，把A（﹣1，0）代入求出a即可； （2）先根据A，B两点的坐标求出AB，再设点P纵坐标为y，根据三角形的面积公式列出关于y的方程，解方程求出y即可． 【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过A（﹣1，0），B（3，0）， ∴对称轴为， ∴顶点坐标为（1，8）， 设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣1）2+8， 把A（﹣1，0）代入得：a（﹣1﹣1）2+8＝0， 4a+8＝0， 4a＝﹣8， a＝﹣2， ∴二次函数的解析式为：y＝﹣2（x﹣1）2+8； （2）∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4， 设点P纵坐标为y， ∴， 2|y|＝12， |y|＝6， y＝±6， 当y＝6时， ﹣2（x﹣1）2+8＝6， ﹣2（x﹣1）2＝﹣2， （x﹣1）2＝1， x﹣1＝±1， 解得：x＝2或x＝0； 当y＝﹣6时， ﹣2（x﹣1）2+8＝﹣6， ﹣2（x﹣1）2＝﹣14， （x﹣1）2＝7， ， 或， ∴点P的坐标为：（2，6）或（0，6）或或． 【点评】本题主要考查了求二次函数的表达式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二次函数的一般步骤． 36．（2026秋•长宁区校级月考）已知二次函数y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣2，其中m为实数． （1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）设上述二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且，求这个二次函数的表达式． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用抛物线与x轴的交点问题得到x1、x2为关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣2＝0的两根，则根据根与系数的关系得到x1+x2＝2（m﹣1），x1x2＝m2﹣2m﹣2，再利用已知条件得到2（m﹣1）＝﹣（m2﹣2m﹣2），然后解关于m的方程，从而可确定抛物线解析式． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣2m﹣2） ＝4m2﹣8m+4﹣4m2+8m+8 ＝12＞0， ∴不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）解：∵二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）， ∴x1、x2为关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣2＝0的两根， ∴x1+x2＝2（m﹣1），x1x2＝m2﹣2m﹣2， ∵1， ∴x1+x2＝﹣x1x2， 即2（m﹣1）＝﹣（m2﹣2m﹣2）， 整理得m2＝4， 解得m1＝2，m2＝﹣2， 当m＝2或m＝﹣2时，x1x2＝m2﹣2m﹣2≠0， ∴m的值为2或﹣2， 当m＝2时，抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣2， 当m＝﹣2时，抛物线解析式为y＝x2+6x+6， 综上所述，抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣2或y＝x2+6x+6． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数解析式． 37．（2026秋•重庆月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）若点P是抛物线上第一象限内的一个动点，使△PBC的面积最大，并求出最大值及此时点P的坐标． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式． 【分析】（1）设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），化为一般式得y＝ax2﹣2ax﹣3a，则﹣3a＝3，求出a得到抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，然后一般式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标； （2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，过P点作PQ∥y轴交BC于Q点，如图，设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则Q（t，﹣t+3），所以PQ＝﹣t2+3t，根据三角形面积公式得到S△PBC•PQ•3（﹣t2+3t），然后根据二次函数的性质解决问题． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴抛物线解析式可设为y＝a（x+1）（x﹣3）， 即y＝ax2﹣2ax﹣3a， ∴﹣3a＝3， 解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，4）； （2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝mx+n， 把B（3，0），C（0，3）分别代入得， 解得m＝﹣1，n＝3， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 过P点作PQ∥y轴交BC于Q点，如图， 设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则Q（t，﹣t+3）， ∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t， ∴S△PBC•PQ•3（﹣t2+3t）（t）2， ∵0， ∴当t时，S△PBC有最大值，最大值为，此时P点坐标为（，）． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数解析式． 38．（2026秋•萧山区月考）已知二次函数的图象交x轴于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C（0，6）． （1）试求该二次函数的表达式； （2）当0＜x＜4时，求出y的取值范围． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式． 【分析】（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出a值即可； （2）结合函数性质，写出当0＜x＜4时对应的函数值的范围即可． 【解答】解：（1）由条件可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把C（0，6）代入得﹣3a＝6， 解得a＝﹣2， 所以抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3）， 即y＝﹣2x2+4x+6； （2）由条件可知抛物线的对称轴为直线x＝1， 当x＝1时，y＝﹣2×12+4×1+6＝8，函数最大值为8， 当x＝0时，y＝0+0+6＝6， 当x＝4时，y＝﹣2×42+4×4+6＝﹣10， ∴当0＜x＜4时，函数值y的取值范围为：﹣10＜y≤8． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题、待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是关键． 39．（2026秋•思明区校级月考）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象，它与x轴一个交点的横坐标是3，顶点坐标是（2，3），则下列说法正确的是（　　） A．二次函数的图象与x轴另一个交点的横坐标是0 B．当x＜2时，y随x的增大而减小 C．二次函数的图象与y轴交点的纵坐标小于0 D．点M（x1，y1），点N（x2，y2）在函数图象上，若x1＜3＜x2，则y1＜y2 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】结合抛物线的对称性可得二次函数的图象与x轴另一个交点的横坐标是2×2﹣3＝1；由图象可知，当x＜2时，y随x的增大而增大；根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，与x轴的交点坐标分别为（1，0），（3，0），可知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标小于0；由题意知，当1＜x1＜3＜x2时，有y1＞y2． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（2，3）， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝2， ∵它与x轴一个交点的横坐标是3， ∴二次函数的图象与x轴另一个交点的横坐标是2×2﹣3＝1． 故A选项不正确，不符合题意； 由图象可知，当x＜2时，y随x的增大而增大． 故B选项不正确，不符合题意； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，与x轴的交点坐标分别为（1，0），（3，0）， ∴二次函数的图象与y轴交点的纵坐标小于0． 故C选项正确，符合题意； 由题意知，当1＜x1＜3＜x2时，有y1＞y2， 故D选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 40．（2026秋•江夏区校级月考）二次函数y＝x2+2kx+k+2与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且，则k＝（　　） A．2 B． C．2或 D．﹣2或 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质． 【分析】由题意得Δ＝（2k）2﹣4×1×（k+2）≥0，，，可得4k2﹣4k﹣8≥0，（﹣2k）2﹣2（k+2）＝4k2﹣2k﹣4＝8，进而可得答案． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+2kx+k+2与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点， ∴Δ＝（2k）2﹣4×1×（k+2）≥0，，， ∴4k2﹣4k﹣8≥0， ∴k≤﹣1或k≥2． ∴（﹣2k）2﹣2（k+2）＝4k2﹣2k﹣4＝8， 解得k或2． 故选：C． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 41．（2026秋•浦东新区月考）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1＝1，x2＝5，且a＞0，给出下列结论：①a+b＝0；②抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（3，﹣4a）；③c＜0；④当n＞3时，n（an+b）＞9a+3b．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系；二次函数图象与系数的关系． 【分析】由方程两根可得抛物线解析式，再逐一判断各结论． 【解答】解：∵方程有两根x1＝1，x2＝5，且a＞0， ∴y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5）＝ax2﹣6ax+5a， ∴b＝﹣6a，c＝5a． ①a+b＝a﹣6a＝﹣5a≠0，错误； ②顶点横坐标， 纵坐标， ∴顶点为（3，﹣4a），正确； ③c＝5a＞0，错误； ④∵a＞0，对称轴为直线x＝3， 当n＞3时，an2+bn+c＞a×32+b×3+c， 即n（an+b）＞9a+3b．故④正确， ∴正确结论有②④，共2个． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数与不等式、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 42．（2026秋•滨海新区校级月考）如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE．当AD+BC的值最小时，点C的坐标是　（2，）　 ． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换． 【分析】先求出点E（3，0），求出BE＝CD＝2，将点A沿y轴向下平移2个单位，得到点F，连接CE，CF，EF，易证得四边形CDAF是平行四边形，于是可得AD＝CF，由轴对称的性质可得BC＝CE，于是得到AD+BC＝CF+CE≥EF，即点C是直线EF与抛物线对称轴的交点时，AD+BC的值最小，利用待定系数法可求得直线EF的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【解答】解：抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E， 当y＝0时，得：x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴B（1，0），E（3，0）， ∴BE＝2， ∵线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE， ∴CD＝2， 点A沿y轴向下平移2个单位得到点F，如图，连接CE，CF，EF， ∴AF＝2， ∴AF＝CD， ∵抛物线的对称轴∥y轴，且线段CD在抛物线的对称轴上，线段AF在y轴上， ∴CD∥AF，BC＝CE， ∴四边形CDAF是平行四边形， ∴AD＝CF， ∴AD+BC＝CF+CE≥EF， ∴当F、C、E三点共线，即点C是直线EF与抛物线对称轴的交点时，AD+BC的值最小， 抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A， 当x＝0时，得：y＝3， ∴A（0，3）， 由平移的性质可得：点F的纵坐标＝3﹣2＝1， ∴F（0，1）， 设直线EF的解析式为y＝kx+b，将点E，点F的坐标代入，得， 解得， ∴直线EF的解析式为y， 在抛物线y＝x2﹣4x+3中，其对称轴为直线x2， 要使AD+BC的值最小，则点C的坐标应满足， 解得， ∴C（2，）， 故答案为：（2，）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与y轴的交点坐标，求抛物线与x轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 43．（2026秋•浦东新区月考）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象有4个公共点时，则b的范围为　　 ． 【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换． 【分析】求出翻折后新函数的分段解析式，分别计算直线与中间段抛物线相切、直线经过右侧交点时的b值，结合图象确定范围． 【解答】解：将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象，由题意可得： 令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与x轴交点为（﹣1，0）和（3，0）， ∴新函数在﹣1＜x＜3时，y＝x2﹣2x﹣3； 在x≤﹣1或x≥3时，y＝﹣x2+2x+3， 当直线y＝x+b与y＝x2﹣2x﹣3（﹣1＜x＜3）相切时， 方程x2﹣2x﹣3＝x+b有两个相等实数根， 整理得x2﹣3x﹣3﹣b＝0， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣3﹣b）＝0即21+4b＝0， 解得， 当直线y＝x+b经过点（3，0）时， 3+b＝0，解得b＝﹣3， 如图， 结合图象可知，当时，直线y＝x+b与新函数的图象有4个公共点． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，正确进行计算是解题关键． 44．（2025秋•平江县期末）抛物线y＝x2﹣6x+c与x轴只有一个交点，则c＝　9　 ． 【考点】抛物线与x轴的交点． 【分析】令y＝0，计算Δ＝0，即可求解． 【解答】解：令y＝0，则x2﹣6x+c＝0， 依题意得：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4c＝0， 解得：c＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 45．（2026秋•亳州月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，且x1≠x2． （1）若x1+x2＝2，则b＝　﹣2　 ； （2）若x1＝3x2，c≠0，则的值为　　 ． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质． 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可知，，即可求解b的值； （2）根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件x1＝3x2，可得，代入抛物线方程中可解得，从而进一步解得的值． 【解答】解：（1）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，且x1≠x2． ∵x1+x2＝2， ∴， ∴b＝﹣2； （2）∵x1+x2＝﹣b，x1＝3x2， ∴4x2＝﹣b， ∴， 将代入抛物线方程中，， ∴， ∴． 故答案为：﹣2，． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，正确进行计算是解题关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记二次函数的三种解析式形式（一般式、顶点式、交点式），根据题目条件灵活选用 · 画草图时先确定开口方向、对称轴、顶点，再与坐标轴的交点 · 压轴题常考：由图象判断结论正误、二次函数与几何综合、实际应用最值问题 · 做图象判断题时，注意特殊点（x＝±1，x＝±2）的函数值符号 · 实际问题注意自变量取值范围的端点检验，最值不一定在顶点处取得 【作业1】（2026秋•萧山区月考）X市与W市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中．在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m与该列车每次拖挂车厢节数n的部分数据如表： 车厢节数n 4 7 10 往返次数m 16 10 4 （1）请你根据表格数据，在两个函数模型：①y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）；②y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）中，选取一个合适的函数模型，求出m关于n的函数关系式． （2）结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时，一天的设计运营人数Q最多（每节车厢载容量设定为常数p）． 【考点】根据实际问题列二次函数关系式． 【分析】（1）通过表中数据判断为一次函数，用待定系数法求得函数关系式； （2）根据等量关系“运营人数＝每车厢的人数×往返次数×车厢节数”列出函数关系式并求得最大值． 【解答】解：（1）由题意，根据表格数据可得，满足题意的函数为一次函数， ∴可设m＝kn+b， ∴． ∴． ∴m＝﹣2n+24； （2）Q＝pmn＝pn（﹣2n+24）＝﹣2pn2+24pn， ∵﹣2p＜0， ∴Q取最大值． 当时，Q取最大值． 此时，m＝﹣2n+24＝﹣2×6+24＝12， ∴一列火车每次挂6节车厢，一天往返12次，一天的设计运营人数最多． 【点评】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【作业2】（2025秋•武威期末）商场销售服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售量，减少库存，该商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，一件衣服每降价1元，每天可多售出2件． （1）设每件降价x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式； （2）若商场每天要盈利1200元，同时尽量减少库存，每件应降价多少元？ （3）每件降价多少元时，商场每天盈利达到最大？最大盈利是多少元？ 【考点】二次函数的应用_营销问题；一元二次方程的应用． 【分析】（1）一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件，则设降价x元时，销售量为：20+2x，每件盈利：40﹣x元，所以每天盈利为：（40﹣x）（20+2x）； （2）令y＝1200，得到﹣2x2+60x+800＝1200，整理得x2﹣30x+20＝0，然后利用因式分解法解即可； （3）把y＝﹣2x2+60x+800配成顶点式得到y＝﹣2（x﹣15）2+1250，然后根据二次函数的最值问题即可得到答案． 【解答】解：（1）y＝（40﹣x）（20+2x） ＝﹣2x2+60x+800 所以y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+60x+800； （2）令y＝1200， ∴﹣2x2+60x+800＝1200， 整理得x2﹣30x+200＝0，解得x1＝10（舍去），x2＝20， 所以商场每天要盈利1200元，每件衬衫降价20元； （3）y＝﹣2x2+60x+800 ＝﹣2（x﹣15）2+1250， ∵a＝﹣2＜0， ∴当x＝15时，y有最大值，其最大值为1250， 所以每件降价15元时，商场每天的盈利达到最大，盈利最大是1250元． 【点评】本题考查了二次函数的应用：根据题意列出二次函数关系式，再配成顶点式y＝a（x﹣h）2+k，当a＜0，x＝h，y有最大值k；当a＞0，x＝h，y有最小值k．也考查了一元二次方程的应用． 【作业3】（2026春•福州校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B、与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC． （1）求抛物线的函数表达式及点B的坐标； （2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值． 【考点】二次函数几何综合_最值型_线段长． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3，令y＝0得x2+2x﹣3＝0，即可解得B（﹣3，0）； （2）求出直线BC解析式为y＝﹣x﹣3，设P（m，﹣m﹣3），其中﹣3＜m＜0，则Q（m，m2+2m﹣3），可得PQ＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m）2，根据二次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）把A（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+2x+c得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3， 令y＝0得x2+2x﹣3＝0， 解得x＝1或x＝﹣3， ∴B（﹣3，0）； （2）设直线BC解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线BC解析式为y＝﹣x﹣3， 设P（m，﹣m﹣3），其中﹣3＜m＜0，则Q（m，m2+2m﹣3）， ∴PQ＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m）2， ∵﹣1＜0， ∴当m时，PQ取最大值， ∴线段PQ长度的最大值为． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，二次函数的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 【作业4】（2026秋•乌鲁木齐月考）如图，用长为22m的篱笆和一面可利用的墙（墙的最大可用长度为14m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC边留有两个宽为1m的出入口．设花圃的一边AB长为x米． （1）请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　（24﹣3x）　 m． （2）若花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． （3）在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到60m2，请说明理由．再猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 【考点】二次函数的应用_最大面积；一元二次方程的应用；二次函数的性质． 【分析】（1）设花圃的宽AB长为x m，则AD＝BC＝22﹣3x+2＝24﹣3x，进而得解； （2）由矩形面积S＝45，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积S＝60，列出方程，判断方程的解的情况可得答案，又由S＝x（﹣3x+24）＝﹣3（x﹣4）2+48，进而结合二次函数的性质可以计算得解． 【解答】解：（1）∵长方形花圃的宽AB长为xm，∴另一边AD的长为AD＝BC＝（22﹣3x+2）m＝（24﹣3x）m，故答案为：（24﹣3x）； （2）∵花圃的面积刚好为45m2， ∴x（﹣3x+24）＝45， 化简得：x2﹣8x+15＝0， ∴x＝3或x＝5． 又∵2≤24﹣3x≤14， ∴x.∴x＝5， ∴AB＝x＝5，AD＝BC＝24﹣3x＝9， 答：此时花圃的长与宽边分别为9m和5m； （3）建成花圃的面积不可能为60m2， ∴x（﹣3x+24）＝60， 化简得：x2﹣8x+20＝0， ∴Δ＝（﹣8）2﹣4×20＝﹣16＜0， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为60m2． ∵S＝x（﹣3x+24）＝﹣3（x﹣4）2+48，且x， ∴当x＝4时，则S取最大值，最大值为48， 答：花圃的面积不能达到60m2，这个花圃面积最大可以是48m2． 【点评】本题主要考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【作业5】（2026秋•乌鲁木齐月考） 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某旅游景点紧抓春节消费机遇，自春节假期开始售卖马年吉祥物套装，且线上线下同步销售．该套装因做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其中每套进价为40元，经市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量y（套）与销售单价x（元/套）之间的关系如图所示： （1）求该景点马年吉祥物套装的月销售量y与销售单价x的函数表达式； （2）若该景点希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ （3）当该景点马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【考点】二次函数的应用_营销问题；一元二次方程的应用；一次函数的应用_最大利润． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式进行计算，即可解答； （2）根据总利润＝单个利润×总数量进行计算，即可解答； （3）根据总利润＝单个利润×总数量进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）设y＝kx+b， 把（50，400），（60，300）代入y＝kx+b中得： ， 解得：， ∴y＝﹣10x+900； （2）由题意得：（x﹣40）y＝6000， 即（x﹣40）（﹣10x+900）＝6000， 解得：x1＝60，x2＝70（不符合题意，舍去）， ∴每套吉祥物套装应定价为60元； （3）设总利润为w元， 由题意得：w＝（x﹣40）（﹣10x+900） ＝﹣10x2+1300x﹣36000 ＝﹣10（x﹣65）2+6250， ∵a＝﹣10＜0， ∴当x＝65时，w最大＝6250， ∴当该景点马年吉祥物套装的销售单价定为65元时，每月销售利润最大，最大利润是6250元． 【点评】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【作业6】（2026•和平区校级三模）某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件．设每件商品的售价为x元（x≥25且x为整数），每天的销售量为y件． （1）求y与x的函数关系式； （2）设每天的销售利润为w元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用_营销问题． 【分析】（1）依据题意，由进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件．且每件商品的售价为x元（x≥25且x为整数），每天的销售量为y件，从而y＝50﹣2（x﹣25）＝﹣2x+100，即y＝﹣2x+100，即可得解； （2）依据题意，结合（1）可得，每天的销售利润为w＝（x﹣15）[50﹣2（x﹣25）]＝100x﹣2x2﹣1500+30x＝﹣2x2+130x﹣1500＝﹣2（x﹣32.5）2+612.5，结合x为整数，且32.5两侧的整数为32和33，﹣2＜0，进而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件．且每件商品的售价为x元（x≥25且x为整数），每天的销售量为y件， ∴y＝50﹣2（x﹣25）＝﹣2x+100，即y＝﹣2x+100； （2）由题意，结合（1）可得，每天的销售利润为w＝（x﹣15）[50﹣2（x﹣25）] ＝100x﹣2x2﹣1500+30x ＝﹣2x2+130x﹣1500 ＝﹣2（x﹣32.5）2+612.5， ∵x为整数，且32.5两侧的整数为32和33，﹣2＜0， ∴当x＝32时， w＝﹣2×322+130×32﹣1500＝612（元）． 当x＝33时： w＝﹣2×332+130×33﹣1500＝612（元）． 答：当售价定为32元或33元时，每天利润最大，最大利润为612元． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【作业7】（2026•大庆模拟）九年级（1）班的同学计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案（如图），最佳方案是（　　） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．三种方案使得菜园面积一样大 【考点】二次函数的应用；等腰三角形的性质． 【分析】依据题意得，分别计算矩形、三角形、半圆形面积的最大值进行比较即可． 【解答】解：方案1：设矩形的宽为x米，则长为（10﹣2x）米，此时菜园面积＝x（10﹣2x）＝﹣2（x）2， 当x时，菜园面积有最大值平方米； 方案2：设等腰三角形为△ABC，其中AB＝AC＝5米， 作BH⊥AC交AC于H，由题意可得：BH≤AB，即BH≤4米， ∵△ABC的面积， ∴当BH＝5米时，面积最大值为5×5平方米； 方案3：半圆的半径为米，此时菜园的面积为π×（）2平方米； ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了圆的面积、二次函数的应用，熟练掌握图形（三角形、矩形、半圆形）的面积公式，学会利用二次函数求图形面积的最值是解题的关键． 【作业8】（2025秋•社旗县期末）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2已知其底部宽度AB为80m，高度为200m，则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为（　　） A．40m B．45m C．50m D．55m 【考点】二次函数的应用_拱桥问题． 【分析】先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点A（﹣40，0）在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将y＝150代入求出x的值，即可得CD的长． 【解答】解：已知其底部宽度AB为80m，高度为200m， 以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ∴A（﹣40，0），E（0，200）， 设y＝ax2+200， 将A（﹣40，0）代入y＝ax2+200， 得0＝a×（﹣40）2+200， ∴， ∴， 将y＝150代入， 得：， ∴x＝±20， ∴C（﹣20，150），D（20，150）， ∴离地面150m处的水平宽度（即CD的长）： CD＝20﹣（﹣20）＝40（m）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键． 【作业9】（2026•安徽模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（　　） A．小球在空中经过的路程是40m B．小球运动的时间为6s C．小球抛出3s时，速度为0 D．当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m 【考点】二次函数的应用_轨迹问题． 【分析】根据二次函数图象和性质求解． 【解答】解：A：由图象知小球在空中经过的路程是40×2＝80m；故A是错误的； B：当t＝6时，高度为0，则运动时间是6s，或由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故B是正确的； C：小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故C是正确的； D：设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40， 由题意得：a（0﹣3）2+40＝0， 解得：a， ∴h（t﹣3）2+40， 当t＝1.5时，h（1.5﹣3）2+40＝30，故D是正确的； 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象应用，待定系数法求函数解析式和数形结合思想是解题的关键． 【作业10】（2025秋•埇桥区校级期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（　　）元/千克． A．42 B．40 C．38 D．35 【考点】二次函数的应用_营销问题． 【分析】通过设变量建立利润与销售价格的二次函数关系式，利用二次函数开口向下的性质，求顶点对应的销售价格即为利润最大时的价格． 【解答】解：设销售价格定为m元/千克，日销售利润为W元， ∵每千克利润为（m﹣30）元， 售价较35元上涨了（m﹣35）元，每涨0.5元日销量减少15千克，故日销量减少千克， ∴实际日销售量为450﹣30（m﹣35）＝（1500﹣30m）千克， 则W＝（m﹣30）（1500﹣30m）， 展开整理得W＝﹣30m2+2400m﹣45000， ∵二次项系数﹣30＜0，函数图象开口向下，存在最大值， ∴当时，W取得最大值． 即销售价格应定为40元/千克． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数在实际销售问题中的最值应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业11】（2026•瑞安市开学）如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边BC，CD上，DF＝2BE，设BE＝x，五边形ABEFD的面积＝y，则y关于x的函数表达式为（　　） A．y＝﹣x2+3x+2（0＜x＜1） B．y＝﹣x2+3x+2（1＜x＜2） C．y＝x2﹣3x﹣2（0＜x＜1） D．y＝x2﹣3x﹣2（1＜x＜2） 【考点】根据实际问题列二次函数关系式． 【分析】依据题意，由正方形ABCD的边长为2，DF＝2BE，BE＝x，则DF＝2x，从而CE＝BC﹣BE＝2﹣x，CF＝CD﹣DF＝2﹣2x，故五边形ABEFD的面积y＝正方形ABCD面积﹣三角形ECF的面积＝4CE•CF＝﹣x2+3x+2，结合2﹣x＞0，2﹣2x＞0且x＞0，可得0＜x＜1，进而可以得解． 【解答】解：由题意，∵正方形ABCD的边长为2，DF＝2BE，BE＝x， ∴DF＝2x， ∴CE＝BC﹣BE＝2﹣x，CF＝CD﹣DF＝2﹣2x， ∴五边形ABEFD的面积y＝正方形ABCD面积﹣三角形ECF的面积 ＝4CE•CF ＝4（2﹣x）（2﹣2x） ＝﹣x2+3x+2， ∵2﹣x＞0，2﹣2x＞0且x＞0， ∴0＜x＜1． ∴y＝﹣x2+3x+2（0＜x＜1）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【作业12】（2025秋•章贡区期末）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m．有下列结论： ①AB的长可以为6m； ②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2； ③菜园ABCD面积可以达到220m2． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】二次函数的应用_最大面积；一元二次方程的应用． 【分析】设AD边长为xm，则AB边长为长为，根据AB＝6列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积＝192，解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为ym2，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③． 【解答】解：矩形菜园ABCD中，AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD的和为40m，设AD边长为xm，则AB边长为长为， 当AB＝6时，， 解得：x＝28， ∵AD的长不能超过26m， ∴x≤26， 故①的结论不正确，不符合题意； ∵菜园ABCD面积为192m2， ∴， 整理得：x2﹣40x+384＝0， 解得：x＝24或x＝16， ∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2， 故②结论正确，符合题意； 设矩形菜园的面积为ym2， 根据题意得：， ∵， ∴当x＝20时，y有最大值，最大值为200， 故③的结论不正确，不符合题意． ∴正确结论的个数是1个， 故选：B． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，找到等量关系，准确地列出函数解析式和方程是解题的关键． 【作业13】（2026秋•南开区校级月考）如图，某矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成面积为1：2的两个矩形，已知栅栏的总长度为24m，当较小矩形的宽为xm时，矩形养殖场的总面积最大为ym2，则x，y的值为 x，y　 ． 【考点】二次函数的应用_最大面积． 【分析】根据题意可得：y＝3•x＝﹣3（x﹣4）2+48，即可求解． 【解答】解：根据题意可得：y＝3•x＝﹣3（x﹣4）2+48， 又∵3x≤10，且x＞0， ∴0＜x， ∴当x时，y有最大值为：， 故答案为：x，y． 【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，解题的关键是要注意自变量的范围． 【作业14】（2026•漳州模拟）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加　（24）　 m． 【考点】二次函数的应用_拱桥问题． 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）， 设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0）， 得：a＝﹣0.5， 所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2， 把y＝﹣1代入抛物线解析式得出： ﹣1＝﹣0.5x2+2， 解得：x＝±， 所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了24， 故答案为：（24）． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 【作业15】（2026•钦州校级一模）市民广场有一个直径16m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3m处达最高5m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m的他站立时必须在离水池中心O　7　 m以内． 【考点】二次函数的应用_轨迹问题． 【分析】根据题意可得第一象限内抛物线的最高点为（3，5），且经过（8，0），用待定系数法可求出，当y＝1.8时，即可求解． 【解答】解：第一象限内抛物线的最高点为（3，5），且经过（8，0）， ∴可设y＝a（x﹣3）2+5， ∴a（8﹣3）2+5＝0， 解得：， ∴， 当y＝1.8时， ， 解得：x1＝7，x2＝﹣1（舍去）， 当x＝0时， ， 第二象限的抛物线同理可求， ∵不被淋湿， ∴为了不被淋湿，身高1.8m的他站立时必须在离水池中心O7m以内； 故答案为：7． 【点评】本题考查了二次函数的应用，能从实际意义中找出顶点坐标，会用待定系数法求出解析式，理解不被淋湿的条件是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 二次函数 期中复习 满分压轴讲义 2026-2027 人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解二次函数的概念，能根据定义判断函数是否为二次函数并确定参数取值 · 掌握二次函数的图象和性质，能由图象判断a、b、c的符号及函数增减性 · 理解二次函数与一元二次方程的关系，会用判别式判断抛物线与x轴交点个数 · 能建立二次函数模型解决实际问题（利润最大化、面积最大化、拱桥问题等） · 体会数形结合思想，提升综合运用函数知识解决压轴题的能力 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的概念 一般地，形如 y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的函数叫做二次函数 a是二次项系数，决定抛物线的开口方向和大小；b是一次项系数；c是常数项 判断一个函数是否为二次函数，关键看化简后是否满足二次项系数a≠0 自变量x的取值范围是全体实数 概念辨析例题：若函数 y＝(m－2)x^|m|＋3x＋1 是关于x的二次函数，则m的值为多少？ 解析：根据二次函数定义，二次项系数不为0且最高次数为2。由|m|＝2得m＝±2，又m－2≠0，故m＝－2。 ☆ 2.二次函数的图象和性质 二次函数的图象是一条抛物线，顶点式 y＝a(x－h)²＋k 的顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x＝h a＞0时开口向上，顶点是最低点；a＜0时开口向下，顶点是最高点 对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大（a＞0时） |a|越大，抛物线开口越窄；|a|越小，开口越宽 概念辨析例题：已知二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②b＞a＋c；③4a＋2b＋c＜0；④3a＞－c；⑤a＋b≥m(am＋b)。其中正确的是哪些？ 解析：由开口向上得a＞0；对称轴x＝－＝1得b＝－2a＜0；与y轴交于负半轴得c＜0，故abc＞0，①错误。当x＝－1时y＝a－b＋c＞0，即b＜a＋c，②错误。当x＝2时y＝4a＋2b＋c，由对称性知x＝2与x＝0函数值相等，即y＝c＜0，故4a＋2b＋c＜0，③正确。由b＝－2a代入a－b＋c＞0得3a＋c＞0，即3a＞－c，④正确。当x＝1时函数取最小值a＋b＋c，故a＋b＋c≤am²＋bm＋c，即a＋b≥m(am＋b)，⑤正确。 ☆ 3.二次函数与一元二次方程 二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象与x轴的交点的横坐标，就是一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0 的根 判别式Δ＝b²－4ac：Δ＞0时抛物线与x轴有两个交点；Δ＝0时有一个交点（顶点在x轴上）；Δ＜0时无交点 利用二次函数图象可以求一元二次方程的近似根 抛物线与x轴两交点间的距离为 |x₁－x₂|＝ 概念辨析例题：已知二次函数 y＝x²－2(m－1)x＋m²－2m－2，求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点。 解析：计算判别式Δ＝[－2(m－1)]²－4×1×(m²－2m－2)＝4(m－1)²－4(m²－2m－2)＝4m²－8m＋4－4m²＋8m＋8＝12＞0。因Δ＝12＞0恒成立，故不论m取何实数，抛物线与x轴必有两个交点。 ☆ 4.实际问题与二次函数 建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：审题→设变量→列函数关系式→确定自变量取值范围→求最值→检验作答 利润最大化问题：利润＝单件利润×销售量，注意自变量取值范围受实际条件限制 面积最大化问题：用围栏或墙围矩形时，注意墙的长度限制对自变量取值范围的影响 抛物线形拱桥、喷水池等问题：建立坐标系，用待定系数法求解析式后求解 概念辨析例题：某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时每天可售出50件。售价每上涨1元，每天少售出2件。求售价定为多少时每天利润最大？ 解析：设售价上涨x元，则售价为(25＋x)元，每天销售量为(50－2x)件。利润W＝(25＋x－15)(50－2x)＝(10＋x)(50－2x)＝－2x²＋30x＋500＝－2(x－7.5)²＋612.5。因x为整数且0≤x≤25，当x＝7或8时W最大。x＝7时售价32元，利润＝(17)(36)＝612元；x＝8时售价33元，利润＝(18)(34)＝612元。验证得售价30元时利润450元为参考值。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数定义 y＝ax²＋bx＋c（a≠0） a≠0是判断关键，化简后再判断 顶点坐标 (－，) 顶点式 y＝a(x－h)²＋k 顶点为(h，k) 对称轴 直线x＝－ a、b同号时对称轴在y轴左侧，异号在右侧 开口方向 a＞0向上，a＜0向下 |a|越大开口越窄 与x轴交点 Δ＝b²－4ac Δ＞0两交点，Δ＝0一交点，Δ＜0无交点 最值 顶点处取得最值 实际问题需考虑自变量取值范围 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念（第1-7题） · 判断二次函数：先化简，再看最高次项是否为2次且二次项系数不为0 · 求参数值：根据定义列方程（次数＝2，系数≠0），解后检验 1．（2026秋•岷县月考）已知函数，若它是二次函数，则m值为_____ ． 2．（2025秋•淮南校级期末）若是y关于x的二次函数，则m的值为 _______ ． 3．（2026春•西山区校级期末）若函数是关于x的二次函数，则m的值为_____ ． 4．（2024秋•东城区校级期末）若y＝（m﹣2）x|m|+3x+1是关于x的二次函数，则m的值为_______ ． 5．（2025秋•枞阳县期中）当m＝_____ 时，函数y＝（m+2）为二次函数． 6．（2025秋•宣城月考）若y＝（m+1）是二次函数，则m的值为 _____ ． 7．（2025秋•高新区校级月考）已知是y关于x的二次函数，求m的值． 【考点2】二次函数的图象和性质（第8-33题） · 由图象判断a、b、c符号：开口方向定a，对称轴位置定b，与y轴交点定c · 比较函数值大小：利用对称性转化到对称轴同侧，再根据增减性判断 · 图象平移：左加右减、上加下减，针对顶点式 y＝a(x－h)²＋k 操作 8．（2026秋•南开区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，给出下列结论： ①abc＜0； ②b＞a+c； ③4a+2b+c＜0； ④3a＞﹣c； ⑤a+b≥m（am+b）． 其中正确的是（　　） A．①②⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．①②④ 9．（2026秋•郊区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的个数为（　　） ①abc＞0； ②a+b+c＞0； ③2a+b＜0； ④当x＜﹣1时，y随x的增大而减小． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2026秋•滨海新区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1．以下四个结论中，正确的是（　　） A．abc＞0 B．4a+2b+c＜0 C．a+b＞m（am+b） D．（a+c）2＜b2 11．（2026秋•鹿城区校级月考）二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过（﹣2，﹣1），（﹣1，﹣n2+2n﹣3），则点（a，b）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．（2026•安徽模拟）设函数，，直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（　　） A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1 13．（2025秋•青海期末）已知点（﹣1，y1），（4，y2），（﹣3，y3）都在函数y＝x2+1上，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 14．（2026秋•上海校级月考）如图，在抛物线y＝x2的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第2026个正方形的边长是___________________ ． 15．（2026秋•萧山区月考）设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y的图象上，若m＜n，求x0的取值范围___________ ． 16．（2026秋•滨海新区校级月考）对于二次函数y＝mx2﹣（m+2）x+3有下列说法： ①如果m＝2，则y有最小值3； ②如果当x＝1时的函数值与x＝2016时的函数值相等，则当x＝2017时的函数值为3； ③如果m＞0，当x≤1时y随x的增大而减小，则0＜m≤2； ④无论m取何非零实数，抛物线总过两个定点（1，1）、（0，3）． 其中正确的说法是________ ．（把你认为正确的结论的序号都填上） 17．（2026秋•江阳区校级月考）在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3中，当1＜x≤4时，y的取值范围是___________ ． 18．（2026秋•思明区校级月考）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2），为抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）上的两点，当t﹣1＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+4时，都有y1＜y2，t的范围为____________________ ． 19．（2026•环翠区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为不等于0的常数）在﹣3≤x≤1时有最大值16，则a的值为__________ ． 20．（2026•朝阳区校级模拟）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数y＝ax2+c（a＞0）上的两点，若x1＞x2且x1+x2＞0，则y1_____ y2．（填“＞”、“＜”或“＝”） 21．（2026秋•思明区校级月考）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝mx2﹣2m2x﹣1上的任意两点，若对于0＜x1＜1，m+1＜x2＜m+2，都不存在y1＝y2的情形，则m的取值范围是__________________ ． 22．（2026秋•思明区校级月考）抛物线y＝（x﹣1）2﹣3的对称轴是 __________ ，顶点坐标是 ___________ ． 23．（2026秋•前进区校级月考）如图点A（﹣2，1）、B（4，m）在y＝ax2的图象上．直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB． （1）a＝__________________ ，m＝_____ ； （2）直线AB的函数表达式____________________ ； （3）求△AOB的面积． 24．（2026秋•思明区校级月考）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4． （1）补全表格，在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象； x … … y … … （2）当﹣3＜x＜0时，结合函数图象，直接写出y的取值范围___________ ． 25．（2026秋•铁东区校级月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标是抛物线y＝﹣x2+4x的顶点横坐标的2倍． （1）求b的值． （2）已知点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+4x上，点B（x1+m，y1+t）在抛物线y＝﹣x2+bx上． ①若x1＝2，t＝6m，求m的值； ②若x1＝m+2，且3≤x1≤6，求t的最大值． 26．（2026秋•萧山区月考）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）过A（1，m），B（3，m）两点，其中m是常数． （1）求该抛物线的对称轴． （2）当a＜0时，抛物线对应的二次函数的最大值为﹣2a﹣1． （i）求二次函数的表达式． （ⅱ）若P（x1，n），Q（x2，n）是抛物线上两个不同的点，n≠0，求证：． 27．（2026秋•闵行区校级月考）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）． （1）求二次函数的表达式； （2）用配方法把该二次函数的表达式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标． 28．（2026秋•上海校级月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上有三点A（﹣3，2），B（1，2）和C（0，﹣1）． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线与x轴交于M和N两点，试求MN的长． 29．（2026秋•济南校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，顶点坐标为（1，n），图象与y轴交点的纵坐标是2，与x轴的一个交点在（2，0）和（3，0）之间（不含端点），则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0有一个根在﹣1和0之间；③方程ax2+bx+c0一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＜2；⑤n．其中正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 30．（2026秋•天津校级月考）已知点M（m﹣2，n）在二次函数的图象上（如图所示），当x＝m时，y＜0，则下列说法正确的是（　　） A．n＜0 B． C． D． 31．（2026秋•西城区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，x与y的部分对应值如下表： x ﹣2 0 t y m ﹣1 n 当m＞3时，有下列5个结论：①b＜0；②；③若t＞4，则m＜n；④抛物线y＝ax2+bx+c+1与x轴的交点横坐标分别为0和﹣2；⑤关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2与3之间．其中一定正确的结论有_________ ． 32．（2026秋•鄞州区月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a＞0）经过（1，0），（0，2）两点．下列五个结论： ①抛物线不经过第三象限； ②将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则m＝1； ③b＜﹣2； ④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的整数根，则满足条件的整数a的值只有一个； ⑤对于函数y＝ax2+bx+c，若a，则当x＜1时，y随x的增大而减小． 其中正确的是_________ （填写序号）． 33．（2025秋•沂南县期末）如图，利用总长为48m的篱笆和一面墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为80m2的花圃，求AB的长度； （2）如果要使围成的花圃面积最大，则最大面积是多少？ 【考点3】二次函数与一元二次方程（第34-45题） · 判别式法：Δ＞0两交点，Δ＝0一交点，Δ＜0无交点 · 根与系数关系：x₁＋x₂＝－，x₁·x₂＝ · 抛物线与x轴交点距离：|x₁－x₂|＝ 34．（2026秋•江阳区校级月考）如图，抛物线y＝x2﹣3x﹣2与过点B（4，﹣2）的直线l有唯一的公共点，且点A（a，﹣5）在直线l上，则符合条件的a的值是（　　） A．或4或10 B．1或或4 C．4或1 D．1或 35．（2026秋•滨海新区校级月考）已知关于x的二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），且该函数有最大值8． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设抛物线上一点P使得三角形PAB面积为12，求点P的坐标． 36．（2026秋•长宁区校级月考）已知二次函数y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣2，其中m为实数． （1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）设上述二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且，求这个二次函数的表达式． 37．（2026秋•重庆月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）若点P是抛物线上第一象限内的一个动点，使△PBC的面积最大，并求出最大值及此时点P的坐标． 38．（2026秋•萧山区月考）已知二次函数的图象交x轴于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C（0，6）． （1）试求该二次函数的表达式； （2）当0＜x＜4时，求出y的取值范围． 39．（2026秋•思明区校级月考）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象，它与x轴一个交点的横坐标是3，顶点坐标是（2，3），则下列说法正确的是（　　） A．二次函数的图象与x轴另一个交点的横坐标是0 B．当x＜2时，y随x的增大而减小 C．二次函数的图象与y轴交点的纵坐标小于0 D．点M（x1，y1），点N（x2，y2）在函数图象上，若x1＜3＜x2，则y1＜y2 40．（2026秋•江夏区校级月考）二次函数y＝x2+2kx+k+2与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且，则k＝（　　） A．2 B． C．2或 D．﹣2或 41．（2026秋•浦东新区月考）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1＝1，x2＝5，且a＞0，给出下列结论：①a+b＝0；②抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（3，﹣4a）；③c＜0；④当n＞3时，n（an+b）＞9a+3b．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．（2026秋•滨海新区校级月考）如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE．当AD+BC的值最小时，点C的坐标是____________________ ． 43．（2026秋•浦东新区月考）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象有4个公共点时，则b的范围为____________________ ． 44．（2025秋•平江县期末）抛物线y＝x2﹣6x+c与x轴只有一个交点，则c＝_____ ． 45．（2026秋•亳州月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点，且x1≠x2． （1）若x1+x2＝2，则b＝_______ ； （2）若x1＝3x2，c≠0，则的值为___________________ ． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记二次函数的三种解析式形式（一般式、顶点式、交点式），根据题目条件灵活选用 · 画草图时先确定开口方向、对称轴、顶点，再与坐标轴的交点 · 压轴题常考：由图象判断结论正误、二次函数与几何综合、实际应用最值问题 · 做图象判断题时，注意特殊点（x＝±1，x＝±2）的函数值符号 · 实际问题注意自变量取值范围的端点检验，最值不一定在顶点处取得 【作业1】（2026秋•萧山区月考）X市与W市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中．在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m与该列车每次拖挂车厢节数n的部分数据如表： 车厢节数n 4 7 10 往返次数m 16 10 4 （1）请你根据表格数据，在两个函数模型：①y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）；②y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）中，选取一个合适的函数模型，求出m关于n的函数关系式． （2）结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时，一天的设计运营人数Q最多（每节车厢载容量设定为常数p）． 【作业2】（2025秋•武威期末）商场销售服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售量，减少库存，该商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，一件衣服每降价1元，每天可多售出2件． （1）设每件降价x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式； （2）若商场每天要盈利1200元，同时尽量减少库存，每件应降价多少元？ （3）每件降价多少元时，商场每天盈利达到最大？最大盈利是多少元？ 【作业3】（2026春•福州校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B、与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC． （1）求抛物线的函数表达式及点B的坐标； （2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值． 【作业4】（2026秋•乌鲁木齐月考）如图，用长为22m的篱笆和一面可利用的墙（墙的最大可用长度为14m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC边留有两个宽为1m的出入口．设花圃的一边AB长为x米． （1）请你用含x的代数式表示另一边AD的长为____________ m． （2）若花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． （3）在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到60m2，请说明理由．再猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 【作业5】（2026秋•乌鲁木齐月考） 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某旅游景点紧抓春节消费机遇，自春节假期开始售卖马年吉祥物套装，且线上线下同步销售．该套装因做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其中每套进价为40元，经市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量y（套）与销售单价x（元/套）之间的关系如图所示： （1）求该景点马年吉祥物套装的月销售量y与销售单价x的函数表达式； （2）若该景点希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ （3）当该景点马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【作业6】（2026•和平区校级三模）某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件．设每件商品的售价为x元（x≥25且x为整数），每天的销售量为y件． （1）求y与x的函数关系式； （2）设每天的销售利润为w元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【作业7】（2026•大庆模拟）九年级（1）班的同学计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案（如图），最佳方案是（　　） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．三种方案使得菜园面积一样大 【作业8】（2025秋•社旗县期末）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2已知其底部宽度AB为80m，高度为200m，则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为（　　） A．40m B．45m C．50m D．55m 【作业9】（2026•安徽模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（　　） A．小球在空中经过的路程是40m B．小球运动的时间为6s C．小球抛出3s时，速度为0 D．当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m 【作业10】（2025秋•埇桥区校级期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（　　）元/千克． A．42 B．40 C．38 D．35 【作业11】（2026•瑞安市开学）如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边BC，CD上，DF＝2BE，设BE＝x，五边形ABEFD的面积＝y，则y关于x的函数表达式为（　　） A．y＝﹣x2+3x+2（0＜x＜1） B．y＝﹣x2+3x+2（1＜x＜2） C．y＝x2﹣3x﹣2（0＜x＜1） D．y＝x2﹣3x﹣2（1＜x＜2） 【作业12】（2025秋•章贡区期末）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m．有下列结论： ①AB的长可以为6m； ②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2； ③菜园ABCD面积可以达到220m2． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【作业13】（2026秋•南开区校级月考）如图，某矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成面积为1：2的两个矩形，已知栅栏的总长度为24m，当较小矩形的宽为xm时，矩形养殖场的总面积最大为ym2，则x，y的值为 ____________________ ． 【作业14】（2026•漳州模拟）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加____________________ m． 【作业15】（2026•钦州校级一模）市民广场有一个直径16m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3m处达最高5m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m的他站立时必须在离水池中心O_____ m以内． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $