第26章 二次函数26种题型（期中复习讲义）2026-2027学年人教版数学九年级上册

第26章 二次函数 1. 二次函数定义 形如 （ 为常数，）的整式函数，叫做二次函数。 核心判定：自变量最高次数为2、整式形式、二次项系数不为0。 2. 三种解析式 · 一般式：，适用于已知任意三点坐标。 · 顶点式：，顶点 ，适用于已知顶点、对称轴、最值。 · 交点式：， 为抛物线与x轴交点横坐标，仅适用于抛物线与x轴有交点（）。 3. 抛物线图像与核心性质 （1）开口规律 · ：开口向上，有最低点，函数有最小值； · ：开口向下，有最高点，函数有最大值； · 越大，开口越窄； 越小，开口越宽。 （2）对称轴与顶点 · 一般式：对称轴 ，顶点 · 顶点式：对称轴 ，顶点 （3）增减性 · ：对称轴左减右增； · ：对称轴左增右减。 注：描述增减性必须带对称轴区间，不可直接说函数单调递增/递减。 （4）最值 全体实数范围内： 时取得最值，最小、最大。 4. 抛物线与坐标轴交点 （1）与y轴交点 令 ，交点为 。 （2）与x轴交点 令 ，通过 判断交点个数： · ：2个不相同交点； · ：1个交点（顶点在x轴上）； · ：无交点。 5. 图像平移规律 仅针对顶点式 ，平移a值不变（开口、形状不变）。 口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 左右平移改变 ，上下平移改变 。 6. 二次函数与一元二次方程的关系 抛物线与x轴交点的横坐标，是对应一元二次方程 的实数根。可利用图像判断方程根的个数、求解简单函数不等式。 1.判定二次函数遗漏，退化为一次函数。 2.对称轴公式 漏负号，连锁错顶点、增减性、最值。 3.平移规律乱用：左右平移只针对 ，不可对整体括号外数值加减。 4.脱离区间谈增减性，答题不完整扣分。 5.含自变量范围时，直接用顶点当最值，忽略端点值对比。 6. 仍强行使用交点式解析式。 7.图像符号判断混淆：开口、对称轴、交点对应 符号出错。 1.解析式择优法：三点用一般式、顶点用顶点式、双交点用交点式，大幅减少计算量。 2.快速判符号法：开口定a、y轴交点定c、对称轴位置定b、x轴交点数定判别式。 3.对称点速用法：抛物线上纵坐标相同两点关于对称轴对称，可快速求对称轴、未知点坐标。 4.区间最值万能步骤：判对称轴是否在取值区间内→分别计算顶点、端点函数值→对比取最值。 5.数形结合解题：比大小、解不等式、判断根的分布，优先画图，避免纯计算失误。 6.平移定值结论：抛物线平移后a不变，开口大小、方向恒定，仅顶点位置改变。 题型一 根据二次函数的定义求参数 【例1】（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）若是二次函数，则等于（    ） A． B．2 C． D．不能确定 【变式1-1】（25-26九年级上·云南昭通·期末）若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【变式1-2】（25-26九年级下·全国·单元测试）若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 题型二 二次函数图象的平移 【例2】（26-27九年级上·天津河西·开学考试）将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的图象的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（       ） A． B． C． D． 【变式2-3】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为__________． 题型三 y=ax2的图象和性质 【例3】（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点都在抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知下列二次函数：①；②；③；④；⑤． （1）其图象开口向上的是_______（填序号）； （2）其图象开口向下且开口最大的是_______（填序号）； （3）其图象有最高点的是________（填序号）． 题型四 y=ax2+k的图象和性质 【例4】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（26-27九年级上·内蒙古·单元测试）抛物线与抛物线相比较，其不同点是（     ） A．对称轴不同 B．开口方向不同 C．顶点坐标不同 D．形状不同 【变式4-2】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知是抛物线上的点，则（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线的对称轴是______． 题型五 y=a(x-h)2的图象和性质 【例5】（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【变式5-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-3】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 题型六 y=a(x-h)2+k的图象和性质 【例6】（26-27九年级上·全国·期中）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（  　  ） A． B． C． D． 【变式6-2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知二次函数，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026九年级上·全国·专题练习）抛物线 的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 题型七 y=ax2+bx+c的图象和性质 【例7】（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）当时，函数有最大值______． 【变式7-3】（26-27九年级上·全国·周测）已知二次函数． (1)填写表中横线处的数值： x … 0 1 2 3 … … ______ ______ ______ ______ … 根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2) (3)根据表格、图象可知，当时，y的取值范围是_______________； (4)根据图象可知，当x_______________时，y随x的增大而增大． 题型八 根据二次函数图象判断各项系数、式子符号 【例8】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-1】（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 【变式8-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式8-3】（26-27九年级上·北京·课堂例题）二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 题型九 一次函数、二次函数图象综合判断 【例9】（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2026九年级上·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（     ） A． B． C． D． 题型十 待定系数法求二次函数解析式 【例10】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知抛物线经过点和，求抛物线的解析式． 【变式10-1】（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线，且过点，求抛物线的解析式． 【变式10-2】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）已知二次函数的图象经过点．求这个二次函数的表达式． 【变式10-3】（25-26九年级上·吉林松原·阶段检测）已知二次函数的图像经过点，求该二次函数的解析式，并判断该函数图像的开口方向． 题型十一 利用二次函数对称性求最短路径 【例11】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，过点的抛物线顶点为，与轴交于、两点 (1)求抛物线的解析式； (2)若点是轴上一点，则当取得最小值时，求点的坐标． 【变式11-1】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【变式11-2】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求该二次函数的表达式． (2)点在该函数图象上（其中），求的值； (3)在（2）的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式11-3】（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求拋物线解析式： (2)点为直线下方拋物线上一点，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标和面积的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求的最小值． 题型十二 线段周长问题（二次函数综合） 【例12】（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A，点C坐标分别为、，连接． (1)求此抛物线的解析式． (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作轴，交于点M，交x轴于点D，当点N的坐标为多少时，线段的长度最大？最大值是多少？ 【变式12-1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图1，抛物线经过点，，并交轴于另一点，点在第一象限的拋物线上，连接，交直线于点，连接，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求的最大值； (3)当时，点坐标为____________； (4)如图2，为直线上的一点，且，当的周长最小时，点坐标为_________． 【变式12-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为，抛物线的对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)求抛物线顶点的坐标以及直线的函数表达式． (3)是第一象限内抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，求当最大时，点的坐标． 【变式12-3】（25-26九年级上·重庆忠县·期末）如图所示，设抛物线与x轴相交于O，M两点，点Q在抛物线第一象限图象上，若，面积的最大值为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，设D是抛物线的顶点，点A在x轴上，点B在抛物线上；若四边形是平行四边形，且点C恰为线段中点，求点A坐标； (3)如图2，已知P是直线l：上方的抛物线上的动点，于点E，轴于点F，设与直线l交于点N，当周长最大时，求点N的坐标． 题型十三 面积问题（二次函数综合） 【例13】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴上半轴于点B．在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标． 【变式13-1】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，已知二次函数的图象过点，． (1)求此二次函数的解析式； (2)若二次函数图象与x轴的另一个交点为B，在抛物线上存在一点P，使的面积为10，求点P的坐标． 【变式13-2】（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； (3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，请直接写出的面积的最大值．（直接写答案，不需要过程） 【变式13-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 题型十四 角度问题（二次函数综合） 【例14】（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，抛物线经过两点，与轴交于点为直线上方抛物线上一动点，且于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，求线段长度的最大值； (3)如图2，设的中点为，连接，是否存在点，使得？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式14-1】（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是抛物线上的点且在直线的上方，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． (3)若是直线上方的抛物线上的点，连接，且，直接写出点的坐标． 【变式14-2】（25-26九年级上·山东威海·期末）抛物线（）与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，若点为抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，点，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交于点，若，求点的坐标． 【变式14-3】（26-27九年级上·四川成都·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十五 特殊三角形问题（二次函数综合） 【例15】（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式15-1】（26-27九年级上·新疆·阶段检测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【变式15-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴相交于两点．在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【变式15-3】（25-26九年级上·上海静安·期末）已知平面直角坐标系（如图所示），抛物线的顶点为，与轴交于点，直线． (1)求证：抛物线的顶点在直线上． (2)如果抛物线与直线除点外，同时还经过另一点，已知点，连接、交于点，连接． ①试说明：； ②当为等边三角形时，求的值及的正弦值． 题型十六 特殊四边形问题（二次函数综合） 【例16】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式16-1】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式16-2】（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【变式16-3】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴正半轴交于另一点A，点B在抛物线上，点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以为对角线作矩形，垂直于y轴． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出m的取值范围； (3)当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值； (4)当矩形为正方形时，直接写出m的值． 题型十七 二次函数与一元二次方程 【例17】（26-27九年级上·全国·课后作业）若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【变式17-1】（26-27九年级上·全国·单元测试）根据下表可知，方程的一个解的取值范围为（     ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A． B． C． D． 【变式17-2】（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【变式17-3】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（    ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A．1.12 B．1.26 C．1.38 D．1.45 题型十八 二次函数与不等式 【例18】（23-24九年级上·云南昆明·期中）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 【变式18-1】（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式18-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤若m为任意实数，则．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十九 图形问题（实际问题与二次函数） 【例19】（26-27九年级上·湖北·期中）用一条的绳子围成一个矩形，矩形的面积可以是（    ） A． B． C． D． 【变式19-1】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，正方形的边长为2，点分别在边上，，设，五边形的面积，则关于的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【变式19-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 【变式19-3】（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（   ） A． B． C． D． 题型二十 动态几何问题（实际问题与二次函数） 【例20】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【变式20-1】（2026·浙江温州·二模）如图1，在正方形中，是边上一点，动点从处出发沿向目的地运动，同时动点从处出发沿向目的地运动，它们同时到达终点．设为（单位：），的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示，当点在线段上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式20-2】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在中，，，，点D是边上一动点（不与A、B重合），沿着运动，过点D作交于点E，作交于点F，设，的长为x，能反映y与x之间函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 【变式20-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图①，在四边形中，，，，，点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C，点Q同时从点C出发沿以的速度匀速运动至点B，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，的面积为，图②是点P，Q运动时，y随时间x变化的函数图象，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 题型二十一 拱桥问题（实际问题与二次函数） 【例21】（2026·甘肃平凉·二模）如图1是某地的一座桥塔，它的外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，A、B为该抛物线桥塔与桥面所在平面的两个交点（点A与点B关于该抛物线的对称轴对称），点O在的延长线上，以所在直线为x轴，抛物线所在平面内过点O且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式，若点P在抛物线上，且在对称轴的右侧，点P到x轴的距离为，则点P到y轴的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式21-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 【变式21-2】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，一座抛物线形拱桥，拱顶离水面，水面宽． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的解析式； (2)若水面上涨，此时水面宽是多少？ 【变式21-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 题型二十二 销售问题（实际问题与二次函数） 【例22】（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元． (1)每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 【变式22-1】（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【变式22-2】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）现在，租赁汽车已成为外出旅行时的一种重要的交通方式．某租赁公司拥有辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共元．当每辆车的日租金为元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加元，未租出的车将增加辆．设该租赁公司每日租出辆，其日收益为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ (3)试说明该租赁公司的日收益能否为元？ 【变式22-3】（26-27九年级上·河南郑州·开学考试）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 成本核算 (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立 (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，则每件A品的利润为_______元，A品的销量为_________件，每件B品的利润为______元，B品的销量为______件，求总利润关于A品涨价后的售价的函数解析式． 方案设计 (3)若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案． 题型二十三 投球问题（实际问题与二次函数） 【例23】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）大庆市中考掷实心球（男生）成绩及得分对照表如下表（满分分，球重）． 成绩（米） 及以下 及以上 得分 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师结合录像对小明投掷实心球的运动轨迹进行技术分析，得到下图，发现实心球在行进过程中高度与水平距离之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩得分是__________ 分． 【变式23-1】（26-27九年级上·广东·阶段检测）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【变式23-2】（26-27九年级上·广东·单元测试）如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台的长约为，球网在球台的中点处（点A是的中点），球网的高度约为，发球点的高度为，当乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，，．设乒乓球距离发球点C的水平距离为，乒乓球距离球台的竖直高度为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线． (1)求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网并落在球台上），并说明理由． 【变式23-3】（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）爱思考的小丽在观看排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究． 【素材】经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，发球时，排球的击球高度为． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 测得小宛某次发球时排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x的几组数据如上表，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 【解决问题】 (1)①请在下图坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x近似满足的函数关系式； (2)通过计算，判断小宛这次发球能否过网，是否出界，并说明理由． 题型二十四 喷水问题（实际问题与二次函数） 【例24】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是（     ） A． B． C． D． 【变式24-1】（26-27九年级上·全国·单元复习）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【变式24-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为．一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动________的距离才能击中昆虫． 【变式24-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长应为多少？ 题型二十五 增长率问题（实际问题与二次函数） 【例25】（25-26九年级上·全国·课后作业）最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式25-1】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【变式25-2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 【变式25-3】（26-27九年级·上海·暑假作业）某工厂第一年的利润为万元，第三年的利润万元与平均年增长率之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______． 题型二十六 其他问题（实际问题与二次函数） 【例26】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【变式26-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后到滑行停下来，滑行的时间是______，飞机滑行的距离是______． 【变式26-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状可视为一条抛物线．如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1米，并且相距4米，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小冬拿绳子的手的坐标是，身高米的小丽站在绳子的正下方，且距y轴1米时，绳子刚好经过她的头顶．若身高米的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m米，为确保绳子超过他的头顶，求m的取值范围． 【变式26-3】（26-27九年级上·福建福州·开学考试）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 二次函数 1. 二次函数定义 形如 （ 为常数，）的整式函数，叫做二次函数。 核心判定：自变量最高次数为2、整式形式、二次项系数不为0。 2. 三种解析式 · 一般式：，适用于已知任意三点坐标。 · 顶点式：，顶点 ，适用于已知顶点、对称轴、最值。 · 交点式：， 为抛物线与x轴交点横坐标，仅适用于抛物线与x轴有交点（）。 3. 抛物线图像与核心性质 （1）开口规律 · ：开口向上，有最低点，函数有最小值； · ：开口向下，有最高点，函数有最大值； · 越大，开口越窄； 越小，开口越宽。 （2）对称轴与顶点 · 一般式：对称轴 ，顶点 · 顶点式：对称轴 ，顶点 （3）增减性 · ：对称轴左减右增； · ：对称轴左增右减。 注：描述增减性必须带对称轴区间，不可直接说函数单调递增/递减。 （4）最值 全体实数范围内： 时取得最值，最小、最大。 4. 抛物线与坐标轴交点 （1）与y轴交点 令 ，交点为 。 （2）与x轴交点 令 ，通过 判断交点个数： · ：2个不相同交点； · ：1个交点（顶点在x轴上）； · ：无交点。 5. 图像平移规律 仅针对顶点式 ，平移a值不变（开口、形状不变）。 口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 左右平移改变 ，上下平移改变 。 6. 二次函数与一元二次方程的关系 抛物线与x轴交点的横坐标，是对应一元二次方程 的实数根。可利用图像判断方程根的个数、求解简单函数不等式。 1.判定二次函数遗漏，退化为一次函数。 2.对称轴公式 漏负号，连锁错顶点、增减性、最值。 3.平移规律乱用：左右平移只针对 ，不可对整体括号外数值加减。 4.脱离区间谈增减性，答题不完整扣分。 5.含自变量范围时，直接用顶点当最值，忽略端点值对比。 6. 仍强行使用交点式解析式。 7.图像符号判断混淆：开口、对称轴、交点对应 符号出错。 1.解析式择优法：三点用一般式、顶点用顶点式、双交点用交点式，大幅减少计算量。 2.快速判符号法：开口定a、y轴交点定c、对称轴位置定b、x轴交点数定判别式。 3.对称点速用法：抛物线上纵坐标相同两点关于对称轴对称，可快速求对称轴、未知点坐标。 4.区间最值万能步骤：判对称轴是否在取值区间内→分别计算顶点、端点函数值→对比取最值。 5.数形结合解题：比大小、解不等式、判断根的分布，优先画图，避免纯计算失误。 6.平移定值结论：抛物线平移后a不变，开口大小、方向恒定，仅顶点位置改变。 题型一 根据二次函数的定义求参数 【例1】（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）若是二次函数，则等于（    ） A． B．2 C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2且系数不为零． 【详解】解：函数是二次函数， 且． 解得． 故选：C． 【变式1-1】（25-26九年级上·云南昭通·期末）若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为()，根据定义列出关于的方程与不等式，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且． 由，得，解得或． 又∵，即， ∴． 故选：A． 【变式1-2】（25-26九年级下·全国·单元测试）若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义．需满足自变量最高次数为2且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数． ∴根据二次函数定义可得： 由，得， 即或 又∵， ∴ ∴． 故选：C 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 【答案】0或 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义可知且，从而解得a的值即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， ∴且， 即且， ∴或． 故答案为：0或． 题型二 二次函数图象的平移 【例2】（26-27九年级上·天津河西·开学考试）将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的图象的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象上下平移的规律计算新函数表达式． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得． 【变式2-1】（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的平移规律求解即可． 【详解】解：将向左平移3个单位，得， 再向下平移2个单位，得． 【变式2-2】（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的图象向左平移2个单位， ∴得． ∵再向下平移2个单位， ∴得． 【变式2-3】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为__________． 【答案】 【分析】利用二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则求解即可． 【详解】解：将函数的图象向左平移2个单位长度，得到的函数表达式为，再将得到的图象向下平移1个单位长度得到抛物线的函数表达式为，即． 题型三 y=ax2的图象和性质 【例3】（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数性质，，开口向上，对称轴是轴；，开口向下，对称轴是轴，图象为抛物线即可得答案. 【详解】解：∵ ， ∴二次函数的图象是抛物线，开口向上，对称轴是轴， ∴A选项图象正确. 【变式3-1】（26-27九年级上·浙江金华·开学考试）已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；越大，图象的开口越小． 【详解】解：函数的图象开口向上，函数和的图象开口向下，且函数的开口更大， ，，，， ． 【变式3-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点都在抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， . 【变式3-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知下列二次函数：①；②；③；④；⑤． （1）其图象开口向上的是_______（填序号）； （2）其图象开口向下且开口最大的是_______（填序号）； （3）其图象有最高点的是________（填序号）． 【答案】 ②③⑤ ① ①④ 【详解】解：（1）①，图象开口向下；②，图象开口向上；③，图象开口向上；④，图象开口向下；⑤，图象开口向上； （2），图象开口向下且开口最大的是①； （3）①，图象开口向下，故图象有最高点；④，图象开口向下，故图象有最高点． 题型四 y=ax2+k的图象和性质 【例4】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 【变式4-1】（26-27九年级上·内蒙古·单元测试）抛物线与抛物线相比较，其不同点是（     ） A．对称轴不同 B．开口方向不同 C．顶点坐标不同 D．形状不同 【答案】C 【分析】根据二次函数与的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、抛物线与抛物线的对称轴都是y轴，两者相同，故本选项不合题意； B、抛物线与抛物线的开口方向都向上，两者相同，故本选项不合题意； C、抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标是，两者不同，故本选项符合题意； D、抛物线可以由抛物线平移得到，故两者形状相同，故本选项不合题意． 【变式4-2】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知是抛物线上的点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过直接计算抛物线上的点的纵坐标，并比较大小即可． 【详解】解：将三点横坐标分别代入，得 ， ， ． ， ． 【变式4-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线的对称轴是______． 【答案】y轴 【分析】根据抛物线的性质：，开口向上，对称轴是轴；，开口向下，对称轴是轴，即可得的对称轴． 【详解】解：根据抛物线的性质得：抛物线的对称轴是轴． 题型五 y=a(x-h)2的图象和性质 【例5】（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，， ∴ 顶点坐标为. 【变式5-1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小； 综上，只有选项C错误. 【变式5-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）对于抛物线，下列结论： ①开口向上； ②对称轴为； ③顶点坐标为； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接利用二次函数性质判断各结论． 【详解】解：①∵， ∴抛物线开口向下， ∴①错误； ②∵对称轴为直线， ∴②错误； ③∵顶点坐标为， ∴③正确； ④∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴④正确； 综上所述，正确结论共2个． 【变式5-3】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先求出二次函数抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，对称轴为， ∵， ∴． 题型六 y=a(x-h)2+k的图象和性质 【例6】（26-27九年级上·全国·期中）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于二次函数顶点式为，所以可以根据的取值直接确定顶点坐标． 【详解】解：在二次函数顶点式中，顶点坐标为， 在函数中，对应，，顶点坐标为． 【变式6-1】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（  　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定二次函数的开口方向与对称轴，比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 【变式6-2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知二次函数，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，结合给定的的取值区间，计算顶点及区间端点的函数值，进而确定的取值范围． 【详解】解：二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ， 当时，取得最大值， 当时，， 当时，， ， 当时，的最小值为， 的取值范围是． 【变式6-3】（2026九年级上·全国·专题练习）抛物线 的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 【答案】 向下 直线 【详解】解：抛物线解析式为， ， 开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 题型七 y=ax2+bx+c的图象和性质 【例7】（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线对称轴，结合开口方向，通过比较三点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线． ∵，抛物线开口向上， ∴点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大． 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； ∵， ∴． 【变式7-1】（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求抛物线的对称轴与开口方向，利用对称性将点转化到对称轴同侧，结合增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 点关于直线的对称点为 ∵当时，随的增大而减小，且， ∴． 【变式7-2】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）当时，函数有最大值______． 【答案】4 【分析】对二次函数配方得到对称轴和顶点坐标，判断顶点横坐标在给定自变量区间内，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值． 【详解】解：先对函数配方得 ∵ 二次项系数 ∴ 二次函数图象开口向下，函数在顶点处取得最大值 ∵ 顶点横坐标为， 满足，即顶点横坐标在给定自变量范围内， ∴ 函数的最大值为． 【变式7-3】（26-27九年级上·全国·周测）已知二次函数． (1)填写表中横线处的数值： x … 0 1 2 3 … … ______ ______ ______ ______ … 根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2) (3)根据表格、图象可知，当时，y的取值范围是_______________； (4)根据图象可知，当x_______________时，y随x的增大而增大． 【答案】(1) 填表如下： … 0 1 2 3 … … 2 3 2 … (2)二次函数的图象如下图所示即为所求： (3) (4) 【分析】（1）根据所给表格代入相应的，求出y的值； （2）描点，连线即可； （3）根据图象，找到最高点和最低点，即可看出y的取值范围． （4）根据图象，可得函数的对称轴以及开口方向，即可看出x的取值范围． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； （2）略 （3）解：由题意可得：当时，的取值范围是. （4）解：由图可得，二次函数的对称轴为，开口向下，那么当时，随的增大而增大． 题型八 根据二次函数图象判断各项系数、式子符号 【例8】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】观察抛物线开口方向、对称轴位置及与轴交点位置. 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 综上，，. 【变式8-1】（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 【答案】D 【分析】二次函数图象开口向上，，与y轴交于负半轴，，对称轴在y轴左侧，，可以判断A选项是否正确；根据对称轴，可以判断B选项是否正确；根据二次函数图象的对称性和当时，可以判断C选项是否正确；根据时y有最小值，可以判断D选项是否正确． 【详解】解：由图象可知，，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ∴， ，故A选项不符合题意； ， ， ，故B选项不符合题意； 当时，，根据二次函数图象的对称性可知，当时，， ，故C选项不符合题意； 当时，函数有最小值， （m为实数），D选项符合题意． 【点睛】二次函数图象开口向上，，有最小值，对称轴在x的负半轴，b和a同号． 【变式8-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向，抛物线的对称轴，以及抛物线交轴于负半轴分别得出a，b，c的大小，进而解答①；再根据①可将抛物线的解析式化为，然后根据时，解答②；接下来根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是，再结合当时，，所以当时，也有，即可解答③． 【详解】解：由抛物线开口向上得； ∵抛物线的对称轴为，则，故； ∵抛物线交轴于负半轴得， ，故①正确； 根据①可将抛物线的解析式化为， 由函数的图象知，当时，，即，故②正确； 根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是， 当时，， 所以当时，也有，即，故③正确． 所以正确的有3个． 【变式8-3】（26-27九年级上·北京·课堂例题）二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 【答案】２ 【分析】先根据抛物线开口方向判断的符号，因为对称轴公式为，所以可推导的符号，再根据抛物线与轴交点位置判断的符号，验证结论①；由对称轴，变形后可验证结论②；把结论③的不等式变形为，因为该式对应时的函数值，结合抛物线对称性和已知零点判断函数值符号，验证结论③；先根据抛物线开口方向确定离对称轴越近的点函数值越大，再分别计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小后判断的大小关系，验证结论④． 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ， ， ，①错误，②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴图象过点， 当时，， ， 即，③错误； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴点离对称轴最远， ∴最小， 点B离对称轴最近， ∴最大， ，④正确， ∴正确的结论有2个． 题型九 一次函数、二次函数图象综合判断 【例9】（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a的符号确定抛物线开口方向及直线增减性，根据b的符号确定直线与y轴交点位置，结合进行判断． 【详解】解：A、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、四象限知且，则，与已知矛盾； B、由抛物线开口向上知，由直线过第一、三、四象限知且，则，与已知矛盾； C、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、三象限知，a的符号矛盾； D、由抛物线开口向下知 ，由直线过第二、三、四象限知且 ，则，符合题意． 【变式9-1】（2026九年级上·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定、的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题． 【详解】解：联立， 消去得， ∴，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确； 令， 解得：，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为和，故D不正确，不符合题意； A．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过一、三、四象限，则，即，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； C．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过二、三、四象限，则，即，故该选项正确，符合题意． 【变式9-2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故符合题意； B、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右下降，则，故不符合题意； C、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故不符合题意； D、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右下降，则，但与轴交于正半轴，故不符合题意． 【变式9-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分类讨论，当时，当时，结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【详解】解：当时，则， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 二次函数的图像开口向上； 当时，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 二次函数图象开口向下； 综上所述，D选项符合题意． 题型十 待定系数法求二次函数解析式 【例10】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知抛物线经过点和，求抛物线的解析式． 【答案】 【详解】解：将点和代入， 得，解得， 抛物线的解析式为． 【变式10-1】（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，根据抛物线的对称轴为直线，得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， ， 抛物线解析式为， 抛物线经过， ， 解得， 抛物线解析式为． 【变式10-2】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）已知二次函数的图象经过点．求这个二次函数的表达式． 【答案】 【详解】解：把代入， 得 解得：， ∴二次函数的表达式为：． 【变式10-3】（25-26九年级上·吉林松原·阶段检测）已知二次函数的图像经过点，求该二次函数的解析式，并判断该函数图像的开口方向． 【答案】解析式；开口向下 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出函数解析式． 先由待定系数法求出函数解析式，再由a判断开口方向． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴该函数图像的开口向下． 题型十一 利用二次函数对称性求最短路径 【例11】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，过点的抛物线顶点为，与轴交于、两点 (1)求抛物线的解析式； (2)若点是轴上一点，则当取得最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，最短路径问题，线段垂直平分线的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入抛物线中，得出的值，解析式即可得出； （2）利用轴是抛物线的对称轴得到关于轴的对称点是，连接，与轴的交点就是点，此时能取得最小值． 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得， ． （2）解：当时，， ，． 如图，连接，设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为． 点是轴上一点，点，两点关于轴对称， ． ． 当点在直线上时，取得最小值． 当时，， ． 【变式11-1】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2)1，4 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的解析式，轴对称与线段和最值问题，掌握好二次函数的性质并运用数形结合思想是解题关键． （1）将和代入，求出b和c的值； （2）将和代入，求出m和n的值； （3）根据轴对称的性质，，则．当B、E、C三点共线时，最小，用（2）的一次函数解析式求出点E的坐标 ． 【详解】（1）解：将和代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将和代入得， ，解得， ∴，，； （3）解： 由对称轴公式可得，抛物线的对称轴为直线， ∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称， 又∵点在抛物线对称轴上， ∴由轴对称的性质可得，， ∴， 当B、E、C三点共线时，最小，即最小， 将代入得， ， ∴点E的坐标为． 【变式11-2】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求该二次函数的表达式． (2)点在该函数图象上（其中），求的值； (3)在（2）的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把代入二次函数的解析式，即可求解； （3）作点关于对称轴的对称点,连接与对称轴的交点为所求点, 本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将点和点代入二次函数表达式， 得 解得：，， 该二次函数的表达式为：． （2）解：∵点在函数图像上， ， 则或， ， 的值为：6． （3）解：如图，由（2）可知点，对称轴为 作点关于对称轴的对称点,连接与对称轴的交点为， 设直线的解析式为， 把点，,代入得， 解得，， 所以直线的解析式为， 当时，， 则， 所以当点时，最小． 【变式11-3】（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求拋物线解析式： (2)点为直线下方拋物线上一点，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标和面积的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求的最小值． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)，最大面积为4； (3)最小值为 【分析】（1）根据对称轴得出，将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出点P的坐标及面积的最大值； （3）将点向右平移个单位长度至点，连接，则，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大为：， ∴，最大面积为4； （3）解：∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点B向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上，最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，二次函数的面积问题，最短路线的问题等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 题型十二 线段周长问题（二次函数综合） 【例12】（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A，点C坐标分别为、，连接． (1)求此抛物线的解析式． (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作轴，交于点M，交x轴于点D，当点N的坐标为多少时，线段的长度最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)，最大值为 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）设直线的解析式为，将、代入直线的解析式得到直线的解析式为：．又是抛物线上的一动点，故，且，故， ，根据题意，得，根据二次函数的性质解答即可． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，构造二次函数求最值，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A，点C坐标分别为、， 解得 抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将、代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 又是抛物线上的一动点， 故，且， 故， 故， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的长度最大，且最大值为， ， 此时． 【变式12-1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图1，抛物线经过点，，并交轴于另一点，点在第一象限的拋物线上，连接，交直线于点，连接，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求的最大值； (3)当时，点坐标为____________； (4)如图2，为直线上的一点，且，当的周长最小时，点坐标为_________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）令时，求得抛物线与x轴的交点坐标，从而可得，作轴，交于点F，证明，可得，即可知当最大时，的值最大，利用待定系数法求直线的解析式，设、，求得，即可得出当时，取最大值，从而求得结果； （3）作关于的对称点，连接,则,，证明得出,根据题意得出在上，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求解； （4）过点作，且得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，作关于的对称点，连接，，则，同理可得，设直线，交于点，根据题意可得，即重合时，的周长最小，设的上方上一点，且得，进而确定点的位置，当与点重合时，满足题意，则在直线上，求得直线的解析式为，进而联立抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、， ∴把点、代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵时，，解得：，， ∴， ∴， 如图，作轴，交于点F， ∵轴， ∴, 又∵， ∴， ∴， ∵是定值， ∴当最大时，的值最大， 设直线的解析式为：， ∵点，在直线上， 把点，代入可得，，解得：， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为：，则点F的坐标为：， ∴， ∴当时，取最大值， ∴的最大值为； （3）解：如图，作关于的对称点，连接,则,， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵，则， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴在上， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴点坐标为； （4）解：∵直线的解析式为：， 过点作，且 则直线的解析式为 设， ∴，解得 ∴点 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， 作关于的对称点，连接，，则， 则， ∴的周长为 ∴当在上时，的周长最小 设直线，交于点，即重合时，的周长最小 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式 联立 解得： ∴ ∵直线的解析式为：， 设的上方上一点，且， ∴ 解得：或（舍去） ∴ ∴当与点重合时，满足题意，则在直线上 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、二次函数图象与x轴交点坐标、相似三角形的判定与性质、二次函数最值，轴对称的性质，平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式12-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为，抛物线的对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)求抛物线顶点的坐标以及直线的函数表达式． (3)是第一象限内抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，求当最大时，点的坐标． 【答案】(1) (2)抛物线顶点的坐标为，直线的函数表达式为 (3) 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，线段最值问题，解题的关键是正确求出表达式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线配方成顶点式即可求出顶点坐标；利用待定系数法求出直线的函数表达式； （3）设，则，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得 ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵ ∴抛物线顶点的坐标为； ∵抛物线经过点，对称轴为直线 ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 设直线的函数表达式为 将，代入得， 解得 ∴直线的函数表达式为； （3）解：设，则 ∴ ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，有最大值 将代入得，． 【变式12-3】（25-26九年级上·重庆忠县·期末）如图所示，设抛物线与x轴相交于O，M两点，点Q在抛物线第一象限图象上，若，面积的最大值为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，设D是抛物线的顶点，点A在x轴上，点B在抛物线上；若四边形是平行四边形，且点C恰为线段中点，求点A坐标； (3)如图2，已知P是直线l：上方的抛物线上的动点，于点E，轴于点F，设与直线l交于点N，当周长最大时，求点N的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由题意可得，抛物线的对称轴为直线，，然后根据当点Q为抛物线的顶点时，面积取得最大值，结合三角形面积公式，即可求得抛物线的顶点坐标，进而利用待定系数法即可解答； （2）当A在点O右侧时，由（1）可知，，根据中点可得点C的坐标和的长度，再根据平行四边形的性质可得点B的纵坐标和的长度，进而求得点B的横坐标，然后过点B作轴于点N，则有和的长度，利用勾股定理求得，从而得到的长度；当A在点O左侧时，同理计算即可； （3）设直线l交y轴于点G，根据题意易证，推出三边的比例为定值，即当取得最大值时，的周长取得最大值，然后设，则，表示出，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于O，M两点，， ∴，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的开口向下， ∴当时，取得最大值， ∵点Q在抛物线第一象限图象上，面积的最大值为， ∴， ∴当点Q为抛物线的顶点时，面积取得最大值， 此时，即抛物线的顶点坐标为， 将点，代入解析式， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当A在点O右侧时， 由（1）可知，， ∵点C恰为线段中点 ∴， ∴， ∵点A在x轴上，点B在抛物线上，四边形是平行四边形， ∴，，即轴， ∴点B的纵坐标为，代入抛物线， 得， 解得， ∴， 如图，过点B作轴于点N， 则，， ∴， ∴， ∴； 当A在点O左侧时， 同理可得，， 如图，过点B作轴于点R， 则，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，设直线l交y轴于点G， 由题意可知，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴三边的比例为定值， ∴当取的最大值时，的周长取得最大值， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，即的周长最大， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合——特殊四边形和线段周长问题，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积计算等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 题型十三 面积问题（二次函数综合） 【例13】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴上半轴于点B．在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标． 【答案】 【分析】连接，求出点A和点B的坐标，根据推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，当时，，则， 在中，当时，，解得或，则， ∴； 设， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大， 此时，即点Q的坐标为． 【变式13-1】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，已知二次函数的图象过点，． (1)求此二次函数的解析式； (2)若二次函数图象与x轴的另一个交点为B，在抛物线上存在一点P，使的面积为10，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与面积等知识． （1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，把，代入二次函数中，求出b、c的值，即可得到函数解析式是． （2）求出A、B两点坐标，得到的长，再设，根据的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标： 【详解】（1）解：∵二次函数过点，， ∴， 解得． ∴二次函数的解析式为． （2）解：∵当时，， 解得：，． ∴，． ∴． 设， ∵的面积为10， ∴， 解得：． 当时，， 解得：或2． ∴或． 当时，，方程无解． ∴或． 【变式13-2】（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； (3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，请直接写出的面积的最大值．（直接写答案，不需要过程） 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)的面积的最大值为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）点关于对称轴的对称点为点，当对称轴与直线交于点时，的值最小，将抛物线的对称轴代入直线的解析式即可； （3）作轴交直线于点，设，则，再得，根据铅直法得，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 把，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为， 点关于对称轴的对称点为点，当对称轴与直线交于点时，的值最小，如图，， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 把代入，得， ； （3）解：如图，作轴交直线于点， 由（2）知，直线的解析式为， 设，则， ， ， ， 当时，． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，面积问题．对于求最小值问题，则考虑用对称性，转化为“两点之间线段最短”来解决，在坐标系中求三角形的面积最值问题，通常用铅直法计算三角形的面积，再根据二次函数的最值来解决． 【变式13-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)或 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先求出面积最大值时点的坐标，由平移可知，分类讨论，当向左平移时，直线，据此求出直线解析式，即可得点坐标；当向右平移时，则与第一种情况的直线关于直线对称，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 题型十四 角度问题（二次函数综合） 【例14】（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，抛物线经过两点，与轴交于点为直线上方抛物线上一动点，且于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，求线段长度的最大值； (3)如图2，设的中点为，连接，是否存在点，使得？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与几何，正确画出辅助线是解题的关键． （1）利用两点式求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，设，则，得到，即可解答； （3）过点作，交的延长线于点，过点作轴，垂足为，可得，再证明，求得点坐标，求得解析式，联立方程即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：关于，令，则， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 如图1，过点作轴交于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，对称轴， ∴当时，取最大值，最大值是． （3）解：存在． ∵点为的中点， ∴， 过点作，交的延长线于点，过点作轴，垂足为，如图2， ， ∴， ∴， ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（舍去） 所以点的横坐标为． 【变式14-1】（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是抛物线上的点且在直线的上方，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． (3)若是直线上方的抛物线上的点，连接，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据，，利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，先求出的长，根据列式，再利用二次函数的性质求解即可； （3）先求出，再过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点，证出，，则可得点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立即可得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过，， ， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点， 直线与抛物线交于两点， ，解得，， 当时，， 当时，， ，， ， 设点，的面积为，则点， ， 则， 即， ， 当时，S取得最大值为， 则， 当点时，的面积最大为； （3）解：当时，，解得，， ，则， 如图，过点作的垂线并取点（在直线的上方），使得，过点作轴于点，过点作轴于点，连接交抛物线于点， ， ，，则， ，轴，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 则， ， 设直线的解析式为，代入，， ，解得， ， ， 点是满足条件的点， ，解得（舍去），， 当时，， ． 【变式14-2】（25-26九年级上·山东威海·期末）抛物线（）与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，若点为抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，点，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当点在轴上方，点；当点在轴下方，点 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题． （1）根据题意先求得，进而可得，根据对称性可得，待定系数法求解析式，即可求解； （2）当点M在x轴上方，设交轴于点，证明得出，待定系数法求得直线的解析式，联立抛物线解析式求得的坐标；当点M在x轴下方，同理可得的解析式为，再联立抛物线解析式求得的坐标，即可求解； （3）过点作轴于点，根据得出，进而设，解方程得出，即可求解． 【详解】（1）解：当时，，则 ∴ ∵ ∴， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴ 将，代入 ∴ 解得： ∴ （2）解：如图，当点M在x轴上方，设交轴于点， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴，则 设直线的解析式为，代入，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴点 当点M在x轴下方，同理可得的解析式为 联立 解得：或 ∴ （3）解：如图过点作轴于点， ∵ ∴ 又∵ ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） 当时， ∴ 【变式14-3】（26-27九年级上·四川成都·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）先求出直线的解析式，证明为等腰直角三角形，则，设，则，可得，即可求解； （3）分两种情况：当点Q在上方时， 当点Q在下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 当时，取得最大值，此时点，的面积最大，最大值为； （3）解：存在． 当点Q在上方时，作点关于y轴的对称点，过点B作交抛物线于点Q，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，此时点Q符合题意， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为； 当点Q在下方时，作点，直线与抛物线交于点， 同理直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 题型十五 特殊三角形问题（二次函数综合） 【例15】（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度最大，最大值是 (3)或或或或． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出直线的解析式为，可得点，从而得到，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，分五种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，线段的长度最大，最大值是， （3）解：由（1）得：点， 设抛物线的对称轴为直线l， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴可设点， 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图， 此时点Q在的垂直平分线上， ∴点Q的纵坐标为， ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 【变式15-1】（26-27九年级上·新疆·阶段检测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M的坐标是或 【分析】（1）先求出点坐标，再设交点式求解即可； （2）过点N作轴交直线于点P，设，则，表示出，再由建立起面积的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解； （3）设，①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解；②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； （2）解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∵ ∴当时，的面积最大，为． （3）解：存在． 设， ①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或． 【变式15-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴相交于两点．在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】或 【分析】根据题意可得，设，则，可求出，，则可得到 方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：轴于点Q， ， 是等腰直角三角形， ； 点P在抛物线上， ∴设，则， ∴； 在中，当时，， 解得或， ∴， ∴， ∴， 或， ∴或 当时，解得或（舍去）， ∴此时，即点P的坐标为； 当时，解得或（舍去）， ∴此时，即点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【变式15-3】（25-26九年级上·上海静安·期末）已知平面直角坐标系（如图所示），抛物线的顶点为，与轴交于点，直线． (1)求证：抛物线的顶点在直线上． (2)如果抛物线与直线除点外，同时还经过另一点，已知点，连接、交于点，连接． ①试说明：； ②当为等边三角形时，求的值及的正弦值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴顶点， 把代入直线，得， ∴抛物线的顶点在直线上； (2)①证明：令，得， 即， ∵， ∴， 解得，， ∴， 把代入，得， ∴， 连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； ②， 【分析】（）把函数解析式转化为顶点式，求出顶点的坐标，进而代入一次函数解析式即可求证； （）①求出点和点坐标，连接，可得，即得，进而即可求证；②由点和点坐标可得，进而由等边三角形和平行线的性质得到，，又由点、得，由锐角三角函数得，即得，得到，再分和两种情况，分别画出图形，根据正弦的定义解答即可求解； 本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的几何应用，锐角三角函数等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）①略 ②∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， 当时，，， 如图，过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，则， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当时，，， 如图，过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，则， 同理可得； 综上，，． 题型十六 特殊四边形问题（二次函数综合） 【例16】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，点的坐标为 (2)①②点P的坐标为或或 【分析】（1）将A点和B点坐标代入表达式，解二元一次方程组即可得到抛物线的表达式，将表达式化为顶点式，就可以得到D点的坐标； （2）①先求出点C和点P的坐标，再求出所在直线的表达式，过点P向x轴作垂线交于点E，数形结合，写出面积的表达式即可得到结果； ②利用平行四边形的性质求解，进行分类讨论，为对角线时，点B和点D的中点坐标也是点P和点Q的中点坐标；为边时，且，设和所在直线的表达式为、，则，再分别求出和，联立求解即可 ． 【详解】（1）解：，两点在抛物线的图象上， 将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； ∵， 点的坐标为； （2）解：①过点P向x轴作垂线，交于点E，如下图所示： 在中，当时，， 抛物线与y轴交于点C， 点的坐标为， 设所在直线的表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 所在直线的表达式为， P点在抛物线的图象上，P点的横坐标为m， 点的坐标， ∵在中，当时，， ∴， ， ， 的最大面积是； ②设，， 点B、D、P、Q构成的四边形是平行四边形， 分为以下两种情况进行讨论： 第一种：以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分的性质进行求解：中点的坐标为，则的中点坐标也为， ，， 解得：，， 的坐标为； 第二种：以为边，根据平行四边形对边平行且相等的性质进行求解，即，， 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． ， ， 即， 得：， ∵，， 又， ， 解得：， 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【变式16-1】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2) (3)符合条件的点有三个，坐标为：，， 【分析】（1）先推导出，再根据待定系数法进行求解即可； （2）先求出，即，根据三角形的内角和求出，推导出，得到，可推导出是等腰直角三角形，求出，继而求出直线解析式是，联立直线与抛物线，求出点D的横坐标，再求出，即可解答； （3）分类讨论：当为对角线和菱形边时，利用直线与x轴成角关系建立关于P的横坐标的方程，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时， ， 解得， ∴，即， ∵，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 设直线解析式是，把，分别代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是， 联立直线与抛物线：，得 ， 解得（点B，舍去），， 将代入，得 ， ∴； （3）解：设直线解析式是， 把，代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是． ①当为菱形的对角线时，如图2， 设，则， ∴， ，四边形是菱形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即轴， ∴， ， 解得（不合题意舍去）或， 此时， ． ②当为菱形的边时，如图， 作于点H，   设，则， ∴，， ， ∴． ∴ 解得：，，（不合题意舍去）． 或． ∴，， 如图所示， 综上所述，符合条件的点有三个，坐标为：，，． 【变式16-2】（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 【变式16-3】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴正半轴交于另一点A，点B在抛物线上，点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以为对角线作矩形，垂直于y轴． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出m的取值范围； (3)当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值； (4)当矩形为正方形时，直接写出m的值． 【答案】(1)， (2)且 (3)或或或 (4)或 【分析】（1）将原点O，点B代入解析式中求解，即可得到抛物线的解析式，再将其化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标； （2）根据抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，结合点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以及垂直于y轴，画出草图，推出满足题干条件的临界点，利用数形结合进行分析，即可解题； （3）根据二次函数解析式得到，再分两种情况，当点在点的上方时，当点在点的下方时，结合矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2，建立方程求解，即可解题； （4）由（3）可知，根据矩形为正方形，得到，据此建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线经过原点O，点B在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m， 又以为对角线作矩形，垂直于y轴，且抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，如图： 则当M在C上方时满足条件， 当点重合时，为满足题干条件的临界点， 当时，有， 解得， 此时，， 当且时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升； （3）解：点M横坐标为m， ， 当点在点的上方时， 矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2， ， 解得或； 当点在点的下方时， 矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2， ， 解得或； 综上，当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，m的值为或或或； （4）解：由（3）可知， 矩形为正方形， ， ，即 或， 解得或（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）， 综上，当矩形为正方形时， m的值为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，矩形的性质，坐标与图形的性质，正方形的性质，数形结合是解答本题的关键． 题型十七 二次函数与一元二次方程 【例17】（26-27九年级上·全国·课后作业）若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题需要结合抛物线的图像与性质和一元二次方程根的判别式来分析，由题意得出抛物线顶点与轴的位置关系，即可判断方程根的情况． 【详解】解：抛物线开口向上，顶点为其最低点． 顶点在第一象限， 顶点的纵坐标大于，即抛物线的最低点在轴上方． 抛物线与轴无交点． 方程无实数根． 故选：C． 【变式17-1】（26-27九年级上·全国·单元测试）根据下表可知，方程的一个解的取值范围为（     ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程的解理解为函数当时与x轴交点的横坐标，再解答即可． 【详解】解：∵对于函数， 当时， 当时， 可见，x取1.1与1.2之间的某一值时，， 则方程的一个解的取值范围是． 【变式17-2】（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项C符合， 故选：C． 【变式17-3】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（    ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A．1.12 B．1.26 C．1.38 D．1.45 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点， ∴方程有一个根约为． 故选：C． 题型十八 二次函数与不等式 【例18】（23-24九年级上·云南昆明·期中）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根此题考查了二次函数的图象，据，则函数图象在轴的下方，所以找出函数图象在轴下方的的取值范围即可，利用了数形结合的思想，准确识图是解题的关键． 【详解】由图象可知，当时，函数图象在轴的下方，， 故选：． 【变式18-1】（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 【变式18-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤若m为任意实数，则．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 根据抛物线的开口向下得到，结合抛物线的对称轴直线为，得到，根据抛物线的对称轴直线为， 且抛物线与x轴的一个交点坐标为得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，当时，，得到，根据函数图象可知，在范围内，，将代入函数解析式得到该函数的最大值，再将代入函数解析式，从而得出结论即可． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 抛物线的对称轴直线为， ∴， ，故①正确； 抛物线的对称轴直线为， 且抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 方程的两个根是，，故②正确； 当时，， ， ，即，故③错误； 由于抛物线开口向下，且与x轴两交点的坐标为与， 结合图象可知，当时，，故④错误； 由得， 当时，抛物线最大值为， 当时，， 则对于任意实数m，总有，故⑤正确， 综上所述，正确的应该为①②⑤， 故答案为：C． 题型十九 图形问题（实际问题与二次函数） 【例19】（26-27九年级上·湖北·期中）用一条的绳子围成一个矩形，矩形的面积可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设矩形一边长为，再结合周长表示另一边长，从而得到面积的二次函数表达式，接着配方求出矩形的最大面积为，根据面积不能超过最大值，对比选项选出答案． 【详解】解：设这个矩形的一条边长为，面积为， ∵这个矩形的周长是， ∴另一边长为：， ∴， ∵， ∴当为时，矩形面积最大，最大面积为：， ∴， 选项C ：，符合题意． 【变式19-1】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，正方形的边长为2，点分别在边上，，设，五边形的面积，则关于的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，进而可得，再观察图形可得五边形的面积正方形的面积三角形的面积，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴五边形的面积正方形的面积三角形的面积 ， ∵正方形的边长为2，， ∴ 解得， ∴x的取值范围为． 【变式19-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为，根据题意得，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为． 【变式19-3】（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． 设米，则米，表示出矩形场地的面积，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：如图，设米，则米， ，墙长为25米， ， 解得， 令矩形场地的面积为， ， 所以当时，有最大值， 即围成矩形场地的最大面积是， 故选：B． 题型二十 动态几何问题（实际问题与二次函数） 【例20】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过A点作于H，利用等腰直角三角形的性质得到，，分类讨论：当时，如图1，易得，根据三角形面积公式得到；当时，如图2，易得，根据三角形面积公式得，于是可判断当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：过A点作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，故B选项符合题意． 【变式20-1】（2026·浙江温州·二模）如图1，在正方形中，是边上一点，动点从处出发沿向目的地运动，同时动点从处出发沿向目的地运动，它们同时到达终点．设为（单位：），的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示，当点在线段上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设正方形边长为，根据动点从到的路程为、动点从沿到的路程为且二者同时到达终点，得出的速度是的倍，即的运动路程为；再分三段讨论的运动位置：当在上运动时，写出的面积表达式，代入、求出的长度，即可判断选项；当在上运动时，写出对应的面积表达式，代入、和已求得的，求出正方形边长，即可判断选项B；当在上运动时，此时在线段上，写出面积的二次函数表达式并化为顶点式，得到顶点坐标即该时段函数图象的最高点，即可判断选项C和D． 【详解】解：设正方形边长为，则动点从到的路程为，动点从沿到的路程为， ∵二者同时到达终点， ∴点的速度是点的倍，即的运动路程为， 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 的面积， 将，代入，得 ， 解得， ∴选项A正确，该选项不符合题意； 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 的面积， 将，，代入，得 ， 解得，即正方形边长， ∴选项B正确，该选项不符合题意； 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 此时在线段上，， 的面积， 这是开口向下的二次函数，顶点坐标为， ∴，， ∴选项C正确，该选项不符合题意； 选项D错误，该选项符合题意． 【变式20-2】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在中，，，，点D是边上一动点（不与A、B重合），沿着运动，过点D作交于点E，作交于点F，设，的长为x，能反映y与x之间函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点作于点，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，设，则，，根据勾股定理得到，证明四边形是矩形，得到，可知． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 在中，，，， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形， ， ． 【变式20-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图①，在四边形中，，，，，点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C，点Q同时从点C出发沿以的速度匀速运动至点B，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，的面积为，图②是点P，Q运动时，y随时间x变化的函数图象，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，二次函数的动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，观察图①和图②，当点P运动到点A时，运动时间为2秒，则，结合观察图①和图②，当点P运动到点D时，运动时间为秒，得，根据点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C，则，在秒时，则，，最后求出当时，或，即可作答． 【详解】解：理解题意，观察图①和图②，当点P运动到点A时，运动时间为2秒， ∵点Q同时从点C出发沿以的速度匀速运动至点B， ∴， ∵的面积为， ∴， 故C选项不符合题意； 观察图①和图②，当点P运动到点D时，运动时间为秒， ∵点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C， 则， 故A选项不符合题意； 观察图①和图②，当点P运动到点D时，运动时间为秒， ∵点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C， 则， 故B选项符合题意； 当时， 则 ∴， 在秒时，则， ∴， 令，则， 整理得， 解得，（舍去） 综上：当时，或， 故D选项不符合题意， 故选：B． 题型二十一 拱桥问题（实际问题与二次函数） 【例21】（2026·甘肃平凉·二模）如图1是某地的一座桥塔，它的外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，A、B为该抛物线桥塔与桥面所在平面的两个交点（点A与点B关于该抛物线的对称轴对称），点O在的延长线上，以所在直线为x轴，抛物线所在平面内过点O且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式，若点P在抛物线上，且在对称轴的右侧，点P到x轴的距离为，则点P到y轴的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定抛物线的对称轴为直线，解方程，结合已知求解即可； 【详解】解：因为抛物线关系式为， 所以抛物线的对称轴为直线， 因为点P在抛物线上，且在对称轴的右侧， 所以点P的横坐标大于32， 因为点P到x轴的距离为， 所以， 整理，得， 解得，24小于32，24舍去； 故点P到y轴的距离为； 【变式21-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 【答案】 【分析】抛物线对称轴为轴，由，水平距离为8米，可得点横坐标，代入解析式即可求出点纵坐标，即所求距离． 【详解】解：抛物线关于轴对称，，在抛物线上同一高度且水平距离为米， 点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 警示灯离水面的距离为米． 【变式21-2】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，一座抛物线形拱桥，拱顶离水面，水面宽． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的解析式； (2)若水面上涨，此时水面宽是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据抛物线顶点坐标设顶点式，再代入点求出解析式； （2）根据新的纵坐标，求出对应横坐标即可求出此时的水面的宽度． 【详解】（1）解：以水面中点为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，如图， ∴抛物线过，顶点为， 设抛物线的解析式为，将代入，得 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：水面上涨，令，得 ， 此时水面宽是． 【变式21-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 【答案】货船不能顺利通过这座桥，理由如下： 当时，即， 解得，． ，且， 货船不能顺利通过该桥． 【分析】根据题意，当时，可得方程，再解方程，即可得出结论． 【详解】略 题型二十二 销售问题（实际问题与二次函数） 【例22】（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元． (1)每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 【答案】(1)每件商品售价为34元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1960元． (2)每件商品的售价定为32元时，每个月的利润恰好是1920元． 【分析】（1）设每件商品售价上涨元，则每个月少卖件，每月的利润为元，利用每月的利润单件的利润销售件数，列关于的二次函数，运用配方公式化简最值函数形式即可求出最大利润以及每件的售价． （2）根据第一问所求的利润代数式，将第二问的利润代入，利用因式分解解一元二次方程，再结合未知数取值范围，确定最终的商品的售价． 【详解】（1）解：设每件商品售价上涨元，则每个月少卖件，每月的利润为元， ， ， ， 每件售价不能高于35元， ， ， ， ， 时，最大利润为1960元， 售价为元时，最大利润为1960元． （2）解：利润是1920，由（1）可知，， ， ， ， ， ，， 由（1）可知，， （舍去）， ， 售价为元时，每个月的利润是1920元． 【变式22-1】（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1)该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． (2)该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 【分析】（1）设平均月增长率为未知数，根据4月销量与6月销量的数量关系列一元二次方程求解． （2）以售价为自变量，月销售利润为因变量，结合销量与售价的变化关系构建二次函数，利用二次函数的性质求最大值对应的售价． 【详解】（1）解：设该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，根据题意， 得， 整理得， 解得，， ∵月增长率为正数， ∴不符合题意，舍去． 答：该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为每个元，月销售利润为元．单个头盔的利润为元． ∵售价每上涨2元，月销售量减少1个，当售价为400元时月销量为60个， ∴月销售量为个， ， 解不等式组得， 根据题意，得． ∵， ∴抛物线开口向下，当时，取得最大值．将，代入，得， ∵， ∴该售价符合实际销售的取值范围． 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个410元时，月销售利润最大． 【变式22-2】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）现在，租赁汽车已成为外出旅行时的一种重要的交通方式．某租赁公司拥有辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共元．当每辆车的日租金为元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加元，未租出的车将增加辆．设该租赁公司每日租出辆，其日收益为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ (3)试说明该租赁公司的日收益能否为元？ 【答案】(1)（且为整数） (2)每日租出辆时，租赁公司日收益最大，最大收益为元 (3)根据题意，当租赁公司的日收益为元时， ， 解得，， 为非负整数， 或均不符合题意， 租赁公司的日收益不能为元． 【分析】（1）根据日租金收入每辆车的日租金日租出车辆的数量，日收益日租金收入平均每日的各项支出，据此可求函数关系式； （2）根据 二次函数的性质进行求解即可； （3）令租赁公司的日收益为元，列方程求解，并由为正整数，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：． 即与之间的函数关系式为（且为整数）； （2）解：在中，，， 当时，取最大值，最大值是， 每日租出辆时，租赁公司日收益最大，最大收益为元． （3）略 【变式22-3】（26-27九年级上·河南郑州·开学考试）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 成本核算 (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立 (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，则每件A品的利润为_______元，A品的销量为_________件，每件B品的利润为______元，B品的销量为______件，求总利润关于A品涨价后的售价的函数解析式． 方案设计 (3)若，当总利润最大时，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】(1)制作一件A品的成本为元，制作一件B品的成本为元． (2)每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件；总利润关于的函数解析式为（）． (3)当制作并销售A品件、B品件时，总利润最大． 【分析】（1）设制作一件A品的成本为元，则制作一件B品的成本为元，根据用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等列方程并解方程即可得到答案； （2）设销售A品和B品的总利润为元，A品涨价后的售价为元/件，根据题意列出代数式和函数解析式即可； （3）根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设制作一件A品的成本为元，则制作一件B品的成本为元， 解得 经检验是分式方程的解且符合题意， ， 答：制作一件A品的成本为元，制作一件B品的成本为元． （2）解：每件A品的利润为元，A品的销量为件，每件B品的利润为元，B品的销量为件； 总利润关于的函数解析式为（）． （3）解： ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 此时A品的销量为件，B品的销量为件． 题型二十三 投球问题（实际问题与二次函数） 【例23】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）大庆市中考掷实心球（男生）成绩及得分对照表如下表（满分分，球重）． 成绩（米） 及以下 及以上 得分 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师结合录像对小明投掷实心球的运动轨迹进行技术分析，得到下图，发现实心球在行进过程中高度与水平距离之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩得分是__________ 分． 【答案】 【分析】将代入抛物线解析式，求出正根后与表格对比，即可求出得分． 【详解】解：将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）， ∵， ∴小明此次投掷的成绩得分为分． 【变式23-1】（26-27九年级上·广东·阶段检测）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据可知当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，然后将点代入二次函数解析式即可求出的值． （2）根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间，然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合已知条件列出方程求解并进行取舍即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得：， 解得． （2）解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况：①当对称轴时，即， 当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， ②当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） ③当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得(舍去)或． 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得（舍）或（舍）． 综上：或． 【变式23-2】（26-27九年级上·广东·单元测试）如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台的长约为，球网在球台的中点处（点A是的中点），球网的高度约为，发球点的高度为，当乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，，．设乒乓球距离发球点C的水平距离为，乒乓球距离球台的竖直高度为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线． (1)求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网并落在球台上），并说明理由． 【答案】(1) (2)乒乓球发球器此次发出的球无效， 由题意可知点A的横坐标为1.4， 当时，， ， 乒乓球越过了球网． 令，则， 解得（舍去），． ， 乒乓球没有落在球台上． 综上可得乒乓球发球器此次发出的球无效． 【分析】（1）由乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，设抛物线的函数表达式为，由发球点的高度为，得点C的坐标为，代入解方程求出a值即可． （2）先求得时的y值，可判断是不是越过球网；再求得时的x值，可判断是否落在球台上，进而可判断是否有效． 【详解】（1）解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，点C的坐标为． 设抛物线的函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， 乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式为（或）． （2）略． 【变式23-3】（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）爱思考的小丽在观看排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究． 【素材】经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，发球时，排球的击球高度为． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 测得小宛某次发球时排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x的几组数据如上表，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 【解决问题】 (1)①请在下图坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x近似满足的函数关系式； (2)通过计算，判断小宛这次发球能否过网，是否出界，并说明理由． 【答案】(1)①如图所示： ②； (2) 这次发球能过网，不会出界，理由如下： 小宛这次发球是站在点， 发球点到球网水平距离为， 当时，， 当时，， 解得或（舍去）， ， 这次发球能过网，不会出界． 【分析】（1）①根据图中描的点进行连线即可作出图象；②根据题意，设与的函数关系式为，将代入计算即可得到答案； （2）将代入抛物线解析式，求得值与比较，令解出与比较，然后可得到答案； 【详解】（1）①略 ②根据题意，设与的函数关系式为， 将代入，得， 解得，即， 将下表中数据： 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 代入检验，可知排球运动过程中的竖直高度与水平距离近似满足的函数关系式为； （2）略． 题型二十四 喷水问题（实际问题与二次函数） 【例24】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设抛物线解析式为，将与代入解析式，求得a的值，再令，求得y的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线解析式为， 由题意知，抛物线顶点坐标为，与x轴的一个交点坐标为， ， 解得， ， 当时，， 水管的长度是． 【变式24-1】（26-27九年级上·全国·单元复习）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】根据关系式可知抛物线开口向下，再求出对称轴即可． 【详解】解：，， ∴当时，水火箭达到最高点． 【变式24-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为．一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动________的距离才能击中昆虫． 【答案】或 【分析】首先确定原始抛物线的解析式为，设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫，得到平移后的抛物线解析式为，把代入解析式求解即可． 【详解】解：根据题意，得y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为， 故抛物线的解析式为， 由抛物线经过原点， ， 解得， 故抛物线的解析式为． 当时，， 故点不在抛物线上， 设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫， 故平移后的抛物线解析式为， 把代入解析式，得， 整理，得， 或， 解得或， 故需要水平向右游动或的距离才能击中昆虫． 【变式24-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长应为多少？ 【答案】 水管的长应为 【分析】建立平面直角坐标系，根据抛物线顶点坐标设顶点式解析式，代入落地点坐标求出系数，计算时的函数值即为水管长度． 【详解】解：以池中心为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系 由题意得，抛物线的顶点坐标为，且过点 设抛物线的解析式为（） 将代入解析式，得 解得 ∴抛物线的解析式为（） 当时， 答：水管的长应为． 题型二十五 增长率问题（实际问题与二次函数） 【例25】（25-26九年级上·全国·课后作业）最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是掌握增长率的公式． 已知初始值、年均增长率和增长年数、最终量，利用增长率模型公式即可求解． 【详解】解：由题意，年的市场规模为亿美元，年均增长率为，经过2024年和2025年共两年的增长． 第一年（年）：市场规模增长到． 第二年（年）：在第一年的基础上再增长，即． 因此，年的市场规模与年均增长率的函数关系为， 对应选项C． 其他选项中，A未包含初始值，B和D的表达式不符合增长率模型公式，故排除． 故选：C． 【变式25-1】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 【变式25-2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式的知识，从9月到11月经过两个月，每月增长率为x，因此11月资金是9月资金乘以的平方． 【详解】解：9月份投入资金为20万元，每月增长率为x，则10月份投入资金为万元，11月份投入资金为万元， 故． 故答案为：． 【变式25-3】（26-27九年级·上海·暑假作业）某工厂第一年的利润为万元，第三年的利润万元与平均年增长率之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______． 【答案】 （或） 【详解】解：由题意可知第一年的利润为万元； 第二年的利润为万元； 第三年的利润为万元， 则（或）； 由于利润呈增长状态，因此增长率为正，即． 题型二十六 其他问题（实际问题与二次函数） 【例26】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】C 【分析】将高度函数整理为二次函数一般式，结合开口方向，通过对称轴公式计算最高点对应时间. 【详解】解：， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，顶点处取得最大值. 将，代入，得. 【变式26-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后到滑行停下来，滑行的时间是______，飞机滑行的距离是______． 【答案】 【分析】飞机滑行到停止时滑行距离达到最大，对二次函数配方求顶点，即可得到停止时的滑行时间和总滑行距离． 【详解】解：将函数解析式整理配方，， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∴当时，取得最大值，此时飞机停止滑行， 即飞机着陆后停下来滑行的时间是，滑行的总距离是． 【变式26-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状可视为一条抛物线．如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1米，并且相距4米，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小冬拿绳子的手的坐标是，身高米的小丽站在绳子的正下方，且距y轴1米时，绳子刚好经过她的头顶．若身高米的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m米，为确保绳子超过他的头顶，求m的取值范围． 【答案】 【分析】依据题意，设解析式为，再由小丽头顶的坐标，且过，求出a，k，最后令，求出x，进而表示出m的范围． 【详解】解：由题意，可知对称轴是：直线， 设抛物线的解析式为， 又由小丽头顶的坐标，且过， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴m的取值范围为． 【变式26-3】（26-27九年级上·福建福州·开学考试）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】(1) 与的函数关系式为（，且为整数）；当时，该充电站的收入为2000元 (2) 收支平衡时的值为20或100 (3) 解：符合条件的值为60 理由如下： 设净收益为元，由题意得 ， ∵ ， ∴ 该二次函数开口向下，在顶点处取得最大值， ∵ 当时净收益取得最大值， ∴ 顶点横坐标为80，即， 解得. 【分析】（1）根据正比例函数定义设解析式，代入表格中一组对应值求出比例系数，再将代入解析式计算收入； （2）根据收入等于成本的等量关系列一元二次方程，求解得到符合实际意义的根； （3）先根据净收益的定义列出二次函数表达式，结合二次函数最大值在顶点处的性质，利用顶点横坐标列方程求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 将，代入得， 解得， ∴（，且为整数）， 当时，（元）. （2）解：由题意得，收支平衡时， 即， 整理得， 因式分解得， 解得，， 均为正整数，符合实际意义； （3）解：略． 学科网（北京）股份有限公司 $