第26章《二次函数》 期中复习讲义——考点 2：二次函数的图象与性质 2026--2027学年人教版九年级数学上册

人教版九上数学 · 期中复习讲义系列 人教版新版数学 · 九年级上册 · 期中复习讲义系列 人教版九上 第 26 章｜二次函数——考点 2 二次函数的图象与性质 ——人教版九年级上册《二次函数》· 期中复习系列—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·开口与顶点·对称轴·增减性·平移规律·待定系数求解析式 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆～★★★★ 阶梯递进 限时 40 分钟 / 考前逐一过关 使用说明 本资料为人教版九年级上册第 26 章考点 2《二次函数的图象与性质》期中复习讲义，共 24 题，全部选自 2025、2026 年考试真题（期中、期末、月考、模拟、单元测试、中考等网络试卷原题），每题题干均注明时间与出处；题面、答案与详解已逐题核对。 全卷按题型分层编排：选择题 7 道、填空题 9 道、解答题 8 道；例题组（2 选＋2 填＋2 解）、变式组（3 选＋3 填＋4 解）、拔高组（2 选＋4 填＋2 解），每组均含选择、填空、解答三种题型并按选→填→解排列。 全卷限时 40 分钟完成：例题组约 12 分钟、变式组约 13 分钟、拔高组约 15 分钟；也可分三课时使用——例题教师精讲、变式限时独立完成、拔高供学有余力的学生冲刺。 图象与性质是期中卷占分最重的主干考点：顶点坐标与对称轴稳定出现在选择填空，增减性与平移规律是中档题常客，待定系数求解析式与对称等值是区分度所在——先配方、再读性质、最后验平移方向，是本考点答题的主线。 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式。 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对。 本考点与人教版九上第 26 章 26.1.2 节对齐（★☆～★★★★），六条主线：一开口与对称轴——a 的符号定开口方向，x＝ 定对称轴；二顶点与增减性——配方三步化顶点式，对称轴两侧定增减；三平移规律——左加右减、上加下减；四待定系数——三点定一般式、顶点加一点定顶点式；五对称等值——对称轴两侧等距点函数值相等；六图象信息与综合——由图读系数符号、结论判断与交点面积。 PART 01 考点 2 知识主线与考点速览（6 大主线） 主线： 1.二次函数的图象与性质（开口方向与对称轴——a 定开口、x＝ 定对称轴； 2.顶点与增减性——配方三步化顶点式、对称轴两侧定增减； 3.平移规律——左加右减、上加下减； 4.待定系数求解析式——三点定一般式、顶点加一点定顶点式； 5.对称等值——对称轴两侧等距点函数值相等； 6.图象信息与综合——由图读系数符号、结论判断、交点面积）。 一、开口方向与对称轴——a 定开口方向， 定对称轴 ◆ 开口方向与对称轴：y＝a＋bx＋c 中，a＞0 时开口向上、图象有最低点；a＜0 时开口向下、图象有最高点；｜a｜越大开口越小。一般式的对称轴是直线 x＝，顶点式 y＝a＋k 的对称轴是直线 x＝h——直读对称轴先看形式：一般式用公式、顶点式直读 h，两套办法都要熟。 ◆ 坐标轴交点：与 y 轴的交点令 x＝0，得 (0，c)；与 x 轴的交点令 y＝0，解一元二次方程。对称轴两侧图象关于对称轴对称——x 轴上两交点 (，0)、(，0) 连线的中点恰在对称轴上，即 ＋＝2×对称轴。交点题第一步先分清『令 x＝0 还是令 y＝0』。 二、顶点坐标与增减性——配方定顶点，对称轴两侧定增减 ◆ 顶点与增减性：配方三步走——提出二次项系数、配上一次项系数一半的平方、补回多减的常数，得 y＝a＋k，顶点为 (h，k)。增减性由 a 的符号与对称轴共同决定：a＞0 时在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小、右侧增大；a＜0 时相反——开口向上『左减右增』，开口向下『左增右减』。 ◆ 顶点公式与防错：顶点坐标为 (，)——公式法快但易错在符号，b 为负数时负负得正别丢；配方法则步步可见。做题优先配方、公式法快验；答对称轴必须写『直线 x＝…』，答增减性必须带上『在对称轴左（右）侧』的前提，不带前提的答案是残缺答案。 三、平移规律与待定系数——左加右减、上加下减，条件分工定系数 ◆ 平移规律：抛物线平移口诀『左加右减、上加下减』——向左（右）平移 m 个单位，把 x 换成 x＋m（x－m）；向上（下）平移 m 个单位，k 加（减）m。一般式必须先配方化成顶点式再平移；逆向平移题把图象『倒回去』逐次还原。平移不改变开口方向与大小——a 不变，动的只是 h 与 k。 二次函数考点速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 主线 1 开口与对称轴 a 定开口 · x＝ 定轴 性质直读题 b 的符号看错 主线 2 顶点与增减性 配方三步走 · 两侧定增减 顶点、增减性设问 增减性不带前提 主线 3 平移规律 左加右减 · 上加下减 平移后解析式 方向记反 主线 4 待定系数 三点定一般式 · 顶点加一点 求解析式 条件重复使用 主线 5 对称等值 ＋＝2×对称轴 等值点、对称点 和与距离搞混 易错警示 先化顶点式再平移 · 对称轴带『直线』 综合题失分点排查 一般式直接平移 ◆ 待定系数求解析式：一般式 y＝a＋bx＋c 三个待定系数，通常给三个点；顶点式 y＝a＋k 给顶点（或对称轴）再给一点即可。条件各有分工：点 (0，c) 直接给常数项，对称轴 x＝ 给出 b 与 a 的关系——先翻译条件再解方程，多余条件用作检验。 四、对称等值与图象信息——等距等值、由图读系数与结论判断 ◆ 对称等值：对称轴两侧到对称轴等距的两点函数值相等——若 、 处函数值相等且 ≠，则两点关于对称轴对称，＋＝2×对称轴；y＝a＋k（缺一次项）的对称轴是 y 轴，等值点横坐标互为相反数——这类题不解方程、只用对称性。 ◆ 图象信息题：由图象读系数符号——开口方向定 a，对称轴位置定 b（b＝－2a×对称轴），y 轴交点定 c；判断 y(k) 的符号看 k 相对两根的位置——两根之间与 a 异号、两根之外与 a 同号；含顶点条件先化 y＝a＋k 再展开对照系数；含参抛物线 y＝＋m＋1 的顶点 (m，m＋1) 随参数移动，先用参数表示顶点坐标再按象限符号讨论；抛物线与两坐标轴的交点围成三角形，底取 x 轴上两交点间的距离，高取 y 轴交点纵坐标的绝对值。 ◆ 考场策略：顶点、对称轴题先配方再读数，公式法只作快验；增减性题开口方向与对称轴一起看，答句带前提；平移题先化顶点式再动 x 与 k；求解析式题设式→代点→解方程→回代检验四步走；对称等值题先想『等距等值』再动笔；顶点象限题把顶点坐标用参数表示后按象限符号列不等式组。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 二次函数的图象与性质是人教版九上第 26 章的主干考点，也是期中卷占分最重的一块：顶点坐标与对称轴稳定出现在选择填空，增减性与平移规律是中档题常客，待定系数求解析式与对称等值是区分度所在。 性质类设问全部围绕三要素展开——开口方向、对称轴、顶点坐标：a 的符号定开口与升降，对称轴把图象分成增减两段，顶点是升降的转折点。配方把一般式化为顶点式，是读出三要素的通用钥匙。 平移与待定系数是性质的两大应用：平移口诀『左加右减、上加下减』只动 x 与 k、不动 a；待定系数法按条件分工——点定一个方程、对称轴给出 b 与 a 的关系，设式、代点、解方程、回代检验四步走。 对称性是图象最深的一条性质，也是区分度来源：对称轴两侧等距点函数值相等，等值点横坐标之和等于两倍对称轴——用对称性判断点的位置、计算函数值，比硬解方程又快又稳。 答题方法（三步法） 第一步·定形式：看清解析式是一般式还是顶点式——一般式配方三步化为 y＝a＋k；顶点式直接读出对称轴 x＝h 与顶点 (h，k)。与坐标轴交点先分清令 x＝0 还是令 y＝0。 第二步·读性质：按 a 的符号答开口与升降——开口向上左减右增、开口向下左增右减，答句带上『在对称轴左（右）侧』的前提；平移按『左加右减、上加下减』改写 x 与 k；求解析式先设式（顶点式或一般式）再代点解系数。 第三步·验作答：解出系数后回代已知点检验；对称等值用 ＋＝2×对称轴复核；答对称轴写『直线 x＝…』，答顶点写成坐标 (h，k)；实际情境题最后检验答案是否符合实际意义。 注意事项（易错警示） 配方的第一错点是漏提二次项系数：y＝2－8x＋5 必须先提出 2 再配方，括号内加减与括号外的补偿要配平，一步漏补全盘皆错；顶点公式 的分子是 －b，b 为负数时负负得正，符号错是高频失分点。 增减性设问必须带前提：『y 随 x 的增大而增大』要写成『在对称轴右侧（或左侧）时』，不带前提的答案是残缺答案；由增减性反求参数范围时，看清给定区间是整段落在单调侧还是跨对称轴——『整段』决定取 ≥ 还是 ＞，端点能否取到要单独想清楚。 平移方向最易记反：向右平移 m 个单位是把 x 换成 x－m（右减）；一般式必须先化顶点式再平移，直接在一般式上加加减减必错；逆向平移题把平移过程倒回去，每一步都取相反方向——先左右、后上下，顺序也要还原。 对称等值不要硬解方程：函数值相等的两点横坐标之和等于两倍对称轴，＋ 形式的整体直接用对称性计算；抛物线与坐标轴交点围成的三角形，底取 x 轴上两交点间的距离、高取 y 轴交点纵坐标的绝对值——底与高别取反。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 配方三步或顶点公式 抛物线 y＝… 的顶点坐标是 ★☆ ★☆ x＝ 或直读 x＝h 抛物线 y＝… 的对称轴是 ★☆ ★☆ 开口方向＋对称轴两侧 当 x 为何值时，y 随 x 的增大而增大 ★★ ★★ 左加右减、上加下减 平移后所得抛物线的解析式为 ★★ ★★☆ 设式→代点→解方程→检验 求这条抛物线的解析式 ★★ ★★ 等值点关于对称轴对称 函数值相等，则 … 的值为 ★★☆ ★★ 图象信息 由图象判断系数符号与结论正误 ★★☆ ★★☆ 命题边界：本考点只考二次函数的图象与性质——开口方向与对称轴；顶点坐标与增减性；图象平移规律；待定系数法求解析式（一般式三点、顶点式一点加顶点）；对称性与等值点；由图象读取系数符号与结论判断、交点面积等图象综合。给定区间上的最值讨论、二次函数与一元二次方程及不等式的联系、实际应用建模（销售、面积、抛物线形实物）属后续考点；解答题运算只到代入求值与配方展开层面。 PART 03 例题精讲（6 题）· 图象性质基础与中档 例题覆盖：配方法求顶点（选择）→ 图象信息判断（选择·带图）→ 对称轴与顶点（填空·嵌空）→ 平移规律（填空·嵌空）→ 化顶点式并读性质（解答）→ 待定系数求 b、c（解答）→ 变式覆盖配方化顶点式（选择）、图象信息判断·由图读系数符号（选择·带图）、增减性定参数（选择）、开口向上递增定参（填空·嵌空）、顶点式直读（填空·嵌空）、顶点定 h、k（填空·嵌空）、顶点式求解析式与验点（解答）、配方求对称轴与顶点（解答）、开口顶点平移综合（解答）、逆向平移（解答）→ 拔高覆盖图象信息四结论判断（选择·带图）、图象信息五结论判断（选择·带图）、双递减区间取交集（填空·嵌空）、图象信息五结论填空（填空·嵌空·带图）、实际情境顶点时刻（填空·嵌空）、正方形条件求参（填空·嵌空·带图）、平移过原点（解答）、顶点象限与交点面积（解答）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教配方法求顶点（选择）：提系数、配平方、补常数三步走，把 y＝2－8x＋5 化成 y＝2－3——顶点公式 可作快验； ◆ 例 2 教图象信息判断（选择·带图）：开口定 a、对称轴定 b、y 轴交点定 c，再由对称性补出隐藏交点——图上每条信息都翻译成代数式； ◆ 例 3 教对称轴与顶点（填空·嵌空）：一般式配方成 y＝－2＋3 后直读——对称轴直线 x＝1，顶点 (1，3)； ◆ 例 4 教平移规律（填空·嵌空）：左加右减、上加下减——向右 3 个单位把 x 换成 x－3，向上 1 个单位加 1； ◆ 例 5 教化顶点式（解答）：两小题分别配方，再按 a 的符号答开口、按顶点式答对称轴与顶点——第 (2) 小题提系数后注意常数补偿； ◆ 例 6 教待定系数（解答）：点 (0，3) 直接给 c＝3，对称轴 x＝2 给出 b＝－4，第三个条件 (1，0) 作检验——条件各有分工，不重复使用。 例 1　选择题 （2026-2027·人教版九上 26.2.3·达标测试）抛物线 y＝2－8x＋5 的顶点坐标是（　　） A．(2，－3)　　　B．(－2，－3)　　　C．(2，3)　　　D．(－2，3) 【答案】A 【解析】求顶点先配方：提出二次项系数 2，配上一次项系数一半的平方，再把多减的常数补回去——y＝2－8x＋5＝2－3，顶点为 (2，－3)。也可用顶点公式 x＝＝＝2 快验。B 是对称轴符号错、C 漏了配方补偿项、D 两处皆错。 【详解】y＝2－8x＋5 ＝2(－4x)＋5 ＝2(－4x＋4)＋5－8 ＝2－3， ∴ 顶点坐标为 (2，－3)，故选 A． 例 2　选择题 （2026·四川凉山州中考）已知抛物线 y＝a＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．abc＞0　　　　B．b＋4a＝0　　　　C．5a＋c＞0　　　　D．当 x＜－5 或 x＞1 时，y＞0 【答案】D 【解析】三读图象：开口向上得 a＞0；对称轴为直线 x＝－2，由 ＝－2 得 b＝4a＞0；与 y 轴的交点在负半轴得 c＜0——abc＜0，A 错。B 与 b＝4a 直接矛盾，错。C 要先补出隐藏交点：由对称性，另一交点的横坐标为 2×(－2)－(－5)＝1，把 (1，0) 代入得 c＝－5a，故 5a＋c＝0 而非大于 0，C 错。D：两根为 －5 与 1，开口向上，两根之外图象在 x 轴上方，y＞0，D 对。 【详解】∵ 图象开口向上，∴ a＞0； 由图象，抛物线经过 (－5，0)，对称轴为直线 x＝－2， ∴ 另一交点的横坐标为 2×(－2)－(－5)＝1， 即抛物线与 x 轴交于 (－5，0) 和 (1，0)； 由 ＝－2，得 b＝4a＞0， 由图象与 y 轴的交点在负半轴，得 c＜0， ∴ abc＜0，选项 A 错误； ∵ b＝4a，∴ b＋4a＝8a＞0≠0，选项 B 错误； 把 (1，0) 代入 y＝a＋bx＋c，得 a＋b＋c＝0， 即 a＋4a＋c＝0，得 c＝－5a， ∴ 5a＋c＝0，选项 C 错误； ∵ 抛物线开口向上，与 x 轴交于 (－5，0)、(1，0)， ∴ 当 x＜－5 或 x＞1 时，图象在 x 轴上方，y＞0，选项 D 正确； 故选 D． 例 3　填空题 （2026-2027·人教版九上 26.2.3·达标测试）抛物线 y＝－2＋4x＋1 的对称轴是 ____直线 x＝1____，顶点坐标是 ____(1，3)____． 【答案】直线 x＝1；(1，3) 【解析】配方求三要素：y＝－2＋4x＋1＝－2＋3——提出 －2 后括号里配 －2x，一次项系数一半的平方是 1，补偿项 2 别漏。对称轴是直线 x＝1，顶点为 (1，3)。也可用公式 x＝＝＝1 快验。 【详解】y＝－2＋4x＋1 ＝－2(－2x)＋1 ＝－2(－2x＋1)＋1＋2 ＝－2＋3， ∴ 对称轴是直线 x＝1，顶点坐标是 (1，3)． 例 4　填空题 （2026-2027·人教版九上 26.2.2·课堂检测）把抛物线 y＝－ 向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位，所得抛物线的解析式为 ____y＝－＋1____． 【答案】y＝－＋1 【解析】平移口诀『左加右减、上加下减』：向右平移 3 个单位，把 x 换成 x－3；再向上平移 1 个单位，在常数上加 1——得 y＝－＋1。最大陷阱是把『右』记成加：向右是 x－3；先化顶点式再平移是铁律，本题已是顶点式可直接动。 【详解】∵ 抛物线 y＝－ 向右平移 3 个单位， ∴ 平移后的解析式为 y＝－， 再向上平移 1 个单位，得 y＝－＋1， 即所得抛物线的解析式为 y＝－＋1． 例 5　解答题 （2026-2027·人教版九上 26.2.2·课堂检测）把下列抛物线化为 y＝a＋k 的形式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) y＝＋4x＋1；(2) y＝－2＋4x－1． 【答案】(1) y＝－3，开口向上，对称轴为直线 x＝－2，顶点坐标为 (－2，－3)；(2) y＝－2＋1，开口向下，对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为 (1，1)． 【解析】两小题都是配方三步走。(1) 二次项系数为 1，直接配一次项系数一半的平方；(2) 先提出 －2，括号里配上 －2x 的一半的平方 1，括号外再补偿 ＋2。配方后按 a 的符号答开口（a＞0 向上、a＜0 向下），按顶点式直读对称轴与顶点——第 (2) 小题的补偿符号最容易错。 【详解】(1) y＝＋4x＋1 ＝(＋4x＋4)＋1－4 ＝－3， ∵ a＝1＞0，∴ 开口向上， 对称轴为直线 x＝－2，顶点坐标为 (－2，－3)； (2) y＝－2＋4x－1 ＝－2(－2x)－1 ＝－2(－2x＋1)－1＋2 ＝－2＋1， ∵ a＝－2＜0，∴ 开口向下， 对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为 (1，1)． 例 6　解答题 （2026-2027·人教版九上 26.2.3·达标测试）已知抛物线 y＝＋bx＋c 经过点 (0，3) 和 (1，0)，且对称轴为直线 x＝2． (1) 求 b、c 的值； (2) 写出这条抛物线的解析式及顶点坐标． 【答案】(1) b＝－4，c＝3；(2) y＝－4x＋3，顶点坐标为 (2，－1)． 【解析】条件各有分工：点 (0，3) 代入直接得 c＝3；对称轴为直线 x＝2，由 ＝2 且 a＝1 得 b＝－4；第三个条件 (1，0) 不需要再解方程，回代检验即可——1－4＋3＝0 成立。顶点用配方法求：y＝－4x＋3＝－1，顶点 (2，－1)。 【详解】(1) ∵ 抛物线经过点 (0，3)， ∴ 把 x＝0，y＝3 代入，得 c＝3； ∵ 对称轴为直线 x＝2，a＝1， ∴ ＝＝2，解得 b＝－4； 检验：把点 (1，0) 代入 y＝－4x＋3， 得 1－4＋3＝0，成立，符合题意； ∴ b＝－4，c＝3． (2) 这条抛物线的解析式为 y＝－4x＋3 ＝(－4x＋4)＋3－4 ＝－1， ∴ 顶点坐标为 (2，－1)． PART 04 变式练习（10 题）· 中档强化与平移规律 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；三道填空的答案已嵌在横线中，建议先遮住红色答案自测 变式组训练要点（先读再做） ◆ 变 1 练配方化顶点式（选择）：一次项系数是 2，配上 减 1 补偿——y＝－2，括号内加减与括号外补偿要配平； ◆ 变 2 练图象信息判断（选择·带图）：开口定 a、对称轴定 b、y 轴交点定 c，特殊点函数值看该点与两根的位置——由图象读出全部条件； ◆ 变 3 练增减性定参（选择）：开口向下在对称轴左侧递增，x≤2 的『整段』都须在对称轴 x＝m 左侧，得 m≥2——端点能否取到要单独想； ◆ 变 4 练开口向上递增定参（填空·嵌空）：a＝3＞0 在对称轴 x＝a 右侧递增，x＞2 须在对称轴右侧，得 a≤2——注意与变 3 的方向相反； ◆ 变 5 练顶点式直读（填空·嵌空）：y＝ 中 h＝－2、k＝0，直读对称轴直线 x＝－2 与顶点 (－2，0)——基本功题； ◆ 变 6 练顶点定 h、k（填空·嵌空）：顶点式 y＝a＋k 的顶点就是 (h，k)，顶点 (－1，3) 直接读出 h＝－1、k＝3——别把 h 的符号弄反； ◆ 变 7 练顶点式求解析式与验点（解答）：设 y＝a－3，把 (0，1) 代入定 a＝1；判断点 (3，－1) 是否在图象上，代入 x＝3 求 y 比较——不相等就不在； ◆ 变 8 练配方求对称轴与顶点（解答）：两小题分别配方成 ＋3 与 －2＋3——第 (2) 小题提系数后补偿项 ＋2 别漏； ◆ 变 9 练开口顶点平移综合（解答）：a＝3 定开口大小与方向，顶点 (－2，0) 定位置；向右平移 4 个单位 h 由 －2 变 2；开口反向只把 a 换成 －3，顶点不动； ◆ 变 10 练逆向平移（解答）：把平移后的 y＝－1『倒回去』——向右平移 2 个单位、再向下平移 4 个单位还原出原解析式，再读出 a、h、k。 变式 1　选择题 （2026-2027·人教版九上 26.2.3·达标测试）把抛物线 y＝＋2x－1 化为顶点式是（　　） A．y＝－2　　　B．y＝－2 C．y＝＋2　　　D．y＝＋2 【答案】A 【解析】配方：y＝＋2x－1＝(＋2x＋1)－1－1＝－2。一次项系数是 2，配上 凑完全平方，多加的 1 要减回去。B 的括号符号错、C 的常数补偿错、D 两处皆错。 【详解】y＝＋2x－1 ＝(＋2x＋1)－1－1 ＝－2， 故选 A． 变式 2　选择题 （2026·四川内江中考）如图，二次函数 y＝＋bx＋c 的图象经过点 A(1，0)、B(5，0)．下列说法正确的是（　　） A．c＞0　　　　B．4a－2b＋c＜0 C．－4ac＜0　　　　D．图象的对称轴是直线 x＝2 【答案】B 【解析】图象过 A(1，0)、B(5，0)，说明 1 和 5 是方程 ＋bx＋c＝0 的两根——对称轴为直线 x＝3（D 错）；开口向下，a＜0，由根与图象知 c＝5a＜0（A 错）；与 x 轴有两个交点，判别式大于 0（C 错）。B 项 4a－2b＋c 是 x＝－2 时的函数值：x＝－2 在两根 1、5 之外，图象在 x 轴下方，取负——逐项排除只剩 B。 【详解】∵ 图象经过点 A(1，0)、B(5，0)， ∴ 对称轴为直线 x＝＝3，故 D 错误； 由图象开口向下，得 a＜0， 图象与 y 轴的交点在 y 轴负半轴， 把 x＝0 代入，得 c＜0，故 A 错误； 当 x＝－2 时，y＝4a－2b＋c， ∵ －2＜1，即 x＝－2 在两根 1 和 5 之外， 此时图象在 x 轴下方， ∴ 4a－2b＋c＜0，故 B 正确； ∵ 图象与 x 轴有两个交点， ∴ －4ac＞0，故 C 错误， 故选 B． 变式 3　选择题 （2025-2026·人教版九上 22.1.3·过关练习）若二次函数 y＝－＋1，当 x≤2 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是（　　） A．m＝2　　　　B．m＞2　　　　C．m≥2　　　　D．m≤2 【答案】C 【解析】a＝－1＜0，抛物线开口向下，在对称轴直线 x＝m 的左侧 y 随 x 的增大而增大。要 x≤2 的『整段』都落在对称轴左侧，须 2≤m：若 m＜2，区间 (m，2] 有一段跑到对称轴右侧，那里 y 随 x 增大而减小，不满足。m＝2 时区间端点恰在顶点，整段仍在左侧，可以取到——选 C 不选 B。 【详解】∵ a＝－1＜0，抛物线开口向下， ∴ 在对称轴直线 x＝m 的左侧，y 随 x 的增大而增大， ∵ 当 x≤2 时，y 随 x 的增大而增大， ∴ x≤2 的整个范围都必须在对称轴的左侧， ∴ 2≤m，即 m≥2，故选 C． 变式 4　填空题 （2025-2026·人教版九上 22.1.3·过关练习）已知二次函数 y＝3 的图象，当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大，则 a 的取值范围是 ____a≤2____． 【答案】a≤2 【解析】a＝3＞0，抛物线开口向上，在对称轴直线 x＝a 的右侧 y 随 x 的增大而增大。要 x＞2 整段都落在对称轴右侧，须 2≥a，即 a≤2——开口向上看右侧递增，与变 3 的开口向下看左侧方向相反，先定开口再定侧。 【详解】∵ a＝3＞0，抛物线开口向上， 对称轴为直线 x＝a， ∴ 在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大， ∵ 当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大， ∴ x＞2 的整个范围都必须在对称轴的右侧， ∴ 2≥a，即 a≤2． 变式 5　填空题 （2026-2027·人教版九上 26.2.2·课堂检测）抛物线 y＝ 的对称轴是 ____直线 x＝－2____，顶点坐标是 ____(－2，0)____． 【答案】直线 x＝－2；(－2，0) 【解析】y＝ 已是顶点式，对照 y＝a＋k 知 h＝－2、k＝0：对称轴是直线 x＝－2，顶点为 (－2，0)。顶点式直读是基本功——注意 是 x－h 中的 h＝－2，别把符号读反。 【详解】∵ y＝ 是顶点式 y＝a＋k 的形式， 其中 h＝－2，k＝0， 对照 y＝＝， ∴ 对称轴是直线 x＝－2，顶点坐标是 (－2，0)． 变式 6　填空题 （2026-2027·人教版九上 26.2.2·课堂检测）已知抛物线 y＝2＋k 的顶点为 (－1，3)，则 h＝ ____－1____，k＝ ____3____． 【答案】h＝－1；k＝3 【解析】顶点式 y＝a＋k 的顶点坐标就是 (h，k)：由顶点 (－1，3) 直接读出 h＝－1、k＝3。这类题的坑在 h 的符号——顶点横坐标是 －1， 中 x－h＝x＋1，即 h＝－1；k 就是顶点纵坐标 3。 【详解】∵ 顶点式 y＝a＋k 的顶点坐标为 (h，k)， 抛物线 y＝2＋k 的顶点为 (－1，3)， 即 x－h＝x－(－1)＝x＋1， ∴ h＝－1，k＝3． 变式 7　解答题 （2026-2027·人教版九上 26.2.2·课堂检测）已知抛物线的顶点为 (2，－3)，且经过点 (0，1)． (1) 求这条抛物线的解析式； (2) 判断点 (3，－1) 是否在这条抛物线上． 【答案】(1) y＝－3；(2) 点 (3，－1) 不在这条抛物线上． 【解析】(1) 已知顶点设顶点式：y＝a－3，把点 (0，1) 代入，得 4a－3＝1，解得 a＝1。(2) 判断点是否在图象上，把 x＝3 代入解析式求 y：y＝－3＝－2≠－1，所以点 (3，－1) 不在抛物线上——『代 x 求 y 再比较』是验点的标准动作。 【详解】(1) ∵ 抛物线的顶点为 (2，－3)， ∴ 设这条抛物线的解析式为 y＝a－3， 把点 (0，1) 代入，得 a×－3＝1， 即 4a＝4，解得 a＝1， ∴ 这条抛物线的解析式为 y＝－3； (2) 当 x＝3 时， y＝－3＝1－3＝－2， ∵ －2≠－1， ∴ 点 (3，－1) 不在这条抛物线上． 变式 8　解答题 （2026-2027·人教版九上 26.2.3·达标测试）求下列抛物线的对称轴和顶点坐标． (1) y＝－4x＋7；(2) y＝－2－4x＋1． 【答案】(1) 对称轴为直线 x＝2，顶点坐标为 (2，3)；(2) 对称轴为直线 x＝－1，顶点坐标为 (－1，3)． 【解析】配方求三要素。(1) y＝－4x＋7＝＋3；(2) 先提出 －2：y＝－2(＋2x)＋1＝－2(＋2x＋1)＋1＋2＝－2＋3。两题顶点纵坐标都是 3，但对称轴一右一左——配方后按顶点式直读，别混。 【详解】(1) y＝－4x＋7 ＝(－4x＋4)＋7－4 ＝＋3， ∴ 对称轴为直线 x＝2，顶点坐标为 (2，3)； (2) y＝－2－4x＋1 ＝－2(＋2x)＋1 ＝－2(＋2x＋1)＋1＋2 ＝－2＋3， ∴ 对称轴为直线 x＝－1，顶点坐标为 (－1，3)． 变式 9　解答题 （2025-2026·人教版九上 22.1.3·过关练习）已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线 y＝3 都相同，顶点与抛物线 y＝ 相同． (1) 求这条抛物线的解析式； (2) 把(1)中的抛物线向右平移 4 个单位，写出所得抛物线的解析式； (3) 在(2)中的抛物线的基础上，顶点不动，开口反向，写出所得抛物线的解析式． 【答案】(1) y＝3；(2) y＝3；(3) y＝－3． 【解析】(1) 开口方向和大小与 y＝3 相同即 a＝3；顶点与 y＝ 相同即顶点 (－2，0)，得 y＝3。(2) 向右平移 4 个单位，x＋2 变 x＋2－4＝x－2，得 y＝3——右减。(3) 顶点不动、开口反向，只把 a 换成 －3，得 y＝－3。三问层层递进：a 定开口、h 定位置、平移只动 h。 【详解】(1) ∵ 开口方向和大小与 y＝3 相同， ∴ a＝3， ∵ 顶点与 y＝ 相同， ∴ 顶点坐标为 (－2，0)， ∴ 这条抛物线的解析式为 y＝3； (2) 向右平移 4 个单位，得 y＝3＝3； (3) 顶点不动、开口反向，a 变为 －3， 所得抛物线的解析式为 y＝－3． 变式 10　解答题 （2025-2026·人教版九上 22.1.3·过关练习）把二次函数 y＝a＋k 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到二次函数 y＝－1 的图象． (1) 试确定 a，h，k 的值； (2) 指出二次函数 y＝a＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) a＝1，h＝1，k＝－5；(2) 开口向上，对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为 (1，－5)． 【解析】逆向平移把图象『倒回去』：y＝－1 是由原函数先向左移 2、再向上移 4 得到的，所以原函数由 y＝－1 先向右移 2、再向下移 4 还原——向右移 2 得 y＝－1＝－1，向下移 4 得 y＝－5。对照 y＝a＋k 得 a＝1、h＝1、k＝－5，开口向上，对称轴直线 x＝1，顶点 (1，－5)。 【详解】(1) 平移的每一步都可逆： 把 y＝－1 的图象向右平移 2 个单位（左移 2 的逆）， 得 y＝－1＝－1， 再向下平移 4 个单位（上移 4 的逆）， 得 y＝－1－4＝－5， 与 y＝a＋k 对照，得 a＝1，h＝1，k＝－5； (2) ∵ a＝1＞0， ∴ 图象开口向上， 对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为 (1，－5)． PART 05 拔高冲刺（8 题）· 性质综合满分攻关 拔高组全部选自 2025、2026 年考试真题中区分度最高的题型：图象信息四结论判断、图象信息五结论判断、双递减区间取交集、图象信息五结论填空、实际情境顶点时刻、正方形条件求参、平移过原点、顶点象限与交点面积——建议每题限时 6～8 分钟，独立完成后再对照详解订正；四道填空的答案已嵌在横线中，自测时先遮住红色部分。 拔高组冲刺要点（先读再做） ◆ 拔 1 练图象信息四结论判断（选择·带图）：对称轴定 b＝－2a、交点定 c＝－3a、顶点比高低——④ 用水平线与抛物线的位置关系判断实根个数； ◆ 拔 2 练图象信息五结论判断（选择·带图）：开口定 a、对称轴定 b、y 轴交点定 c，特殊点函数值看该点与两根的位置——逐条翻译图象信息； ◆ 拔 3 练双递减区间（填空·嵌空）：两个开口向下的抛物线都在各自对称轴右侧递减——递减区间 x≥4 与 x≥3 取交集，m 的最小值为 4； ◆ 拔 4 练图象信息五结论填空（填空·嵌空·带图）：三读图象（开口、对称轴、y 轴交点）定系数符号，右交点位置定特殊点函数值符号——填序号题逐条排除； ◆ 拔 5 练实际情境顶点时刻（填空·嵌空）：飞机停下即滑行距离不再增加——配方找对称轴 t＝25，开口向下顶点处取到； ◆ 拔 6 练正方形条件求参（填空·嵌空·带图）：配方得顶点 (m，1)，BN＝a－1、AB＝2——正方形把几何条件变成方程 2＝a－1，解得 a＝5； ◆ 拔 7 练平移过原点（解答）：设向右平移 m 个单位后图象过原点，列方程解出 m＝1，再令 y＝0 找另一个交点 (4，0)——平移解析式与交点联动； ◆ 拔 8 练顶点象限与交点面积（解答）：顶点 (m，m＋1) 按第二象限符号列不等式组 m＜0 且 m＋1＞0；m＝－2 时求三个坐标轴交点，底 2 高 3 得面积 3。 拔高 1　选择题 （2026·四川眉山中考）如图，抛物线 y＝a＋bx＋c 与 x 轴交于点 A(－1，0)，顶点坐标为 (1，n)，与 y 轴的交点在 (0，－2)，(0，－3) 之间（包含端点）．下列结论：①3a＋b＜0；②≤a≤1；③对于任意实数 m，a＋b≤m(am＋b) 总成立；④关于 x 的方程 a＋bx＋c＝n－1 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（　　） A．1 个　　　　B．2 个　　　　C．3 个　　　　D．4 个 【答案】B 【解析】先定关系：开口向上 a＞0；对称轴 x＝1 得 b＝－2a，故 3a＋b＝a＞0，① 错。②把 A(－1，0) 代入得 a－b＋c＝0，即 c＝－3a，再由 －3≤c≤－2 得 ≤a≤1，② 对。③巧用顶点：a＋bm＋c 是抛物线上横坐标为 m 的点的纵坐标，它不小于顶点纵坐标 n；又当 x＝1 时 y＝a＋b＋c＝n，即 a＋b＝n－c，故 m(am＋b)≥n－c＝a＋b 恒成立，③ 对。④水平线 y＝n－1 位于顶点下方，与开口向上的抛物线没有交点，方程无实根，④ 错——正确的是 ②③ 共 2 个。 【详解】由图象得：开口向上，a＞0； 对称轴为直线 x＝1，即 ＝1， ∴ b＝－2a， ① 3a＋b＝3a－2a＝a＞0，① 错误； ② 把 A(－1，0) 代入，得 a－b＋c＝0， 即 a＋2a＋c＝0，得 3a＋c＝0，c＝－3a， ∵ 与 y 轴的交点在 (0，－2) 与 (0，－3) 之间（包含端点）， ∴ －3≤c≤－2，即 －3≤－3a≤－2， ∴ ≤a≤1，② 正确； ③ 当 x＝1 时，y＝a＋b＋c＝n， ∴ a＋b＝n－c， 对任意实数 m，a＋bm＋c 是抛物线上横坐标为 m 的点的纵坐标， ∴ a＋bm＋c≥n（顶点处最小）， 即 m(am＋b)≥n－c＝a＋b，③ 正确； ④ 方程 a＋bx＋c＝n－1 的实根，就是水平线 y＝n－1 与抛物线交点的横坐标， ∵ 抛物线开口向上，最低点为顶点 (1，n)， ∴ 水平线 y＝n－1 在顶点下方，与抛物线没有交点， 方程没有实数根，④ 错误； 正确的结论是 ②③，共 2 个，故选 B． 拔高 2　选择题 （2026·黑龙江齐齐哈尔中考）如图所示的是二次函数 y＝＋bx＋c（a，b，c 为常数，a≠0）的部分图象，其顶点坐标为 (1，n)，与 y 轴交于点 A，与 x 轴正半轴交于点 B(m，0)（3＜m＜4）．下列结论： ①abc＞0；②3a＋c＜0；③＝4a(c－n)；④若点 P(t，)，Q(3－t，)（t＜）都在抛物线 y＝＋bx＋c 上，则 ＞；⑤若 OA＝OB，则关于 x 的方程 a＋(b＋1)x＝0 的两根之和为 c．其中正确结论的个数是（　　） A．2 个　　　　B．3 个　　　　C．4 个　　　　D．5 个 【答案】B 【解析】先由图象定三系数的符号：开口向下 a＜0，对称轴 x＝1 得 b＝－2a＞0，A 在 y 轴正半轴 c＞0——abc＜0，① 错。②把 3a＋c 与函数值挂钩：b＝－2a 时 y(－1)＝a－b＋c＝3a＋c，而 －1 落在两根之间（另一根 2－m 在 －2 与 －1 之间），开口向下，两根之间图象在 x 轴上方，故 3a＋c＞0，② 错。③顶点式 y＝a＋n 展开对照得 c＝a＋n，即 c－n＝a，代入右边 4a(c－n)＝＝，③ 对。④比到对称轴的距离：t＜ 时 |t－1|＜|2－t|，P 更近对称轴、函数值更大，④ 对。⑤OA＝OB 得 m＝c，B(c，0) 在抛物线上代入得 ac＋b＋1＝0，方程 x(ax＋b＋1)＝0 的两根之和 －＝c，⑤ 对——正确的有 ③④⑤ 共 3 个。 【详解】由图象得：开口向下，a＜0； 对称轴为直线 x＝1，即 ＝1， ∴ b＝－2a＞0；点 A 在 y 轴正半轴，c＞0， ∴ abc＜0，① 错误； ② 当 x＝－1 时，y＝a－b＋c＝3a＋c， 设抛物线与 x 轴的另一交点为 (2－m，0)， 由 3＜m＜4，得 －2＜2－m＜－1， 即 x＝－1 在两根之间，开口向下， 两根之间图象在 x 轴上方，y(－1)＞0， ∴ 3a＋c＞0，② 错误； ③ 顶点为 (1，n)，得 y＝a＋n， 展开得 y＝a－2ax＋a＋n， 对照系数得 c＝a＋n，即 c－n＝a， ∴ 4a(c－n)＝4a·a＝＝，③ 正确； ④ 点 P 到对称轴的距离为 |t－1|， 点 Q 到对称轴的距离为 |3－t－1|＝|2－t|， 当 t＜ 时，|t－1|＜|2－t|， 即点 P 离对称轴更近，开口向下时离对称轴越近函数值越大， ∴ ＞，④ 正确； ⑤ 由 OA＝OB，得 m＝c，即 B(c，0)， 把 B(c，0) 代入解析式，得 a＋bc＋c＝0， 即 c(ac＋b＋1)＝0， ∵ c＞0，∴ ac＋b＋1＝0， 方程 a＋(b＋1)x＝0 可化为 x(ax＋b＋1)＝0， 两根为 0 与 －，两根之和为 －， 由 ac＋b＋1＝0，得 b＋1＝－ac， ∴ －＝－＝c，⑤ 正确； 综上，正确的结论是 ③④⑤，共 3 个，故选 B． 拔高 3　填空题 （2025-2026·人教版九上 22.1.3·跟踪练习）当 x≥m 时，两个函数 ＝－＋2 和 ＝－＋1 的函数值都随着 x 的增大而减小，则 m 的最小值为 ____4____． 【答案】4 【解析】两个函数开口都向下，都在各自对称轴的右侧递减： 的对称轴是直线 x＝4，须 x≥4 才递减； 的对称轴是直线 x＝3，x≥3 就递减。要两个函数在 x≥m 上都递减，取两区间的交集——x≥4，所以 m 的最小值为 4。双区间递减题画两条对称轴比较，交集立刻出来。 【详解】∵ ＝－＋2 开口向下，对称轴为直线 x＝4， ∴ 当 x≥4 时， 随 x 的增大而减小； ∵ ＝－＋1 开口向下，对称轴为直线 x＝3， ∴ 当 x≥3 时， 随 x 的增大而减小， 要当 x≥m 时两个函数值都随 x 的增大而减小， 须 x≥m 同时落在 x≥4 与 x≥3 内，即 m≥4， ∴ m 的最小值为 4． 拔高 4　填空题 （2025-2026·北京铁路二中初三期中）已知二次函数 y＝＋bx＋c（a≠0）的图象如图，有下列结论：①abc＞0；②≥4ac；③9a＋3b＋c＞0；④2a＋b＝0；⑤3a＋c＜0．正确的结论是 ____①②④⑤____（填序号）． 【答案】①②④⑤ 【解析】图象三读定符号：开口向上 a＞0；对称轴为直线 x＝1，得 b＝－2a＜0（④ 即 b＝－2a，正确）；图象与 y 轴交于负半轴，c＜0——于是 abc＞0（① 正确）。②看交点个数：图象与 x 轴有两个交点，－4ac＞0，② 正确。③⑤的关键是右交点的位置：左交点横坐标在 －2 与 －1 之间，其关于直线 x＝1 的对称点在 3 与 4 之间，即右交点横坐标大于 3——x＝3 落在两根之间，开口向上时两根之间图象在 x 轴下方，y(3)＝9a＋3b＋c＜0（③ 反了）；又 9a＋3b＋c＝9a＋3×(－2a)＋c＝3a＋c，故 3a＋c＜0（⑤ 正确）。 【详解】由图象得：开口向上，a＞0； 对称轴为直线 x＝1，即 ＝1， ∴ 2a＋b＝0，b＝－2a＜0，④ 正确； 图象与 y 轴的交点在负半轴，c＜0， ∴ abc＞0，① 正确； 图象与 x 轴有两个交点， ∴ －4ac＞0，② 正确； ③ 左交点横坐标在 －2 与 －1 之间， 其关于对称轴 x＝1 的对称点横坐标在 3 与 4 之间， 即右交点横坐标大于 3，x＝3 位于两根之间， 开口向上，两根之间图象在 x 轴下方， ∴ y(3)＝9a＋3b＋c＜0，③ 错误； ⑤ 9a＋3b＋c＝9a＋3×(－2a)＋c＝3a＋c， 由 ③ 得 9a＋3b＋c＜0， ∴ 3a＋c＜0，⑤ 正确； 综上，正确的结论是 ①②④⑤． 拔高 5　填空题 （2025-2026·人教版九上二次函数·章末检测）飞机着陆后滑行的距离 s（单位：m）关于滑行时间 t（单位：s）的函数解析式是 s＝60t－1.2，飞机着陆后滑行 ____25____ 秒才能停下来． 【答案】25 【解析】『停下来』意味着滑行距离不再增加——s 达到最大的时刻，正是抛物线的顶点。配方：s＝－1.2＋750？先算对称轴：t＝＝＝25。开口向下，t＝25 时 s 达到最大，飞机滑行 25 秒停下。实际情境题先建模再找顶点，顶点即答案。 【详解】s＝60t－1.2 ＝－1.2(－50t) ＝－1.2(－50t＋625)＋750 ＝－1.2＋750， 对称轴为直线 t＝25，开口向下， 当 t＝25 时，s 达到最大， 即飞机着陆后滑行 25 秒才能停下来． 拔高 6　填空题 （2026·江苏苏州中考）如图，关于 x 的二次函数 y＝－2mx＋＋1 的图象为抛物线 C，直线 y＝a 与抛物线 C 交于 A，B 两点，过抛物线 C 的顶点作 x 轴的平行线 l，过 A，B 分别作 l 的垂线，垂足为 M，N．若四边形 ABNM 为正方形，则 a＝ ____5____． 【答案】5 【解析】先配方：y＝＋1，顶点为 (m，1)，直线 l 就是 y＝1。B 在直线 y＝a 上、N 在 l 上，故 BN＝a－1；令 y＝a，得 ＝a－1，两交点横坐标为 m±，故 AB＝2。正方形要求 AB＝BN，即 2＝a－1：设 t＝a－1＞0，得 2＝t，两边平方得 4t＝，t＝4（t＝0 时 A、B 重合，舍去），故 a＝5。 【详解】∵ y＝－2mx＋＋1＝＋1， ∴ 抛物线的顶点为 (m，1)，直线 l 为 y＝1； 设直线 y＝a 与抛物线 C 交于 A(，a)，B(，a)， 过 A，B 分别作 l 的垂线，垂足为 M，N， 则 BN＝a－1； 把 y＝a 代入 y＝＋1， 得 ＝a－1， ∴ x－m＝±， ∴ AB＝－＝2； ∵ 四边形 ABNM 为正方形， ∴ AB＝BN，即 2＝a－1， 设 t＝a－1（t＞0），则 2＝t， 两边平方，得 4t＝， 解得 t＝4 或 t＝0， 当 t＝0 时，a＝1，此时 ＝0，A、B 两点重合，不构成正方形，舍去， ∴ t＝4，a＝4＋1＝5． 拔高 7　解答题 （2025-2026·人教版九上 22.1.3·过关练习）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 A(1，－4)，且过点 B(3，0)． (1) 求这个二次函数的解析式； (2) 把(1)中的抛物线向右平移几个单位，可使平移后的图象经过坐标原点？并直接写出平移后图象与 x 轴的另一个交点坐标． 【答案】(1) y＝－4；(2) 向右平移 1 个单位，平移后图象与 x 轴的另一个交点坐标为 (4，0)． 【解析】(1) 已知顶点设顶点式 y＝a－4，把 B(3，0) 代入得 4a－4＝0，a＝1。(2) 设向右平移 m（m＞0）个单位，解析式变为 y＝－4；图象过原点，把 (0，0) 代入：＝4，即 1＋m＝2，解得 m＝1。平移后 y＝－4，令 y＝0 得 x＝0 或 x＝4——另一交点 (4，0)。 【详解】(1) ∵ 图象的顶点为 A(1，－4)， ∴ 设二次函数的解析式为 y＝a－4， 把 B(3，0) 代入，得 a×－4＝0， 即 4a＝4，解得 a＝1， ∴ 这个二次函数的解析式为 y＝－4； (2) 设把抛物线向右平移 m（m＞0）个单位， 平移后的解析式为 y＝－4， ∵ 平移后的图象经过坐标原点， ∴ 把 x＝0，y＝0 代入，得 －4＝0， 即 ＝4，1＋m＝2（m＞0），解得 m＝1， ∴ 向右平移 1 个单位，平移后的解析式为 y＝－4， 令 y＝0，得 ＝4，解得 x＝0 或 x＝4， ∴ 平移后图象与 x 轴的另一个交点坐标为 (4，0)． 拔高 8　解答题 （2025-2026·人教版九上 22.1.3·跟踪练习）已知抛物线 C：y＝＋m＋1． (1) 若抛物线 C 的顶点在第二象限，求 m 的取值范围； (2) 若 m＝－2，求抛物线 C 与坐标轴的交点围成的三角形的面积． 【答案】(1) －1＜m＜0；(2) 面积为 3． 【解析】(1) 顶点式顶点为 (m，m＋1)；第二象限要求横坐标为负、纵坐标为正：m＜0 且 m＋1＞0，联立得 －1＜m＜0。(2) m＝－2 时 y＝－1＝＋4x＋3：令 y＝0 得交点 (－3，0)、(－1，0)，令 x＝0 得交点 (0，3)。三角形底在 x 轴上，长为 2；高为 y 轴交点纵坐标 3——面积 ×2×3＝3。 【详解】(1) ∵ 抛物线 C：y＝＋m＋1 是顶点式， ∴ 顶点坐标为 (m，m＋1)， ∵ 顶点在第二象限， ∴ m＜0 且 m＋1＞0， 解得 －1＜m＜0； (2) 当 m＝－2 时， y＝－1＝＋4x＋3， 令 y＝0，得 ＋4x＋3＝0，即 (x＋1)(x＋3)＝0， 解得 x＝－1 或 x＝－3， ∴ 抛物线与 x 轴的交点为 (－3，0)、(－1，0)， 令 x＝0，得 y＝3， ∴ 抛物线与 y 轴的交点为 (0，3)， 三角形在 x 轴上的底长为 －1－(－3)＝2，高为 3， ∴ 所围三角形的面积为 ×2×3＝3． 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 配方法求顶点·提系数配平方补常数 例 2 图象信息判断·三读图象定符号 例 3 对称轴与顶点·一般式配方直读 例 4 平移规律·左加右减、上加下减 例 5 化顶点式·三步配方读三要素 例 6 待定系数·条件分工与回代检验 变 1 配方化顶点式·补偿项别漏 变 2 图象信息判断·由图读 a、b、c 变 3 增减性定参·整段落在单调侧 变 4 开口向上递增·定 a≤2 变 5 顶点式直读对称轴与顶点 变 6 顶点坐标定 h、k·符号别反 变 7 顶点式求解析式＋代 x 验点 变 8 配方求对称轴与顶点·提系数补偿 变 9 开口顶点平移综合·右减反号 变 10 逆向平移·倒回去逐次还原 拔 1 四结论判断·顶点比高低定实根 拔 2 五结论判断·逐条翻译图象信息 拔 3 双递减区间·取交集定 m 拔 4 五结论填空·三读图象定符号 拔 5 实际情境·配方找顶点时刻 拔 6 正方形条件·几何条件化方程 拔 7 平移过原点·方程定 m 找交点 拔 8 顶点象限不等式组＋交点三角形面积 使用建议：本卷例题 6＋变式 10＋拔高 8 共 24 题（选 7·填 9·解 8），全部选自 2025、2026 年考试真题并在题干注明出处；限时 40 分钟完成，参考用时例题 12 分钟、变式 13 分钟、拔高 15 分钟，到时先停笔对答案。订正后让学生在订正完成栏打勾，保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：开口看 a 的符号，对称轴 x＝；求顶点先配方——提系数、配平方、补常数三步走；增减看开口——上开口左减右增、下开口左增右减，答句带上『在对称轴左（右）侧』；平移记口诀——左加右减、上加下减，一般式先化顶点式再平移；求解析式用待定系数——设式、代点、解方程、回代检验四步走；对称等值两等距——＋＝2×对称轴。填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版九上数学 · 期中复习讲义系列 人教版新版数学 · 九年级上册 · 期中复习讲义系列 人教版九上 第 26 章｜二次函数——考点 2 二次函数的图象与性质 ——人教版九年级上册《二次函数》· 期中复习系列—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·开口与顶点·对称轴·增减性·平移规律·待定系数求解析式 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆～★★★★ 阶梯递进 限时 40 分钟 / 考前逐一过关 使用说明 本资料为人教版九年级上册第 26 章考点 2《二次函数的图象与性质》期中复习讲义，共 24 题，全部选自 2025、2026 年考试真题（期中、期末、月考、模拟、单元测试、中考等网络试卷原题），每题题干均注明时间与出处；题面、答案与详解已逐题核对。 全卷按题型分层编排：选择题 7 道、填空题 9 道、解答题 8 道；例题组（2 选＋2 填＋2 解）、变式组（3 选＋3 填＋4 解）、拔高组（2 选＋4 填＋2 解），每组均含选择、填空、解答三种题型并按选→填→解排列。 全卷限时 40 分钟完成：例题组约 12 分钟、变式组约 13 分钟、拔高组约 15 分钟；也可分三课时使用——例题教师精讲、变式限时独立完成、拔高供学有余力的学生冲刺。 图象与性质是期中卷占分最重的主干考点：顶点坐标与对称轴稳定出现在选择填空，增减性与平移规律是中档题常客，待定系数求解析式与对称等值是区分度所在——先配方、再读性质、最后验平移方向，是本考点答题的主线。 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式。 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对。 本考点与人教版九上第 26 章 26.1.2 节对齐（★☆～★★★★），六条主线：一开口与对称轴——a 的符号定开口方向，x＝ 定对称轴；二顶点与增减性——配方三步化顶点式，对称轴两侧定增减；三平移规律——左加右减、上加下减；四待定系数——三点定一般式、顶点加一点定顶点式；五对称等值——对称轴两侧等距点函数值相等；六图象信息与综合——由图读系数符号、结论判断与交点面积。 PART 01 考点 2 知识主线与考点速览（6 大主线） 主线： 1.二次函数的图象与性质（开口方向与对称轴——a 定开口、x＝ 定对称轴； 2.顶点与增减性——配方三步化顶点式、对称轴两侧定增减； 3.平移规律——左加右减、上加下减； 4.待定系数求解析式——三点定一般式、顶点加一点定顶点式； 5.对称等值——对称轴两侧等距点函数值相等； 6.图象信息与综合——由图读系数符号、结论判断、交点面积）。 一、开口方向与对称轴——a 定开口方向， 定对称轴 ◆ 开口方向与对称轴：y＝a＋bx＋c 中，a＞0 时开口向上、图象有最低点；a＜0 时开口向下、图象有最高点；｜a｜越大开口越小。一般式的对称轴是直线 x＝，顶点式 y＝a＋k 的对称轴是直线 x＝h——直读对称轴先看形式：一般式用公式、顶点式直读 h，两套办法都要熟。 ◆ 坐标轴交点：与 y 轴的交点令 x＝0，得 (0，c)；与 x 轴的交点令 y＝0，解一元二次方程。对称轴两侧图象关于对称轴对称——x 轴上两交点 (，0)、(，0) 连线的中点恰在对称轴上，即 ＋＝2×对称轴。交点题第一步先分清『令 x＝0 还是令 y＝0』。 二、顶点坐标与增减性——配方定顶点，对称轴两侧定增减 ◆ 顶点与增减性：配方三步走——提出二次项系数、配上一次项系数一半的平方、补回多减的常数，得 y＝a＋k，顶点为 (h，k)。增减性由 a 的符号与对称轴共同决定：a＞0 时在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小、右侧增大；a＜0 时相反——开口向上『左减右增』，开口向下『左增右减』。 ◆ 顶点公式与防错：顶点坐标为 (，)——公式法快但易错在符号，b 为负数时负负得正别丢；配方法则步步可见。做题优先配方、公式法快验；答对称轴必须写『直线 x＝…』，答增减性必须带上『在对称轴左（右）侧』的前提，不带前提的答案是残缺答案。 三、平移规律与待定系数——左加右减、上加下减，条件分工定系数 ◆ 平移规律：抛物线平移口诀『左加右减、上加下减』——向左（右）平移 m 个单位，把 x 换成 x＋m（x－m）；向上（下）平移 m 个单位，k 加（减）m。一般式必须先配方化成顶点式再平移；逆向平移题把图象『倒回去』逐次还原。平移不改变开口方向与大小——a 不变，动的只是 h 与 k。 二次函数考点速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 主线 1 开口与对称轴 a 定开口 · x＝ 定轴 性质直读题 b 的符号看错 主线 2 顶点与增减性 配方三步走 · 两侧定增减 顶点、增减性设问 增减性不带前提 主线 3 平移规律 左加右减 · 上加下减 平移后解析式 方向记反 主线 4 待定系数 三点定一般式 · 顶点加一点 求解析式 条件重复使用 主线 5 对称等值 ＋＝2×对称轴 等值点、对称点 和与距离搞混 易错警示 先化顶点式再平移 · 对称轴带『直线』 综合题失分点排查 一般式直接平移 ◆ 待定系数求解析式：一般式 y＝a＋bx＋c 三个待定系数，通常给三个点；顶点式 y＝a＋k 给顶点（或对称轴）再给一点即可。条件各有分工：点 (0，c) 直接给常数项，对称轴 x＝ 给出 b 与 a 的关系——先翻译条件再解方程，多余条件用作检验。 四、对称等值与图象信息——等距等值、由图读系数与结论判断 ◆ 对称等值：对称轴两侧到对称轴等距的两点函数值相等——若 、 处函数值相等且 ≠，则两点关于对称轴对称，＋＝2×对称轴；y＝a＋k（缺一次项）的对称轴是 y 轴，等值点横坐标互为相反数——这类题不解方程、只用对称性。 ◆ 图象信息题：由图象读系数符号——开口方向定 a，对称轴位置定 b（b＝－2a×对称轴），y 轴交点定 c；判断 y(k) 的符号看 k 相对两根的位置——两根之间与 a 异号、两根之外与 a 同号；含顶点条件先化 y＝a＋k 再展开对照系数；含参抛物线 y＝＋m＋1 的顶点 (m，m＋1) 随参数移动，先用参数表示顶点坐标再按象限符号讨论；抛物线与两坐标轴的交点围成三角形，底取 x 轴上两交点间的距离，高取 y 轴交点纵坐标的绝对值。 ◆ 考场策略：顶点、对称轴题先配方再读数，公式法只作快验；增减性题开口方向与对称轴一起看，答句带前提；平移题先化顶点式再动 x 与 k；求解析式题设式→代点→解方程→回代检验四步走；对称等值题先想『等距等值』再动笔；顶点象限题把顶点坐标用参数表示后按象限符号列不等式组。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 二次函数的图象与性质是人教版九上第 26 章的主干考点，也是期中卷占分最重的一块：顶点坐标与对称轴稳定出现在选择填空，增减性与平移规律是中档题常客，待定系数求解析式与对称等值是区分度所在。 性质类设问全部围绕三要素展开——开口方向、对称轴、顶点坐标：a 的符号定开口与升降，对称轴把图象分成增减两段，顶点是升降的转折点。配方把一般式化为顶点式，是读出三要素的通用钥匙。 平移与待定系数是性质的两大应用：平移口诀『左加右减、上加下减』只动 x 与 k、不动 a；待定系数法按条件分工——点定一个方程、对称轴给出 b 与 a 的关系，设式、代点、解方程、回代检验四步走。 对称性是图象最深的一条性质，也是区分度来源：对称轴两侧等距点函数值相等，等值点横坐标之和等于两倍对称轴——用对称性判断点的位置、计算函数值，比硬解方程又快又稳。 答题方法（三步法） 第一步·定形式：看清解析式是一般式还是顶点式——一般式配方三步化为 y＝a＋k；顶点式直接读出对称轴 x＝h 与顶点 (h，k)。与坐标轴交点先分清令 x＝0 还是令 y＝0。 第二步·读性质：按 a 的符号答开口与升降——开口向上左减右增、开口向下左增右减，答句带上『在对称轴左（右）侧』的前提；平移按『左加右减、上加下减』改写 x 与 k；求解析式先设式（顶点式或一般式）再代点解系数。 第三步·验作答：解出系数后回代已知点检验；对称等值用 ＋＝2×对称轴复核；答对称轴写『直线 x＝…』，答顶点写成坐标 (h，k)；实际情境题最后检验答案是否符合实际意义。 注意事项（易错警示） 配方的第一错点是漏提二次项系数：y＝2－8x＋5 必须先提出 2 再配方，括号内加减与括号外的补偿要配平，一步漏补全盘皆错；顶点公式 的分子是 －b，b 为负数时负负得正，符号错是高频失分点。 增减性设问必须带前提：『y 随 x 的增大而增大』要写成『在对称轴右侧（或左侧）时』，不带前提的答案是残缺答案；由增减性反求参数范围时，看清给定区间是整段落在单调侧还是跨对称轴——『整段』决定取 ≥ 还是 ＞，端点能否取到要单独想清楚。 平移方向最易记反：向右平移 m 个单位是把 x 换成 x－m（右减）；一般式必须先化顶点式再平移，直接在一般式上加加减减必错；逆向平移题把平移过程倒回去，每一步都取相反方向——先左右、后上下，顺序也要还原。 对称等值不要硬解方程：函数值相等的两点横坐标之和等于两倍对称轴，＋ 形式的整体直接用对称性计算；抛物线与坐标轴交点围成的三角形，底取 x 轴上两交点间的距离、高取 y 轴交点纵坐标的绝对值——底与高别取反。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 配方三步或顶点公式 抛物线 y＝… 的顶点坐标是 ★☆ ★☆ x＝ 或直读 x＝h 抛物线 y＝… 的对称轴是 ★☆ ★☆ 开口方向＋对称轴两侧 当 x 为何值时，y 随 x 的增大而增大 ★★ ★★ 左加右减、上加下减 平移后所得抛物线的解析式为 ★★ ★★☆ 设式→代点→解方程→检验 求这条抛物线的解析式 ★★ ★★ 等值点关于对称轴对称 函数值相等，则 … 的值为 ★★☆ ★★ 图象信息 由图象判断系数符号与结论正误 ★★☆ ★★☆ 命题边界：本考点只考二次函数的图象与性质——开口方向与对称轴；顶点坐标与增减性；图象平移规律；待定系数法求解析式（一般式三点、顶点式一点加顶点）；对称性与等值点；由图象读取系数符号与结论判断、交点面积等图象综合。给定区间上的最值讨论、二次函数与一元二次方程及不等式的联系、实际应用建模（销售、面积、抛物线形实物）属后续考点；解答题运算只到代入求值与配方展开层面。 PART 03 例题精讲（6 题）· 图象性质基础与中档 例题覆盖：配方法求顶点（选择）→ 图象信息判断（选择·带图）→ 对称轴与顶点（填空·嵌空）→ 平移规律（填空·嵌空）→ 化顶点式并读性质（解答）→ 待定系数求 b、c（解答）→ 变式覆盖配方化顶点式（选择）、图象信息判断·由图读系数符号（选择·带图）、增减性定参数（选择）、开口向上递增定参（填空·嵌空）、顶点式直读（填空·嵌空）、顶点定 h、k（填空·嵌空）、顶点式求解析式与验点（解答）、配方求对称轴与顶点（解答）、开口顶点平移综合（解答）、逆向平移（解答）→ 拔高覆盖图象信息四结论判断（选择·带图）、图象信息五结论判断（选择·带图）、双递减区间取交集（填空·嵌空）、图象信息五结论填空（填空·嵌空·带图）、实际情境顶点时刻（填空·嵌空）、正方形条件求参（填空·嵌空·带图）、平移过原点（解答）、顶点象限与交点面积（解答）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教配方法求顶点（选择）：提系数、配平方、补常数三步走，把 y＝2－8x＋5 化成 y＝2－3——顶点公式 可作快验； ◆ 例 2 教图象信息判断（选择·带图）：开口定 a、对称轴定 b、y 轴交点定 c，再由对称性补出隐藏交点——图上每条信息都翻译成代数式； ◆ 例 3 教对称轴与顶点（填空·嵌空）：一般式配方成 y＝－2＋3 后直读——对称轴直线 x＝1，顶点 (1，3)； ◆ 例 4 教平移规律（填空·嵌空）：左加右减、上加下减——向右 3 个单位把 x 换成 x－3，向上 1 个单位加 1； ◆ 例 5 教化顶点式（解答）：两小题分别配方，再按 a 的符号答开口、按顶点式答对称轴与顶点——第 (2) 小题提系数后注意常数补偿； ◆ 例 6 教待定系数（解答）：点 (0，3) 直接给 c＝3，对称轴 x＝2 给出 b＝－4，第三个条件 (1，0) 作检验——条件各有分工，不重复使用。 例 1　选择题 （2026-2027·人教版九上 26.2.3·达标测试）抛物线 y＝2－8x＋5 的顶点坐标是（　　） A．(2，－3)　　　B．(－2，－3)　　　C．(2，3)　　　D．(－2，3) 例 2　选择题 （2026·四川凉山州中考）已知抛物线 y＝a＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A．abc＞0　　　　B．b＋4a＝0　　　　C．5a＋c＞0　　　　D．当 x＜－5 或 x＞1 时，y＞0 例 3　填空题 （2026-2027·人教版九上 26.2.3·达标测试）抛物线 y＝－2＋4x＋1 的对称轴是 ________，顶点坐标是 ________． 例 4　填空题 （2026-2027·人教版九上 26.2.2·课堂检测）把抛物线 y＝－ 向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位，所得抛物线的解析式为 ________． 例 5　解答题 （2026-2027·人教版九上 26.2.2·课堂检测）把下列抛物线化为 y＝a＋k 的形式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) y＝＋4x＋1；(2) y＝－2＋4x－1． 例 6　解答题 （2026-2027·人教版九上 26.2.3·达标测试）已知抛物线 y＝＋bx＋c 经过点 (0，3) 和 (1，0)，且对称轴为直线 x＝2． (1) 求 b、c 的值； (2) 写出这条抛物线的解析式及顶点坐标． PART 04 变式练习（10 题）· 中档强化与平移规律 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；三道填空的答案已嵌在横线中，建议先遮住红色答案自测 变式组训练要点（先读再做） ◆ 变 1 练配方化顶点式（选择）：一次项系数是 2，配上 减 1 补偿——y＝－2，括号内加减与括号外补偿要配平； ◆ 变 2 练图象信息判断（选择·带图）：开口定 a、对称轴定 b、y 轴交点定 c，特殊点函数值看该点与两根的位置——由图象读出全部条件； ◆ 变 3 练增减性定参（选择）：开口向下在对称轴左侧递增，x≤2 的『整段』都须在对称轴 x＝m 左侧，得 m≥2——端点能否取到要单独想； ◆ 变 4 练开口向上递增定参（填空·嵌空）：a＝3＞0 在对称轴 x＝a 右侧递增，x＞2 须在对称轴右侧，得 a≤2——注意与变 3 的方向相反； ◆ 变 5 练顶点式直读（填空·嵌空）：y＝ 中 h＝－2、k＝0，直读对称轴直线 x＝－2 与顶点 (－2，0)——基本功题； ◆ 变 6 练顶点定 h、k（填空·嵌空）：顶点式 y＝a＋k 的顶点就是 (h，k)，顶点 (－1，3) 直接读出 h＝－1、k＝3——别把 h 的符号弄反； ◆ 变 7 练顶点式求解析式与验点（解答）：设 y＝a－3，把 (0，1) 代入定 a＝1；判断点 (3，－1) 是否在图象上，代入 x＝3 求 y 比较——不相等就不在； ◆ 变 8 练配方求对称轴与顶点（解答）：两小题分别配方成 ＋3 与 －2＋3——第 (2) 小题提系数后补偿项 ＋2 别漏； ◆ 变 9 练开口顶点平移综合（解答）：a＝3 定开口大小与方向，顶点 (－2，0) 定位置；向右平移 4 个单位 h 由 －2 变 2；开口反向只把 a 换成 －3，顶点不动； ◆ 变 10 练逆向平移（解答）：把平移后的 y＝－1『倒回去』——向右平移 2 个单位、再向下平移 4 个单位还原出原解析式，再读出 a、h、k。 变式 1　选择题 （2026-2027·人教版九上 26.2.3·达标测试）把抛物线 y＝＋2x－1 化为顶点式是（　　） A．y＝－2　　　B．y＝－2 C．y＝＋2　　　D．y＝＋2 变式 2　选择题 （2026·四川内江中考）如图，二次函数 y＝＋bx＋c 的图象经过点 A(1，0)、B(5，0)．下列说法正确的是（　　） A．c＞0　　　　B．4a－2b＋c＜0 C．－4ac＜0　　　　D．图象的对称轴是直线 x＝2 变式 3　选择题 （2025-2026·人教版九上 22.1.3·过关练习）若二次函数 y＝－＋1，当 x≤2 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是（　　） A．m＝2　　　　B．m＞2　　　　C．m≥2　　　　D．m≤2 变式 4　填空题 （2025-2026·人教版九上 22.1.3·过关练习）已知二次函数 y＝3 的图象，当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大，则 a 的取值范围是 ________． 变式 5　填空题 （2026-2027·人教版九上 26.2.2·课堂检测）抛物线 y＝ 的对称轴是 ________，顶点坐标是 ________． 变式 6　填空题 （2026-2027·人教版九上 26.2.2·课堂检测）已知抛物线 y＝2＋k 的顶点为 (－1，3)，则 h＝ ________，k＝ ________． 变式 7　解答题 （2026-2027·人教版九上 26.2.2·课堂检测）已知抛物线的顶点为 (2，－3)，且经过点 (0，1)． (1) 求这条抛物线的解析式； (2) 判断点 (3，－1) 是否在这条抛物线上． 变式 8　解答题 （2026-2027·人教版九上 26.2.3·达标测试）求下列抛物线的对称轴和顶点坐标． (1) y＝－4x＋7；(2) y＝－2－4x＋1． 变式 9　解答题 （2025-2026·人教版九上 22.1.3·过关练习）已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线 y＝3 都相同，顶点与抛物线 y＝ 相同． (1) 求这条抛物线的解析式； (2) 把(1)中的抛物线向右平移 4 个单位，写出所得抛物线的解析式； (3) 在(2)中的抛物线的基础上，顶点不动，开口反向，写出所得抛物线的解析式． 变式 10　解答题 （2025-2026·人教版九上 22.1.3·过关练习）把二次函数 y＝a＋k 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到二次函数 y＝－1 的图象． (1) 试确定 a，h，k 的值； (2) 指出二次函数 y＝a＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． PART 05 拔高冲刺（8 题）· 性质综合满分攻关 拔高组全部选自 2025、2026 年考试真题中区分度最高的题型：图象信息四结论判断、图象信息五结论判断、双递减区间取交集、图象信息五结论填空、实际情境顶点时刻、正方形条件求参、平移过原点、顶点象限与交点面积——建议每题限时 6～8 分钟，独立完成后再对照详解订正；四道填空的答案已嵌在横线中，自测时先遮住红色部分。 拔高组冲刺要点（先读再做） ◆ 拔 1 练图象信息四结论判断（选择·带图）：对称轴定 b＝－2a、交点定 c＝－3a、顶点比高低——④ 用水平线与抛物线的位置关系判断实根个数； ◆ 拔 2 练图象信息五结论判断（选择·带图）：开口定 a、对称轴定 b、y 轴交点定 c，特殊点函数值看该点与两根的位置——逐条翻译图象信息； ◆ 拔 3 练双递减区间（填空·嵌空）：两个开口向下的抛物线都在各自对称轴右侧递减——递减区间 x≥4 与 x≥3 取交集，m 的最小值为 4； ◆ 拔 4 练图象信息五结论填空（填空·嵌空·带图）：三读图象（开口、对称轴、y 轴交点）定系数符号，右交点位置定特殊点函数值符号——填序号题逐条排除； ◆ 拔 5 练实际情境顶点时刻（填空·嵌空）：飞机停下即滑行距离不再增加——配方找对称轴 t＝25，开口向下顶点处取到； ◆ 拔 6 练正方形条件求参（填空·嵌空·带图）：配方得顶点 (m，1)，BN＝a－1、AB＝2——正方形把几何条件变成方程 2＝a－1，解得 a＝5； ◆ 拔 7 练平移过原点（解答）：设向右平移 m 个单位后图象过原点，列方程解出 m＝1，再令 y＝0 找另一个交点 (4，0)——平移解析式与交点联动； ◆ 拔 8 练顶点象限与交点面积（解答）：顶点 (m，m＋1) 按第二象限符号列不等式组 m＜0 且 m＋1＞0；m＝－2 时求三个坐标轴交点，底 2 高 3 得面积 3。 拔高 1　选择题 （2026·四川眉山中考）如图，抛物线 y＝a＋bx＋c 与 x 轴交于点 A(－1，0)，顶点坐标为 (1，n)，与 y 轴的交点在 (0，－2)，(0，－3) 之间（包含端点）．下列结论：①3a＋b＜0；②≤a≤1；③对于任意实数 m，a＋b≤m(am＋b) 总成立；④关于 x 的方程 a＋bx＋c＝n－1 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（　　） A．1 个　　　　B．2 个　　　　C．3 个　　　　D．4 个 拔高 2　选择题 （2026·黑龙江齐齐哈尔中考）如图所示的是二次函数 y＝＋bx＋c（a，b，c 为常数，a≠0）的部分图象，其顶点坐标为 (1，n)，与 y 轴交于点 A，与 x 轴正半轴交于点 B(m，0)（3＜m＜4）．下列结论： ①abc＞0；②3a＋c＜0；③＝4a(c－n)；④若点 P(t，)，Q(3－t，)（t＜）都在抛物线 y＝＋bx＋c 上，则 ＞；⑤若 OA＝OB，则关于 x 的方程 a＋(b＋1)x＝0 的两根之和为 c．其中正确结论的个数是（　　） A．2 个　　　　B．3 个　　　　C．4 个　　　　D．5 个 拔高 3　填空题 （2025-2026·人教版九上 22.1.3·跟踪练习）当 x≥m 时，两个函数 ＝－＋2 和 ＝－＋1 的函数值都随着 x 的增大而减小，则 m 的最小值为 ________． 拔高 4　填空题 （2025-2026·北京铁路二中初三期中）已知二次函数 y＝＋bx＋c（a≠0）的图象如图，有下列结论：①abc＞0；②≥4ac；③9a＋3b＋c＞0；④2a＋b＝0；⑤3a＋c＜0．正确的结论是 ________（填序号）． 拔高 5　填空题 （2025-2026·人教版九上二次函数·章末检测）飞机着陆后滑行的距离 s（单位：m）关于滑行时间 t（单位：s）的函数解析式是 s＝60t－1.2，飞机着陆后滑行 ________ 秒才能停下来． 拔高 6　填空题 （2026·江苏苏州中考）如图，关于 x 的二次函数 y＝－2mx＋＋1 的图象为抛物线 C，直线 y＝a 与抛物线 C 交于 A，B 两点，过抛物线 C 的顶点作 x 轴的平行线 l，过 A，B 分别作 l 的垂线，垂足为 M，N．若四边形 ABNM 为正方形，则 a＝ ________． 拔高 7　解答题 （2025-2026·人教版九上 22.1.3·过关练习）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 A(1，－4)，且过点 B(3，0)． (1) 求这个二次函数的解析式； (2) 把(1)中的抛物线向右平移几个单位，可使平移后的图象经过坐标原点？并直接写出平移后图象与 x 轴的另一个交点坐标． 拔高 8　解答题 （2025-2026·人教版九上 22.1.3·跟踪练习）已知抛物线 C：y＝＋m＋1． (1) 若抛物线 C 的顶点在第二象限，求 m 的取值范围； (2) 若 m＝－2，求抛物线 C 与坐标轴的交点围成的三角形的面积． 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 配方法求顶点·提系数配平方补常数 例 2 图象信息判断·三读图象定符号 例 3 对称轴与顶点·一般式配方直读 例 4 平移规律·左加右减、上加下减 例 5 化顶点式·三步配方读三要素 例 6 待定系数·条件分工与回代检验 变 1 配方化顶点式·补偿项别漏 变 2 图象信息判断·由图读 a、b、c 变 3 增减性定参·整段落在单调侧 变 4 开口向上递增·定 a≤2 变 5 顶点式直读对称轴与顶点 变 6 顶点坐标定 h、k·符号别反 变 7 顶点式求解析式＋代 x 验点 变 8 配方求对称轴与顶点·提系数补偿 变 9 开口顶点平移综合·右减反号 变 10 逆向平移·倒回去逐次还原 拔 1 四结论判断·顶点比高低定实根 拔 2 五结论判断·逐条翻译图象信息 拔 3 双递减区间·取交集定 m 拔 4 五结论填空·三读图象定符号 拔 5 实际情境·配方找顶点时刻 拔 6 正方形条件·几何条件化方程 拔 7 平移过原点·方程定 m 找交点 拔 8 顶点象限不等式组＋交点三角形面积 使用建议：本卷例题 6＋变式 10＋拔高 8 共 24 题（选 7·填 9·解 8），全部选自 2025、2026 年考试真题并在题干注明出处；限时 40 分钟完成，参考用时例题 12 分钟、变式 13 分钟、拔高 15 分钟，到时先停笔对答案。订正后让学生在订正完成栏打勾，保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：开口看 a 的符号，对称轴 x＝；求顶点先配方——提系数、配平方、补常数三步走；增减看开口——上开口左减右增、下开口左增右减，答句带上『在对称轴左（右）侧』；平移记口诀——左加右减、上加下减，一般式先化顶点式再平移；求解析式用待定系数——设式、代点、解方程、回代检验四步走；对称等值两等距——＋＝2×对称轴。填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $