山西太原市第五中学校2026-2027学年高三上学期10月阶段性检测数学试卷

太原五中2026—2027学年度第一学期学科阶段性检测 高三数学 时间：2026年10月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 3．已知角的终边上有一点，则（ ） A． B． C． D． 4．已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有（ ） A．72种 B．96种 C．144种 D．288种 5．在中，，，则角的大小为（ ） A． B．或 C． D．或 6．2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难．为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划．为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查．学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测．已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%．若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（ ） A．99% B．49.5% C．36.5% D．0.99% 7．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到函数的图象．若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．定义：如果在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，的坐标分别为，．那么称为，两点间的曼哈顿距离：为，两点间的欧几里得距离．已知，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，则（ ） A．函数为偶函数 B．曲线的对称轴为， C．在区间单调递增 D．的最小值为 10．已知复数，均不为0，则（ ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是减函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，若，则的最小值为________． 13．已知数据，，，的平均数为1，方差为2；数据，，，，，的平均数为2，方差为1．现将两组数据合并．则数据，，，，，，，，，的平均数为________，方差为________． 14．设函数，，若存在，使得，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，． （1）求的大小； （2）若，从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：边上中线的长为；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 16．（15分）已知，． （1）求的值； （2）若，且，求的值． 17．（15分）设函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求零点的个数． 18．（17分）我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展．2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到了90%，该公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数（总分1000分，分数越高质量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布，并把这10个样本质量分数的平均数作为μ的值． 参考数据：若，则． （1）求的值； （2）估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940？ （3）若从该生产线上随机抽取个零件中恰有个零部件的质量分数在内，则为何值时，的值最大？ 19．（17分）已知． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对，恒成立．求的取值范围； （3）证明：． 太原五中2026—2027学年度第一学期学科阶段性检测高三数学详解 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】B 【解析】设事件A为：“某人检验呈阳性”，事件B为：”某人为疾病患者“， 某人检验呈阳性，则他确实患病的概率． 由题意可知，，， ∴， ∴．故选B． 7．【答案】C 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象， 由题得，周期， 因为在上没有零点，所以， 得，即，得， 假设函数在上有零点， 令，得，，解得，， 则，得，， 又，当时，得， 当时，得， 所以函数在上没有零点时，的取值范围是． 8．【答案】B 【解析】设，因为，即， 令，，则，， 可得， 所以的最大值为．故选：B． 9．【答案】AC 【解析】， ，为偶函数，A对． ，则，，即对称轴，；B错． 10．【答案】BCD 【解析】对于A，，，A错；对于B，，B正确． 对于C，，C正确：对于D，，D正确，选BCD． 11．【答案】ABD 【解析】（1）令，得，，； （2），，，，A对； （3）令，，，是奇函数，C错； （4）在中令，得，B对； （5）在中将x换成，得，是减函数，D对． 12．【答案】5 【解析】，则，， ∴，∴，∴． 13．【答案】1.6或 1.64或 【解析】依题意，，，，， 两组数据合并后，平均数为， 所以合并后方差为． 14．【答案】1 【解析】， 则， 易知在上单调递增，所以， 所以， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，且， 即的最小值为1，即的最小值为1． 15．【解析】（1）由，得． 1分 在中，由正弦定理得． 3分 因为，， 所以． 4分 又， 所以． 5分 （2）选条件①：BC边上中线的长为． 设BC边中点为M，连接AM，则，． 6分 在中，由余弦定理得， 即． 整理得． 解得或（舍）． 11分 所以的面积为． 13分 选条件③：． 在中，由余弦定理得， 即． 整理得． 解得或． 11分 当时，的面积为． 当时，的面积为． 13分 16．【解析】（1）由，解得． 2分 又因为， 4分 由，得， 故原式． 6分 （2）因为，，由同角三角函数关系式得，． 8分 由（1）分析知，，由两角差的正切公式得． 10分 由且，得；由且，得， 12分 所以，由不等式性质得，且， 14分 因此． 15分 17．【解析】（1），令，解得， 1分 因为，所以，当，即时，在区间，，单调递减； 3分 当时，在区间，，单调递增， 在区间，，单调递减； 5分 综上所述：当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． 7分 （2）由（1）可知，当时，在单调递增，在单调递减， 则， 9分 令，则， 10分 因为，所以，此时单调递减，则，所以， 因为，且，所以在存在一个零点， 12分 因为， 所以在存在一个零点． 14分 故当时，有2个零点． 15分 18．【解析】（1）， ∴． 3分 由（1）知，， 4分 ． 6分 该生产线上生产的1000个零部件中，质量分数低于940的个数约为． 8分 （3）每个零部件的质量分数在内的概率为， 9分 由题意可知， 10分 则， 设， 则， 12分 令，得 ∴当时，， 14分 令，得， ∴当时，， 16分 ∴时，最大， 即时，的值最大． 17分 （其它解法酌情给分） 19．【解析】（1）当时，，，，所以切线方程为：． 2分 （2），，显然在单调递增． 3分 ①当时，． 令，则．所以在单调递增． 所以．所以．，使得． 当，，单调递减；此时，单调递减． 所以，不符合． 5分 ②当时，． 令， 则，所以在上单调递增． 故，符合题意． 8分 综上，a的取值范围是． 9分 （3）由（1）知当时，，．即． １０分 令，即． １１分 当时，． 12分 所以． 13分 故只需证． 令，．故只需证． 14分 令．则只需证，， 只需证当时，． 即证． 15分 令，则． 所以，证毕． 综上，． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $